Aula6 Tautologia

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Tautologias, Contradic¸o˜es e Contingeˆncias
Professor:
Silvio Luiz Bragatto Boss
e-mail:
silvioboss@utfpr.edu.br
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ - UTFPR
Coordenac¸a˜o de Informa´tica - COINF
Curso de Engenharia de Computac¸a˜o
Disciplina de Lo´gica para Computac¸a˜o
Tautologias Contradic¸o˜es Contingeˆncias
Suma´rio
1 Tautologias
2 Contradic¸o˜es
3 Contingeˆncias
UTFP R
Tautologias, Contradic¸o˜es e Contingeˆncias LATEX
Tautologias Contradic¸o˜es Contingeˆncias
Tautologia, Contradic¸a˜o e Contingeˆncia
Definic¸a˜o - Tautologia
Chama-se tautologia toda a proposic¸a˜o composta cuja u´ltima
coluna da sua tabela-verdade termina somente com a letra
V(verdade);
UTFP R
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Tautologia, Contradic¸a˜o e Contingeˆncia
Definic¸a˜o - Tautologia
Chama-se tautologia toda a proposic¸a˜o composta cuja u´ltima
coluna da sua tabela-verdade termina somente com a letra
V(verdade);
Em outros termos, tautologia e´ toda proposic¸a˜o composta
P(p,q,r,. . .) cujo valor lo´gico e´ sempre V(verdade),
quaisquer que sejam os valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples
componentes p,q,r,. . .
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Tautologia, Contradic¸a˜o e Contingeˆncia
Definic¸a˜o - Tautologia
Chama-se tautologia toda a proposic¸a˜o composta cuja u´ltima
coluna da sua tabela-verdade termina somente com a letra
V(verdade);
Em outros termos, tautologia e´ toda proposic¸a˜o composta
P(p,q,r,. . .) cujo valor lo´gico e´ sempre V(verdade),
quaisquer que sejam os valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples
componentes p,q,r,. . .
As tautologias sa˜o tambe´m denominadas proposic¸o˜es
tautolo´gicas ou proposic¸o˜es logicamente verdadeiras
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Tautologia, Contradic¸a˜o e Contingeˆncia
Definic¸a˜o - Tautologia
Chama-se tautologia toda a proposic¸a˜o composta cuja u´ltima
coluna da sua tabela-verdade termina somente com a letra
V(verdade);
Em outros termos, tautologia e´ toda proposic¸a˜o composta
P(p,q,r,. . .) cujo valor lo´gico e´ sempre V(verdade),
quaisquer que sejam os valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples
componentes p,q,r,. . .
As tautologias sa˜o tambe´m denominadas proposic¸o˜es
tautolo´gicas ou proposic¸o˜es logicamente verdadeiras
E´ imediato que as proposic¸o˜es p → p e p ↔ p sa˜o tautolo´gicas.
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Tautologias Contradic¸o˜es Contingeˆncias
Tautologia, Contradic¸a˜o e Contingeˆncia
Exemplo 1
A proposic¸a˜o ¬(p ∧ ¬p) (Princı´pio da n~ao
contradic¸~ao) e´ tautolo´gica, conforme se veˆ pela sua
tabela-verdade:
p ¬p p ∧ ¬p ¬(p ∧ ¬ p)
V F F V
F V F V
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Exemplo 1
A proposic¸a˜o ¬(p ∧ ¬p) (Princı´pio da n~ao
contradic¸~ao) e´ tautolo´gica, conforme se veˆ pela sua
tabela-verdade:
p ¬p p ∧ ¬p ¬(p ∧ ¬ p)
V F F V
F V F V
Portanto, dizer que uma proposic¸a˜o na˜o pode ser simultaˆneamente
verdadeira e falsa e´ sempre verdadeiro.
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Exemplo 2
A proposic¸a˜o (p ∨ ¬p) (Princı´pio do terceiro
excluı´do) e´ tautolo´gica, conforme se veˆ pela sua
tabela-verdade:
p ¬p p ∨ ¬p
V F V
F V V
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Exemplo 2
A proposic¸a˜o (p ∨ ¬p) (Princı´pio do terceiro
excluı´do) e´ tautolo´gica, conforme se veˆ pela sua
tabela-verdade:
p ¬p p ∨ ¬p
V F V
F V V
Portanto, dizer que uma proposic¸a˜o ou e´ verdadeira ou e´ falsa e´
sempre verdadeiro.
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Exemplo 3
A proposic¸a˜o p ∨ ¬(p ∧ q) e´ tautolo´gica, conforme se veˆ
pela sua tabela-verdade:
p q p ∧ q ¬(p ∧ q) p ∨ ¬(p ∧ q)
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
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Exemplo 4
A proposic¸a˜o p ∧ q → (p ↔ q) e´ tautolo´gica, conforme
se veˆ pela sua tabela-verdade:
p q p ∧ q p ↔ q p ∧ q → (p ↔ q)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V V
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Definic¸a˜o - Contradic¸a˜o
Chama-se contradic¸a˜o toda a proposic¸a˜o composta cuja
u´ltima clouna da sua tabela-verdade termina somente com a
letra F(falsidade);
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Definic¸a˜o - Contradic¸a˜o
Chama-se contradic¸a˜o toda a proposic¸a˜o composta cuja
u´ltima clouna da sua tabela-verdade termina somente com a
letra F(falsidade);
Em outros termos, contradic¸a˜o e´ toda proposic¸a˜o composta
P(p,q,r,. . .) cujo valor lo´gico e´ sempre F(falsidade),
quaisquer que sejam os valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples
componentes p,q,r,...;
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Definic¸a˜o - Contradic¸a˜o
Chama-se contradic¸a˜o toda a proposic¸a˜o composta cuja
u´ltima clouna da sua tabela-verdade termina somente com a
letra F(falsidade);
Em outros termos, contradic¸a˜o e´ toda proposic¸a˜o composta
P(p,q,r,. . .) cujo valor lo´gico e´ sempre F(falsidade),
quaisquer que sejam os valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples
componentes p,q,r,...;
Como uma tautologia e´ sempre verdadeira(V), a negac¸a˜o de
uma tautologia e´ sempre falsa(F), ou seja, e´ uma contradic¸a˜o,
e vice-versa.
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Definic¸a˜o - Contradic¸a˜o (Cont.)
Portanto, P(p,q,r,. . .) e´ uma tautologia se e somente se
¬P(p,q,r,. . .) e´ uma contradic¸a˜o, e P(p,q,r,. . . ) e´ uma
contradic¸a˜o se e somente se ¬P(p,q,r,. . .) e´ uma
tautologia.
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Tautologia, Contradic¸a˜o e Contingeˆncia
Definic¸a˜o - Contradic¸a˜o (Cont.)
Portanto, P(p,q,r,. . .) e´ uma tautologia se e somente se
¬P(p,q,r,. . .) e´ uma contradic¸a˜o, e P(p,q,r,. . . ) e´ uma
contradic¸a˜o se e somente se ¬P(p,q,r,. . .) e´ uma
tautologia.
As contradic¸o˜es sa˜o tambe´m denominadas proposic¸o˜es
contrava´lidas ou proposic¸o˜es logicamente falsas;
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Tautologia, Contradic¸a˜o e Contingeˆncia
Exemplo 1
A proposic¸a˜o p ∧ ¬p e´ uma contradic¸a˜o, conforme se veˆ
pela sua tabela-verdade:
p ¬p p ∧ ¬p
V F F
F V F
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Exemplo 1
A proposic¸a˜o p ∧ ¬p e´ uma contradic¸a˜o, conforme se veˆ
pela sua tabela-verdade:
p ¬p p ∧ ¬p
V F F
F V F
Portanto, dizer que uma proposic¸a˜o pode ser simultaˆneamente
verdadeira e falsa e´ sempre falso.
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Tautologia, Contradic¸a˜o e Contingeˆncia
Exemplo 2
A proposic¸a˜o p ↔ ¬p e´ uma contradic¸a˜o, conforme se veˆ
pela sua tabela-verdade:
p ¬p p ↔ ¬p
V F F
F V F
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Definic¸a˜o - Contingeˆncia
Chama-se contingeˆncia toda a proposic¸a˜o composta cuja
u´ltima coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F
cada uma pelo menos uma vez.
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Definic¸a˜o - Contingeˆncia
Chama-se contingeˆncia toda a proposic¸a˜o composta cuja
u´ltima coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F
cada uma pelo menos uma vez.
Em outros termos, contingeˆncia e´ toda proposic¸a˜o composta
que na˜o e´ tautologia nem contradic¸a˜o.
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Definic¸a˜o - Contingeˆncia
Chama-se contingeˆncia toda a proposic¸a˜o composta cuja
u´ltima coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F
cada uma pelo menos uma vez.
Em outros termos, contingeˆncia e´ toda proposic¸a˜o composta
que na˜o e´ tautologia nem contradic¸a˜o.
As contingeˆncias sa˜o tambe´m denominadas proposic¸o˜es
contingentes ou proposic¸o˜es indeterminadas
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Tabela-Verdade
Exemplo 1
A proposic¸a˜o p → ¬p e´ uma contingeˆncia, conforme se veˆ
pela sua tabela-verdade:
p ¬p p → ¬p
V F F
F V V
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Operac¸o˜es Lo´gicas
Exemplo 2
A proposic¸a˜o p ∨ q → p e´ uma contingeˆncia, conforme se
veˆ pela sua tabela-verdade:
p q p ∨ q p ∨ q → p
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V
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Exerc´ıcios
1 Mostrar que as proposic¸o˜es abaixo sa˜o tautolo´gicas
p ∨ (q ∧ ¬q) ↔ p
p ∧ r → ¬q ∨ r
((p → q) → r) → (p → (q → r))
2 Mostrar que as proposic¸o˜es abaixo sa˜o contradic¸o˜es
(p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q)
¬p ∧ (p ∧ ¬q)
3 Mostrar que a proposic¸a˜o abaixo e´ uma contingeˆncia
x=3 ∧ (x 6= y → x 6=3)
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Operac¸o˜es Lo´gicas
Refereˆncias Bibliogra´ficas
☞ ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciac¸a˜o a` lo´gica
matema´tica. Sa˜o Paulo: Nobel, c1975. 203 p.
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