EXERCICIOS DE CALCULO II LISTA 8

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II – LISTA 8 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM 
 
Equação Diferencial. 
Definição. Equação diferencial é toda equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo 
menos, uma derivada ou diferencial destas funções. 
Exemplo. a) 
dy
dx
= 2x − 4 b) xdy + ydx = 2 c) 
d²y
dx²
+ 3
dy
dx
− y = 0 
Ordem de uma Equação Diferencial 
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada de maior ordem que 
aparece na equação. 
Exemplo. A equação 
dy
dx
= 2x − 4 é de 1ª ordem e a equação 
d²y
dx²
+ 3
dy
dx
− y = 0 é de 2ª ordem. 
Grau de uma Equação Diferencial. 
O grau de uma equação diferencial é determinado pelo maior expoente a que está elevada a 
derivada de maior ordem da equação. 
Exemplo. A equação x(
d³y
dx³
)
2
− y =
d³y
dx³
 é de 2º grau. 
Solução de uma Equação Diferencial. 
Dar a solução de uma equação diferencial, é determinar todas as funções que verificam a 
equação, isto é, é determinar uma função de variáveis livres que, quando substituídas na 
equação, transforme-a numa identidade. 
Exemplo. y = 
5
2
x2 + x + C, onde C é uma constante arbitrária, é solução da equação 
dy
dx
= 5x + 1, pois, 
dy
dx
=
d 
dx
(
5
2
x2 + x + C) = 5x + 1. 
Veja! 
dy
dx
= 5x + 1 ⇔ dy = (5x + 1)dx 
∫ dy = ∫(5x + 1)dx = ∫ 5xdx + ∫ dx 
y =
5
2
x2 + x + C, C constante 
Soluções de uma Equação Diferencial. 
- Solução Geral ou Solução Completa. É a solução da equação diferencial, que tem tantas 
constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação. 
O exemplo acima é um caso de solução geral. 
Geometricamente, essa solução representa uma família de curvas, a depender das constantes 
arbitrárias, as quais são chamadas curvas integrais. 
Essa solução denomina-se, também, primitiva ou integral da equação diferencial. 
- Solução Particular. É uma solução obtida da solução geral, atribuindo-se valor(es) 
particular(es) à(s) constante(s) arbitrária(s). 
Esses valores são obtidos estabelecendo-se condições sobre um valor 𝑥0 que satisfaçam da 
seguinte maneira, dependendo da ordem da equação diferencial: 
y(x0) = yo,
dy
dx
(x0) = y1,
d2y
dx2
(x0) = y2,
d3y
dx3
(x0) = y3, ⋯ ,
dn−1y
dxn−1
(x0) = yn−1. 
Esse dispositivo é chamado “o problema do valor inicial”. 
 
 
 
 
Exemplo. Achar a solução particular da equação diferencial dada determinada pelas condições 
iniciais: 
dy
dx
= cos(
1
2
x); y = 3 quando x = 
π
3
 
Solução. 
dy
dx
= cos(
1
2
x) ⟺ dy = cos(
1
2
x) dx 
∫ dy = ∫ cos(
1
2
x) dx ⟺ y = 2 sen (
1
2
x) + C. Usando as condições inicias, tem-se 
3 = 2sen (
1
2
∙
π
3
) + C ⟺ 3 = sen
π
6
+ C ⟺ 3 =
1
2
+ C ⟺ C = 3 −
1
2
⟺ C =
5
2
∙ Assim, 
A solução particular da equação é y = 2 sen (
1
2
x) +
5
2
∙ 
Equação Diferencial de 1ª Ordem. 
Definição. Equação diferencial de primeira ordem é uma equação diferencial que, normalmente, 
se apresenta sob uma das formas: 
dy
dx
= f(x, y), g(x, y, y′) = 0 ou Mdx + Ndy = 0 
onde M e N, em geral, são funções de x e y, isto é M = M(x, y) e N = N(x, y). 
Exemplo. As equações 
dy
dx
= 2xex², 
dy
dx
= 3x − 1 e (y − x)dx + 4xdy = 0 são de 1ª ordem. 
Equações Diferenciais por Variáveis Separáveis. 
Definição. Considerar a equação diferencial de 1ª ordem na forma Mdx + Ndy = 0 e supor em, 
particular, que M e N sejam funções de uma variável cada, ou seja M = M(x) e N = N(y). 
De modo mais explícito, escreve-se M(x)dx + N(y)dy = 0. 
Neste caso se diz que a equação é uma equação diferencial de variáveis separáveis. 
Uma equação diferencial de 1ª ordem de varável separável também pode ser da forma 
dy
dx
=
g(x)
h(y)
 
a qual toma a forma h(y)dy = g(x)dx quando separadas as varáveis. 
Exemplo 1. ydx − xdy = 0 ⟺ xdy = ydx ⟺ 
dy
y
=
dx
x
 
Exemplo 2. 
dy
dx
=
1+x
y−2
⟺ (y − 2)dy = (1 + x)dx 
Equações Diferenciais Homogêneas. 
- Função homogênea. 
Definição. Uma função f(x, y) tal que f(tx, ty) = tnf(x, y), para algum n real é chamada função 
homogênea. O número n é dito o grau de homogeneidade da função. 
Exemplo. f(x, y) = x² - 2xy + 3y² é homogênea de grau 2, pois 
f(tx, ty) = (tx)² - 2(tx)(ty) + 3(ty)² = t²x²- 2t²xy + 3t²y² = t²(x² - 2xy + y²) = t²f(x, y). 
- Equação Diferencial Homogênea. 
Definição. Uma equação diferencial da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é chamada equação 
diferencial homogênea se os coeficientes M e N são funções homogêneas de mesmo grau. Isto 
é, M(tx, ty) = tnM(x, y) e N(tx, ty) = tnN(x, y). 
Exemplos. a) (x² - y²)dx – 2xydy = 0; b) 2x³ydx + (x4 + y4)dy = 0. 
 
EXERCÍCIOS 
01. Verificar as soluções das equações diferenciais indicadas. 
a) y = 2x + 8, (
dy
dx
)
3
+ x
dy
dx
− y = 0 
b) y² = 4x, 2x
dy
dx
− y = 0 
c) x² + y² = 16, y
dy
dx
+ x = 0 
d) y = 3ex + 5e−x−6 
d²y
dx²
− y − 6 = 0 
 
02. Determinar, para cada família de curvas, a equação diferencial de menor ordem possível que 
não contenha constante arbitrária. 
a) x² + y² = C³ b) y = Cex c) x³ = C(x² - y²) d) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 
e) y = C1x
2 + C2 f) (x – C)² + y² = 25 g) xy + 1 = Cy² h) y = C1e
−x + C2e
2x 
R: a) xdx + ydy = 0 b) 
dy
dx
− y = 0 c) 2xy
dy
dx
= 3y2 − x² d) 
d²y
dx²
+ 4y = 0 
e) 𝑥
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 f) y²(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
= 25 − 𝑦² g) (𝑥𝑦 + 2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦² h) 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 = 0 
 
03. Achar a solução completa da equação diferencial. 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥 − 5 b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥2 + 2𝑥 − 7 c) 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
= 5𝑥2 + 1 d) 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
= sen 3𝑥 + cos 3𝑥 
e) 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
= −10 f) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cos 2𝜋𝑥 
R: a) y = 2x² - 5x + C b) y = x³ + x² - 7x + C c) y = 
5
12
𝑥4 +
1
2
𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
 d) 𝑦 = −
1
9
(sen 3𝑥 + cos 3𝑥) + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 e) y = -5x² + 20x + C f) 𝑦 =
1
2𝜋
sen 2𝜋𝑥 + 𝐶 
 
04. Resolver os problemas de valor inicial. 
a) 
dy
dx
= √x
3 , y(1) = 2 b) 
dy
dx
= sen x + 1, y (
π
3
) =
1
2
 c) 
dy
dx
=
x+1
√x
, y(1) = 0 
d) 
dy
dx
= 4ex, y(0) = 1 e) 
dy
dx
=
1
x
 y(−1) = 5 f) 
dy
dx
=
1
25+9x2
 y (−
5
3
) =
π
30
 
 g) 
d²y
dx²
= 4(1 + 3x)2, y(−1) = −1,
dy
dx
(−1) = −2 
h)
 dy
dx
= ex sen(ex − 2); y(ln 2) = 0 i)
d²y
dx²
= 2e−x; y(0) = 1 e y′(0) = 0 
j) 
dy
dx
= 1 +
1
x
; y(1) = 3 k)
d²y
dx²
= sec² x; y(0) = 0 e y′(0) = 1 
R: a) y =
3
4
x4 3⁄ +
5
4
 b) y = − cos x + x + 1 −
π
3
 c) y =
2
3
x3 2⁄ + 2x1 2⁄ −
8
3
 
d) y = 4ex − 3 e) y = ln|x| + 5 f) y =
1
15
tg−1 (
3
5
x) +
π
60
 
g) y = 3x4 + 4x3 + 2x2 + 2x h) y = 1 - cos(ex − 2) i) y = 2(e−x + x) − 1 
j) y = x + ln|x| + 2 k) y = ln|sec x| + x 
 
05. Resolver a equação diferencial dada por separação de variável. 
a) y
dy
dx
+ x = 0 b) 
dy
dx
=
𝑦³
𝑥²
 c) 
dy
dx
=
e2y
x2 + 4
 d) x
dy
dx
= 4y e) 
dy
dx
=
x²y²
1 + x
 
f)y sen−1 x dx − √1 − x2 dy = 0 g)
dydx
= e3x+2y 
R: a) x² + y² = C. b) 𝑦−2 = 2𝑥−1 + C c) e2y − tg−1
x
2
= C d) y = Cx4 
 e) -3 + 3xln|x| = xy3 + Cx f) ln y =
1
2
(sen−1 x)2 + C g) −3e−2y = 2e3x + C 
 
06. Resolver os problemas de valor inicial. 
a) 
dy
dx
=
cos 3x
sen 2y
; y(
π
2
) =
π
3
 b) (e−y + 1) sen x dx = (1 + cos x) dy; y(0) = 0 
c) ydy = 4x(y2 + 1)1 2⁄ dx; y(0) = 1 d) 
dx
dy
= 4(x2 + 1); x (
π
4
) = 1 
R: a) 4sen 3x + 6 cos 2y + 7 = 0 b) (1 + cos x)(1 + ey) = 4 
 f) ysen−1 x dx − √1 − x2 dy = 0 
 
07. Verificar se as funções seguintes são homogêneas. Caso afirmativo, dar o grau de 
 homogeneidade. 
a) f(x, y) = x3 + 2xy2 −
y4
x
 b) f(x, y) = 
x3y − x2y2
(x + 8y)2
 c)f(x, y) = cos
x²
x + y
 
d) f(x, y) = ln x² − 2 ln y e) f(x, y) = (x−1 + y−1)2 
R: a) homogênea de grau 3. b) homogênea de grau 2. c) não homogênea 
 d) homogênea de grau 0 e) homogênea de grau −2