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[W.C. Ferreira A.C.Fassoni] Análise Funcional

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Wilson Castro Ferreira Jr.
Artur César Fassoni
Análise Funcional : Princípios,
Métodos e Fins
Versão Preliminar
Unicamp, 2014
Índice
1 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Espaços Métricos : A Origem dos Conceitos de Convergência . . . . . 1
1.2 Linguagem e Conceitos Básicos de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Teoremas Fundamentais Clássicos no Contexto de Espaços Métricos 18
1.4 Construção Abstrata de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Completamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Produtos Cartesianos de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.1 Teorema de Heine-Borel Tologicamente Correto . . . . . . . . . . 34
1.6.2 Os Teoremas Clássicos de Weierstrass e a Bipartição . . . . . . 35
1.6.3 Estranhos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Espaços Métricos Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1 Exemplos de Espaços Métricos Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Aproximação Uniforme de Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Teoria de Arzelá-Ascoli : Caracterização de Compactos em
(C0(K,M),d∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Extensões da Teoria de Arzelá-Ascoli : Convergência uniforme
em Compactos, Teoremas de Montel, Riesz e Kolmogorov . . . . . . . . 67
2.5 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.1 Integral de Riemann Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.2 Weierstrass-Dirac Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.3 Teoria de Weierstrass-Dirac Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.4 Apêndice Topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 Equações em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1 Equações em Espaços Métricos : Considerações Gerais . . . . . . . . . . . 77
3.2 Funções compactas & outras notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 O Método iterativo de contrações Birkhoff-Banach-Cacciopoli . . . . . 93
VI Índice
3.4 A dependência do ponto fixo com respeito a parâmetros . . . . . . . . . . 102
4 Espaços Vetoriais e Álgebras Normadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1 Espaços Vetoriais e Álgebras Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.1 Métodos de Algebrização de Espaços Vetoriais (Definições
de Operações Produto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.2 Outros Exemplos de Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3 Métodos Gerais de Topologização de Espaços Vetoriais e Álgebras . 128
4.4 Espaços Vetoriais e Álgebras Normadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4.1 Normas de Minkowski - Espaços lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.4.2 Espaços vetoriais com topologias geradas por famílias de
normas ou semi-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4.3 Convergência Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5 Espaços com produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.6 Geometria de espaços vetoriais normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.1 Equivalências e Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.2 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.6.3 Convexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6.4 Aproximação e convexidade estrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.6.5 O Teorema de Hahn-Banach-Helly e o Princípio das
Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.6.6 Aplicações do princípio de coordenadas de Helly . . . . . . . . . 174
4.7 Extensão de espaços vetoriais normados - Teorema do
completamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.8 Apêndice : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.8.1 Convexidade estrita em EVN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.8.2 Referências específicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5 Espaços de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.1 Topologização de espaços vetoriais com um produto interno . . . . . . . 183
5.2 Exemplos de espaços vetoriais com produto interno . . . . . . . . . . . . . . 188
5.3 Geometria de espaços com produto interno : Teoria de F. Riesz . . . . 193
5.4 Geometria de Pitágoras em dimensão infinita : bases ortonormais
e representação de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.1 Bases ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.2 Bases de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5 Apêndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.5.1 Teoria de Lax-Milgram : Extensão da Teoria de Riesz para
Funcionais Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.5.2 O problema variacional para funcionais quadráticos . . . . . . . 236
5.6 Apêndice II : Espaços funcionais de Hilbert-Sobolev . . . . . . . . . . . . . 242
5.7 Apêndice III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.7.1 Anotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Índice VII
6 Operadores Lineares em Espaços Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2 Propriedades e definições básicas de operadores lineares . . . . . . . . . . 249
6.3 Exemplos de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.4 Transformações integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.4.1 Transformação integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.4.2 Transformação integral de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4.3 Transformação de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.4.4 Operadores integrais de Fourier e pseudodiferenciais . . . . . . 265
6.4.5 Outros operadores (transformações) integrais . . . . . . . . . . . . . 265
6.5 Equações lineares do segundo tipo, ou, Perturbações lineares da
identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.5.1 Séries de Neumann-Peano : A gênese da análise operacional 267
6.6 Teoremas de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.6.1 O Princípio da Limitação Uniforme (Ressonância) de
Banach–Steinhaus . . . . . . . .