[W.C. Ferreira A.C.Fassoni] Análise Funcional

Prévia do material em texto

Wilson Castro Ferreira Jr.
Artur César Fassoni
Análise Funcional : Princípios,
Métodos e Fins
Versão Preliminar
Unicamp, 2014
Índice
1 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Espaços Métricos : A Origem dos Conceitos de Convergência . . . . . 1
1.2 Linguagem e Conceitos Básicos de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Teoremas Fundamentais Clássicos no Contexto de Espaços Métricos 18
1.4 Construção Abstrata de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Completamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Produtos Cartesianos de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.1 Teorema de Heine-Borel Tologicamente Correto . . . . . . . . . . 34
1.6.2 Os Teoremas Clássicos de Weierstrass e a Bipartição . . . . . . 35
1.6.3 Estranhos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Espaços Métricos Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1 Exemplos de Espaços Métricos Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Aproximação Uniforme de Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Teoria de Arzelá-Ascoli : Caracterização de Compactos em
(C0(K,M),d∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Extensões da Teoria de Arzelá-Ascoli : Convergência uniforme
em Compactos, Teoremas de Montel, Riesz e Kolmogorov . . . . . . . . 67
2.5 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.1 Integral de Riemann Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.2 Weierstrass-Dirac Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.3 Teoria de Weierstrass-Dirac Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.4 Apêndice Topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 Equações em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1 Equações em Espaços Métricos : Considerações Gerais . . . . . . . . . . . 77
3.2 Funções compactas & outras notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 O Método iterativo de contrações Birkhoff-Banach-Cacciopoli . . . . . 93
VI Índice
3.4 A dependência do ponto fixo com respeito a parâmetros . . . . . . . . . . 102
4 Espaços Vetoriais e Álgebras Normadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1 Espaços Vetoriais e Álgebras Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.1 Métodos de Algebrização de Espaços Vetoriais (Definições
de Operações Produto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.2 Outros Exemplos de Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3 Métodos Gerais de Topologização de Espaços Vetoriais e Álgebras . 128
4.4 Espaços Vetoriais e Álgebras Normadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4.1 Normas de Minkowski - Espaços lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.4.2 Espaços vetoriais com topologias geradas por famílias de
normas ou semi-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4.3 Convergência Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5 Espaços com produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.6 Geometria de espaços vetoriais normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.1 Equivalências e Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.2 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.6.3 Convexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6.4 Aproximação e convexidade estrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.6.5 O Teorema de Hahn-Banach-Helly e o Princípio das
Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.6.6 Aplicações do princípio de coordenadas de Helly . . . . . . . . . 174
4.7 Extensão de espaços vetoriais normados - Teorema do
completamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.8 Apêndice : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.8.1 Convexidade estrita em EVN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.8.2 Referências específicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5 Espaços de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.1 Topologização de espaços vetoriais com um produto interno . . . . . . . 183
5.2 Exemplos de espaços vetoriais com produto interno . . . . . . . . . . . . . . 188
5.3 Geometria de espaços com produto interno : Teoria de F. Riesz . . . . 193
5.4 Geometria de Pitágoras em dimensão infinita : bases ortonormais
e representação de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.1 Bases ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.2 Bases de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5 Apêndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.5.1 Teoria de Lax-Milgram : Extensão da Teoria de Riesz para
Funcionais Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.5.2 O problema variacional para funcionais quadráticos . . . . . . . 236
5.6 Apêndice II : Espaços funcionais de Hilbert-Sobolev . . . . . . . . . . . . . 242
5.7 Apêndice III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.7.1 Anotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Índice VII
6 Operadores Lineares em Espaços Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2 Propriedades e definições básicas de operadores lineares . . . . . . . . . . 249
6.3 Exemplos de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.4 Transformações integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.4.1 Transformação integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.4.2 Transformação integral de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4.3 Transformação de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.4.4 Operadores integrais de Fourier e pseudodiferenciais . . . . . . 265
6.4.5 Outros operadores (transformações) integrais . . . . . . . . . . . . . 265
6.5 Equações lineares do segundo tipo, ou, Perturbações lineares da
identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.5.1 Séries de Neumann-Peano : A gênese da análise operacional 267
6.6 Teoremas de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.6.1 O Princípio da Limitação Uniforme (Ressonância) de
Banach–Steinhaus . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.6.2 Teoremas de Banach para a inversão de operadores lineares . 285
6.6.3 Espectro e resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.7 Modos de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.8 Cálculo operacional elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.8.1 Princípio das coordenadas de Hahn-Banach-Helly . . . . . . . . . 304
6.9 Apêndice I - Resultados Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.10 Apêndice II - Definição alternativa de integral via Teorema de
Hahn-Banach-Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.11 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7 Operadores Compactos : Teorias de Riesz-Fredholm e
Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.1 Aspectos gerais : Teoria de Riesz-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.2 Exemplos de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.3 Perturbação compacta da identidade : Teorema de Riesz-Fredholm . 317
7.3.1 Exemplos e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.4 Teoria espectral de operadores compactos autoadjuntos
(Hilbert-Schmidt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.4.2 Aspectos algébricos do espectro de um operador simétrico
e Princípio de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.4.3 Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.4.4 Tópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8 Análise Não-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.1 Introdução : Inversão, perturbação, pontos fixos, estabilidade . . . . . . 331
8.2 Teoremas de ponto fixo para operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . 332
8.3 Teoremas de Ponto Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
VIII Índice
8.4 Aproximação por linearização local : O Cálculo Diferencial em
Espaços Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.4.1 Os conceitos de derivada : Newton-Cauchy, Fréchét e
Gateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.4.2 Propriedades operacionais da derivada de Fréchét . . . . . . . . . 347
8.4.3 Teoremas Fundamentais do Cálculo de Fréchet . . . . . . . . . . . 353
8.4.4 Métodos de Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
8.5 Os Teoremas da Função Inversa e da Função Implícita : A
Perturbação Diferencial da Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
1
Espaços Métricos
1.1 Espaços Métricos : A Origem dos Conceitos de Convergência
“What is a Number that Man may Know it, and what is a Man that He
may know what a Number is ?”
(W. S. McCulloch e W. Pitts, sec. K. Pribram, 1995)
Os números naturais são aceitos no mundo civilizado moderno sem barreiras
psicológicas mais sérias, pelo menos até que os resultados da Teoria dos Números
comecem a nos espantar ! Esta familiaridade com o conceito de número natural é
resultado de um longo processo civilizatório que tem a sua origem óbvia na ne-
cessidade de contagem e de ordenação de objetos concretos e já foi detectada nas
civilizações mais antigas e primitivas. Conceitos rudimentares de número natural,
restritos apenas aos primeiros dígitos, são encontrados ainda hoje em certas tribos
indígenas e, de certa forma, até mesmo em algumas espécies animais (C. Gallistel,
The Concept of Number, MIT Press ; O. Neuberger, The Sciences in the Antiquity,
Dover).
Por outro lado, a idéia do “conjunto total” naturais N, como um objeto em si
é muito mais sutil, pois envolve a idéia de “infinito”, e ocorreu, de maneira in-
cipiente mas sistemática, somente na Filosofia e na Matemática grega, há aproxi-
madamente poucos 3000 anos atrás. O conceito de algoritmo recursivo, que é o
germe da idéia de “infinito”, traz em si o conceito de um processo “infindável” e
já pode ser explicitamente encontrado nos trabalhos de Euclides (265 a.C. - 325
a.C.), embora, certamente, ele tenha recebido influências de antigos Babilônicos e
Egípcios. Este conceito foi amplamente expandido nos escritos do famoso matemá-
tico persa/iraquiano Al-Kwarizmi (780 a.C. - 850 a.C.), de onde, a propósito, vem
o termo “algoritmo” e também o termo “álgebra” (A. P. Ershov, ed., Algorithms in
Modern Mathematics and Computer Science, Springer LNCS 122, 1981). De qual-
quer forma, o estabelecimento da idéia de infinito “potencial” como um processo
algorítmico, significou um longo salto intelectual para o conhecimento humano. A
introdução desses conceitos como parte formal da própria Matemática, todavia, teve
um longo período de germinação e somente se estabeleceu muito mais tarde, entre
2 1 Espaços Métricos
meados do século XIX e início do século XX, tendo como seu principal protagonista
o matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) (M. Segre, Peano’s Axioms in
their Historical Context, ArchHistExactSci 48 (3/4) 1994, 202-336). Uma constru-
ção algorítmico-indutiva e, portanto, “potencial”, dos números naturais foi enfati-
zada por Peano, onde cada e todo elemento de N pode ser construído utilizando-se
uma quantidade finita de etapas que envolvem apenas operações aritméticas efetua-
das a partir da base binária {0,1}.
Uma vez de posse dos números naturais, os números inteiros (relativos) e os
racionais (frações) são imediatamente obtidos por intermédio de simples conceitos
algébricos finitos (classes de equivalência) que não exigem nenhum salto intelectual
comparável ao anterior.
Entretanto, o conceito de número real traz intrinsecamente a necessidade de
processos infinitos semelhantes àquele empregado para a construção do conjunto
de números naturais : cada número real é “potencialmente construtível” e exige um
processo infinito para descrevê-lo totalmente. A representação decimal corriqueira é
apenas uma maneira convencional e sistemática de representação dos números reais
(com óbvias motivações e origens fisiológicas), mas não é a única ; qualquer seqüên-
cia racional equivalente à decimal (no sentido da “aglutinação” de Cauchy) também
é uma forma “exata” de determiná-lo. Caracterizado desta maneira, um número real
é representado por uma classe de equivalência de seqüências de Cauchy de núme-
ros racionais, que é o ingrediente “ concreto” para construí-lo (H. Thurston, The
Number System, Dover ; G. Birkhoff e S. McLane, Algebra Moderna, Vicen-Vives).
Com o conceito de número real já esclarecido por este processo, surge naturalmente
o conceito de limite, como um processo infinito e generalizado de construção de
números reais que não se prende a formas rígidas de expansão ou a um determi-
nado algoritmo, mas abre um enorme leque de possibilidades para representá-los, e
é exatamente nesta flexibilidade que reside a força do Cálculo.
O desenvolvimento da Análise em geral, e da Análise Funcional especifica-
mente, desde os meados do século XIX, está baseado (e enraizado) nos conceitos
e técnicas que foram introduzidos para o estudo dos números reais. Por esta razão,
é historica (e culturalmente) interessante indicar as pontes existentes entre a Aná-
lise Real, no seu sentido mais básico e a Análise Funcional. Este não é o local para
apresentarmos uma exposição histórica do desenvolvimento destes conceitos,mas a
leitora interessada nesta linha terá amplas referências para seguir adiante.
O conceito fundamental em todo este desenvolvimento é o de convergência (e
limite) que é, na verdade, um processo construtivo de objetos matemáticos por inter-
médio de um algoritmo infinito enumerável. Assim, os números reais são construi-
dos (definidos) por seqüências de Cauchy (“aglutinantes”) de números racionais, e
portanto, podem ser considerados como uma extensão natural destes.
Esta técnica de ampliação de um conjunto baseada no conceito de seqüências
equivalentes de elementos do conjunto base (chamado Método de Completamento
de Cauchy) é um instrumento fundamental da Matemática e será empregado em todo
o desenvolvimento da Análise Funcional para a construção de inúmeros objetos
matemáticos, tão concretos, (ou tão abstratos, como queiram) quanto os números
reais.
1.1 Espaços Métricos : A Origem dos Conceitos de Convergência 3
Em diversos livros de Análise Real, é comum atalhar esta construção histórica
e sistemática, mas trabalhosa, fazendo-se uso de uma definição axiomatizada de
propriedades sintéticas dos números reais. Um conjunto de axiomas comumente
utilizado (mas não o único) para caracterizar a estrutura do conjunto números reais
R, e que enfatiza o conceito de convergência de Cauchy, é o seguinte (J. Dieudonné,
Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960)
i) R é um Corpo comutativo (isto é, dispõe das operações de soma e produto
com as propriedades usuais e os elementos notáveis, 0 e 1),
ii) dotado de Ordem completa compatível com as operações de soma e produto
por número positivo,
iii) Arquimediano (dados x e y 6= 0, existe um n∈N tal que nx≥ y ; este axioma
introduz o conjunto N no contexto) e
iv) Completo (toda seqüência de Cauchy é convergente).
Neste conjunto de axiomas, o conceito de distância entre dois números reais, de-
finido neste caso em termos da ordem, é o ingrediente básico para a introdução do
conceito de “convergência” que comparece no axioma 4. A generalização de am-
bos os conceitos para estruturas matemáticas apropriadas resultará nos dois pilares
básicos da Análise Funcional.
Para extrairmos apenas o conceito de distância (e, portanto, de convergência) se-
paradamente da estrutura algébrica peculiar que caracteriza os números reais, (corpo
ordenado arquimediano), definiremos axiomaticamente um objeto matemático cha-
mado Espaço Métrico, isto é, um conjunto onde há uma maneira de se medir a
“distância” entre dois elementos quaisquer dele. Com isto, poderemos tratar espe-
cificamente da Teoria de Convergência independentemente de outras estruturas que
eventualmente possam ocorrer no referido conjunto. A definição de Espaço Métrico
reune os dois ingredientes básicos da Análise Funcional ; um conceito de conver-
gência e uma noção geométrica, esta última ainda em uma forma muito simples.
Este objeto matemático abstrato foi introduzido pelo famoso matemático francês
Maurice Fréchet (1878-1973) na sua tese de doutoramento, escrita sob orientação
de Henri Lebesgue (1875-1941), em 1906. Estes dois nomes aparecerão com uma
certa freqüência durante este curso.
Definição 1.1 (Espaços Métricos).
Um conjunto não vazio M e uma função d : M×M→R+ são chamados de Espaço
Métrico, e denotados por (M,d), se :
i) d(x,y)≥ 0, ∀x,y ∈M (Positiva).
ii) d(x,y) = 0⇔ x = y (Positiva Definida, separação dos pontos).
iii) d(x,y) = d(y,x),∀x,y ∈M (Simétrica).
iv) d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y),∀x,y,z ∈M (Triangularidade).
Observação 1.2. i) Um Espaço Métrico é uma dupla (conjunto e distância) e a
modificação de qualquer um dos dois ingredientes dará origem a um novo
Espaço Métrico, o que aliás, acontecerá com muita freqüência. Até que nos
acostumemos com esta idéia, iremos sempre explicitar a métrica junto com o
conjunto quando isto não for óbvio. Entretanto, progressivamente, esta atitude
4 1 Espaços Métricos
será reservada somente aos casos onde não estiver absolutamente claro do que
se trata. Em muitas situações, a métrica a ser usada é tão óbvia do contexto
subjacente, que, para evitar pedantismos, o espaço métrico será designado so-
mente pelo conjunto de seus elementos.
ii) No estudo específico de Espaços Métricos, estamos nos abstendo de consi-
derar quaisquer outras estruturas que os conjuntos bases por acaso tenham ;
apenas a estrutura métrica de convergência é assumida. Isto nos garante uma
enorme generalidade de tratamento, mas obviamente nosso interesse não ter-
mina aí. Em próximos capítulos, veremos que os principais e mais importantes
exemplos de Espaços Métricos dispoem ainda de uma estrutura algébrica na-
tural de espaços vetoriais (tal como o Rn), ou de álgebras (tal como o R2 ≈C,
números complexos consideração, permitem a obtenção de um número muito
maior de resultados. Neste capítulo, estaremos exclusivamente interessados
no estudo “puro” do conceito de convergência, independentemente de outras
considerações.
Considerando que a definição de espaço métrico visa abstrair a noção de conver-
gência do contexto dos números reais, é natural que se verifique imediatamente seR
é de fato um espaço métrico com a distância definida na forma usual. Como exercí-
cio informal, faça esta verificação e inclua também os Rn, n > 1, com a distância
euclideana
d(x,y) =
(
∑
1≤k≤n
|xk− yk|2
) 1
2
,
sem se esquecer de interpretar geometricamente cada um dos axiomas (a triangula-
ridade neste último caso é resultado da importante desigualdade de Cauchy utilizada
em Geometria Analítica ou Álgebra Linear).
Assim, como uma conseqüência natural, definiremos agora o conceito de conver-
gência em espaços métricos com base na função distância.
Definição 1.3 (Convergência em Espaços Métricos).
i) Dizemos que uma seqüência (xn)n∈N ⊂M converge para um ponto x ∈M se
lim
n→∞d(xn,x) = 0.
Neste caso, escrevemos limn→∞ xn = x, e também xn→ x.
ii) Dizemos que uma seqüência (xn)n∈N ⊂M é de Cauchy, se
lim
n,m→∞d(xm,xn) = 0.
Observação 1.4. Os limites de distâncias da definição de convergência se referem a
seqüências de números reais e, portanto, são perfeitamente definidos no contexto do
Cálculo Clássico.
Exercício - Unicidade do Limite :
1.1 Espaços Métricos : A Origem dos Conceitos de Convergência 5
1.1. Mostre que se o limite de uma seqüência existe, ele deve ser único.
O conceito de convergência é a razão final para a definição das estruturas de
espaços métricos. Portanto, como acabamos de ver pela definição (e isto se tornará
progressivamente mais claro com os exemplos que surgirão), a convergência de uma
seqüência só terá sentido se estiver estabelecido (explicita ou implicitamente) em
que métrica ela se dá. Ou seja, a escolha da métrica determina quais seqüências
serão convergentes, os seus limites, e quais não serão.
Por outro lado, um mesmo conceito de convergência pode ser descrito por di-
versas estruturas métricas. Isto significa que podemos ter duas métricas numerica-
mente diferentes em um mesmo conjunto mas que determinam as mesmas situações
de convergência. A possibilidade de descrever um mesmo processo de convergência
por meio de múltiplas métricas é uma flexibilidade conceitual que será de grande
utilidade em diversas circunstâncias.
É interessante observar que a própria reta pode ser “metrificada” de várias ma-
neiras distintas que, ainda assim, caracterizam as mesmas seqüências convergentes
(e respectivos limites) que aquelas determinadas pela métrica usual, d(x,y) = |x−y|.
Os exercícios abaixo ilustram esta possibilidade com exemplos que no futuro nos
farão apreciar a importância desta flexibilidade.
Exercícios - Variedade de Métricas :
1.2. Considere uma função real f : R+→ R+ tal que :
i) f (x)≥ 0, e f (x) = 0⇐⇒ x = 0 (positiva definida).
ii) f (a)≤ f (a+b)≤ f (a)+ f (b), ∀a,b ∈ R+ (não decrescente e sub-aditiva).
Mostre que
a) f (x) =C
x
1+ x
, C > 0,
b) f (x) = ln(1+ x), e
c) f (x)=
√
x
satisfazem estas propriedades.
1.3. Mostre que
a) d(x,y) = f (|x−y|) é uma métrica emR quando f é uma função como no exercí-
cio 1.2.
b) se (M,d) for um espaço métrico e ϕ : S←→M uma função bijetora, então po-
demos definir uma métrica dϕ no conjunto S (que podemos dizer que é induzida
por (M,d) e ϕ), da seguinte forma :
dϕ(x,y) = d (ϕ(x),ϕ(y)) .
6 1 Espaços Métricos
Observe que a utilização da função f (x) =C x1+x nos leva a uma métrica que faz
da reta real um espaço métrico limitado, ou seja, todos os pontos estão a uma dis-
tância finita da origem, o que, a princípio, é um contrasenso. Entretanto, lembre-se
de que o papel da métrica não é descrever geometrias rígidas, mas convergências, e
estas são determinadas a pequenas distâncias, ou seja, a modificação apenas dos va-
lores para “grandes” distâncias em uma métrica não afeta o processo de convergên-
cia que se dá apenas “no frigir final dos ovos” ! Observe ainda que para x próximo
de zero, o gráfico das funções f (x) do exercícios 1.2, a) e b) acima, se comportam
como uma reta que passa pela origem, ou seja, como uma proporção. Nestes casos,
há uma certa proporcionalidade local entre as taxas de convergência das duas mé-
tricas e delas com a canônica. O mesmo não se dá entre a métrica do exercício 1.2c)
e as outras
Definição 1.5 (Equivalência (Uniforme) entre Métricas).
Duas métricas d1 e d2 são ditas (uniformemente) equivalentes quando existirem
duas constantes positivas α > 0 e β > 0 tais que αd1(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ βd1(x,y),
∀x,y (ou, que α ≤ d2(x,y)d1(x,y) ≤ β para quaisquer x 6= y).
Na literatura matemática diz-se, neste caso, que as duas métricas são “equiva-
lentes”. Este termo na sua forma simples e usual não é muito feliz porque se o
papel das métricas é caracterizar convergências, duas métricas deveriam ser “equi-
valentes” se cumprissem o seus objetivos da mesma forma, ou seja, se caracteri-
zassem as mesmas convergências e respectivos limites. Certamente, se forem uni-
formemente equivalentes, elas determinarão as mesmas convergências (Exercício
1.4). Entretanto, a exigência de que α e β sejam constantes e as desigualdades um
requisito muito forte para isso, não há necessidade de tanto ! Para entender esta ob-
servação, basta analisar a relação entre a métrica canônica (usual) d(x,y) e a métrica
d0(x,y) = f (|x−y|), para f (ξ ) = ξ1+ξ : elas discriminam exatamente as mesmas se-
qüências convergentes, mas não são uniformemente equivalentes (Exercício 1.4b)).
Em particular, para que caracterizem as mesmas seqüências convergentes, bastaria
que a desigualdade αd1(x,y)≤ d2(x,y)≤ βd1(x,y) fosse válida apenas localmente,
ou seja, para “pequenas distâncias”, embora nem mesmo isso de fato seja necessá-
rio, como se poderá ver no Exercício 1.5.
Um conceito mais apropriado no que diz respeito estritamente à convergência,
sem preocupações métricas, é o da equivalência topológica :
Definição 1.6 (Equivalência Topológica entre Métricas).
Diremos que duas métricas são topologicamente equivalentes se qualquer seqüên-
cia que convirja pelo critério de uma delas, também convirja pelo critério da outra,
e para o mesmo limite.
Exercícios :
1.4. Mostre que
a) se duas métricas são uniformemente equivalentes, então os seus Espaços Métri-
cos ou são simultaneamente limitados, ou não o são !
1.1 Espaços Métricos : A Origem dos Conceitos de Convergência 7
b) se duas métricas são uniformemente equivalentes, então elas são topologica-
mente equivalentes.
1.5. a) Mostre que a métrica usual da reta real é topologicamente equivalente à
métrica dr(x,y) =
√|x− y|, mas que elas não são métricas uniformemente equi-
valentes. Sugestão : Observe que√
|x|
|x| → ∞ quando x→ 0, e
√
|x|
|x| → 0 quando x→ ∞.
b) Um exemplo histórico, e geometricamente importante, das vantagens prove-
nientes de uma multiplicidade de metrificações, é fornecido pelo Exercício
1.3b), intermédio da projeção estereográfica de Riemann, que identifica a es-
fera unitária (menos seu polo norte) e o plano R2. Moste que nesta metrificação
há seqüências de Cauchy no plano que não convergem e determine quais são
elas !
Mais tarde veremos que o completamento do plano nesta métrica nos levará à
introdução do ponto ∞. Para uma discussão de notável clareza sobre a projeção este-
reográfica no plano complexo consulte o primeiro capítulo do clássico : L. Ahlfors,
Complex Analysis, McGraw-Hill, 1957. É interessante observar neste exemplo de
forte apelo geométrico, como as duas métricas caracterizam o mesmo conjunto de
seqüências convergentes, mas também que não pode haver equivalência (uniforme)
entre as duas métricas uma vez que as taxas de convergência se tornam progressi-
vamente mais díspares conforme o ponto limite (no plano) esteja mais distante da
origem. Medite sobre isto enquanto fizer um esboço geométrico da situação.
A esta altura passaremos a caracterizar algumas dentre as propriedades funda-
mentais de convergência que são inerentes à reta real e defini-las como conceitos
(“desejáveis”, talvez, mas nem sempre alcançáveis) para os Espaços Métricos em
geral.
Definição 1.7 (Princípio de Cauchy).
Um espaço métrico (M,d) é dito completo se todas as seqüências de Cauchy em M
têm limite em M (atente para o final da frase, “em M ”.)
Este conceito poderia ser metaforicamente descrito da seguinte maneira : “Um
espaço métrico completo não tem buracos, isto é, toda seqüência aglutinante
converge necessariamente para um determinado ponto”. É claro que esta é uma das
propriedades mais básicas da reta real, tanto que ela comparece como um dos axio-
mas no sistema acima apresentado. Observe, todavia, que esta não é uma proprie-
dade dos números racionais com a métrica usual, embora eles satisfaçam a todos os
outros axiomas (a propósito, isto mostra que este axioma é independente dos ou-
tros, ou seja, que apresenta informação que não pode ser deduzida do restante dos
axiomas).
O Princípio de Cauchy para a reta real foi formulado pelo prolífico matemático
francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) em suas famosas notas para um curso
de Cálculo ( !) que ele lecionava aos estudantes de engenharia na famosa école Po-
lytechnique de Paris (“Cours d ’Analyse”). Isto, até que seus alunos se rebelaram
8 1 Espaços Métricos
contra a sua “didática” ! Estes livros, que tiveram ampla circulação mundial (eu-
ropéia), tornando-se um marco da literatura matemática e estabeleceram os funda-
mentos rigorosos da análise moderna (Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s
Rigorous Calculus, Dover 2005).
É interessante observar que os analistas, principalmente, dos séculos XVIII e
XIX, encaravam os números reais “experimentalmente”, ou, “fenomenologicamen-
te”, tal como os Físicos encaram seus objetos de estudo, baseando-se em “Princí-
pios”, ou “leis”. Para eles, a reta real era tida como um objeto físico a ser tes-
tada, cujas propriedades seriam regulamentadas por “ leis” descobertas a partir de
testes e generalização. O método axiomático, que pode eliminar completamente esta
confusão, já havia sido introduzido por Euclides há séculos ( !), mas somente voltou
a ser efetivamente incorporado à Matemática muito mais tarde e, em grande parte
por obra de David Hilbert. Dentre muitas outras “leis”, ou “Princípios”, “descober-
tos” pelos matemáticos (místicos e filósofos) do século XIX, o seguinte Princípio
de Bolzano tem um significado especial para os nossos propósitos : “Qualquer se-
qüência limitada de números reais tem pelo menos um ponto de acumulação”. Este
“princípio” foi formulado inicialmente pelo padre e matemático tcheco Bernhard J.
P. Bolzano (1781-1848) em um livro publicado em Praga em 1817, onde ele também
se antecipa a A. L. Cauchy por uns 4 anos, ao estabelecer pela primeira vez a defi-
nição moderna de continuidade (M.Kline, ... ?). A demonstração deste “ Princípio”
em textos clássicos de Análise Real parte dos axiomas acimaelencados e utiliza
inicialmente uma estratégia algorítmica de bipartição chamada método de “encan-
toamento do leão”, terminando com a aplicação do (axioma) Princípio de Cauchy
para o golpe final de misericórdia (veja o Apêndice (seção 1.6) e, principalmente R.
Courant, Cálculo Diferencial e Integral, vol. I, Editora Globo, Porto Alegre, 1965).
É importante observar que, se os números reais são axiomatizados pelo sistema
apresentado acima (que escolhe o princípio de Cauchy como axioma), o princípio
de Bolzano será um TEOREMA. Entretanto, se o escolhermos como um axioma,
(no caso, chamado de Princípio de Bolzano-Weierstrass), em lugar do Princípio de
Cauchy, poderemos demonstrar este último como TEOREMA. Isto mostra que, no
contexto específico dos números reais, eles são conceitos equivalentes.
Weierstrass, que desenvolveu a análise real na sua forma mais rigorosa ao seu
tempo, teve o seu nome associado a um outro “princípio” (”Todo conjunto superior-
mente limitado na reta admite supremo”), diferente, mas facilmente demonstrável
como equivalente ao de Bolzano no contexto da análise real. Entretanto, esta formu-
lação de Weierstrass faz uso do conceito peculiar de ordem dos números reais, o que
a torna inadequada para generalizações para espaços métricos gerais, ao contrario
da formulação de Bolzano que utiliza apenas o conceito de distância. Esta é a razão
porque este último é utilizado nas abstrações enquanto que a superior autoridade
matemática de Weierstrass é a razão porque seu nome está forçosamente associado
a ambos.
Um ponto de acumulação não é necessariamente um limite da seqüência, mas
é sempre possivel extrair dela uma subseqüência que converge para este ponto.
(Mostre isto como exercício de recordação). Observe que uma seqüência pode ter
vários (até infinitos) pontos de acumulação.
1.1 Espaços Métricos : A Origem dos Conceitos de Convergência 9
Retornaremos então à formulação original do Princípio de Bolzano-Weierstrass
que será mais interessante para os nossos futuros propósitos, já que utiliza ape-
nas o conceito de proximidade e não de ordem : “Qualquer seqüência de números
reais contida em um conjunto limitado e fechado tem ponto de acumulação neste
conjunto”. Como as conseqüências do Princípio de Bolzano-Weierstrass em Aná-
lise Clássica são extremamente importantes, o nosso ponto de vista será no sentido
de enfatizar os subconjuntos que satisfazem esta propriedade, atribuindo-lhes um
nome sonoro e notável. Na reta real eles são simplesmente os fechados e limitados.
O Princípio de Bolzano-Weierstrass poderia ser metaforicamente enunciado como :
“Conjuntos limitados e fechados na reta não têm espaço suficiente para isolarmos
todos seus elementos de um conjunto infinito”, razão porque o termo “compacto” é
justificado para nomeá-los.
Assim, em um Espaço Métrico geral M, os seus subconjuntos para os quais vale
o Princípio de Bolzano-Weierstrass serão denominados de “compactos” e cumprem
um papel de extrema importância no estudo de processos de convergência.
Definição 1.8 (Conjuntos compactos, Princípio de Bolzano-Weierstrass).
Dizemos que um conjunto K ⊂M é compacto se todas as seqüências {xn}n∈N ⊂ K
tem pelo menos um ponto de acumulação no conjunto K. Em particular, dizemos
que um espaço métrico é compacto se todas as seqüência de seus elementos têm
pelo menos um ponto de acumulação, neste espaço, claro.
Os conceitos de COMPLETUDE (Cauchy) e de COMPACIDADE (Bolzano-
Weierstrass) são os dois pilares fundamentais do Cálculo Clássico (onde estão pre-
sentes por serem inerentes à estrutura métrica natural dos números reais) e, a partir
dos quais, demonstram-se os principais resultados do Cálculo. Já no contexto abs-
trato de espaços métricos, a sua validade pode ou não ocorrer, mas os casos posi-
tivos, isto é, Espaços Completos e/ou Compactos, desempenharão um papel funda-
mental no desenvolvimento da Análise Funcional.
A seguir apresentaremos alguns exemplos de espaços métricos que, pela sua
diversidade, mostrarão a versatilidade desta estrutura.
Exercícios - Exemplos de Espaços Métricos :
Mostre que, de fato, os exemplos abaixo são o que se diz deles (Espaços Métricos)
começando por verificar em cada caso que a definição é “boa”, ou seja , que a
distância entre dois elementos quaisquer do conjunto em questão pode de fato ser
calculada.
1.6. M = Rn, d1(x,y) = ∑1≤k≤n |xk − yk|, denominada métrica d1, ou métrica do
taxista.
Observação 1.9. Observe que o conjunto Rn pode ser interpretado, em particu-
lar, como um conjunto de funções de valores reais e definidas no conjunto finito
{1,2, .....n}.
1.7. M = Rn, dα1(x,y) = ∑1≤k≤nωk|xk− yk|, onde (ωk) é uma n−upla de números
reais positivos, chamada ponderação. Medite sobre o seu significado geométrico.
10 1 Espaços Métricos
1.8. M = Rn, d2(x,y) =
(
∑1≤k≤n |xk− yk|2
) 1
2 , (métrica d2 usual, dita Euclideana).
1.9. M = Rn, dp(x,y) =
(
∑1≤k≤n |xk− yk|p
) 1
p , (métrica dp, onde p≥ 1).
1.10. M = Rn, d∞(x,y) = ma´x1≤k≤n|xk− yk|. Mostre o motivo pelo qual é razoável
denominar esta métrica de d∞ comparando-a com as dp anteriores.
1.11. M = Rn, d∞(x,y) = ma´x1≤k≤n{ωk|xk− yk|}, ωk > 0.
1.12. M =C0 ([0,1],Rn) = conjunto das funções contínuas definidas em [0,1] com
valores em Rn, d∞( f ,g) = ma´xx∈[0,1]|| f (x)−g(x)||.
Observação 1.10. A notação d∞ para os dois exemplos distintos acima têm sua razão
de ser (medite sobre isto !), e não devem ser motivos de confusão, uma vez que se
referem a diferentes conjuntos. O mesmo vale para os exemplos abaixo.
1.13. M =C0 ([0,1],Rn) = conjunto das funções contínuas definidas em [0,1] com
valores em Rn, d1( f ,g) =
∫
[0,1] || f (x)−g(x)||dx.
1.14. M =C0 ([0,1],Rn) = conjunto das funções contínuas definidas em [0,1] com
valores em Rn, d1ω( f ,g) =
∫
[0,1] || f (x)−g(x)||ω(x) dx, onde ω é uma função contí-
nua positiva definida em [0,1], isto é, ω(x)> 0,∀x ∈ [0,1], chamada ponderação, ou
função de peso.
1.15. M = PN(C) = conjunto dos polinômios de coeficientes complexos de grau
≤ N, d(p,q) = ∑0≤k≤N |p(xk)−q(xk)| , onde x0 < x1 < ... < xN ∈ R estão fixos
1.16. M = Ck ([0,1],Rn) = conjunto das funções definidas e com derivadas contí-
nuas até pelo menos a ordem k (k ≥ 1) em [0,1],
dk,∞( f ,g) = ∑
0≤ j≤k
d∞( f ( j),g( j)) = ∑
0≤ j≤k
ma´x[0,1]|| f ( j)(x)−g( j)(x)||.
1.17. M = Ck ([0,1],Rn) = conjunto das funções definidas e com derivadas contí-
nuas até pelo menos a ordem k (k ≥ 1) em [0,1],
dk,1( f ,g) = ∑
0≤ j≤k
∫
[0,1]
|| f ( j)(x)−g( j)(x)||dx.
1.18. M = Ck ([0,1],Rn) = conjunto das funções definidas e com derivadas contí-
nuas até pelo menos a ordem k (k ≥ 1) em [0,1],
dk,2( f ,g) = ∑
0≤ j≤k
(∫
[0,1]
|| f ( j)(x)−g( j)(x)||2dx
) 1
2
.
1.1 Espaços Métricos : A Origem dos Conceitos de Convergência 11
1.19. M =C0ω ([0,∞],R) = conjunto das funções contínuas definidas em [0,∞] com
valores em R cuja integral de Riemann imprópria
∫
[0,∞] | f (x)|e−xdx é finita,
d1( f ,g) =
∫
[0,∞]
| f (x)−g(x)|e−xdx, ω(x) = e−x.
Se fλ (x) = xλ , λ ∈ R+, mostre que f ∈M e calcule dω ( f0, f2).
Observação 1.11. Vários exemplos acima podem ser reconsiderados substituindo-
se R por C= Conjunto dos Números Complexos.
1.20. M = S1(C) = conjunto das funções z : N→ C, i.e., seqüências de números
complexos z = (zn), que são absolutamente somáveis : ∑1≤k |zk|< ∞,
d(x,y) = ∑
1≤k
|xk− yk|.
1.21. M = S1ω(C) = conjunto das funções z : N → Cn, i.e., seqüências de ve-
tores complexos z = (zk), que são absolutamente ω-somáveis : ∑1≤kω (‖zk‖)< ∞,
dω(x,y) =∑1≤k ω (‖zk‖), onde ω é uma função tal como as definidas pelos Exercí-
cios 1.2a), 1.2b), 1.2c) e 1.3.
1.22. M = S2(C) = conjunto das funções z : N→ C, i.e., seqüências de números
complexos z = (zn), que são quadrado somáveis, isto é, ∑1≤k |zk|2 < ∞, d(x,y) =(
∑1≤k |xk− yk|2
) 1
2 .
1.23. M = SB(C) = conjunto das funções z : N→ C limitadas, d(x,y) = ∑1≤k 2−k|xk− yk|.
1.24. M =B(A,Rn) = conjunto das funções limitadas definidas em um conjunto não
vazio A com valores em Rn, d∞( f ,g) = ma´xa∈A | f (a)−g(a) |.
Observação 1.12. Observe que dizer : “ f e g estão próximas segundo a métrica d∞”
é equivalente a dizer que estão uniformemente próximas, ou seja, que os valores
|| f (a)−g(a) || são simultaneamente pequenos para todos os a ∈ A.
1.25. Mostre que no espaço (do exercício 1.22) M= S2(C), com d(x,y)=
(
∑1≤k | xk− yk |2
) 1
2 ,
um conjunto limitado e fechado (como a bola unitária fechada) não necessariamente
é compacto, ao contrário do que ocorre em Rn, pois a seqüência {ek}1≤k (onde
ek
(
j) = δk j
)
não admite subseqüência com limite. (δk j = 0 se k 6= j e δkk = 1,
∀k, j ∈ N, é o famoso delta de Kronecker !). Ora, isto significa que em espaços de
dimensão infinita, como neste caso, “há muito espaço para o leão se esconder !”.
12 1 Espaços Métricos
1.2 Linguagem e Conceitos Básicos de Espaços Métricos
sec. Jacques Monod : “Em ciência há aqueles que dão valor à idéias
e aqueles que dão valor à forma e muita luta ocorre entre eles, enquanto
vivos. Sinto muito pelos últimos, porque apesar de seu enorme esforço,
somente os primeiros serão lembrados após um futuro próximo”.
sec. V. Braitenberg : “Focalize-se no ‘software’, isto é, nas idéias, utilize
o ‘hardware’, a forma, lembrando-se sempre que este passa e se vai, apenas
o primeiro permanece”.
Enunciaremos abaixo algumas definições em Espaços Métricos que já devem
ser conhecidas das leitoras cada uma tomará mais ou menos tempo para se familia-
rizar com a linguagem dependendo de sua experiência anterior. De qualquer forma,
uma boa familiaridade com os conceitos e definições abaixo não poderá ser adiada
já que usaremos os mesmos intensiva e continuamente e sem maiores explicações
em tudo que se segue. Por outro lado, é importante e necessário alertar às leitoras
que a linguagem e o formalismo matemático são apenas um meio e não um fim
em si mesmos, e que seu conhecimento não traz substância matemática, embora
seja indispensável para adquirí-la. Este alerta se justifica pelo frequente equívoco
em se dedicar um excessivo esforço e tempo nas firulas de linguagem matemática,
isto é, no formalismo, em detrimento das idéias que são, afinal, a sua substância
“concreta". Nas definições a seguir, (M,d) é um espaço métrico.
- Uma Bola Aberta de raio r e centro em x é o conjunto denotado por B(x,r) e
definido naturalmente por B(x,r) = {y ∈M : d(x,y)< r}.
- Uma Bola Fechada de raio r e centro em x é o conjunto denotado por B(x,r) e
definido naturalmente por B(x,r) = {y ∈M : d(x,y)≤ r}.
- Um subconjunto C de M é dito limitado se existir uma bola B(x,r), tal que C ⊂
B(x,r).
- O conjunto dos pontos de aderência de um conjunto C ⊂ M é denotado por C,
chamado de fecho de C, e definido por C = {x ∈ M : para todo r > 0, existe um
elemento de C em B(x,r). Observe que, mesmo se isolados, os próprios elementos
de C são aderentes a ele, por esta definição.
- A fronteira de um conjunto A, que se denota por ∂A, é definida como ∂A = {x ∈
M : ∀r > 0,B(x,r)∩A 6= /0, eB(x,r)∩Ac 6= /0}.
- Dizemos que ξ é um ponto de acumulação de um conjunto C se para todo r > 0,
existe um elemento y 6= ξ de C em B(ξ ,r), ou seja, se existe um número infinito de
pontos de C em B(ξ ,r) (verifique).
- Um ponto ξ ∈ M é dito ponto de acumulação de uma sequencia (xk) ⊂ M se
para toda bola B(ξ ,r), existe um número infinito de índices k cujos valores xk da se-
quencia estão nesta bola, xk ∈ B(ξ ,r). Observe a diferença simples, mas sutil, entre
1.2 Linguagem e Conceitos Básicos de Espaços Métricos 13
os conceitos de ponto de aderência e de acumulação e entre pontos de acumulação
de conjuntos e de sequencias.
- Um conjunto F é dito fechado se contem todos os seus pontos de aderência, isto
é, se F = F .
- Um conjunto A é dito aberto se para todo x ∈ A, existe uma bola B(x,r)⊂ A.
Medite (e faça esboços figurativos) sobre as interpretações geométricas destes
conceitos, o que lhe esclarecerá completamente a motivação do formalismo.
Exercícios - Linguagem e Conceitos Básicos
Mostre que :
1.26. Um conjunto F é fechado se e somente se contem todos os seus pontos de
acumulação.
1.27. Uma bola aberta é um conjunto aberto e uma bola fechada é um conjunto
fechado ( !).
1.28. O complementar de um conjunto fechado é aberto, isto é, se F for fechado,
então Fc = {x;x /∈ F} é aberto, e que o complementar de um conjunto aberto é
fechado.
1.29. Todo ponto de aderência ξ de um conjunto C pode ser aproximado como limite
de uma seq´uência de pontos de C, isto é, existe uma seqüência (xk) em C, tal que
d(xk,ξ )→ 0.
1.30. Se K for um Espaço Métrico Compacto, então toda seqüência (xn)⊂K admite
uma subseqüência convergente em K, isto é, existe uma subseqüência (xnp) e um
elemento x ∈ K, tal que
xnp → x para p→ ∞.
(Observe que, de acordo como o conceito de subseqüência, np deve ser crescente
com p e np→ ∞ quando p→ ∞).
- Um conjunto A ⊂ M é dito denso em outro conjunto B ⊂ M, se B ⊂ A, ou seja,
se B está no fecho de A, ou ainda, se todos os pontos de B podem ser aproximados
por pontos de A. Em particular, um conjunto C⊂M é dito denso no espaço métrico
M, se todos os pontos de M podem ser aproximados por pontos de C. Um exemplo
claro disto é o conjunto dos números racionais, que é denso na reta real.
- Um espaço métrico é dito separável se existe um conjunto enumerável denso
nele. A reta real e os Rn são separáveis, por conta dos números racionais, que são
enumeráveis, de acordo com Georg Cantor. A vasta maioria dos espaços que serão
tratados neste curso será de espaços separáveis, uma propriedade, em geral, herdada
dos números reais, e indispensável para a definição algorítmica de diversos proces-
sos. Uma notável exceção é o espaço (não-separável) de Bohr (Harald Bohr) das
funções quase-periódicas, a ser apresentado oportunamente.
14 1 Espaços Métricos
A noção de continuidade tem um papel fundamental na análise real clássica e a
forma mais intuitiva de caracterizá-la em um curso inicial de Cálculo certamente se-
ria tomar o injustamente “apagado” Teorema de Rolle (ou do “Valor Intermediário")
como sua definição (“Se uma função f : R→ R for contínua, então para quaisquer
a≤ b e y0 intermediário entre os valores da função, por exemplo, f (a)≤ y0 ≤ f (b)
(ou f (b)≤ y0 ≤ f (a)), existe x0 intermediário, a≤ x0 ≤ b, tal que f (x0) = y0”).
Esta definição não escandalizaria nem o menos intuitivo ou desavisado dos alu-
nos, ao contrário dos “ε’s e δ ’s” de Cauchy, que não raro causam danos psicológi-
cos irreparáveis, dos quais mesmo matemáticos maduros não conseguem se livrar !
Infelizmente a caracterização de Rolle é fortemente dependente do conceito de or-
dem dos números reais e, portanto, impossível de ser generalizada até mesmo para
funções de duas variáveis. Por outro lado, não há dúvidas que a caracterização de
“continuidade" de Cauchy é expressa em uma forma conveniente para a generaliza-
ção em situações em que a ordem dos números reais não está disponível. Mas, na
verdade, a definição de Cauchy não traduz o conceito intuitivo de continuidade tão
bem quanto Rolle, mas sim o conceito de “estabilidade". Como este termo (“estabi-
lidade") não tinha ainda uso corrente na matemática dos séculos XVIII-XIX, pois,
somente se tornou “vulgar" depois da Mecanique Celeste de Poincaré (c. 1900),
e a caracterização de Cauchy implicava na caracterização de Rolle, a “patente do
termo" acabou ficando com o próprio Cauchy. Entretanto, observe que o conceito
de “continuidade de Cauchy" é mais forte, ou seja, mais restritivo do que o de Rolle.
Basta analisar a seguinte função Rolle-contínua mas que é Cauchy-descontínua :
f (x) = sen 1x , x 6= 0, f (0) = 0 (verifique).
Definiremos abaixo o conceito de continuidade de três maneiras equivalentes
mas distintas quanto aos seus pontos de vista. Iniciaremos na formaseqüêncial que
é a mais apropriada sob o ponto de vista construtivo, e algorítmico, passando em
seguida para a forma métrica, segundo Cauchy, que enfatiza a ideia de “estabili-
dade" e, finalmente, apresentaremos a definição “topologicamente correta", que faz
uso unicamente do conceito de conjunto aberto e independe de métricas. Convida-
mos às leitoras que demonstrem esta equivalência como exercício.
Definição 1.13 (Continuidade - Definição Seqüêncial).
Uma função f entre dois espaços métricos (M1,d1) e (M2,d2), f : M1→M2, é dita
contínua no ponto x ∈ M1 se para toda seqüência xk → x, temos f (xk)→ f (x).
Uma função f : M1→M2 é dita (simplesmente) contínua, ou contínua em M1, se
for contínua em todos os pontos de M1.
Definição 1.14 (Continuidade - Definição Métrica de Cauchy, “Estabilidade”).
Uma função f entre dois espaços métricos (M1,d1) e (M2,d2), f : M1→M2, é dita
contínua no ponto x ∈M1 se ∀ε > 0, ∃δ > 0, tal que f (B(x,δ ))⊂ B( f (x),ε). Uma
função f : M1 → M2 é dita (simplesmente) contínua, ou contínua em M1, se for
contínua em todos os pontos de M1.
Definição 1.15 (Continuidade - Definição Topologicamente Correta).
1.2 Linguagem e Conceitos Básicos de Espaços Métricos 15
Uma função f : M1 → M2 é dita (simplesmente) contínua, ou contínua em M1,
se dado qualquer conjunto aberto U ⊂ M2, a sua imagem inversa pela função f ,
f−1(U) = {x ∈M1; f (x) ∈U}, é aberta em M1.
Exercícios
1.31. Mostre que as definições acima são equivalentes e interprete o conceito de
“estabilidade" ou de “sensitividade" expressa na formulação de Cauchy.
1.32. Mostre que a função ϕ : M→ R+, definida por ϕ(x) = d(x0,x), para um x0
fixo qualquer, é uma função contínua.
1.33. Mostre que todo conjunto compacto é limitado. Mostre que a implicação in-
versa não é válida fazendo uso de um (contra) exemplo.
1.34. Mostre que todo conjunto compacto é fechado. Mostre que a implicação in-
versa não é válida fazendo uso de um (contra) exemplo.
1.35. Mostre que todo espaço métrico compacto é completo, mas que a implicação
inversa não é válida fazendo uso de um (contra) exemplo.
1.36. Mostre que um subconjunto fechado de um conjunto compacto também é
compacto.
Na definição seqüêncial de continuidade, não há qualquer menção sobre a ve-
locidade de aproximação dos valores funcionais para o seu limite ( f (xk)→ f (x0)),
em comparação com a aproximação dos valores da variável (xk→ x0). Esta relação
pode variar muito dependendo do ponto x0 em questão. Veja por exemplo o caso
da função f : R+→ R, f (x) = 1x , cujos valores f (x) se aproximam “rapidamente"
de valores f (x0) = 1x0 , para pontos x0 ≈ 0, enquanto apresentam uma progressiva
“lerdeza" na aproximação quando x0 ≈∞. Obviamente, tratando-se da aproximação
de funções contínuas para seus valores, esta questão está imediatamente conectada à
“variabilidade" da função nas imediações do ponto limite, e, se houver, ao valor de
sua derivada. O estudo quantitativo e funcional da “velocidade de aproximação" de
funções para seus limites (finitos ou infinitos) é o tema central da chamada Análise
Assintótica (N. de Bruijn, Asymptotic Analysis, Dover ; R. Courant, “Cálculo"), que
tem uma importância central no estudo do comportamento de modelos matemáticos,
e em Matemática, em geral. Este assunto será tratado com exemplos mais adiante.
Entretanto, no momento estaremos interessados em distinguir qualitativamente
aquelas situações em que esta “velocidade de aproximação" não tenha discrepân-
cias extremadas ao longo do espaço, ou seja, que apresente uma uniformidade neste
sentido. O conceito de continuidade uniforme será apresentado na definição a se-
guir por intermé dio de uma linguagem mais "topológica", que, neste caso, é mais
conveniente.
16 1 Espaços Métricos
Definição 1.16 (Continuidade Uniforme).
Uma função f : M1→M2 é dita uniformemente contínua em M1, se ∀ε > 0, ∃δε >
0, tal que f (B(x,δε))⊂ B( f (x),ε), ∀x ∈M1.
Se a caracterização seqüencial de continuidade é dada pelo critério de transfor-
mar seqüências convergentes em seqüências convergentes, a caracterização seqüen-
cial de continuidade uniforme é, parcialmente, dada pelo seguinte :
Teorema 1.17 (Caracterização seqüêncial de continuidade uniforme).
Se a função f : M1→M2 for uniformemente contínua, então ela leva seqüências de
Cauchy em M1 em seqüências de Cauchy em M2.
Exercícios :
1.37. Demonstre o Teorema acima e mostre que não vale a volta. (Se M1 for com-
pleto, as seqüencias de Cauchy e as convergentes são as mesmas e, neste caso, basta
que f seja contínua para que leve seqüências de Cauchy em seqüências de Cauchy !).
1.38. Mostre que a função (Operação Funcional)
Φ :
(
M =C0 ([0,1],R) ,d∞
)→ (S = { f ∈C1 ([0,1],R) ; f (0) = 0} ,d∞)
definida pela integral
Φ ( f )(x) =
x∫
0
f (s)ds
é contínua, uniformemente contínua, tem uma inversa Φ−1 : S→ M que, todavia,
não é contínua. Observação : Este exercício é fundamental e deve ser estudado com
detalhes.
Observações : As caracterizações topologicamente corretas, cuja linguagem se ba-
seia somente nas propriedades dos conjuntos abertos, ampliam a generalização e a
abstração do conceito de convergência para um contexto que prescinde completa-
mente da existência de uma métrica. Esta abordagem, embora tenha significado im-
portante no desenvolvimento moderno da Matemática, o seu impacto nas aplicações
se faz quase que somente por intermédio da linguagem, em vários casos, de fato, a
mais conveniente, mas muito pouco pelos seus resultados específicos.
A estrutura de espaço métrico permite que tratemos do conceito de convergên-
cia de uma maneira muito próxima à utilizada no estudo dos números reais ; isto é,
basicamente por meio de seqüências, que são processos enumeráveis e algoritmizá-
veis. Entretanto, observou-se que seria possível estender o conceito de convergên-
cia e continuidade para contextos em que o processo de convergencia poderia ser
realizado de maneira eventualmente não-enumerável, algo um pouco fora de uma
mentalidade algoritmico-construtiva da Matemática Aplicada e Construtiva.
1.2 Linguagem e Conceitos Básicos de Espaços Métricos 17
Estas estruturas mais gerais (introduzidas também por Fréchet) são denomina-
das de Topológicas e fazem uso apenas do conceito de conjunto aberto. Não nos
deteremos em definí-las aqui em todas as situações, mas em oportunidades conve-
nientes apresentaremos a versão topológica apropriada. Esta atitude tem por finali-
dade mostrar uma ponte entre a duas abordagens e permitir que as técnicas da Topo-
logia fiquem também disponíveis para o caso em que se mostrarem úteis. Entretanto,
procuraremos sempre que razoável optar por abordagens seqüênciais, enumeráveis
e algorítmicas.
É importante observar que em espaços topológicos, o conceito de convergên-
cia é caracterizado por intermédio de conjuntos abertos genéricos e o sistema de
verificação de convergência pode constar de uma família não enumerável destes,
ao contrário dos espaços métricos em que basta utilizar a “ base ” enumerável
{B(x, 1n ), n ∈ N} para cada ponto x. Portanto, definições seqüênciais em espaços
topológicos podem descrever conceitos distintos daqueles expressos por meio de
uma família não-numerável de abertos. Por exemplo, o conceito de ponto aderente
de um conjunto em um espaço topológico, se definido seqüencialmente pode ser
diferente do conceito definido por meio da base de abertos. O mesmo acontece com
o conceito de compacidade. Mas estas distinções não serão importantes para o que
se segue uma vez que trataremos apenas de espaços métricos.
Uma excelente referência para o estudo da Topologia, naquilo que interessa à
Análise, escrito por um dos principais matemáticos do século XX, e também um
grande professor (um acoplamento mais comum do que o sugerido por figuras me-
nos importantes), é a referência
A. N. Kolmogorov e S. V. Fomin, Elementos de la Teoria de Funciones y
del AnalisisFuncional, ed. MIR, 1972.
(Há uma tradução em inglês com o título “Introduction to Real Analysis” em edição
brochura e barata pela editora Dover).
O desenvolvimento inicial da Análise Funcional via conceitos topológicos deve
muito à escola matemática polonesa, grande parte dela eliminada durante a II Guerra
Mundial, a começar por S. Banach, e a sua disseminação pós II Guerra à escola
Bourbakista, que exerceu muita influência no Brasil. Uma abordagem nitidamente
topológica é encontrada por exemplo no texto de Brézis, excelente dentro de seus
próprios termos :
H. Brézis, Analyse Fonctionelle , Masson, 1987.
Surpreendentemente, o mesmo acontece em um famoso e também excelente texto
que se diz escrito especificamente para os físicos,
M. Reed e B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vol. I - Functional
Analysis, Academic Press, 1972,
por razões que eles lá devem saber quais são.
18 1 Espaços Métricos
1.3 Teoremas Fundamentais Clássicos no Contexto de Espaços
Métricos
A força do conceito de compacidade será inicialmente verificada através dos
próximos resultados. Sem dúvida, um dos principais destes é o Teorema de Weiers-
trass sobre pontos de máximo, que teve um extraordinário significado e um curioso
papel na história da Análise Funcional.
A existência de pontos de máximo e mínimo para uma função contínua foi co-
nectada, logo no princípio do desenvolvimento da Análise Real, ao conceito de
conjunto fechado e limitado para o domínio da função ; o teorema clássico de
Bolzano-Weierstrass. Por outro lado, o princípio variacional de Dirichlet (na ver-
dade formulado por seu professor G. F. B. Riemann), que determinava a solução
do fundamental problema de fronteira para a equação de Laplace, se baseava na
existencia de um ponto de mínimo para uma função (operação funcional ) definida
em um conjunto de funções. A impossibilidade geral de assumir a existencia deste
mínimo fora do contexto real foi o tema de “violentos” artigos de ninguem mais
do que o próprio K. M. Weierstrass, uma figura autoritária que desestimulava o de-
bate naqueles de corações mais fracos. Com isto, o princípio de Dirichlet somente
foi levado a sério nesta época por aqueles que se encontravam fora da influência
de Weierstrass, essecialmente os matemáticos aplicados, físicos e engenheiros, que
continuaram a usá-lo sem maiores ansiedades. A reabilitação do princípio de Diri-
chlet como o método fundamental para o estudo teórico e a resolu ção numérica de
equações diferenciais parciais muito mais gerais do que a de Laplace, foi um dos
grandes feitos de David Hillbert, e um dos principais pretextos para a invenção e o
desenvolvimento da moderna Análise Funcional.
É interessante observar que K. M. Weierstrass (1815-1897) foi professor em
Berlim e não fazia parte da importante genealogia matemática alemã de Göttingen
que se inicia com ninguem menos do que Carl F. Gauss, e passa por Georg Riemann,
Felix Klein, David Hilbert, Hermann Weyl e Richard Courant, Eberhard Schmidt
dentre muitos outros notáveis.
O conhecimento da história deste período revolucionário da Matemática, e es-
pecialmente da Análise, é indispensável para um entendimento lúcido das interco-
nexões, motivações e finalidades das teorias desenvolvidas a partir daí. Para isto, as
referencias abaixo são recomendadas como um bom começo :
M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford
U.P., 1970.
C. Reid, Hilbert , Springer-Verlag.
C. Reid, Richard Courant, Springer-Verlag.
J. Dieudonné, A History of Functional Analysis , North-Holland, 1980.
Nos enunciados abaixo, iniciaremos a reinterpretação de resultados “clássicos"
na linguagem de espaços métricos, que é a abordagem apropriada e característica da
Análise Funcional. O primeiro deles indica claramente a importância do conceito
de compacidade, que foi introduzido de olho neste resultado que será crucial na
1.3 Teoremas Fundamentais Clássicos no Contexto de Espaços Métricos 19
demonstração de existência de soluções de problemas chamados variacionais, ou
seja, aqueles cujas soluções são caracterizadas como mínimos de uma função.
Teorema 1.18 (Uma função contínua leva compactos em compactos (Weiers-
trass)).
Se f : M1 → M2 for uma função contínua entre dois espaços métricos (M1,d1) e
(M2,d2), e K ⊂ M1, um conjunto compacto, então, a imagem de K por f , f (K),
será um conjunto compacto em M2.
Prova. Seja yn = f (xn) uma seqüência de pontos em f (K). Como K é com-
pacto, existe uma subseqüência xnp e um elemento x ∈ K, tal que xnp → x (ex.
1.30). Mas então, como f é contínua, a correspondente subseqüência ynp é tal que
ynp = f (xnp)→ f (x) = y, onde obviamente y ∈ f (K). �
Teorema 1.19 (Teorema de Weierstrass - Realização de máximo para funções
contínuas reais em compactos).
Se f : M → R for uma função contínua entre um espaço métrico (M,d) e a reta
real R, e K ⊂M for um conjunto compacto, então, existirão pontos xm e xM em K,
tais que f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM), para todo x ∈ K, isto é, existirão pontos xm e xM ,
que realizam de fato, respectivamente, o mínimo e o máximo da função f em K.
Prova. Uma demonstração auto-suficiente, que faz uso do “método do leão" do Cál-
culo, é a seguinte. Como f (K) é limitado, tome β um número tal que y ≤ β , para
todo y ∈ f (K). Construa agora recursivamente a seguinte sequencia de números
(faça um esboço geométrico) : y0 , qualquer em f (K) e α0 o ponto intermediário
entre y0 e β . Se f (K)∩ [α0,β ] = /0, tome y1 = y0, caso contrário escolha um ele-
mento y1 ∈ f (K)∩ [α0,β ] 6= /0. Prossiga recursivamente construindo yn+1 a partir
de yn desta maneira.Observe agora que a sequencia yn é não decrescente, isto é,
yn+1 ≥ yn e que não há nenhum elemento de f (K) maior do que yn +2−n(β − y0).
Como f (K) é compacto, existe uma subsequencia ynp que converge para um ponto
y ∈ f (K). Convença-se agora de que este é o valor máximo de f . Para o mínimo, o
argumento é análogo, ou usa-se a função − f no argumento acima. �
Este teorema pode ser generalizado para funções cujos valores não são numé-
ricos ; neste caso, a imagem exibe as características generalizadas de um conjunto
limitado e fechado da reta, isto é, a compacidade.
Há situações de algum interesse em que a existência de pontos de máximo pode
ser garantida (separadamente da existencia de mínimo), se observarmos que na de-
monstração do Teorema de Weierstrass, mantida a compacidade, basta uma condi-
ção de semi-continuidade superior (respectivamente, inferioruma mesma conclusão.
Este conceito é antigo e também foi introduzido por Maurice Fréchet e René Baire
em 1899 (v. Apêndice).
O enunciado do Teorema de Weierstrass, na verdade, é uma caracterização de
compacidade, ou seja :
20 1 Espaços Métricos
Teorema 1.20 (Caracterização de Compacidade de um conjunto pelas suas
Funções).
Se um espaço métrico (M,d) é tal que todas as funções contínuas f : M → R,
f ∈C0(M,R), atingem máximo em M, então M é necessariamente compacto.
Prova. Suponha, por absurdo, que exista uma seqüência {xk} ⊂M que não admita
um ponto de acumulação. De partida podemos considerar que estes elementos são
todos distintos pois, se infinitos índices registrassem um mesmo elemento, então
haveria, obviamente, um ponto de acumulação da seqüência. Não havendo ponto de
acumulação, tomemos para cada elemento xn da seqüência, uma bola B(xn,rn) que
não contenha nenhum outro elemento da seqüência, exceto o seu próprio centro,
e consideremos a função : ϕn : M → R, cujos valores são definidos da seguinte
maneira (faça um esboço geométrico) :
ϕn (x) = n
( rn
3 −d(x,xn)
)
, para x ∈ B(xn, rn3 ), e
ϕn(x) = 0 para d(x,xn)= rn3 .
Observe, ou verifique, que estas funções são contínuas e que duas delas não são
coicidentemente diferentes de zero em nenhum ponto. Portanto, podemos definir a
função
ϕn : M→ R, ϕ(x) = ∑
k=1
ϕn(x),
que é então contínua e obviamente ilimitada, o que contradiza hipótese. �
Este resultado é importante no sentido de nos garantir que todas as afirmações
sobre compactos podem, de uma forma ou de outra, ser traduzidas em termos das
funções reais contínuas definidas sobre ele. A substituição de propriedades topoló-
gicas de conjuntos por determinadas famílias de funções caracterizadas por elas, é
uma modificação radical de ponto de vista e tipifica uma estratégia sutil da Matemá-
tica com inúmeras aplicações teóricas.
O próximo teorema é conhecido pelo nome de Teorema de Heine-Borel, de-
vido a Heinrich Heine (1821-1881) que o utilizou inicialmente como um “princípio
fenomenológico" no contexto dos números reais, e tem importantes aplicações no
contexto mais geral. O nome do (mais importante) matemático francês Émile Borel
(...-...) possivelmente foi agregado ao de Heine, por uma questão de autoridade ; a
saber !
Teorema 1.21 (Teorema de Heine - Continuidade em Compato≡Continuidade
Uniforme).
Se f : K → M2 for uma função contínua entre dois espaços métricos (K,d1) e
(M2,d2), sendo K compacto, então, f será uniformemente contínua.
Prova. Considere a função definida da seguinte forma : ω(x) = sup{r : f (B(x,r))⊂
B ( f (x),ε)} para um ε > 0 fixo e x∈K, e medite sobre o interesse em analisá-la com
respeito à continuidade de f . Convença-se de que, sendo f contínua, então ω está
1.3 Teoremas Fundamentais Clássicos no Contexto de Espaços Métricos 21
bem definida em K e é contínua. Então, de acordo com o Teorema de Weierstrass,
ω atinge mínimo em K. Seja m0 este mínimo que, sendo atingido em um ponto,
digamos xm , deverá ser positivo, m0 = ω(xm)> 0. Ora, mas então f (B(x, 12 m0))⊂
B( f (x),ε) para todos os x ∈ K, o que exprime exatamente a tese do Teorema de
Heine-Borel. �
A demonstração mais tradicional deste teorema seria por argmento de absurdo,
mas consideramos que a forma apresentada é mais útil e mais esclarecedora.
O conceito de aproximação uniforme já foi abordado na definição do espaço
métrico definido pelo conjunto de funções limitadas e com a métrica uniforme :
(B(A,M),d∞). Em um contexto geral podemos também falar de convergência uni-
forme.
Definição 1.22 (Convergência uniforme).
Dizemos que uma sequencia de funções ( fn) entre dois espaços métricos M1 e M2,
fn : M1 → M2, converge uniformemente para uma função ϕ : M1 → M2, se para
qualquer ε > 0, existe um Nε tal que d( fn(x),ϕ(x)) < ε para todo n > Nε e todo
x ∈M1.
A convergência uniforme é importante na construção de funções contínuas por
meio de processos infinitos e um dos teoremas fundamentais do Cálculo de uma
variável real afirma que “ se uma função for limite uniforme de uma sequência de
funções contínuas, então esta função limite será contínua”. Este resultado pode ser
literalmente transferido (assim como sua demonstração) para o contexto de espaços
métricos :
Teorema 1.23 (O limite uniforme de funções contínuas é uma função contínua).
Se a seqüência de funções fn contínuas entre dois espaços métricos M1 e M2, fn :
M1→M2 converge uniformemente para uma outra função ϕ : M1→M2, então esta
função limite será contínua.
Prova. Repita argumentos do Cálculo, que são semelhantes àqueles empregados na
demonstração do Teorema abaixo. �
O limite apenas ponto a ponto, pode construir coisas horrorosas a partir de fun-
ções muito bem comportadas (v. Apêndice).
Um caso, não tão feio, é o limite pontual da seqüência fn(x) = xn, quando
consideradas no intervalo fechado [0,1]. O conceito e alguns resultados clássicos
de convergência uniforme podem ser reinterpretadas de maneira conveniente no
contexto de espaços métricos de funções. É o que faremos em seguida.
Teorema 1.24 (Completude de espaços de funções com métrica uniforme).
O espaço métrico F = B(A,M) = “conjunto das funções limitadas definidas em um
conjunto não vazio A qualquer, com valores no espaço métrico (M,d)”, com a
métrica d∞( f ,g) = ma´xa∈Ad( f (a),g(a)), será completo se M for completo.
22 1 Espaços Métricos
Prova. Seja (ϕn) uma seqüência de Cauchy em (F,d∞). Então, para cada x ∈ A, a
sequencia em M dada por ϕn(x) é de Cauchy pois,
d( ϕn(x),ϕm(x) )≤ d∞(ϕn,ϕm) = ma´xa∈Ad(ϕn(a),ϕm(a)).
Como M é completo, concluimos que para cada b ∈ A, a sequência ϕn(b) converge
em M, e com muita razão definiremos uma função ϕ : A→M, ponto a ponto, como
ϕ(x) = limϕn(x) ; a candidata natural para ser o limite da sequencia (ϕn)⊂B(A,M).
Devemos mostrar que ϕ ∈ B(A,M) e, depois, que, de fato, ϕn → ϕ na métrica
d∞, isto é, que limd∞(ϕn,ϕ) = 0. Mostraremos ambos por meio de uma trian-
gularização. Seja ε > 0 e, com base na condição de Cauchy, tomemos nε tal
que para n,m > nε tenhamos d∞(ϕn,ϕm) < ε . Então, para qualquer x ∈ A temos,
d(ϕ(x),ϕn(x)) ≤ d(ϕ(x),ϕm(x) )+ d(ϕm(x),ϕn(x)) ≤ d( ϕ(x),ϕm(x))+ ε . Como
esta desigualdade vale para todos m,n > nε , podemos levá-la ao limite com m→ ∞
e fixando n> nε , de onde tiramos que d( ϕ(x),ϕn(x))≤ ε , o que é válido para qual-
quer x ∈ A e n > nε . Isto significa que ϕ é limitada e é limite de ϕn na métrica d∞.
�
O Teorema de Cálculo acima mencionado, sobre limite uniforme de funções
contínuas, pode ser enunciado neste contexto como :
Teorema 1.25. Se (M1,d1) e (M2,d2) forem espaços métricos, então C0B(M1,M2) =
{funções f : M1→M2 contínuas e limitadas}, é um subconjunto fechado do espaço
métrico (B(M1,M2),d∞).
Prova. Suponha então que ϕn ∈ C0B(M1,M2) e que ϕn → ϕ , onde ϕ ∈ B(M1,M2).
Seja agora x0 ∈ M1 e ε > 0. Existe então um nε tal que se n ≥ nε , d∞(ϕn,ϕ) < ε .
Como ϕnε é contínua, existe uma bola, digamos B(x0,δ ), tal que ϕnε (B(x0,δ )) ⊂
B(ϕnε (x0),ε). Então, para todo x ∈ B(x0,δ ), temos
d (ϕn(x),ϕn(x0))< d(ϕn(x),ϕnε (x))+d(ϕnε (x),ϕnε (x0))+ d(ϕnε (x0),ϕn(x))≤ 3ε .
Fazendo agora n→ ∞ nesta desigualdade, obtemos no limite d(ϕ(x),ϕ(x0)) < 3ε .
Portanto, ϕ(B(x0,δ ))⊂ B(ϕ(x0),3ε), o que demonstra o teorema. �
Se o espaço métrico de saída for compacto, então, de acordo com o teorema de
Weierstrass, todas as funções contínuas são limitadas. O teorema abaixo exprime
este fato em uma forma apropriada para a Análise Funcional, onde ele desempenha
um papel central.
Teorema 1.26 (Funções contínuas em espaços compactos com métrica uni-
forme).
Se (K,d) for um espaço métrico compacto e (M,d0), outro espaço métrico, então o
conjunto C0(K,M) = {funções contínuas f : K→M} é um subconjunto fechado de
(B(K,M),d∞).
Exercício :
1.3 Teoremas Fundamentais Clássicos no Contexto de Espaços Métricos 23
1.39. Demonstre o terorema acima.
A constatação de que uma seqüência de funções contínuas converge uniforme-
mente para uma outra função é, portanto, um fato notável que em muitas situações
pode acarretar resultados interessantes. Um importante teorema da análise real que
estabelece um critério suficiente para que a convergência pontual seja também uni-
forme, é devido ao matemático italiano Ulisse Dini (1845-1918) que, no contexto
de espaços métricos toma a seguinte forma :
Teorema 1.27 (Teorema de Dini - Monotonicidade pontual em um compacto
produz uniformidade). .
Seja K um espaço métrico compacto e ϕn ∈ C0(K,R) uma seqüência de funções
contínuas de valores reais, tais que :
a) ϕn+1(x) ≤ ϕn(x), para todos os x ∈ K e todos os n, isto é, a seqüência é
pontualmente não crescente ;
b) limn→∞ϕn(x) = 0, para todos os x ∈ K.
Então o limite é uniforme, ou, em outras palavras, ϕn → 0 no espaço métrico(
C0(K,R),d∞
)
Prova. Seja ε > 0 e consideremos os conjuntos En = {x ∈ K;ϕn(x) ≥ ε}. Gos-
taríamos de provar que para algum n este conjunto será vazio pois En+1 ⊂ En.
Suponha que não, e selecione para cada n natural um elemento xn ∈ En, e em se-
guida (pela compacidade de K) tome uma subseqüência xnp → ξ ∈ K. Mas, como
limn→∞ϕn(ξ ) = 0, existe um nε tal que 0 ≤ ϕnε (ξ ) < 12ε . Por outro lado, sendo
ϕnε contínua, existe uma bola B(ξ ,δ ) tal que | ϕnε (ξ )−ϕn(x) |< 12ε para qualquer
x∈B(ξ ,δ ). Assim, por triangulação, teremos que para todo x∈B(ξ ,δ ), ϕnε (x)< ε,
e pela monotonicidade, ϕn(x) ≤ ϕnε (x) < ε para todos n ≥ nε . Ora, mas isto é im-
possível uma vez que ξ é um ponto limite de xnP para os quais, ϕnp(xnP)≥ ε . �
Exercícios :
1.40. Demonstre o teorema de Dini utilizando a negação formal de que a conver-
gencia é uniforme. (isto é, usando os quantificadores ∀ e ∃).
1.41. Dê (contra) exemplos de que faltando apenas uma de cada vez das seguintes
condições, o teorema é falso :
i) compacidade,
ii) monotonicidade,
iii) continuidade das funções.
Uma função contínua que terá uma grande importância no estudo de aproxima-
ção de funções por um subconjunto (em espaços métricos de funções) é a definida
pela distância de um ponto a um subconjunto.
24 1 Espaços Métricos
Definição 1.28. A distância de um ponto x em um espaço métrico M a um subcon-
junto A de M é denotada e definida por :
d(x,A) = inf{d(x,a);a ∈ A}.
Analogamente se define distância entre conjuntos :
d(A,B) = inf{d(a,b);a ∈ A,b ∈ B}.
Exercícios :
1.42. Mostre que a função distância de pontos a um conjunto fixo é contínua.
1.43. Mostre que se K for compacto, então para cada x0 ∈ M existe pelo menos
um ξ ∈ K , tal que d(x0,K) = d(x0,ξ ). Diz-se neste caso que ξ atinge ou realiza a
distância ou então que ξ é uma (não necessariamente a única) melhor aproximação
de x0 por meio de K.
1.44. Considere o espaço métrico (B([0,1],R),d∞) e o subconjunto das funções
polinomiais de grau ≤ 2. Mostre que este conjunto é fechado mas não compacto.
Mesmo assim, obtenha um polinomio de segundo grau que melhor aproxima a fun-
ção f (x) = ex no espaço métrico
(
C1([0,1],R),d1
)
e no espaço (B([0,1],R),d∞).
Um outro teorema que, apesar de abstrato neste contexto, será importante no
estudo da dependência de soluções de equações gerais com respeito aos dados, é
devido ao notável matemático russo Andrei Nikolaievich Tikhonov (1906-1993),
famoso por ter iniciado várias teorias e métodos importantes da Matemática e suas
aplicações.
Um dos problemas mais universais e fundamentais da Matemática são as equa-
ções, que genericamente podem ser expressas na forma funcional da seguinte ma-
neira : f (x) = a, onde a variável x ∈ M é a incognita e a ∈ A é o parâmetro, ou
um “dado" do problema (J.Kazdan, Solving equations, Am.Math.Monthly, ...). Se
sempre houver solução e ela for única para todo a em um conjunto A, podemos
escrevê-la na forma de uma função x(a), x : A→M. Uma vez garantida a existência
e unicidade da solução, a próxima questão natural que surge se refere à estabilidade
(“robustês", ou “sensitividade") da solução com respeito a perturbações do parâ-
metro (ou “dado") a do problema, ou seja, sobre a continuidade da função inversa,
x(a).
Equações funcionais, onde a incognita é uma função, são particularmente impor-
tantes. Por exemplo, considere um típico problema de valores iniciais para equações
diferenciais ordinárias lineares da forma : dxdt = Ax(t),x(0) = a, onde A é uma ma-
triz real n× n e a incognita é uma função infinitamente diferenciável x : R→ Rn,
ou seja, x ∈ M = C∞(R,Rn). Podemos obviamente reformular este problema e
escrevê-lo como uma equação funcional da seguinte maneira : Φ (x) = a, onde
Φ (x) = x(t)−
t∫
0
Ax(s)ds é uma função Φ : M→M e a ∈ A ⊂M, o subespaço das
funções constantes.
O teorema a seguir, embora não aplicável diretamente ao problema acima, nos
dá uma simples mas importante resposta neste sentido.
1.3 Teoremas Fundamentais Clássicos no Contexto de Espaços Métricos 25
Teorema 1.29 (Teorema de Tikhonov I - Estabilidade de soluções únicas para
equações em um compacto).
Se f : K → M for uma função contínua e bijetora entre dois espaços métricos,
sendo o domínio K compacto, então, f−1, isto é, a sua inversa, será contínua em
M.
Prova. Considere uma sequencia yN → y em M, e a sua pré-imagem xN = f−1(yN)
em K. Devemos então provar que xN converge para x= f−1(y), ou seja, que ∀ε > 0,
∃Nε tal que, ∀N > Nε , d(xN ,x) < ε . Suponhamos que isto não seja verdade, isto
é, que : ∃ε0 > 0 tal que ∀N , ∃PN > N tal que d(xPN ,x) ≥ ε0. Dado então o tal ε0,
construiremos recursivamente a seguinte subsequência : para o inteiro N = 1, toma-
mos um inteiro P1 > 1 para o qual d(xP1 ,x)≥ ε0. Obtemos xPR+1 tomando um inteiro
PR+1 > PR tal que d(xPR+1 ,x)≥ ε0. Esta nova sequencia (xPR) (no índice R), admite
uma subseqüência (em J), xPRJ que converge para um ponto x ∈ K. Ora, mas a fun-
ção f é contínua em x e, portanto, f (xPRJ )→ f (x). Como f (xPRJ ) = yPRJ → y, temos
y= f (x), e concluímos, pela injetividade de f , que x= x. Mas isto é impossível uma
vez que a subsequência xPR+1 foi construída fora da bola B(x,ε0) e não poderia se
aproximar de x. �
Observação 1.30. i) M será também compacto.
ii) A demonstração topológica deste teorema é considerada imediata (pelos topólo-
gos !). Como curiosidade : Seja U um aberto de K. Seu complementar K−U sendo
fechado, é um compacto em K. Como f é contínua, f (K−U) é compacto e, por-
tanto, fechado. Por conseqüência, o seu complementar é aberto, e, pela bijetividade
de f , deve ser exatamente f (U) = imagem inversa de U pela f−1. É claro que o
“imediato” aqui depende da familiariade com os argumentos topológicos, mas este
é um bom exemplo da eventual conveniência da linguagem topológica. conjuntista.
iii) Este teorema não chama tanta a atenção no caso de funções reais onde a compa-
cidade é prescindível. Mostre que se f : I→ J for contínua e bijetiva, então a inversa
será contínua, onde I é um intervalo da reta real R. No caso Rn, a coisa é bem mais
complicada !
Os exercícios seguintes apontam para as limitações (contra-indicações) do uso
deste teorema.
Exercício :
1.45. Considere
a) O Espaço Métrico M1 = [0,1) com a métrica usual dos reais, M2 = S1 = {z ∈
C; |z| = 1} =“Círculo unitário no plano complexo com a métrica usual" e a fun-
ção ϕ : [0,1)→ S1, ϕ(t) = exp(2piit). Mostre que ϕ é contínua, bijetora, mas a
sua inversa não é contínua. Isto mostra que a compacidade do primeiro espaço no
Teorema de Tikhonov é essencial ; e o espaço de chegada é compacto !
b) O Espaço Métrico M1 = C0[0,1], com a métrica d∞, M2 = {g ∈ C1[0,1], tais
que g(0) = 0}, também com a métrica d∞, e a função será Φ : M1 → M2, onde
26 1 Espaços Métricos
Φ( f )(s) =
s∫
0
f (ξ )dξ . Mostre que Φ é contínua, bijetora mas a sua inversa, a deri-
vada, é notoriamente descontínua na métrica uniforme (sup).
Estes (contra) exemplos não estão aqui só para escândalo, eles são importantes
e voltarão em outras oportunidades e sob vários disfarces ! Entenda-os bem. O pri-
meiro exemplo tem uma “deficiência" de ordem geométrica em suas condições, en-
quanto que o segundo tem uma “deficiência" de ordem analítica !
Em particular, concluímos que este espaço métrico,
(
C0[0,1],d∞
)
, não é com-
pacto.
As funções bijetoras e bicontínuas são importantes pois, como vimos, nos ga-
rantem que suas equações têm solução, única e, principalmente, estável com relação
a perturbações. Uma função desta classe de certa forma identifica (como em um es-
pelho) os processos de convergência de dois espaços métricos e, com isso adquiri-
mos a possibilidade de estudar um processo pela sua imagem no outro, talvez mais
conveniente. Em Matemática (Bourbakista) este tipo de identificação é denominado
de morfismo.
Definição 1.31 (Homemomorfismo Topológico).
Uma função f bijetora e bicontínua entre dois espaços métricos (isto é, f e f−1
existem e são contínuas) é chamada de homeomorfismo topológico. Este tipo de
função identifica não somente os conjuntos mas, também a Topologia, ou seja, iden-
tifica as duas noções de convergência.
O teorema de Tikhonov mostra como pode ocorrer esta identificação. Aliás, no
contexto deste Teorema, mais do que as seqüências convergentes são identificadas,
mas também as seqüências de Cauchy (porquê ?). Estas questões ocorrem com muita
freqüência quando os espaços métricos diferem apenas da métrica,