POTÊNCIAS E RAÍZES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Prévia do material em texto

EXPOENTE 
 
2
3
 
 
= 8 RESULTADO 
 
 
 BASE 
 
Podemos entender a potenciação como uma multiplicação de fatores iguais. 
 
A Base será o fator que se repetirá 
 
O expoente indica quantas vezes a base vai ser multiplicada por ela mesma. 
 
2
5 
 = 2 . 2 . 2 . 2. 2 = 32 
5
3 
 = 5 . 5 . 5 = 125 
 
 
 Definição: 
 
 an = a. a. a. a….a 
 n fatores 
a1 = a 
 a0 = 1 
n
n
a
a
1
 
 
Propriedades: 
 
I) nmnm aaa . 
II) nm
m
n
a
a
a  
III)  mmm baba ..  
IV) 
m
m
m
b
a
b
a






 
v)   nmnm aa . 
 
 
 Exemplos: 
1) 2³=2.2.2=8 
2) 10¹ = 10 
3) 10º = 1 
6) 222
2
2 134
3
4
  
4) 
4
1
2
1
2
2
2  
5) 1064. aaa  
 
7) 
9
4
3
2
3
2
2
2
2











 
8)   6422 632  
9) 323 = 3
8 = 6561 
 
ALGUMAS ATIVIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Notação Científica 
 
 -São potências que servem para expressar grandes números, como também 
números muito pequenos. 
A potência que expressa uma Notação Científica é composta de duas partes: 
 
 
 EXPOENTE 
 
N 
 POSITIVO 
 OU NEGATIVO 
 x 10 
 
 
 Número entre 1 e 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RAIZ 
A Radiciação é a operação inversa da potenciação. 
 
 
 ÍNDICE RADICAL 
 
 
raizRx  
 
 
 RADICANDO 
 
 
 
 
 
rr
x
x  
 
Exemplos 
 
3
33 27  
4
2
16 
 
Importante: 
Toda Radical sem índice indica que é uma Raiz Quadrada 
 
 Quadrados Perfeitos 
São todos os números que possuem raiz quadrada exata. 
1 porque 11  e 1² = 1 
4 porque 24  e 2² = 4 
9 porque 39  e 3² = 9 
16 porque 416  e 4² = 16 
25 porque 525  e 5² = 25 
36 porque 636  e 6² = 36 
49 porque 749  e 7² = 49 
64 porque 864  e 8² = 64 
81 porque 981  e 9² = 81 
100 porque 10001  e 10² = 100 
Raízes não Exatas 
a) Decompor o Radicando em fatores primos 
b) Substituir o Radicando pela decomposição , expressa em potência. 
c) Simplificar os expoentes com os índices. 
Observação:As potências que forem simplificadas saem para fora do radical e as que não 
forem permanecem dentro do radical. 
 
Exemplo: 
112 .44
2
 = 2 11 
Decomponha 
a) 20 b) 50 c) 160 
 
MULTIPLICAÇÃO DE RAIZES DE MESMO INDICE 
Para multiplicarmos raízes com o mesmo índice, mantemos o índice e multiplicamos os radicandos. 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
Exemplo : = 
 
 
 
 
DIVISÃO DE RAIZES DE MESMO INDICE 
Para dividirmos raízes com o mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicandos. 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 
POTÊNCIA DE UMA RAIZ 
 
 
 
)m = 
 
 
 
Exemplo 
 
)7 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Represente as potências a seguir na forma de 
multiplicação e calcule, conforme o exemplo: 
10
6
 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10= 1 000 000 
a) 2³___________________________ 
b) 3²___________________________ 
c) 45___________________________ 
d) 7³___________________________ 
e) 84___________________________ 
2)Encontre o valor de uma potência em que : 
a) a base é 3 e o expoente é 4. 
________________________________________ 
b)O expoente é sete e a base é 2. 
________________________________________ 
3) Dois amigos, João e Marta, estavam brincando 
com uma calculadora, quando Marta digitou as 
seguintes operações: 
2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 
E no visor apareceu o número 32 768. Os dois 
amigos começaram então, o seguinte diálogo: 
João: Se você repetiu a multiplicação 15 vezes 
isto quer dizer que 32 768 é o resultado de 2
15
, 
não é? 
Marta: Sim! E se multiplicarmos novamente por 
2 iremos encontrar o resultado de 2
16
. 
João: Mas o que acontece se eu dividir 32 768 por 
2? 
Marta : Você vai chegar a 16 384. 
João: Mas isso é o resultado de 2 elevado a 
quanto? 
Marta : Não sei... 
Com base nesse diálogo responda: 
a) Qual é o resultado de 216? 
____________________________________ 
b) 2 elevado a que número resulta 16 384? 
____________________________________ 
4) Uma colônia de bactérias duplica o número de 
sua população a cada hora. 
Se inicialmente temos 1000 bactérias nessa 
colônia, responda: 
a)Quantas bactérias existirão depois de 3 horas? 
________________________________________ 
b)Depois de quantas horas o numero de bactérias 
da colônia ultrapassará 1 milhão? 
________________________________________ 
 
5)Considerando que 12
4
 = 20 736 calcule: 
a) 12
5
__________________________ 
b)12
6
___________________________ 
Calcule: 
a) 00_______________________ 
b) 27_______________________ 
c) 13²______________________ 
d) 105______________________ 
e) 11²______________________ 
f) 35 _______________________ 
g) 9³_______________________ 
h) 100³_____________________ 
i) 2017²____________________ 
j) 23³______________________ 
 6) Um e-mail foi enviado para cinco pessoas 
no primeiro dia do mês. O conteúdo da 
mensagem era uma brincadeira que fazia com 
que toda pessoa que a recebesse encaminhasse o 
e-mail para mais 5 pessoas no dia seguinte. 
Considerando que todas as pessoas que 
receberam o e-mail participaram da brincadeira, 
enviando a mensagem para mais 5 pessoas no 
dia seguinte e que ninguém recebeu o e-mail 
duas vezes, responda: 
a) Quantas pessoas receberam esse e-mail no 
sexto dia desse mês? 
______________________________________ 
b)Represente na forma de potência de base 
cinco, o número de pessoas que receberam esse 
e-mail no dia 30. 
______________________________________ 
c)”Viral da internet” é um termo utilizado para se 
referir a algum conteúdo que se espalhe de maneira 
muito rápida pela rede mundial de computadores. 
Por que você acha que esse nome é utilizado? 
______________________________________ 
7)Em um recipiente foram colocadas, inicial- mente 
duas bactérias. Observou-se que ao longo de 60 
minutos elas duplicaram de quantidade a cada 
minuto, ou seja , depois do primeiro minuto o 
recipiente continha 4 bactérias, depois do segundo 
minuto 8 e assim sucessivamente. 
a) Represente, utilizando uma potência de base 2, a 
quantidade de bactériasdepois de passados 60 min. 
______________________________________ 
b)Depois de quantos minutos as bactéria atingiram 
metade do valor final? 
______________________________________ 
 
 
 
8)Dado um conjunto A={2; 5; 7} podemos 
formar um total de 7 conjuntos, cujos elementos 
são unicamente elementos do conjunto A. Por 
exemplo: 
A1= {2} 
A2= {5} 
A3= {7} 
A4= {2; 5} 
A5= {2;7} 
A6= {5;7} 
A7={2;5;7} 
Por meio da contagem, podemos deduzir que a 
quantidade de conjuntos x que podemos formar, 
utilizando unicamente os elementos de um 
conjunto A qualquer é : 
X = 2
n
 -1 
Em que n é a quantidade de elementos do 
conjunto A. Encontre a quantidade de conjuntos 
que podemos formar utilizando unicamente os 
elementos de um conjunto que possua: 
a) 5 elementos 
_______________________________________ 
b) 11 elementos 
_______________________________________ 
 
9)Para calcularmos o volume de um cubo, basta 
elevarmos a medida de sua aresta ao cubo; e se 
quisermos encontrar a medida da aresta, basta 
extrair a raiz cúbica do valor de seu volume. 
Com base nessa informação encontre o valor de 
cada aresta do cubo cujo volume é 125 cm³. 
 
 
_______________________________________ 
 
10)Os números inteiros que possuem raiz 
quadrada exata São chamados de quadrados 
perfeitos. Diga quais dos números a seguir são 
quadros perfeitos. 
a) 8_______________ 
b) 49______________ 
c) 64______________ 
d) 121_____________ 
e) 200_____________ 
11)Os números inteiros que possuem raiz cúbica 
exata são chamados de cubos perfeitos. Diga 
quais dos números a seguir são cubos perfeitos. 
a) 8_____________ 
b) 49____________ 
c) 64____________ 
d) 121___________ 
e) 125___________ 
12)Para calcularmos a área de um quadrado, basta 
elevarmos a medida de seu lado ao quadrado; e se 
quisemos encontrar a medida de seu lado, basta 
extarirmos a raiz quadrado do valor de sua área. 
Com base nessas informações, encontre o valor do 
lado de cada um dos quadrados a seguir: 
a) 
 
 Área 196 m² __________________ 
 
 
 
 
b) 
 
 Área 400 m² __________________ 
 
 
 
c) 
 
 Área 81 m² _________________ 
 
 
13)Calcule o resultado das raízes quadradas a 
seguir, justificando-as conforme o exemplo: 
 
a) _____________________________________ 
 
b) __________________________________ 
 
c) __________________________________ 
 
d) __________________________________ 
 
e) __________________________________ 
 
 
 
 
14)Calcule as raízes a seguir. Se necessário, fatore os 
radicandos antes de calcular. 
a) =_____________________________ 
b) =_____________________________ 
c) =_____________________________ 
d) 
 
=_____________________________ 
e) 
 
=____________________________ 
f) 
 
=____________________________ 
g) 
 
=_____________________________ 
h) 
 
=_________________________ 
i) 
 
=___________________________ 
 
15)Observe os calculos feitos por um aluno do 9º ano: 
2
4
 = 2 . 2. 2. 2 = 16 
4² = 4 . 4 = 16 
Ao refletir sobre os resultados, esse aluno concluiu que a 
potenciação possui a propriedade comutativa. 
Considerando essa situação e lembrando-se que uma 
operação possuia propriedade comutativa quando a 
ordem dos termos não altera o resultado, o aluno 
cometeu algum erro em sua conclusão. Justifique sua 
resposta. 
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
16)Simplifique as potências a seguir como uma única 
potência. 
a) (2 0075)7 _____________________ 
b) (2²)5 _________________________ 
c) (x9)5 _________________________ 
d) [(1111)11]11_____________________ 
e) {[(13²)4]3}10____________________ 
17)Desenvolva e reduza as seguintes potências : 
a) (7² . 4² )8 _____________________ 
b) (2³ . 24)2 _________________________ 
c) (2³ . 3²)0 _________________________ 
d) [(-1 )3 . (-4 )³]7_____________________ 
e) ( 55 . 66 . 77)²____________________ 
18)Reescreva a expressão a seguir em uma única 
potência.(OMEP) 
9
20
 + 9
20
 + 9
20
 
________________________________________ 
19)Escreva as potências a seguir como uma 
única potência de base 2. 
a) (210)10___________________________ 
b) (45)4____________________________ 
c) (6411)11__________________________ 
d) (102410)5_________________________ 
e) [(8) 8]8___________________________ 
f) [(16 . 32)10]20______________________ 
g) [(2 . 4 . 8)³]10 . 512²_________________ 
h) (44)4_____________________________ 
i) (40968)7 __________________________ 
j) (16²)³ . (16²)³______________________ 
k) (1024³)10. (325)500 . (2048²)20.(44)5___ 
 20)Lembrando que a potenciação possuia 
propriedade distributiva em relação a divisão, 
calcule: 
 
 
 
21)Transforme as expressões de cada item em 
uma potência com expoente negativo. 
a)
 
 
 
b)
 
 
 
c)
 
 
 
d)0,001 
e)0,0016 
22) Para cada quilômetro, temos 10³ metros. 
Para cada metro, temos 10³ milímetros. E para 
cada milímetro, nós temos 10³ micrômetros. 
Quantos micrômetros então, teremos em 1 
quilômetro? 
_______________________________________ 
 
23)Uma pessoa jovem tem em média 217 fios de 
cabelo, enquanto uma pessoa com 50 anos de 
idade possui em média 216 fios de cabelo. Qual 
o percentual, em média, de cabelos de uma 
pessoa com 50 anos em relação a uma pessoa 
jovem? 
______________________________________ 
 
 
 
 
 
Decomponha os radicais 
1)
8
 
 
 18)
75
 
 
 
2) 
12
 
 
 19)
76
 
 
 
3) 
18
 
 
 20)
80
 
 
 
4)
24
 
 
 21)
84
 
 
 
5)
27
 
 
 22)
90
 
 
 
6)
28
 
 
 23)
99
 
 
 
7) 
32
 
 
 24)
120
 
 
 
8)
40
 
 
 25)
125
 
 
 
9)
44
 
 
 26)
140
 
 
 
10)
45
 
 
 27)
150
 
 
 
11)
48
 
 
 28)
160
 
 
 
12)
50
 
 
 29)
162
 
 
 
13)
52
 
 
 30)
180
 
 
 
14)
54
 
 
 31)
196
 
 
 
15) 
63
 
 
 32)
200
 
 
 
16)
68
 
 
 33)
256
 
 
 
17)
72
 34)
484
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) ) 2 2 
 
18)
5 5
 
2) 2 3 
 
19)
2 19
 
3) 3 2 
 
20)
4 5
 
4) 2 6 
 
21)
2 21
 
5) 3 3 
 
22)
3 10
 
6) 2 7 
 
23)
3 11
 
7) 4 2 
 
24)
2 30
 
8) 2 10 
 
25)
5 5
 
9) 2 11 
 
26)
2 35
 
10) 3 5 
 
27)
5 6
 
11) 4 3 
 
28)
4 10
 
12) 5 2 
 
29)
9 2
 
 
13) 2 13 
 
30)
6 5
 
14) 3 6 
 
31) 14 
15) 3 7 
 
32)
10 2
 
16) 2 17 
 
33) 16 
17) 6 2 
34) 22