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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ – UESC CET160 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – CRÉDITO I – RESOLUÇÃO QUESTÃO 1 a): 6 23 4 3 1 lim 2 1 x x . Devemos mostrar que dado um 0 qualquer, existe um 0 tal que 6 23 4 3 1 x sempre que 2 1 0 x . (1) Como 6 23 4 3 1 x 6 1 3 1 x 2 1 3 1 x 2 1 3 1 x 2 1 3 1 x , (1) é equivalente a 2 1 3 1 x sempre que 2 1 0 x , ou 3 2 1 x sempre que 2 1 0 x . Assim, tomando 3 , 6 23 4 3 1 lim 2 1 x x . QUESTÃO 1 b): 2 1 32 1 lim 2 2 x x x . Devemos mostrar que dado um 0 qualquer, existe um 0N tal que 2 1 32 1 2 2 x x sempre que Nx . (1) Como 2 1 32 1 2 2 x x 322 1 2 x 32 1 2 1 2 x 32 1 2 1 2 x 32 1 . 2 1 2 x , e, ainda, como Rx x ,0 32 1 2 , 32 1 32 1 22 xx (1) é equivalente a 32 1 . 2 1 2x sempre que Nx , ou 2 32 1 2 x sempre que Nx , ou 2 1 32 2 x sempre que Nx , ou 3 2 1 2 2 x sempre que Nx , ou 2 3 4 12 x sempre que Nx , ou 2 3 4 1 x sempre que Nx , ou 2 3 4 1 x sempre que Nx , ou 2 3 4 1 x sempre que Nx , ou Assim, tomando 2 3 4 1 N 4 61 61 2 1 , 2 1 32 1 lim 2 2 x x x .. QUESTÃO 2: 3,4 2 3, 9 642 )( 2 2 xx a x x xx xf . Primeiramente vamos determinar o 9 642 lim 2 2 3 x xx x ; Como 0642lim 2 3 xx x , 09lim 2 3 x x , )1)(3(2642 2 xxxx e )3)(3(92 xxx , 9 642 lim 2 2 3 x xx x )3)(3( )1)(3(2 lim 3 xx xx x )3( )1(2 lim 3 x x x 6 4.2 3 4 . Para que )(lim 3 xf x exista é necessário que )(lim 3 xf x 3 4 )(lim 3 xf x . Como )(lim 3 xf x )4 2 (lim 3 x a x 43. 2 a 4 2 3 a , então 3 4 4 2 3 a 8249 a 169 a 9 16 a . Resposta: 9 16 a . QUESTÃO 3 a: x x x 42 lim 0 . Como 042lim 0 x x , 0lim 0 x x e x x 42 x x x x 42 42 . 42 xx x 42 )4(4 xx x 42 x 42 1 , então x x x 42 lim 0 xx 42 1 lim 0 22 1 4 1 . Resposta: x x x 42 lim 0 4 1 . QUESTÃO 3 b: 4 4 53 8 lim x x x . Sabemos que xx 4 4 e, como 0x , pois x , então xx . Daí, 4 4 53 8 lim x x x 4 4 4 4 53 8 lim x x x x x 4 4 5 3 8 lim x x 4 03 8 4 3 8 3 38 4 3 3 2784 . Resposta: 4 4 53 8 lim x x x 3 2784 . QUESTÃO 3 c: x x x 2 lim 2 2 . 04lim 2 2 x x e 02lim 2 x x , por valores positivos, pois para 2x , 02 x . Logo x x x 2 lim 2 2 . Resposta: x x x 2 lim 2 2 . QUESTÃO 3 d: 32 15 lim 2 2 3 xx xx x . 15lim 2 3 xx x 13.532 025 e 32lim 2 3 xx x 33.232 0 . Seja 001,3x ; então 322 xx 3001,32001,3 2 004001,0 . Assim, 32lim 2 3 xx x 0 , através de valores positivos. Logo 32 15 lim 2 2 3 xx xx x . Resposta: 32 15 lim 2 2 3 xx xx x . QUESTÃO 3 e: 633 462 lim 2 2 2 xx xx x . Como 0462lim 2 2 xx x , 0633lim 2 2 xx x , 462 2 xx )2)(1(2 xx e 633 2 xx )2)(1(3 xx , 633 462 lim 2 2 2 xx xx x )2)(1(3 )2)(1(2 lim 2 xx xx x )1(3 )1(2 lim 2 x x x 33 1.2 9 2 . Resposta: 633 462 lim 2 2 2 xx xx x 9 2 . QUESTÃO 4: A expressão 023lim 3 2 x x é falsa, pois apesar de 023lim 3 2 x x , não existe o 23lim 3 2 x x , uma vez que 023 x , para todo 3 2 x .
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