POLINÔMIOS - LISTA DE FIXAÇÃO

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1) Sabendo que 2 é raiz de p(x) = x2 −mx + 6 , calcule o valor de m.
Quando um número é raiz de um polinômio, quer dizer que quando esse valor substitui a 
variável do polinômio, no caso x, o valor numérico do polinômio fica igual a zero. Assim:
p(2) = 22 − 2m + 6 = 0
4 − 2m + 6 = 0
−2m +10 = 0
−2m = −10
m = 5
Resposta: 5. Nível: Fácil. Conceitos utilizados: Raiz de Polinômio; Valor Numérico 
de Polinômio.
2) Calcule os valores de a, b, c e d para que o polinômio p(x) = a(x + c)3 + b(x + d) seja 
idêntico a q(x) = x3 + 6x2 +15x +14 .
Para haver uma igualdade de polinômios, eles precisam estar em um formato parecido. 
Por isso, é necessário desenvolver o polinômio p(x) para que ele pareça com o polinômio 
q(x). Desenvolvendo o polinômio p(x):
p(x) = a(x + c)3 + bx + bd
p(x) = a(x3 + 3cx2 + 3xc2 + c3)+ bx + bd
p(x) = ax3 + 3acx2 + 3ac2x + ac3 + bx + bd
p(x) = ax3 + 3acx2 + (3ac2 + b)x + (bd + ac3)
Aplicando a igualdade de polinômios:
a = 1
3ac = 6∴3c = 6⇒ c = 2
3ac2 + b = 15∴3.4 + b = 15⇒ b = 3
bd + ac3 = 14∴3d + 8 = 14⇒ d = 2
Resposta: a = 1; c = 2; b = 3; d = 2; Nível: Médio. Conteúdo: Identidade de 
Polinômios; Desenvolvimento de Polinômios; Soma de Polinômios e Fatores 
Polinomiais;
3) Determine A, B e C na decomposição 1x3 −1 =
A
x −1 +
Bx +C
x2 + x +1
Quando existe uma igualdade de polinômios, como no caso, é necessário deixar os dois 
polinômios de forma semelhante para descobrir o valor de A, B e C. Para isso, podemos 
usar algumas estratégias de álgebra. No lado direito da equação temos uma soma de 
frações. Para resolver uma soma de fração, nós podemos multiplicar os divisores (que 
estão embaixo) e o resultado será o que ficará embaixo da nova fração. Depois, usamos o 
resultado para dividir pelo de baixo e multiplicar pelo de cima, que ficará na parte de cima 
da fração. Assim:
Lista de Exercícios – Polinômios
1
x3 −1 =
[A.(x2 + x +1)]+ [(Bx +C)(x −1)]
(x −1).(x2 + x +1)
1
x3 −1 =
Ax2 +Ax +A+Bx2 −Bx +Cx −C
x3 + x2 + x − x2 − x −1
1
x3 −1 =
(A+B)x2 + (A−B+C)x + (A−C)
x3 −1
1= (A+B)x2 + (A−B+C)x + (A−C)
Podemos perceber que temos dois polinômios, mas o número 1, no lado esquerdo da 
equação, é um polinômio incompleto. Completando esse polinômio, teríamos:
0x2 + 0x +1= (A+B)x2 + (A−B+C)x + (A−C)
Agora é simples: montamos um sistema de equação para descobrir A, B e C 
considerando a igualdade de polinômios. Ficaria:
A+B= 0
A−B+C = 0
A−C = 1
Resolvendo o sistema por substituição, obtemos os seguintes valores de C e B:
A−C = 1∴−C = 1−A⇒C = −1+A
A+B= 0⇒B= −A
Substituindo-os, fica:
A−B+C = 0
A− (−A)−1+A = 0
A+A+A−1= 0
3A = 1
A = 13
Substituindo o valor de A nas outras equações, temos:
C = −1+ 13 = −
2
3
B= − 13
Resposta: A = 1/3 B = -1/3 C = -2/3. Nível: Difícil. Conteúdo: Decomposição de 
Polinômio em Fatores; Soma de Fatores de Polinômios; Produto de Polinômios; 
Identidade de Polinômios; Desenvolvimento de Polinômios;
4) Dividindo p(x) = x3 − 4x2 + 7x − 3 por certo polinômio h(x) , obtemos o quociente 
q(x) = x −1 e o resto r(x) = 2x −1 . Determine h(x) .
Nesse exercício, utilizaremos a fórmula da divisão de polinômios, que é a seguinte:
Quando um polinômio (dividendo) é dividido por outro (divisor), o dividendo sempre será 
igual ao quociente, que é o resultado da divisão, multiplicando o divisor e somado ao 
resto da divisão. Assim:
DIVIDENDO = (QUOCIENTE.DIVISOR)+RESTO
Assim sendo, temos um polinômio sendo dividido por outro, como diz o exercício. O que 
está sendo dividido, p(x), é o dividendo, e h(x) é o divisor. O quociente é q(x) e o resto é 
r(x). Para descobrir h(x), basta usar a equação acima. Substituindo, temos:
Lista de Exercícios – Polinômios
x3 − 4x2 + 7x − 3= [(x −1).h(x)]+ 2x −1
Primeiro, passaremos o resto, que soma no lado direito, para o outro lado subtraindo. 
Ficaria:
x3 − 4x2 + 7x − 3− 2x +1= (x −1).h(x)
x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x −1)h(x)
Para descobrir o valor de h(x), precisamos passar (x-1), que está multiplicando, para o 
outro lado da equação, mas dividindo. Portanto, teríamos:
x3 − 4x2 + 5x − 2
x −1 = h(x)
Agora, para descobrir h(x), basta resolver a divisão de polinômios. Essa divisão de 
polinômios pode ser resolvida por Briot-Ruffini ou Método Euclideano (das chaves).
Resposta: h(x) = x2 − 3+ 2 . Nível: Médio. Conteúdo: Divisão de Polinômios; Soma de 
Polinômios; 
5) Calcule o valor de a sabendo que p(x) = 2x3 + 4x2 − 5x + a é divisível por h(x) = x −1 .
Quando um polinômio é divisível por outro, sabemos que o resto dessa divisão é igual a 
zero (Teorema de D’Alembert). Também sabemos, pelo Teorema do Resto, que, ao 
substituir a raiz do divisor (igualando o divisor a zero e descobrindo x) no dividendo 
(substituindo o valor descoberto no lugar de x), o resultado precisa ser o resto da divisão. 
Como o polinômio é divisível, já sabemos que o resto é igual a zero. Portanto, ao 
substituir a raiz do divisor, no caso x = 1, em p(x), o valor de p(x) para x = 1, ou seja, p(1), 
tem que valer zero. Assim, fica fácil descobrir o valor de a.
Descobrindo a raiz do divisor:
0 = x −1
x = 1
Substituindo no dividendo:
p(1) = 2.13 + 4.12 − 5.1+ a
Sabemos que o resto vale zero, então p(1) pode ser igualada a zero.
0 = 2 + 4 − 5 + a
0 = 1+ a
a = −1
Resposta: a = -1; Nível: Médio; Conteúdo: Teorema de D’Alembert; Teorema do 
Resto; Valor Numérico de Polinômio;
6) Determine o quociente da divisão de (15a2b + 20ab2 + 30a2b2 ) por 5ab .
A divisão de um polinômio por um monômio, como é o caso, é muito simples. Basta 
localizar o fator comum do monômio e do binômio. O fator comum é o que tem em cada 
termo do polinômio e também do monômio. No caso, ab está presente em todos os 
termos, ou seja, é o fator comum. O fator comum será posto em evidência, ou seja, 
separado da equação. Será assim:
ab(15a + 20b + 30ab)
5ab
Posto em evidência, como o fator ab está multiplicando tanto em cima e embaixo, pode 
ser tirado do problema, ficando:
Lista de Exercícios – Polinômios
15a + 20b + 30ab
5
O 5 também será posto em evidência agora, ficando:
5(3a + 4b + 6ab)
5
Como o 5 está multiplicando em cima e embaixo, também será cortado. No fim, o 
resultado da divisão será:
3a + 4b + 6ab
Resposta: 3a + 4b + 6ab . Nível: Médio. Conteúdo: Divisão de Polinômio por Monômio; 
Decomposição em Fatores;
7) Determine m, n, p de modo que (mx2 + nx + p).(x+1)=2x3 + 3x2 − 2x − 3 .
Esse é um exercício de igualdade de polinômios. Antes de tudo, precisamos deixar os dois 
polinômios parecidos. Por isso, desenvolveremos o polinômio do lado esquerdo realizando o 
produto de polinômios. 
(mx2 + nx + p).(x+1)=2x3 + 3x2 − 2x − 3
mx3 +mx2 + nx2 + nx + px + p = 2x3 + 3x2 − 2x − 3
mx3 + (m + n)x2 + (n + p)x + p = 2x3 + 3x2 − 2x − 3
Agora, utilizando as propriedades de igualdade de polinômios, vemos que:
m = 2
m + n = 3
n + p = −2
p = −3
Assim, sabemos que, substituindo os valores de m e p nas outras equações:
2 + n = 3⇒ n = 1
−3+ p = −2⇒ p = 1
Resposta: m = 2, n = 1, p = 1. Nível: Médio. Conteúdo: Multiplicação de Polinômios; 
Identidade de Polinômios; Soma de Polinômios;
Lista de Exercícios – Polinômios