ATPS Matemática Aplicada

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Universidade Anhanguera – UNIDERP - Centro de Educação a Distância
Curso – Administração
Turma 2ª série
Disciplina – Matemática Aplicada
Professora: Jeanne Dobgenski
Participantes:
Adélio da Silva Castro – RA 419832
Claudemir Pedro Ambrósio – RA 415041
Silvio Aluísio – RA 421700
Gustavo César Cortezi – RA 418914
Nilton Aparecido Rocha – RA 7986728214
ATPS – Matemática Aplicada
São José do Rio Preto - S.P – 
 05 de Abril de 2014.
SUMÁRIO
ETAPA 1 - Introdução-------------------------------------------- ----------------------------03
1.1 Tipos de Funções--------------------------------------------------------------------------- 04
ETAPA 2 Conceitos Teóricos de Funções------------------------------------------------- 06
2.1 Função Receita----------------------------------------------------------------------------- 07
2.2 Elaboração de Gráficos-------------------------------------------------------------------11
ETAPA 3 Variação Média e Variação Instantânea-------------------------------------12
3.1 Variação Média do período matutino-------------------------------------------------13
3.2 Função Custo, Função Salário e Função Lucro------------------------------------ 14
ETAPA 4 Elasticidade------------------------------------------------------------------------16
4.1 Demanda para o período matutino----------------------------------------------------16
Considerações Finais--------------------------------------------------------------------------17
Referências Bibliográficas-------------------------------------------------------------------19
Introdução
Com o crescimento constante das organizações e a necessidade de excelentes resultados administrativos e financeiros faz-se necessário uma área contábil atuante e moderna, voltada à realização de ações estruturadas para o bom fornecimento de informações gerenciais que serão utilizadas na tomada de decisão. O campo da Matemática Aplicada apresentado neste trabalho permite ao profissional ponderar suas decisões baseando-as em relatórios, gráficos, funções e comparações. O estudo de caso possibilita a prática dessas ferramentas matemáticas, inseridas em situações reais do dia a dia de uma empresa fictícia, aqui denominada “Reforço Escolar”. A intenção e o objetivo são o aconselhamento e a demonstração das melhores opções de investimento, empréstimo e desempenho financeiro do “Reforço Escolar”, respeitando as regras matemáticas, convenções e a legislação contábil pertinente. Nessa nova era da globalização, da competitividade e instabilidade de mercado, as organizações tem o dever de buscar novas ferramentas para facilitar o processo, para isso, o administrador e o contador desempenham funções essenciais fazendo uso de competências que repousam em habilidades conceituais, humanas e técnicas devendo ser ajustadas ao nível da organização na qual serão utilizadas.
ETAPA 01
Valor pleiteado no Banco ABC
Custo para Capacitação de 20 professores: R$ 40.000,00 à vista
Custo de aquisição de novos computadores: R$ 54.000,00 à vista
Número de alunos matriculados
Alunos matriculados pela manhã: 180
Alunos matriculados à tarde: 200
Alunos matriculados á noite: 140
Alunos matriculados aos finais de semana: 60
Número total de alunos = 580
Valores das mensalidades:
Valor cobrado dos alunos que estudam pela manhã: R$ 200,00
Valor cobrado dos alunos que estudam à tarde: R$ 200,00
Valor cobrado dos alunos que estudam à noite: R$ 150,00
Valor cobrado dos alunos que estudam aos finais de semana: R$ 130,00
Despesas da Escola
Salários dos professores: R$ 50,00 / hora aula, menos 20% de descontos.
Custo operacional fixo: R$ 49.800,00
Carga horária dos professores
Semanal: 2 horas-aula para cada grupo de 20 alunos 
Taxas de juros do Banco ABC
Para os equipamentos: Taxa de 1,0% ao mês (prazo de 2 a 24 meses)
Para treinamentos: Taxa de 0,5% ao mês (prazo de 12 meses)  
Os problemas abordam os seguintes conteúdos: função do primeiro grau, juros simples, receita, custo , lucro, taxa de variação média, variação instantânea, função marginal, elasticidade, elaboração de gráficos.
Juro simples
É o juro calculado unicamente sobre o capital inicial; não incidindo sobre os juros acumulados. A taxa de juros varia unicamente em função do tempo. (É um aluguel pelo uso do dinheiro).
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J = P. i. n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Receita
Definição: É dada pela multiplicação do preço unitário P pela quantidade Q comercializada, ou seja - R = P . Q
Custo:
O custo é o gasto econômico que representa a fabricação de um produto ou a prestação de um serviço. 
Dizemos que a função custo é obtida pela soma de uma parte variável. 
O custo variável, com uma parte fixa, o custo fixo. 
Portanto dizemos que - C = Cv + Cf
Portanto dizemos que - C = Cv + Cf
Lucro:
A função lucro é definida pela diferença da receita pelo custo.
L = R – C
Taxa de Variação média:
Através dela, entendemos, por exemplo, que a variação em uma quantidade produzida, determina uma variação correspondente nos custos de produção. A taxa de variação media em uma função do primeiro grau e representada pelo coeficiente angular da equação.
Taxa de Variação instantânea:
Através dela, por exemplo, calculamos a taxa de variação em um instante específico.
Função marginal:
Pode ser utilizada, por exemplo, para calcular o custo de produção de uma determinada peça, entre todas as outras. Neste caso usa-se a derivada da função custo substituindo o q (quantidade) pelo número da peça em questão.
Elasticidade
Elasticidade parte do conceito da variação do preço de determinada mercadoria/bem, e qual a reação do consumidor, procurando resultados na quantidade comprada, ou seja, quando a demanda cai o preço sobe, e quando a oferta aumenta o preço sobe. Criado pelo inglês Alfred Marshael, a elasticidade mede a magnitude das variações nos preços. Analisando como estratégia de vendas, o administrador de usá-lo através da “jogada de preço”, pois qualquer variação no valor final do produto reflete no volume das vendas. 
A elasticidade se divide em alguns fatores, que agem de maneiras diferentes na variação do preço, são eles: ELASTICIDADE, PREÇO DA DEMANDA, verifica a magnitude de variação no valor de um determinado produto, e o consumo do mesmo produto, esta variação se sujeita a diversos fatores influenciadores; ELASTICIDADE CRUZADA verifica a magnitude de variação no valor de um determinado produto, afetando a procura de outro produto qualquer; e ELASTICIDADE RENDA, verifica a magnitude na mudança da renda do assalariado, que afeta a procura de determinado produto. 
ETAPA 2
FUNÇÃO DE 1°GRAU
O significado de função do 1° relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax+b) constituindo f(x)=ax+b; Note que para definir a função do 1° basta haver uma expressão algébrica como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionada cada valor de x um valor para o f(x) os valores numéricos muda conforme o valor de x é alterado obtemos assim diversos pares ordenados constituídos (x.f(x)) para cada coordenada x temos f(x) isso auxilia a construção de gráficos das funções para que as funções de 1° grau seja um sucesso compreenda os gráficos e a algébrica e dos coeficientes.
FUNÇÃO DO 2° GRAU E FUNÇÃO QUADRATICA
As funções 2° tem sua representação Geométrica e é dada por uma parábola que de acordo com o sinal do coeficiente ela pode ser concavidade para cima ou concavidade para baixo. As raízes de uma função do 2° grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x dada a função x, ax2+bx+c se f(x) =0 obtemos uma equação do 2°grau dependendo do discriminante Delta pode tervários descriminantes como a equação com duas raízes interceptando o eixo em pontos distintos, uma raiz interceptando o eixo x em um único ponto, a equação não possui raízes reais não intercepta o eixo x.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Essa Função possui uma relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente y=2, y=3x+4, y=4x.
A Lei de formação de uma função exponencial x precisa ser maior que zero e diferente de um conforme a seguinte notação R- R tal que y=ax sendo a> 0 e 0<a<1, ela é utilizada em situações que a taxa de variação e´ considerada grande, como por exemplo calculo de juros compostos desenvolvimento cíclico de bactérias , crescimento populacional etc.
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTANEA
Pode-se representar a variação de quantidade em relação à outra por meio de uma razão denominada taxa de variação. A taxa de variação pode ser media ou instantânea; as taxas de variação ocorrem em muitas situações práticas em Administração de Empresas e Contabilidade. A velocidade que uma empresa produz um produto ou a razão entre a quantidade e capital investido são taxas de variação.
DERIVADA
Dizemos que Derivada é a taxa de variação de uma função y=f(x) em relação à x dada pela relação /\x//\y, considerando a função y=f(x) a sua derivada no ponto x=x0 corresponde á tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a curva da função y=f(x) Isto é, o coeficiente angular da reta tangente a curva; Temos que a taxa de variação instantânea de uma função y=f(x) em relação à x é dada pela expressão dy/dx. Derivada é uma propriedade local da função, isto é, para um determinado valor de x. 
Resolução de funções
Função de 1° grau
Função custo: C =2q+100; Função Receita R=7q Função Lucro L=R-C
L=7q-(2q+100) logo L=7q-2q+100 logo 5q+100 logo L=0 logo 5q-100=0 logo q=100/5 logo q=20 se q<20 prejuízo se q>20 lucro se R=C não houve lucro 
Função de 2° grau
2x2-12x+10=0 logo Δ=b2-4.a.c / Δ=(12)2-4.2.10 / Δ=144-80/ Δ =64
X=-b+-√Δ/2.a logo x=-(-12)+-√64 logo x=12+8/4 logo x=12+8/4 logo 20/4=5 ou x=12-8/4= 4/4=1
Vértice da Parábola xv=-b/2.a logo xv=-(-12)/2.2 logo xv= 12/4=3
Yv=-Δ/4.a logo Yv=64/4. a logo Yv=64/4.2 logo Yv=-64/8= -8
FUNÇÃO QUADRATICA
É uma Função Polinomial de 2° grau e tem a forma f(x) =ax2+bx=c em que a, b, c são constantes reais R 2q2 + 200q é quadrática o custo na fabricação de q pares sapatos são c=40q+1400 ache o lucro L=R-C 
L=2q2=200q-(40q+1400) logo 2q2+160q-1400= logo q1=10 q2=70 logo qv=10+70/2=40 L v= -2.402+160.40-1400=1800 logo o vértice é v=(40, 1800) 
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA
Δy= yF-yi/Δx = xf-xi logo P(q)=125.1.02x/P(q)=125.1.0210=152,4 logo 155.4-152.4=3.05
Resolução das atividades do Anexo 1 – “Reforço Escolar”
Atividade 01
 
Escreva a função receita para cada turno de aulas. Depois calcule o valor médio das mensalidades e escreva outra função receita para o valor obtido como média.
Receita manhã:	RM = 200 . x		→ 	200. 180 = 36.000
Receita tarde:	RT = 200 . x		→	200. 200 = 40.000
Receita noite:	RN = 150. x		→	150. 140 = 21.000
Rec. fin. de sem:	RFS = 130 . x		→ 130. 60 = 7.800
Onde: x é a quantidade de aluno em cada turno.
Valor médio das mensalidades:
MENS Média = (Mensal M + Mensal T + Mensal N + Mensalidade FS) / 4
MENS Média = (200 + 200 + 150 + 130) / 4=170
 
Obs.: Para calcular a mensalidade média, usou-se a média simples e não a média ponderada.
Função da mensalidade média
M M	= 170. x
Atividade 1 – Função Receita:
R(x) = p . x
p: preço de cada mensalidade e x: nº de alunos.
Receita para turma da manhã: R = 200 . 180 = R$ 36.000,00. Gráfico abaixo:
[pic]
Receita para turma da tarde: R = 200 . 200 = R$ 40.000,00. Gráfico abaixo:
[pic]
Receita para turma da noite: R = 150 . 140 = R$ 21.000,00. Gráfico abaixo:
[pic]
Receita para turma do final de semana: R = 130 . 60 = R$ 7.800,00. Gráfico abaixo:
[pic]
Valor médio das mensalidades: (200 + 200 + 150 + 130) / 4 = R$ 170,00.
Receita para o valor médio das mensalidades: R = 170 . (180 + 200 + 140 + 60) = R$ 98.600,00.
A escola possui 20 professores, cada um ganha R$ 50,00 por hora/aula menos 20% de descontos: 50 – 20% = R$ 40,00 por hora/aula.
As turmas são divididas em grupos de 20 alunos, portanto são necessárias 29 turmas:
580 alunos / 20 alunos = 29 turmas (grupos).
Os professores têm uma carga horária semanal de trabalho de 2 horas-aula para cada grupo de 20 alunos. 
Há 20 professores para 29 turmas.
Função salário:
S = [pic] = R$ 10.440,00
Gráfico 1 – Função Receita no Winplot p/ R$ 170:
[pic]
Atividade 02
Escreva a função salário dos professores e a função custo da escola.
 
Salário
Salário líquido por hora aula = Salário bruto por hora aula - 20%
Salário líquido por hora aula = 50 - 20%
Salário líquido por hora aula = 40
Onde:
x = nº de alunos matriculados
Então:
SALÁRIO =	4 x
SALÁRIO =	4. 580
SALÁRIO = 	2.320
Custo:
Para calcular o custo, primeiramente precisamos saber quantos professores a escola possui. Partindo do pressuposto que cada grupo deverá ter 40 horas-aula semanais, e cada professor disponibiliza 2 horas-aula por semana por grupo, e sendo:
X = n° de alunos
G = n° de grupos de 20 alunos
G = x / 20 = 0,05 x
Sendo:
Carga horária por professor (CHp) = 2 . G
Carga horária total (CHt) = 40 . G
N° de professores = CHt / CHp 
N° de professores = (40. G) / (2 . G)
N° de professores = 20
Considerando que o salário líquido mensal do professor é R$ 40,00 / h aula semanal.
Sendo:
Custo fixo = 49.800
Custo variável = Salário dos professores. N° de professores
Custo = Custo variável + Custo fixo
Custo = (4 x . 20) + 49.800
Custo = 80 x + 49.800
Aplicação:
Custo = (80. 580) + 49.800
Custo = 96.200
Sendo:
Receita = mensalidade média. nº alunos = 170 x
Custo = 80 x + 49.800
Lucro = Receita – Custo
Lucro = 170 x - (80 x + 49.800)
Lucro = 170 x - 80 x - 49.800
Lucro = 90 x - 49.800
ETAPA 03
A variação média é definida em intervalos grandes, como quando queremos saber a velocidade média que um veículo levou para fazer um percurso em determinado espaço de tempo. O melhor exemplo disso é a velocidade média e instantânea. Se um carro percorre 100 metros em 10 segundos a velocidade média dele (taxa de variação média) é 10 m/s, mas isso não garante que em todos os segundos se olhássemos para o registrador de velocidade ele marcaria 10m/s, na verdade o conceito de taxa de variação média não é exclusivo das funções de primeiro grau, e pode ser calculada para qualquer função.
A variação imediata é definida em pequenos acréscimos chamados de diferenciais, assim podemos calcular exatamente qual é a velocidade do carro em qualquer um dos instantes do trajeto diferente da variação média que por ser definida em um intervalo grande não garante a precisão da medida em um exato momento, A taxa de variação instantânea é dada pelo limite da taxa média de variação quando Δt → 0.
Calcular a variação media da função receita do período matutino (em 180<= q <= 210 onde q representa a quantidade de alunos matriculados)
qi=180
qf=210
= 200
Calcular a variação instantânea da função receita para o turno da manhã quando a quantidade de alunos for exatamente 201 matriculados.
Cálculo:
m = lim   f
h0       h
Q = (1)
R(1) = 200*1 = 200
R(1+h) – R(1) = 200 + 200h – 200 = 200h
m = lim     = 200h =   m = lim   = 200*201 = 200
h201           h                 h201           201
m = lim = R(1+h) – R(1)
h0               h
m = lim     = 200
h201       h
m = lim     = 200*201   = 200
h201         201
Escreva a função custo (custo fixo + folha de pagamento).
Para calcular o custo, primeiramente precisamos saber quantos professores a escola possui. Partindo do pressuposto que cada grupo deverá ter 40 horas-aula semanais, e cada professor disponibiliza 2 horas-aula por semana por grupo.
Sendo:
Carga horária por professor (CHp) = 2 . G
Carga horária total (CHt) = 40 . GN° de professores = CHt / CHp 
N° de professores = (40. G) / (2 . G)
N° de professores = 20
Considerando que o salário líquido mensal do professor é R$ 40,00 / h aula semanal.
Sendo:
Custo fixo = 49.800
Custo variável = Salário dos professores. n° de professores
Custo = Custo variável + Custo fixo
Custo = (4 x . 20) + 49.800
Custo = 80 x + 49.800
Aplicação:
Custo = (80. 580 ) + 49.800
Custo = 96.200
Escreva a função lucro.
Sendo:
Receita = mensalidade média****. Nº alunos = 170 x
Custo = 80 x + 49.800
Lucro = Receita – Custo
Lucro = 170 x - (80 x + 49.800 )
Lucro = 170 x - 80 x - 49.800
Lucro = 90 x - 49.800
Aplicação:
Lucro = 90 x - 49.800
Lucro = (90. 580) - 49.800
Lucro = 2.400
Levou-se em consideração a média simples e não a média ponderada
Calcular o valor das prestações para as seguintes quantidades de parcelas: 2, 5, 10, 20 e 24. 
R=valor prestação
p=valor empréstimo
i=Taxa de juro
n=numero de prestação
Escreva a função lucro.
	X=parcela
	Y= R=
	2
	27.405,54
	5
	11.128,23
	10
	5.702,25
	20
	2.993,63
	24
	2.548,88
Calcular o valor a ser devolvido pelo Capital de Giro a ser utilizado no treinamento dos professores.
 
M = montante a ser pago
c = valor do empréstimo = 40000
I = taxa de juro = 0,5%
n = prazo de pagamento = 12 meses
 
ETAPA 04
A Elasticidade é um conceito que tem por finalidade medir o grau de variações percentuais das quantidades procuradas de um bem ou serviço, em função de alterações percentuais de seus preços de mercado, ou seja, mede o grau de sensibilidade de uma variável dependente, em face de mudanças em uma ou mais variáveis que a determinam, permanecendo as restantes variáveis constantes.
Algebricamente, a elasticidade é dada pela variação percentual na variável dependente dividida pela mudança percentual na variável que a determina.
Calcular:
A demanda para as matrículas no período matutino, na escola, é dada por q =< 900 =< 3p , onde o preço varia no intervalo 180 ≤ p ≤ 220. Nestas condições, a equipe deverá obter a função que mede a elasticidade-preço da demanda para cada preço e obtenha a elasticidade para os preços p = 195 e p = 215 e interprete as respostas.
	Preço
	195
	215
	Elasticidade
	-1,86
	-2,53
	Aumento de preço
	1%
	1%
	Diminuição na demanda
	1,86%
	2,53%
Interpretação:
Se a mensalidade fosse R$ 195, e aumentasse 1% no seu valor a demanda diminuiria em 1,86%.
Se a mensalidade fosse R$ 215, e aumentasse 1% no seu valor a demanda diminuiria em 2,53%.
Atividade 03
Obtenha a função lucro e o valor informado pelo gerente no cadastro da escola. O financiamento de computadores e periféricos para fins educacionais, inclusive para unidades escolares, dentro do Banco ABC tem tarifa diferenciada de 1,0% ao mês e o prazo que pode variar de 2 até 24 parcelas. Sendo que a data do primeiro pagamento acontece trinta dias depois de assinado o contrato de financiamento. 
RE: FUNÇÃO LUCRO: 104.800,00 – 62.270,00: 42.530,00.
Atividade 04
Obtenha a função que determina o valor das prestações do financiamento do custo dos computadores e elabore tabela e gráfico para: 2, 5, 10, 20 e 24 prestações. A verba necessária para o treinamento dos professores poderá ser obtida por meio da utilização da modalidade “Capital de Giro”, a uma taxa especial de 0,5% ao mês (já que deve atender a necessidade de capital da empresa), com vencimento em um ano da data da assinatura do contrato. 
JUROS AO MÊS: 1,0% 
USANDO A FÓRMULA R= P*I (1+I)N ONDE: [(1+I)N -1] 
R: VALOR DAS PRESTAÇÕES 
P: VALOR DO EMPRÉSTIMO 
I: TAXA DE JUROS E 
N: NUMERO DE PRESTAÇÕES LOGO TEREMOS PARA 2 PARCELAS UM VALOR DE PRESTAÇÃO DE: 
R= 54000*0,01 (1+0,01)2 [(1+0,01)2 -1] R= 540*(1,01)2 [(1,01)2 -1] 
R= 540*1,0201 1,0201-1 R= 550,85 0,0201 R: 27.405,47 
OU SEJA: 2X27.405,47: 54.810,94 
AGORA PARA 5 PARCELAS TEREMOS: 
R= 54000*0,01 (1+0,01)5 [(1+0,01)5 -1] R= 540*(1,01)5 [(1,01)5 -1] 
R= 540*1,05101 1,05101-1 R= 567,54 0,05101 R: 11.126,05 
OU SEJA: 5 X 11.126,05: 55.630,25 
JÁ PARA 10 PARCELAS TEREMOS: 
R= 54000*0,01 (1+0,01)10 [(1+0,01)10 -1] R= 540*(1,01)10 [(1,01)10 -1] 
R= 540*1,10462 1,10462-1 R= 596,49 0,10462 R: 5.701,49 
OU SEJA: 10X5.701,49: 57.014,90 
PARA 20 PARCELAS TEREMOS: 
R= 54000*0,01 (1+0,01)20 [(1+0,01)20 -1 R= 540*(1,01)20 [(1,01)20 -1] 
R= 540*1,22019 1,22019-1 R= 658,90 0,22019 R: 2.992,41 
OU SEJA: 20X2.992,41: 59.848,31 
E POR FIM PARA 24 PARCELAS TEREMOS: 
R= 54000*0,01 (1+0,01)24 [(1+0,01)24 -1 R= 540*(1,01)24 [(1,01)24 -1] 
R= 540*1,26973 1,26973-1 R= 685,65 0,26973 R: 2.541,97 
OU SEJA: 24X2.541,97: 61.007,60 
Atividade 05
 Obtenha a função que determina o valor total para pagamento do capital de giro. A proposta é válida por uma semana. O Dono da Escola comunica ao Gerente do Banco ABC que vai consultar seu Contador e que retornará no dia seguinte para confirmar, ou não, as operações junto à Instituição. Cabe a você acadêmico, julgar matematicamente as possibilidades que o Diretor da Escola possui e aconselhá-lo à melhor escolha. 
JUROS AO MÊS: 0,5% E JUROS AO ANO: 6% 
{(40000.0,5)/100}+40000: 40200,00 
{(40000.6)/100}+40000: 42400,00 
OBS: POR MÊS A EMPRESA “REFORÇO ESCOLAR” TERÁ QUE PAGAR 200,00 DE JUROS OU 2400,00 POR ANO. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
 
O estudo da Matemática Aplicada é de suma importância, pois ela nos proporciona a possibilidade de aplicarmos os conhecimentos matemáticos à outras áreas do conhecimento.
No nosso caso, acadêmicos de Administração, podemos vislumbrar a possibilidade de usa-la em assuntos rotineiros na administração de uma empresa, como por exemplo, em conceitos como, receita, custo, lucro, financiamento, demandas potenciais, etc...
Na ATPS que se encerra, tivemos a oportunidade de aprender e entender de uma forma clara e prática, que a matemática pode facilitar muito o trabalho do administrador, pois através dela podemos criar uma fórmula geral (função), a qual pode ser útil na análise nos mais variados cenários. Além disso, tivemos também a oportunidade de aprender conceitos teóricos de alguns conteúdos que ainda não conhecíamos, como por exemplo, elasticidade, taxa de variação e funções marginais.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GOLDSTEIN, Larry Joel, DAVID C. Lay e SCHNEIDER, David I - Matemática Aplicada: Economia, Administração e Contabilidade, São Paulo, Artmed, 2005.
MORULO, Afrânio e BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: Thomson Pioneira, 2008.
<www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html>
OLIVEIRA, Edson de. Apontamentos de Cálculo I. (páginas 43 a 48). Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/40061316/20/Taxa-de-variacao-instantanea-ou-derivada>.
MENDES, Jefferson M. G., Elasticidade e Estratégias de Preços. Disponível em:<http://jeffersonmgmendes.com/arquivos/economia-ii_licao06_elasticidade_e_estrategia_de_precos5p.pdf?PHPSESSID=0260c8dbd6d8150c5f943d018f2343ca>.