Aula3 Logica Proposicional

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Lo´gica Proposicional
Professor:
Silvio Luiz Bragatto Boss
e-mail:
silvioboss@utfpr.edu.br
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ - UTFPR
Coordenac¸a˜o de Informa´tica - COINF
Curso de Engenharia de Computac¸a˜o
Disciplina de Lo´gica para Computac¸a˜o
Lo´gica Proposicional
Suma´rio
1 Lo´gica Proposicional
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Lo´gica Proposicional LATEX
Lo´gica Proposicional
Lo´gica Proposicional
A lo´gica proposicional e´ um formalismo matema´tico atrave´s
do qual podemos abstrair a estrutura de um argumento,
eliminado a ambiguidade existente na linguagem natural.
Esse formalismo e´ composto por uma linguagem formal e por
um conjunto de regras de infereˆncia que nos permitem analisar
um argumento de forma precisa e decidir a sua validade.
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Lo´gica Proposicional
Lo´gica Proposicional
Revisando...
Argumento e´ uma sequeˆncia de premissas seguida de uma
conclusa˜o.
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Lo´gica Proposicional
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Revisando...
Argumento e´ uma sequeˆncia de premissas seguida de uma
conclusa˜o.
Dizemos que um argumento e´ va´lido quando sua conclusa˜o e´
uma consequeˆncia necessa´ria de suas premissas.
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Lo´gica Proposicional
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Revisando...
Argumento e´ uma sequeˆncia de premissas seguida de uma
conclusa˜o.
Dizemos que um argumento e´ va´lido quando sua conclusa˜o e´
uma consequeˆncia necessa´ria de suas premissas.
Uma proposic¸a˜o e´ uma declarac¸a˜o afirmativa a qual se pode
associar um valor verdadeiro ou falso, mas na˜o ambos.
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Revisando...
Argumento e´ uma sequeˆncia de premissas seguida de uma
conclusa˜o.
Dizemos que um argumento e´ va´lido quando sua conclusa˜o e´
uma consequeˆncia necessa´ria de suas premissas.
Uma proposic¸a˜o e´ uma declarac¸a˜o afirmativa a qual se pode
associar um valor verdadeiro ou falso, mas na˜o ambos.
Por exemplo:
O Brasil fica na Ame´rica - e´ uma proposic¸a˜o verdadeira.
A lua e´ de queijo - e´ uma proposic¸a˜ falsa.
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Lo´gica Proposicional
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Revisando...
Argumento e´ uma sequeˆncia de premissas seguida de uma
conclusa˜o.
Dizemos que um argumento e´ va´lido quando sua conclusa˜o e´
uma consequeˆncia necessa´ria de suas premissas.
Uma proposic¸a˜o e´ uma declarac¸a˜o afirmativa a qual se pode
associar um valor verdadeiro ou falso, mas na˜o ambos.
Por exemplo:
O Brasil fica na Ame´rica - e´ uma proposic¸a˜o verdadeira.
A lua e´ de queijo - e´ uma proposic¸a˜ falsa.
A proposic¸a˜o e´ o elemento ba´sico a partir do qual os
argumentos sa˜o constru´ıdos sendo tambe´m o principal objeto
de estudo na lo´gica proposicional.
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Exemplos de proposic¸o˜es
1 A lua e´ um sate´lite da terra.
2 3 x 5 = 5 x 3.
3 Onde voceˆ mora?
4 Que belo jardim e´ o desta prac¸a!
5 Pedro estuda e trabalha.
6 Se Pedro estuda, enta˜o tem eˆxito na escola.
7 Vou ao cinema se e somente se conseguir dinheiro.
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Lo´gica Proposicional
Lo´gica Proposicional
Utiliza-se apenas classe de proposic¸o˜es declarativas que so´ aceitam
dois valores: Verdadeiro (V) ou Falso (F)
1 A lua e´ um sate´lite da terra. → declarativa
2 3 x 5 = 5 x 3. → declarativa
3 Onde voceˆ mora? → interrogativa
4 Que belo jardim e´ o desta prac¸a! → exclamativa
5 Escreva um verso. → imperativa
6 Pedro estuda e trabalha. → declarativa
7 Se Pedro estuda, enta˜o tem eˆxito na escola. → declarativa
8 Vou ao cinema se e somente se conseguir dinheiro. →
declarativa
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Lo´gica Proposicional
Lo´gica Proposicional
A lo´gica matema´tica adota como regras fundamentais os dois
seguintes princ´ıpios ou axiomas:
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Lo´gica Proposicional
Lo´gica Proposicional
A lo´gica matema´tica adota como regras fundamentais os dois
seguintes princ´ıpios ou axiomas:
(I) Princ´ıpio da na˜o Contradic¸a˜o: Uma proposic¸a˜o na˜o pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
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Lo´gica Proposicional
A lo´gica matema´tica adota como regras fundamentais os dois
seguintes princ´ıpios ou axiomas:
(I) Princ´ıpio da na˜o Contradic¸a˜o: Uma proposic¸a˜o na˜o pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
(II) Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: Qualquer proposic¸a˜o e´
verdadeira ou e´ falsa, na˜o podendo ser nada mais do que isso.
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Valores Lo´gicos das Proposic¸o˜es
Quanto aos valores lo´gicos de uma proposic¸a˜o, pode-se dizer
que:
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Lo´gica Proposicional
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Valores Lo´gicos das Proposic¸o˜es
Quanto aos valores lo´gicos de uma proposic¸a˜o, pode-se dizer
que:
Uma proposic¸a˜o p e´ verdade quando p e´ verdadeiro e,
falsidade quando p e´ falso.
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Valores Lo´gicos das Proposic¸o˜es
Quanto aos valores lo´gicos de uma proposic¸a˜o, pode-se dizer
que:
Uma proposic¸a˜o p e´ verdade quando p e´ verdadeiro e,
falsidade quando p e´ falso.
Os valores lo´gicos verdade e falsidade de uma proposic¸a˜o
designam-se abreviadamente pelas letras V e F.
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Valores Lo´gicos das Proposic¸o˜es
Quanto aos valores lo´gicos de uma proposic¸a˜o, pode-se dizer
que:
Uma proposic¸a˜o p e´ verdade quando p e´ verdadeiro e,
falsidade quando p e´ falso.
Os valores lo´gicos verdade e falsidade de uma proposic¸a˜o
designam-se abreviadamente pelas letras V e F.
Assim, o que os princ´ıpios da na˜o-contradic¸a˜o e do terceiro
exclu´ıdo afirmam e´ que:
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Valores Lo´gicos das Proposic¸o˜es
Quanto aos valores lo´gicos de uma proposic¸a˜o, pode-se dizer
que:
Uma proposic¸a˜o p e´ verdade quando p e´ verdadeiro e,
falsidade quando p e´ falso.
Os valores lo´gicos verdade e falsidade de uma proposic¸a˜o
designam-se abreviadamente pelas letras V e F.
Assim, o que os princ´ıpios da na˜o-contradic¸a˜o e do terceiro
exclu´ıdo afirmam e´ que:
Toda proposic¸a˜o pode assumir um, e somente um, dos dois
valores: F ou V ( 0 ou 1 respectivamente).
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Proposic¸o˜es podem se classificadas de duas formas:
Simples: proposic¸a˜o que na˜o conte´m nenhuma outra
proposic¸a˜o como parte integrante de si mesma.
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Proposic¸o˜es podem se classificadas de duas formas:
Simples: proposic¸a˜o que na˜o conte´m nenhuma outra
proposic¸a˜o como parte integrante de si mesma.
Exemplos:
P: Zeno´bio e´ careca.
Q: Pedro e´ estudante.
R: O nu´mero 25 e´ um quadrado perfeito.
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Proposic¸o˜es podem se classificadas de duas formas:
Simples: proposic¸a˜o que na˜o conte´m nenhuma outra
proposic¸a˜o como parte integrante de si mesma.
Exemplos:
P: Zeno´bio e´ careca.
Q: Pedro e´ estudante.
R: O nu´mero 25 e´ um quadrado perfeito.
Composta: proposic¸a˜o formada pela combinac¸a˜o de duas ou
mais proposic¸o˜es simples atrave´s de um elemento de ligac¸a˜o
denominada conectivo.
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Lo´gica Proposicional
Lo´gica Proposicional
Proposic¸o˜es podem se classificadas de duas formas:
Simples: proposic¸a˜o que na˜o conte´m nenhuma outra
proposic¸a˜o como parte integrante de si mesma.
Exemplos:
P: Zeno´bio e´ careca.
Q: Pedro e´ estudante.
R: O nu´mero 25 e´ um quadrado perfeito.
Composta: proposic¸a˜o formada pela combinac¸a˜o de duas ou
mais proposic¸o˜es simples atrave´s de um elemento de ligac¸a˜o
denominada conectivo.
Exemplos:
P: Zeno´bio e´ careca e Pedro e´ estudante
Q: Zeno´bio e´ careca ou Pedro e´ estudante
R: Se Zeno´bio e´ careca, ent~ao e´ feliz
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Lo´gica Proposicional
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As proposic¸o˜es compostas sa˜o tambe´m chamadas de fo´rmulas
proposicionais.
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As proposic¸o˜es compostas sa˜o tambe´m chamadas de fo´rmulas
proposicionais.
Constro´i-se uma proposic¸a˜o composta a partir de duas ou
mais proposic¸o˜es simples e do uso de conectivos.
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Conectivos - Definic¸a˜o
Chamam-se conectivos as palavras usadas para formar proposic¸o˜es
compostas a partir de proposic¸o˜es simples.
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Conectivos - Definic¸a˜o
Chamam-se conectivos as palavras usadas para formar proposic¸o˜es
compostas a partir de proposic¸o˜es simples.
Temos, basicamente, 1 conectivo una´rio e 4 conectivos
bina´rios, sa˜o eles:
Conjunc¸a˜o
Disjunc¸a˜o
Negac¸a˜o (conectivo una´rio)
Implicac¸a˜o
Bi-implicac¸a˜o ou Equivaleˆncia Lo´gica
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Conectivos de uma Proposic¸a˜o
Conjunc¸a˜o
Utiliza-se o s´ımbolo ∧ para representar o conetivo “e”, ex.:
gatos s~ao mamı´feros e cana´rios s~ao aves
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Lo´gica Proposicional
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Conectivos de uma Proposic¸a˜o
Conjunc¸a˜o
Utiliza-se o s´ımbolo ∧ para representar o conetivo “e”, ex.:
gatos s~ao mamı´feros e cana´rios s~ao aves
Disjunc¸a˜o
Utiliza-se o s´ımbolo ∨ para representar o conetivo “ou”, ex.:
O tria^ngulo ABC e´ reta^ngulo ou o tria^ngulo ABC e´
iso´sceles
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Conectivos de uma Proposic¸a˜o
Conjunc¸a˜o
Utiliza-se o s´ımbolo ∧ para representar o conetivo “e”, ex.:
gatos s~ao mamı´feros e cana´rios s~ao aves
Disjunc¸a˜o
Utiliza-se o s´ımbolo ∨ para representar o conetivo “ou”, ex.:
O tria^ngulo ABC e´ reta^ngulo ou o tria^ngulo ABC e´
iso´sceles
Negac¸a˜o
Utiliza-se o s´ımbolo ¬ para representar a negac¸a˜o.
Assim, a se uma proposic¸a˜o A e´ verdadeiro, enta˜o ¬A e´ falso
e vice-versa.
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Conectivos de uma Proposic¸a˜o - Cont.
Implicac¸a˜o
Alguns autores usam o termo condicional
Utiliza-se o s´ımbolo → para representar setenc¸as como:
se chover, ent~ao a rua ficara´ molhada
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Conectivos de uma Proposic¸a˜o - Cont.
Implicac¸a˜o
Alguns autores usam o termo condicional
Utiliza-se o s´ımbolo → para representar setenc¸as como:
se chover, ent~ao a rua ficara´ molhada
Bi-implicac¸a˜o
Utiliza-se o s´ımbolo ↔ para representar sentenc¸as como:
Voce^ lava o carro se e somente se eu o emprestar a
voce^
1 Voceˆ lava o carro → Eu o empresto a voceˆ.
2 Eu empresto o carro a voceˆ → Voceˆ lava o carro.
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Fo´rmulas e Precedeˆncias
Uma fo´rmula e´ constru´ıda pela composic¸a˜o:
de s´ımbolos de sentenc¸as simples (A,B,. . .);
de conetivos lo´gicos bina´rios (∧,∨,→ e ↔);
e de conectivos una´rios (¬).
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Fo´rmulas e Precedeˆncias
Uma fo´rmula e´ constru´ıda pela composic¸a˜o:
de s´ımbolos de sentenc¸as simples (A,B,. . .);
de conetivos lo´gicos bina´rios (∧,∨,→ e ↔);
e de conectivos una´rios (¬).
Tambe´m podem ser usados pareˆnteses para ditar a
precedeˆncia.
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Fo´rmulas e Precedeˆncias
Uma fo´rmula e´ constru´ıda pela composic¸a˜o:
de s´ımbolos de sentenc¸as simples (A,B,. . .);
de conetivos lo´gicos bina´rios (∧,∨,→ e ↔);
e de conectivos una´rios (¬).
Tambe´m podem ser usados pareˆnteses para ditar a
precedeˆncia.
A precedeˆncia usual e´:
Fo´rmulas dentro de pareˆnteses (os mais internos primeiro);
¬ (a negac¸a˜o);
∧ (a conjunc¸a˜o);
∨ (a disjunc¸a˜o);
→ (a implicac¸a˜o);
↔ (a bi-implicac¸a˜o ou equivaleˆncia lo´gica).
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Tabela Verdade
Segundo o princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo, toda proposic¸a˜o simples p
e´ verdadeira ou e´ falsa, isto e´, tem o valor lo´gico V ou F.
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Tabela Verdade
Segundo o princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo, toda proposic¸a˜o simples p
e´ verdadeira ou e´ falsa, isto e´, tem o valor lo´gico V ou F.
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Tabela Verdade
Segundo o princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo, toda proposic¸a˜o simples p
e´ verdadeira ou e´ falsa, isto e´, tem o valor lo´gico V ou F.
O valor lo´gico de uma expressa˜o composta, depende
unicamente dos valores lo´gicos das expresso˜es simples que a
compo˜em.
Admitindo isso, recorre-se a um dispositivo denominado
tabela–verdade, para aplicar este conceito na pra´tica.
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Na tabela verdade figuram todos os poss´ıveis valores lo´gicos
das proposic¸o˜es correspondentes a todas as poss´ıveis
atribuic¸o˜es de valores lo´gicos a`s proposic¸o˜es simples que a
compo˜em.
Assim, uma proposic¸a˜o composta cujas proposic¸o˜es simples
componentes sa˜o p e q pode ter as poss´ıveis combinac¸o˜es:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
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Na tabela verdade figuram todos os poss´ıveis valores lo´gicos
das proposic¸o˜es correspondentes a todas as poss´ıveis
atribuic¸o˜es de valores lo´gicos a`s proposic¸o˜es simples que a
compo˜em.
Assim, uma proposic¸a˜o composta cujas proposic¸o˜es simples
componentes sa˜o p e q pode ter as poss´ıveis combinac¸o˜es:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
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Na tabela verdade figuram todos os poss´ıveis valores lo´gicos
das proposic¸o˜es correspondentes a todas as poss´ıveis
atribuic¸o˜es de valores lo´gicos a`s proposic¸o˜es simples que a
compo˜em.
Assim, uma proposic¸a˜o composta cujas proposic¸o˜es simples
componentes sa˜o p e q pode ter as poss´ıveis combinac¸o˜es:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
Neste caso, as combinac¸o˜es entre os elementos sa˜o: VV, VF,
FV e FF.
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As tabelas verdade sa˜o
constru´ıdas como arranjos dos
elementos componentes, e como
um elemento pode receber
somente os valores V ou F, o
tamanho de uma tabela e´ dada
pela quantidade de elementos
combinados.
No caso de uma proposic¸a˜o
composta com 3 elementos,
ter´ıamos 8 combinac¸o˜es
poss´ıveis: VVV, VVF, VFV,
VFF, FVV, FVF, FFV, FFF.
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Lo´gica Proposicional
As tabelas verdade sa˜o
constru´ıdas como arranjos dos
elementos componentes, e como
um elemento pode receber
somente os valores V ou F, o
tamanho de uma tabela e´ dada
pela quantidade de elementos
combinados.
No caso de uma proposic¸a˜o
composta com 3 elementos,
ter´ıamos 8 combinac¸o˜es
poss´ıveis: VVV, VVF, VFV,
VFF, FVV, FVF, FFV, FFF.
Tabela verdade composta por 3
elementos
p q r
1 V V V
2 V V F
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
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Para construirmos as tabelasverdade podemos usar as
seguintes regras:
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Para construirmos as tabelasverdade podemos usar as
seguintes regras:
O nu´mero de linhas sempre depende do nu´mero de elementos
combinados;
Como uma proposic¸a˜o pode assumir os valores V ou F, o
nu´mero de linhas de uma tabela – verdade e´ dado por 2n.
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Para construirmos as tabelasverdade podemos usar as
seguintes regras:
O nu´mero de linhas sempre depende do nu´mero de elementos
combinados;
Como uma proposic¸a˜o pode assumir os valores V ou F, o
nu´mero de linhas de uma tabela – verdade e´ dado por 2n.
Exemplo:
1 elemento : 21 linhas = 2 linhas
2 elementos: 22 linhas = 4 linhas
3 elementos: 23 linhas = 8 linhas
4 elementos: 24 linhas = 16 linhas
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Para construir a tabela inicia-se sempre atribuindo V, F, V,
F,. . . para o elemento mais a` direita da tabela.
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Para construir a tabela inicia-se sempre atribuindo V, F, V,
F,. . . para o elemento mais a` direita da tabela.
V, V, F, F,. . . para o segundo elemento da direita para a
esquerda.
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Para construir a tabela inicia-se sempre atribuindo V, F, V,
F,. . . para o elemento mais a` direita da tabela.
V, V, F, F,. . . para o segundo elemento da direita para a
esquerda.
V, V, V, V, F, F, F, F,. . . para o terceiro elemento a` partir
da direita e assim, sucessivamente.
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Algumas Notac¸o˜es
Valor lo´gico de uma proposic¸a˜o simples p indica-se por V(p);
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Algumas Notac¸o˜es
Valor lo´gico de uma proposic¸a˜o simples p indica-se por V(p);
Assim, exprime-se que p e´ verdadeiro escrevendo: V(p) = V.
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Algumas Notac¸o˜es
Valor lo´gico de uma proposic¸a˜o simples p indica-se por V(p);
Assim, exprime-se que p e´ verdadeiro escrevendo: V(p) = V.
Analogamente, pode-se exprimir que a proposic¸a˜o p tem o
valor falso utilizando-se V(p) = F.
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Algumas Notac¸o˜es
Valor lo´gico de uma proposic¸a˜o simples p indica-se por V(p);
Assim, exprime-se que p e´ verdadeiro escrevendo: V(p) = V.
Analogamente, pode-se exprimir que a proposic¸a˜o p tem o
valor falso utilizando-se V(p) = F.
Considerando, por exemplo, as seguintes proposic¸o˜es simples:
p: O Sol e´ verde → V(p) = F
q: um hexa´gono tem 6 lados → V(q) = V
r: 2 e´ um nu´mero ı´mpar → V(r) = F
s: um triaˆngulo tem 4 lados → V(s) = F
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Lo´gica Proposicional
Refereˆncias Bibliogra´ficas
☞ TONIN, N. Apostila de Lo´gica para a Computac¸a˜o.
Erechim, 2008. (Apostila).
☞ PEREIRA, S.L. Lo´gica Proposicional. Notas de aula.
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