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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ – UESC 
CET160 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – CRÉDITO I – RESOLUÇÃO 
 
 
 
QUESTÃO 1 a): 
6
23
4
3
1
lim
2
1








x
x
. 
 
Devemos mostrar que dado um 
0
 qualquer, existe um 
0
 tal que 
 







6
23
4
3
1
x
 sempre que 

2
1
0 x
. (1) 
 
Como 
6
23
4
3
1






 x
6
1
3
1
 x 












2
1
3
1
x
2
1
3
1
 x
2
1
3
1
 x
, 
 
(1) é equivalente a 
 

2
1
3
1
x
 sempre que 

2
1
0 x
, ou 
 
3
2
1
x
 sempre que 

2
1
0 x
. 
 
Assim, tomando 
 3
, 
6
23
4
3
1
lim
2
1








x
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 1 b): 
2
1
32
1
lim
2
2



 x
x
x
. 
 
Devemos mostrar que dado um 
0
 qualquer, existe um 
0N
 tal que 
 











2
1
32
1
2
2
x
x sempre que Nx  . (1) 
 
Como 
2
1
32
1
2
2











x
x
 322
1
2 


x 32
1
2
1
2 







x 32
1
2
1
2 

x 32
1
.
2
1
2 

x
, 
 
e, ainda, como 
Rx
x


,0
32
1
2
, 
32
1
32
1
22 

 xx
 
 
(1) é equivalente a 
 

 32
1
.
2
1
2x
 sempre que 
Nx 
, ou 
 
2
32
1
2

x
 sempre que 
Nx 
, ou 
 
2
1
32 2 x
 sempre que 
Nx 
, ou 
 
3
2
1
2 2 

x
 sempre que 
Nx 
, ou 
 
2
3
4
12 

x
 sempre que 
Nx 
, ou 
 
2
3
4
1


x
 sempre que 
Nx 
, ou 
 
2
3
4
1


x
 sempre que 
Nx 
, ou 
 
2
3
4
1


x
 sempre que 
Nx 
, ou 
 
Assim, tomando 
2
3
4
1


N


4
61


61
2
1 

, 
2
1
32
1
lim
2
2



 x
x
x
.. 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2: 












3,4
2
3,
9
642
)(
2
2
xx
a
x
x
xx
xf . 
 
Primeiramente vamos determinar o 
9
642
lim
2
2
3 

 x
xx
x
; 
 
Como 
  0642lim 2
3


xx
x
, 
  09lim 2
3


x
x
, 
)1)(3(2642 2  xxxx
 e 
)3)(3(92  xxx
, 
 
9
642
lim
2
2
3 

 x
xx
x )3)(3(
)1)(3(2
lim
3 


 xx
xx
x )3(
)1(2
lim
3 


 x
x
x
6
4.2

3
4

. 
 
Para que 
)(lim
3
xf
x
 exista é necessário que 
)(lim
3
xf
x 
3
4

)(lim
3
xf
x 

. 
 
Como 
)(lim
3
xf
x 
)4
2
(lim
3


x
a
x
43.
2

a
4
2
3

a
, 
 
então 
3
4
4
2
3

a 8249  a 169  a
9
16
 a
. 
 
Resposta: 
9
16
a
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 a: 
x
x
x


42
lim
0
. 
 
Como 
  042lim
0


x
x
, 
0lim
0


x
x
 e 
 
x
x 42
x
x
x
x



42
42
.
42
 xx
x



42
)4(4
 xx
x


42 x

42
1
, 
 então 
x
x
x


42
lim
0 xx 

 42
1
lim
0 22
1


4
1

. 
 
Resposta: 
x
x
x


42
lim
0 4
1

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 b: 
4 4 53
8
lim
 x
x
x
. 
 
Sabemos que 
xx 
4 4
 e, como 
0x
, pois 
x
, então 
xx 
. Daí, 
 
4 4 53
8
lim
 x
x
x
4 4
4 4 53
8
lim
x
x
x
x
x 


4
4
5
3
8
lim
x
x



4 03
8


4 3
8
 3
38
4 3

3
2784

. 
 
Resposta: 
4 4 53
8
lim
 x
x
x
3
2784

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 c: 
x
x
x 

 2
lim
2
2
. 
 
  04lim 2
2


x
x
 e 
 
  02lim
2


x
x
, por valores positivos, pois para 
2x
, 
02  x
. 
 
Logo 
x
x
x 

 2
lim
2
2

. 
 
Resposta: 
x
x
x 

 2
lim
2
2

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 d: 
32
15
lim
2
2
3 

 xx
xx
x
. 
 
 15lim 2
3


xx
x
13.532  025
 e 
 
 32lim 2
3


xx
x
33.232  0
. 
 
Seja 
001,3x
; então 
322  xx     3001,32001,3 2  004001,0
. 
 
Assim, 
 32lim 2
3


xx
x
0
, através de valores positivos. 
 
Logo 
32
15
lim
2
2
3 

 xx
xx
x

. 
 
Resposta: 
32
15
lim
2
2
3 

 xx
xx
x

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 e: 
633
462
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
. 
 
Como 
  0462lim 2
2


xx
x
, 
  0633lim 2
2


xx
x
, 
462 2  xx
)2)(1(2  xx
 e 
633 2  xx
)2)(1(3  xx
, 
 
633
462
lim
2
2
2 

 xx
xx
x )2)(1(3
)2)(1(2
lim
2 


 xx
xx
x )1(3
)1(2
lim
2 


 x
x
x
 
 33
1.2



9
2

. 
 
Resposta: 
633
462
lim
2
2
2 

 xx
xx
x 9
2

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 4: A expressão 
023lim
3
2


x
x
 é falsa, pois apesar de 
023lim
3
2



x
x
, não existe 
o 
23lim
3
2



x
x
, uma vez que 
023 x
, para todo 
3
2
x
.

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