Arranjos Atômicos (2) (materiais de construção mecânica) (2 estágio-ufcg)

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Universidade Federal de Campina Grande 
Centro de Ciências e Tecnologia 
Unidade Acadêmica de Engenharia Mecânica 
Arranjos Atômicos 
Prof. Ricardo Cabral de Vasconcelos 
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 Estrutura dos materiais: 
 Estrutura cristalina; 
 Estrutura amorfa; 
 Estrutura molecular. 
 
 Espaçamento interatômico: 
 
 Estrutura cristalina; 
 Estrutura cúbica; 
 Estrutura hexagonal; 
 Compostos CFC. 
 
 Alotropia. 
 
 Cristalografia: 
 Posições atômicas; 
 Direções cristalinas; 
 Planos cristalinos; 
 Ângulo entre direções; 
 Densidade atômica linear; 
 Densidade atômica planar; 
 Espaçamento interplanar. 
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ESTRUTURA DOS MATERIAIS 
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Estrutura dos materiais 
 Muitos materiais - metais, algumas cerâmicas, alguns polímeros - ao se 
solidificarem, se organizam numa rede geométrica 3D - a rede 
cristalina. 
 Estes materiais cristalinos, têm uma estrutura altamente organizada, 
em contraposição aos materiais amorfos, nos quais não há ordem de 
longo alcance. 
Imagens obtidas com Microscópio 
Eletrônico de Transmissão (MET). 
Fronteira 
Cristal 1 
Cristal 2 
Fronteira entre dois cristais de TiO
2
. 
Note a organização geométrica dos 
átomos. 
Estrutura dos materiais: 
 Estrutura cristalina; 
 Estrutura amorfa; 
 Estrutura molecular. 
2nm 
Carbono amorfo. Note a 
desorganização na posição 
dos átomos. 
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 As propriedades dos materiais dependem do 
arranjo de seus átomos. 
 
 Classificação dos arranjos: 
 Estruturas (materiais) cristalinas; 
 Estruturas (materiais) amorfas; 
 Estruturas (materiais) moleculares. 
 
 Materiais cristalinos: sólidos que apresentam 
ordem de longo alcance (periodicidade maior que 
comprimento de ligações) - arranjo repetitivo de 
átomos 
 Monocristalinos 
 Policristalinos (contornos de grãos) 
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 Materiais amorfos, vítreos, não-cristalinos: 
sólidos que não apresentam ordem de longo 
alcance - estrutura sem nenhuma 
regularidade 
 
 Molécula: número limitado de átomos 
possuindo: 
 Ligações intramoleculares – muito fortes 
(ligações covalentes em sua maioria e 
ligações iônicas). 
 Ligações intermoleculares – fracas (forças 
de Van Der Waals). Ex.: H
2
O, CO
2
, O
2
, CCl
4
, 
N
2
 etc. 
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 Moléculas Poliméricas – Um polímero (muitas 
unidades) é uma grande molécula constituída por 
pequenas unidades que se repetem, denominadas 
mero. 
 
 A maior parte dos materiais denominados 
plásticos, são constituídos por moléculas 
poliméricas. Deste modo, se conhecemos a 
estrutura dos meros que se repetem, estamos 
aptos a descrever a estrutura das moléculas muito 
grandes. 
 
 A maior parte dos polímeros se origina de uma 
combinação de monômeros (unidades simples). 
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Esquema de policristal 
Contornos 
de grão 
Grão 
Grão A 
Grão B 
Orientação da célula 
unitária no grão A 
Orientação da célula 
unitária no grão B 
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Exemplo em polímeros 
 Etileno e Polietileno 
 Na molécula de 
etileno (C
2
H
4
), os 
carbonos 
compartilham dois 
pares de elétrons. 
 
 A ligação covalente 
dupla pode se romper 
em duas simples 
permitindo a ligação 
com outros “meros” 
para formar uma longa 
molécula de 
polietileno. 
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 Essas observações (ligações fortes e ligações 
fracas) são suportadas pelos seguintes fatos: 
 Os pontos de ebulição e de fusão são baixos, 
quando comparadas com outros materiais. 
 Os sólidos moleculares são moles, porque as 
moléculas podem escorregar umas em relação 
às outras com aplicações de pequenas tensões. 
 As moléculas permanecem intactas, quer na 
forma líquida, quer na forma gasosa. 
 
 Os elementos mais encontrados nas moléculas são 
os não-metais e o hidrogênio. O carbono é 
elemento mais importante. 
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ESPAÇAMENTO INTERATÔMICO 
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Espaçamento Interatômico 
Na distância de equilíbrio, a força de atração entre os 
íons é compensada pela força de repulsão entre as 
nuvens eletrônicas 
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 F = dE/da 
 
 O ponto em que a força de 
ligação é zero corresponde ao 
ponto de mínima energia - 
Configuração estável. 
 
 Valores típicos para a
0
 são da 
ordem de 0.3nm (0.3x10-9m) 
 
 Valores típicos para a energia 
de ligação são entre 600 e 
1500 kJ/mol 
 
 A energia de ligação está 
diretamente relacionada com o 
ponto de fusão do material. 
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Comentários sobre forças e 
energia 
 Força de repulsão possui origem quântica. 
Princípio de Exclusão de Pauli: duas 
partículas não podem ocupar o mesmo 
estado quântico. 
 
 Força de atração possui origem eletrostática 
- interação Coulombiana, interações 
dipolares, interações entre elétrons na última 
camada. 
 
 Energia de ligação é a energia associada 
com a formação da ligação partindo da 
condição inicial que os átomos (íons) estão 
inicialmente separados de uma distância 
infinita. 
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 Sempre que uma ligação é formada, o sistema 
apresenta uma redução de energia. 
 
 A energia é mínima na condição interatômica de 
equilíbrio (poço de potencial). 
 
 Quanto mais fundo o poço, mais estável é a 
ligação, maioré o ponto de fusão/ebulição do 
material. 
 
 Os átomos estão constantemente vibrando ao 
redor da posição de equilíbrio. 
 
 A distância interatômica de equilíbrio, a
o
, só é 
bem definida quando a temperatura é 0 K. 
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 A expansão térmica se deve à curva do poço de energia 
potencial ser assimétrica, e não às maiores amplitudes 
vibracionais dos átomos em função da elevação da 
temperatura. Deste modo, a distância interatômica 
média aumenta gerando a EXPANSÃO TÉRMICA. 
 
 Se a curva da energia potencial fosse simétrica não 
existiria qualquer variação liquida ou global na 
separação interatômica e, conseqüentemente, não 
existiria qualquer expansão térmica. 
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 Distâncias Interatômicas - As forças de atração 
entre os átomos mantêm os mesmos próximos 
entre si. Estes átomos não ficam mais próximos 
ainda devido a força de repulsão que ocorre com 
a aproximação dos elétrons. 
 
 Assim, os átomos se mantêm à uma distância de 
equilíbrio uns dos outros. Esta é a distância para 
qual ambas as forças, de repulsão e de atração, 
são iguais. 
 
 Número de Coordenação - NC - representa o 
número de vizinhos mais próximos que um átomo 
tem. 
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ESTRUTURA CRISTALINA 
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ESTRUTURA CRISTALINA 
 A maioria dos materiais de interesse 
para o engenheiro tem arranjo atômico, 
que são repetições, nas três 
dimensões, de uma unidade básica. 
Tais estruturas são denominadas 
cristais. 
 
 A repetição tridimensional nos cristais 
é devida à coordenação atômica no 
interior do material; adicionalmente, 
esta repetição, algumas vezes, 
controla a forma externa do cristal. 
Estrutura cristalina; 
 Estrutura cúbica; 
 Estrutura hexagonal; 
 Compostos CFC. 
 
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Os 7 Sistemas Cristalinos 
Qualquer empacotamento atômico deverá se encaixar 
em um dos sete principais tipos de cristais. Estes 
estão intimamente associados com o modo pelo qual o 
espaço pode ser dividido em volumes iguais, pela 
interseção de superfícies planas. 
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 O mais simples e mais regular deles envolve três 
conjuntos mutuamente perpendiculares de planos 
paralelos, igualmente espaçados entre si, de forma a 
dar uma série de cubos (Figura 3.11). 
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 Esses sete sistemas incluem todas as possíveis 
geometrias de divisão do espaço por superfícies 
planas contínuas. 
 
 Os sistemas cristalinos são apenas entidades 
geométricas. Quando posicionamos átomos 
dentro destes sistemas formamos redes (ou 
estruturas) cristalinas. 
 
 Existem apenas 14 redes que permitem 
preencher o espaço 3D. 
 
 Como a ligação metálica é não direcional não há 
grandes restrições quanto ao número e posição 
de átomos vizinhos. Assim, os metais terão NC 
alto e empilhamento compacto. 
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Célula Unitária 
Como a rede cristalina tem uma estrutura repetitiva, 
é possível descrevê-la a partir de uma estrutura 
básica, como um “tijolo”, que é repetida por todo o 
espaço. 
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As 14 Redes de Bravais 
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Estruturas Cristalinas dos Metais 
 A maior parte dos metais se estrutura nas redes 
cfc, ccc e hc. Essas estruturas juntamente com a 
cs são mais simples e são as que estudaremos 
com mais detalhes. Assim, estudaremos as redes: 
 cúbica simples - cs (sc - simple cubic); 
 cúbica de corpo centrado - ccc (bcc - body centered 
cubic); 
 cúbica de face centrada - cfc (fcc - face centered 
cubic); 
 hexagonal compacta - hc (hcp - hexagonal close 
packed). 
 
 Daqui para frente representaremos os átomos 
como esferas rígidas que se tocam. As esferas 
estarão centradas nos pontos da rede cristalina. 
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Cúbico Simples 
 Figura 3.12 
Parâmetro do 
reticulado, a. A 
célula unitária 
descreve todo o 
cristal. 1/8 do 
átomo do 
vértice está 
dentro da 
célula. 
52,0
)2(
3/ 4
unitária célula da Volume
átomos dos Volume
 atômico ntoempacotame deFator 
3
3


r
r
CS  a = 2r 
Estrutura cristalina; 
 Estrutura cúbica; 
 Estrutura hexagonal; 
 Compostos CFC. 
 
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Cúbico de Corpo Centrado 
 A rede cúbica de corpo centrado é uma rede 
cúbica na qual existe um átomo em cada vértice 
e um átomo no centro do cubo. Os átomos se 
tocam ao longo da diagonal. 
 
 Cada átomo é cercado por oito átomos 
adjacentes, quer o átomo esteja localizado em 
um vértice, quer no centro da célula unitária. 
Portanto, todos os átomos são, geometricamente, 
equivalente. 
 
 Há dois átomos por células unitária em uma 
estrutura CCC. 
 Ex: Ferro à temperatura ambiente. Figuras 3.13 
e 3.14. 
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Cúbica de Corpo Centrado 
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3
4R
aCCC 
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Cúbica de Face Centrada 
 A rede cúbica de face centrada é uma 
rede cúbica na qual existe um átomo em 
cada vértice e um átomo no centro de 
cada face do cubo. Os átomos se tocam 
ao longo das diagonais das faces do 
cubo. 
 
 Figuras 3.15 e 3.16. Esta estrutura é mais 
comum nos metais que a estrutura CCC. 
Ex: Al, Cu, Pb, Ag, Ni e Fe a temperaturas 
elevadas. Cada átomo possui 12 vizinhos. 
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Cristais Hexagonais. 
 A rede hexagonal compacta pode ser 
representada por um prisma com base 
hexagonal, com átomos na base e topo e um 
plano de átomos no meio da altura. 
a 
c 
c/2 
Número de átomos na célula 
unitária 
 Na= 12x1/6 + 2x(1/2) + 3 = 6 
Relação entre a e r 
2R = a 
FEA = 0.74 NC =12 
A rede hc é tão 
compacta quanto a cfc 
Estrutura cristalina; 
 Estrutura cúbica; 
 Estrutura hexagonal; 
 Compostos CFC. 
 
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 Cristal hexagonal simples (HS) 
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 Figura 3.17, 3.18 e 3.19. A forma hexagonal 
compacta (HC) é bem mais densa. Há uma média de 
seis átomos por célula unitária na estrutura HC. 
 
 O fator de empacotamento atômico é idêntico ao da 
CFC, fato previsível devido ao valor 12 do número de 
coordenação. 
Hc  a=2r , c= 2a 
 _ 
2/3 
__ 
c 
a 
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 Cálculo da razão c/a 
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 Cálculo do fator de empacotamento 
atômico. 
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Empilhamento ótimo 
O fator de empilhamento de 0.74, obtido nas redes cfc e 
hc, é o maior possível para empilhar esferas em 3D. 
A A A 
A 
A A A A 
A A A A 
A A A 
A A A 
A 
cfc 
hc 
B B 
B 
B B B 
B B B 
B B 
B 
C C C 
C 
C C 
C C 
C C C 
C 
A A A 
A 
A A A A 
A A A A 
A A A 
A A A 
A 
A 
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56 
Compostos CFC 
 Os compostos também podem 
ter reticulado cúbico de face 
centrada (Figura 3.10). O centro 
de cada face é equivalente, em 
todos os aspectos, ao vértice. 
No composto NaCl, onde 
diferentes átomos estão em 
contato, a dimensão da célula 
CFC e obtida da soma dos dois 
raios: 
 
 
 
 
 
 Com o valor do parâmetro pode 
ser calculado o volume da 
célula. O número de átomos 
permite a determinação da 
massa. Ambos permitirão o 
cálculo da densidade. 
)( 2)(   ClNaNaClCFC RRa
Estrutura cristalina; 
 Estrutura cúbica; 
 Estrutura hexagonal; 
 Compostos CFC. 
 
A 
R 
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A 
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ALOTROPIA 
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A 
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 Alotropia (polimorfismo) 
 Ex: Ferro – CCC e CFC. 
A 
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60 
Cristalografia 
 Para poder descrever a 
estrutura cristalina é 
necessário escolher uma 
notação para posições, 
direções e planos. 
 
 Posições 
 São definidas dentro de um 
cubo com lado unitário. 
Cristalografia: 
 Posições atômicas; 
 Direções cristalinas; 
 Planos cristalinos; 
 Ângulo entre direções; 
 Densidade atômica linear; 
 Densidade atômica planar; 
 Espaçamento interplanar. 
A 
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R 
A 
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62 
Direções cristalográficas 
 As direções são definidas a partir da origem. 
 
 Suas coordenadas são dadas pelos pontos que 
cruzam o cubo unitário. Se estes pontos forem 
fracionais multiplica-se para obter números inteiros. 
Cristalografia: 
 Posições atômicas; 
 Direções cristalinas; 
 Planos cristalinos; 
 Ângulo entre direções; 
 Densidade atômica linear; 
 Densidade atômica planar; 
 Espaçamento interplanar. 
A 
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][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111][111 ][ 111
Direções Cristalinas em células cúbicas 
 As direções cristalinas são indexadas simplesmente 
como um segmento que se estende da origem até as 
posições de menores índices inteiros (Figura 3.21). 
Assim sendo, a direção [111] vai desde a origem 0, 0, 
0, até a posição1, 1, 1. 
 
 As direções são representadas dentro de colchetes, 
[u v w], usando as letras u, v, e w para notação dos 
mesmos índices nas direções x, y e z, 
respectivamente. Direções paralelas sempre terão os 
mesmos índices. 
 
 Famílias de direções – No cristal cúbico, as direções 
que se seguem são idênticas: 
A 
R 
R 
A 
N 
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A 
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65 
 Qualquer propriedade direcional [Ex: Módulo de 
Young, permeabilidade magnética e índice de refração, 
etc.] será idêntica nessas oitos direções. 
 
 Portanto, é conveniente identificar esta família de 
direções como <111> em lugar do uso dos índices das 
oitos direções individuais. Note que os símbolos que 
encerram os índices da família são < >. 
 
 Famílias de direções 
 Formadas por direções semelhantes dentro da 
estrutura cristalina. 
 <111> = 
][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111 ][ 111][111 ][ 111
A 
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69 
Índice de Miller 
 Determina as coordenadas 
reduzidas para as direções; 
 
 Determina as condições de 
identificação para os planos; 
 
 Identificam as interseções de 
planos que cortam os reticulados; 
 
 Devem ser reduzidos a um 
reticulado simples. 
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DIREÇÕES CRISTALINAS 
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Direções Cristalinas em células 
hexagonais 
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75 
 Um cristal contém planos de átomos. 
Estes planos influenciam as 
propriedades e o comportamento de 
um material – sendo assim será 
vantajoso identificar vários planos no 
domínio dos cristais. 
 
 Os planos são indicados por ( h k l ) e 
os números indicados pelas letras h, 
k e l são denominados Índices de 
Miller. Figuras 3.22, 3.23, 3.24. 
Planos Cristalinos 
Cristalografia: 
 Posições atômicas; 
 Direções cristalinas; 
 Planos cristalinos; 
 Ângulo entre direções; 
 Densidade atômica linear; 
 Densidade atômica planar; 
 Espaçamento interplanar. 
A 
R 
R 
A 
N 
J 
O 
S 
A 
T 
Ô 
M 
I 
C 
O 
S 
 Para identificar os índices de 
Miller de um determinado plano 
inicialmente verificamos as 
interseções do plano nos eixos. 
A recíproca destas interações 
correspondem aos índices de 
Miller deste plano. 
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77 
 Todos os planos paralelos são identificados com 
os mesmos índices. A escolha da origem é 
arbitrária. 
 
 Os índices de Miller usados para identificar planos 
são os de mais baixos valores inteiros. No plano (h 
k l), os índices de Miller h, k e l são as recíprocas 
das interseções do plano com os eixos x, y e z 
respectivamente. 
 
 Existem também planos com índices negativos. 
 
 A família de planos é representada por {h k l}. 
 
 Todos os planos paralelos são representados 
pelos mesmos índices. 
A 
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78 
Planos cristalográficos - Índices de 
Miller 
 A notação para os planos 
utiliza os índices de Miller, 
que são obtidos da 
seguinte maneira: 
 Obtém-se as intersecções 
do plano com os eixos, nas 
dimensões das células 
unitárias. 
 Obtém-se o inverso das 
intersecções (Determine os 
recíprocos). 
 Transforme as frações em 
inteiros (determinação do 
mínimo múltiplo comum). 
 Reduza aos menores 
inteiros possíveis. 
Intersecções: 1/2, ,1 
Inversos: 2, 0 ,1 
Índices de Miller: (201) 
 
Em sistemas cúbicos o plano (hkl) 
é normal a direção [hkl] 

A 
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91 
Planos em Células 
Hexagonais 
A 
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95 
 Ângulo entre direções no sistema cúbico 
 Dado pelo produto escalar entre as direções, 
tratadas como vetores. 
Ex: [100] e [010] 
 cos=1.0 + 0.1 + 0.0 = 0 
 1 
 = 90° 
Ex: [111] e [210] 
 cos=1.2 + 1.1 + 1.0 = 3 
 3.5 5 
 = 39.2° 
222222 w'v'u'wvu
ww'vv'uu'
'DD
'DD
cosθ
cosθ'DD'DD
cw'bv'au''D
cwbvauD














Cristalografia: 
 Posições atômicas; 
 Direções cristalinas; 
 Planos cristalinos; 
 Ângulo entre direções; 
 Densidade atômica linear; 
 Densidade atômica planar; 
 Espaçamento interplanar. 
direções entre Ângulos
A 
R 
R 
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96 



esequivalent posições de
átomos de
Linear Densidade
Distância repetitiva – A deformação ocorre mais 
facilmente nas direções onde a densidade linear de 
posições equivalentes for maior. 
Cristalografia: 
 Posições atômicas; 
 Direções cristalinas; 
 Planos cristalinos; 
 Ângulo entre direções; 
 Densidade atômica linear; 
 Densidade atômica planar; 
 Espaçamento interplanar. 
Densidade Atômica Linear 
A 
R 
R 
A 
N 
J 
O 
S 
A 
T 
Ô 
M 
I 
C 
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97 
 DAL = Comprimento Total de 
Átomos/Comprimento de uma direção 
 Exemplo 
 Calcule a DAL das direções <100> na rede CFC 
Número total de átomos = 1 + 1 = 2 
 
Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 
1 átomo = 2R 
 
Comprimento da Direção = a e 4R = a  2 
=> a = 2R2 
 
DAL = 2R/a = 2R/ 2R2 = 1/2 = 0.707 
A 
R 
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98 
Densidade Atômica 
Planar 
 Análogo ao fator de empacotamento atômico, que 
corresponde à densidade volumétrica de átomos, 
podemos definir a densidade atômica planar 
 DAP = Área Total de Átomos/Área do Plano 
 Exemplo 
 Calcule a DAP dos planos {100} na rede CFC 
Número total de átomos = 1 + 4*1/4 = 2 
 
Área total de átomo = 2 x Área de 1 átomo 
= 2πR2 
 
Área do Plano = a
2
 e 4R = a √2 => a = 2R2 
 
DAP = 2 π R2/a2 = 2 π R2/8R2 = π /4 = 0,785 
Cristalografia: 
 Posições atômicas; 
 Direções cristalinas; 
 Planos cristalinos; 
 Ângulo entre direções; 
 Densidade atômica linear; 
 Densidade atômica planar; 
 Espaçamento interplanar. 
A 
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I 
C 
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S 
 Em cristais cúbicos tanto o plano quanto a 
direção normal ao plano têm os mesmos índices. 
 
 A densidade planar é a relação entre átomos no 
plano e a área do mesmo. 
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100 
 
 Espaçamento 
interplanar no cristal 
cúbico 
222 lkh
a
dhkl


a = parâmetro da célula 
e h, k e l são os índices 
do plano. 
Cristalografia: 
 Posições atômicas; 
 Direções cristalinas; 
 Planos cristalinos; 
 Ângulo entre direções; 
 Densidade atômica linear; 
 Densidade atômica planar; 
 Espaçamento interplanar. 
A 
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101 
 Ler: 1 – Análise por Raios X; 2 – 
Cristais moleculares; 3 – 
Estruturas não cristalinas. 
A 
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A 
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M 
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C 
O 
S 
Bibliografia 
1. Chiaverini, V., Tecnologia Mecânica vol. I, vol. II e vol. 
III, Ed. Makron Books do Brasil Ltda, 1986. 
 
2. Van Vlack, L H., Princípio de Ciência dos Materiais, Ed. 
Edgard Blücher Ltda, 1970. 
 
3. Callister Jr., W. D., Ciência e Engenharia de Materiais: 
Uma Introdução, LTC – Livros Técnicos e Científicos 
Editora S.A., 2002. 
 
4. Shackelford, James F., Introduction to Materials 
Science for Engineers, MacMillan, 1994. 
 
5. Higgins, R. A., Propriedades e Estruturas dos Materiais 
em Engenharia, Difusão Editorial S.A., 1982. 
 
6. Padilha, A. F., Materiais de Engenharia, Hemus Editora 
Ltda, 1997. 
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102