Introdução às Equações Diferenciais Parciais Rodney Josué Biezuner

Prévia do material em texto

Notas de Aula
Introduc¸a˜o a`s
Equac¸o˜es Diferenciais Parciais
Rodney Josue´ Biezuner 1
Departamento de Matema´tica
Instituto de Cieˆncias Exatas (ICEx)
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Notas de aula da disciplina Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais Parciais
dos Cursos de Bacharelado em Matema´tica e Matema´tica Computacional,
lecionada pelo autor durante treˆs semestres entre 2005 e 2007.
12 de outubro de 2007
1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.
Suma´rio
0 Introduc¸a˜o 5
0.1 Conduc¸a˜o do Calor em uma Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.1 Modelagem F´ısica e Matema´tica do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equac¸a˜o do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.1.3 Condic¸a˜o Inicial e Condic¸a˜o de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.1.4 Soluc¸a˜o do Modelo Matema´tico: O Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier 11
0.1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.2 Leis de Conservac¸a˜o e Relac¸o˜es Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.2.1 Lei de Conservac¸a˜o Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.2.2 Lei de Conservac¸a˜o em Va´rias Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.2.3 Relac¸o˜es Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 Se´ries de Fourier 20
1.1 Propriedades das Func¸o˜es Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.1 Periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2 Relac¸o˜es de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.3 Produto Interno no Espac¸o das Func¸o˜es Quadrado-Integra´veis . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2 Ca´lculo dos Coeficientes da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 Existeˆncia da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Func¸o˜es Cont´ınuas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 O Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.4 Estimativa dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.5 Se´ries de Fourier de Func¸o˜es Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.6 Extenso˜es Perio´dicas Pares e I´mpares de Func¸o˜es Definidas em Intervalos . . . . . . . 38
1.3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 Convergeˆncia da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4.1 Convergeˆncia Puntual da Se´rie de Fourier: Demonstrac¸a˜o do Teorema de Fourier . . . 43
1.4.2 Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o Termo a Termo da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.3 Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4.4 Convergeˆncia Uniforme da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.5 Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4.6 Sistemas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1
Rodney Josue´ Biezuner 2
2 Equac¸a˜o do Calor Unidimensional 63
2.1 Existeˆncia, Unicidade e Estabilidade da Soluc¸a˜o para o Problema de Dirichlet . . . . . . . . . 63
2.1.1 Existeˆncia de Soluc¸a˜o para o Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.2 Princ´ıpio do Ma´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.3 Unicidade e Estabilidade de Soluc¸o˜es para o Problema de Dirichlet Geral . . . . . . . 71
2.2 Problema de Dirichlet Na˜o Homogeˆneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3 Problema de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4 Problema de Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5 Unicidade de Soluc¸a˜o para os Problemas de Neumann e Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6 Problemas Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.1 Equac¸a˜o do calor na˜o-homogeˆnea com fonte independente do tempo . . . . . . . . . . 81
2.6.2 Equac¸a˜o do calor na˜o-homogeˆnea com fonte dependente do tempo . . . . . . . . . . . 83
2.6.3 O problema geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7 Alguns problemas espec´ıficos de conduc¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7.1 Problema da barra com convecc¸a˜o de calor em um extremo . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7.2 Condic¸o˜es de fronteira de Robin complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.7.3 Problema do anel circular fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.8 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o do Calor em R – Nu´cleo do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.8.1 Soluc¸a˜o do Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.8.2 O Princ´ıpio do Ma´ximo em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Equac¸a˜o da Onda Unidimensional 97
3.1 Modelo Matema´tico da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.1 Vibrac¸o˜es Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.2 Condic¸o˜es Iniciais e de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.3 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.4 Outros Tipos de Vibrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Soluc¸a˜o pelo Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 A Soluc¸a˜o de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.1 Soluc¸a˜o Geral da Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.2 Soluc¸a˜o do Problema de Dirichlet para a Equac¸a˜o da Onda pelo Me´todo de D’Alembert108
3.4 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o da Onda em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.1 Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.2 Domı´nio de Dependeˆncia e Cone de Influeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.3 Fenoˆmeno de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5 Harmoˆnicos, Energia da Corda e Unicidade de Soluc¸a˜o para a Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . 113
3.5.1 Harmoˆnicos . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5.2 Energia da Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5.3 Unicidade de Soluc¸a˜o para a Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.6 Apeˆndice: Corda Suspensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 Equac¸o˜es Diferenciais Parciais Bidimensionais 120
4.1 Se´ries de Fourier Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.1 Definic¸a˜o e Ca´lculo dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.2 Func¸o˜es de Duas Varia´veis Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2 A Equac¸a˜o da Onda Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.1 Problema da Membrana Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Rodney Josue´ Biezuner 3
4.2.2 Soluc¸a˜o do Problema da Membrana Vibrante pelo Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis
e Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.3 Linhas Nodais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3 A Equac¸a˜o do Calor Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.1 Deduc¸a˜o da Equac¸a˜o do Calor Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.2 Equac¸a˜o do Calor Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.3 Soluc¸a˜o do Problema da Conduc¸a˜o do Calor na Chapa Retangular com Margens Man-
tidas a` Temperatura Zero por Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier . . . . . . . . 129
4.3.4 Soluc¸a˜o do Problema da Conduc¸a˜o do Calor na Chapa Retangular Termicamente Iso-
lada por Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5 A Equac¸a˜o de Laplace 134
5.1 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace no Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 O Princ´ıpio do Ma´ximo Fraco e a Unicidade de Soluc¸a˜o para a Equac¸a˜o de Laplace . . . . . . 138
5.3 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Poisson no Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4 A Equac¸a˜o de Laplace no Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4.1 A Equac¸a˜o de Laplace em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4.2 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace no Disco pelo Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e
Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5 Func¸o˜es Harmoˆnicas e o Princ´ıpio do Ma´ximo Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5.1 Identidades de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5.2 Func¸o˜es Harmoˆnicas e as Propriedades do Valor Me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5.3 Princ´ıpio do Ma´ximo Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5.4 Desigualdade de Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace atrave´s de Func¸o˜es de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6.1 Soluc¸a˜o Fundamental da Equac¸a˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6.2 Func¸a˜o de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.6.3 Propriedades da Func¸a˜o de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.6.4 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace em Bolas – Fo´rmula Integral de Poisson . . . . . . . . 156
5.6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6 A Equac¸a˜o da Onda no Disco: Vibrac¸o˜es de uma Membrana Circular 160
6.1 A Membrana Circular Vibrante: Vibrac¸o˜es Radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2 Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2.1 Func¸o˜es de Bessel do Primeiro Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.2.2 A Func¸a˜o Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.4 Fo´rmulas de Recursa˜o para as Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2.5 Func¸o˜es de Bessel do Segundo Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2.6 Zeros das Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3 Se´ries de Func¸o˜es de Bessel e a Soluc¸a˜o do Problema da Membrana Circular Vibrante . . . . 173
6.3.1 Ortogonalidade das Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3.2 Se´ries de Bessel de ordem p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3.3 Soluc¸a˜o do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial . . . . . . . . . . . . . . 175
6.4 A Membrana Circular Vibrante: Vibrac¸o˜es Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Rodney Josue´ Biezuner 4
7 Equac¸a˜o de Laplace em Domı´nios Tridimensionais Sime´tricos 180
7.1 A Equac¸a˜o de Laplace em um Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1.1 A Equac¸a˜o de Laplace em Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1.2 Soluc¸a˜o de um Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1.3 Func¸o˜es de Bessel Modificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.4 Soluc¸a˜o de outro Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 A Equac¸a˜o de Laplace em uma Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.2.1 A Equac¸a˜o de Laplace em Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.2.2 A Equac¸a˜o de Legendre e Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2.3 Se´ries de Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2.4 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace na Bola com Simetria Radial . . . . . . . . . . . . . . 189
8 Transformada de Fourier 191
8.1 A Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.2 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.2 Propriedades Operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.2.3 Transformada de Fourier da Func¸a˜o Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2.4 Tabela de Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.3 O Me´todo da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.3.1 A Equac¸a˜o do Calor para uma Barra Infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.3.2 A Equac¸a˜o da Onda em uma Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Cap´ıtulo 0
Introduc¸a˜o
Uma equac¸a˜o diferencial parcial (EDP) e´ uma equac¸a˜o matema´tica envolvendo derivadas parciais. Uma
soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial parcial e´ uma func¸a˜o cujas derivadas parciais satisfazem a equac¸a˜o.
Dizemos que uma equac¸a˜o diferencial parcial tem ordem m quando a derivada parcial de ordem mais alta
tem ordem m.
A maioria das equac¸o˜es diferenciais parciais surgem de modelos f´ısicos. Uma outra classe importante
surge de problemas em geometria diferencial. Nestas notas, cada equac¸a˜o que estudarmos sera´ precedida
pela introduc¸a˜o de um modelo f´ısico. O modelo f´ısico, ale´m de prover uma motivac¸a˜o para o estudo de
determinada equac¸a˜o (por que estudar exatamente esta equac¸a˜o diferencial parcial, ja´ que existem infinitas
outras possibilidades matema´ticas?), sugere as propriedades matema´ticas que as soluc¸o˜es desta equac¸a˜o
devem ter e, muitas vezes, me´todos para resolveˆ-la ou ate´ mesmo a expressa˜o exata da soluc¸a˜o.
Como exemplos de a´reas que sa˜o altamente dependentes do estudo de EDPs, destacamos as seguintes:
acu´stica, aerodinaˆmica, elasticidade, eletrodinaˆmica, dinaˆmica dos fluidos, geof´ısica (propagac¸a˜o de ondas
s´ısmicas), transfereˆncia do calor, meteorologia, oceanografia, o´tica, prospecc¸a˜o de petro´leo, f´ısica do plasma,
mecaˆnica quaˆntica, relatividade, circulac¸a˜o de fluidos dentro de organismos vivos e crescimento de tumores.
Nesta introduc¸a˜o veremos como muitas equac¸o˜es diferenciais parciais importantes surgem atrave´s de leis
de conservac¸a˜o. Veremos antes um exemplo concreto: a equac¸a˜o do calor unidimensional, que e´ a forma
diferencial da lei de conservac¸a˜o da energia te´rmica. Ale´m disso, introduziremos um me´todo de soluc¸a˜o para
equac¸o˜es diferenciais parciais lineares: o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis e o uso de se´ries de Fourier, cuja
teoria sera´ desenvolvida a partir do primeiro cap´ıtulo.
0.1 Conduc¸a˜o do Calor em uma Barra
0.1.1 Modelagem F´ısica e Matema´tica do Problema
Considere uma barra uniforme de comprimento L, feita de material homogeˆneo condutor de calor. Por
barra uniforme, entendemos que ela e´ geometricamente gerada pela translac¸a˜o de uma determinada figura
geome´trica plana na direc¸a˜o perpendicular ao seu plano (em outras palavras, um cilindro reto cuja base pode
ser qualquer figura geome´trica, como por exemplo um disco (cilindro circular reto), uma elipse (cilindro
el´ıptico reto), um triaˆngulo (prisma reto), um retaˆngulo (paralelep´ıpedo reto), ou qualquer outra figura
geome´trica plana). Em particular, a sua sec¸a˜o transversal e´ sempre igual a esta figura e portanto tem a´rea
constante, que denotaremos por A. Suponha que a superf´ıcie lateral da barra esteja isolada termicamente,
de modo a na˜o permitir transfereˆncias de calor atrave´s dela com o ambiente. Transfereˆncias de calor, se e´
que acontecem, podem ocorrer apenas atrave´s das extremidades da barra.
A uniformidade da barra, a homogeneidade do material e o isolamento te´rmico lateral implicam que
o fluxo de calor acontece somente na direc¸a˜o longitudinal (isto e´, ao longo do comprimento da barra).
5
Rodney Josue´ Biezuner 6
Portanto, este e´ um problema de conduc¸a˜o de calor unidimensional. Em outras palavras, as varia´veis f´ısicas
sa˜o constantes em cada sec¸a˜o transversal da barra, podendo variar apenas de uma sec¸a˜o para outra.
Consideremos a barra posicionada no eixo x, com uma das extremidades na origem x = 0; logo a outra
extremidade ocupa a posic¸a˜o x = L. Queremos determinar como a temperatura em cada ponto da barra
varia a` medida que o tempo passa. Para isso, vamos analisar o fluxo de calor ao longo da barra. Inicialmente,
considere duas sec¸o˜es transversais da barra, localizadas em x e x + ∆x, delimitando uma fatia da barra.
Atrave´s destas sec¸o˜es, calor flui (entra ou sai) para ou desta fatia. Denotaremos o fluxo de calor, isto e´, a
quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para a direita por unidade de a´rea, por φ(x, t); no S.I., o
fluxo de calor tem como unidades Joules/m2s.
φ(x, t) = fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de tempo
fluindo para a direita por unidade de a´rea).
Se φ(x, t) < 0, o calor esta´ fluindo para a esquerda. A quantidade total de calor que entra na fatia por
unidade de tempo e´ dada pela diferenc¸a entre a quantidade de calor que entra pela sec¸a˜o transversal em x
e a quantidade de calor que sai pela sec¸a˜o transversal em x+∆x, isto e´,
φ(x, t)A− φ(x+∆x, t)A.
E´ claro que calor pode sair da fatia pela sec¸a˜o transversal em x (se φ(x, t) < 0), assim como calor pode
entrar na fatia pela sec¸a˜o transversal em x + ∆x (se φ(x + ∆x, t) < 0); se a diferenc¸a acima for negativa,
enta˜o o resultado final e´ que calor sai da fatia.
Esta quantidade de calor total que entra ou sai da fatia por instante de tempo pode ser calculada em func¸a˜o
das temperaturas nas sec¸o˜es transversais que delimitam a fatia atrave´s da Lei de Conduc¸a˜o do Calor de
Fourier (esta lei foi empiricamente observada por Fourier):
Lei de Conduc¸a˜o do Calor de Fourier. Sejam P1 e P2 duas placas formadas de um mesmo material
e de mesma a´rea igual a A, mantidas a temperaturas constantes respectivas T1 e T2. Se elas forem
colocadas paralelamente a uma distaˆncia d uma da outra, havera´ passagem de calor da placa mais
quente para a placa mais fria e a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra por
unidade de tempo (ou seja, a taxa de transfereˆncia de calor, medida em Joules/s) e´ dada por
Φ = kA
|T2 − T1|
d
,
Rodney Josue´ Biezuner 7
onde k e´ uma constante espec´ıfica do material entre as placas, chamada condutividade te´rmica do
material.
Denotemos
u(x, t) = temperatura do ponto x da barra no instante de tempo t.
As sec¸o˜es transversais da barra, localizadas em x e x+∆x, fazem o papel das duas placasP1 e P2. Denote
as temperaturas nestas sec¸o˜es, no instante de tempo t, por T1 = u(x, t) e T2 = u(x+∆x, t). Enta˜o, pela Lei
de Fourier, o fluxo de calor na direc¸a˜o positiva do eixo x que passa pela sec¸a˜o transversal localizada em x e´
dado por (lembre-se que o fluxo de calor e´ definido como sendo a taxa de transfereˆncia de calor por unidade
de a´rea)
φ(x, t) = − lim
∆x→0
k
u(x+∆x, t)− u(x, t)
∆x
= −kux(x, t),
de modo que quando a temperatura cresce com x, ux e´ positivo, mas o calor flui para a esquerda, portanto φ
e´ negativo; se a temperatura decresce com x, ux e´ negativo e o calor flui para a direita, portanto φ e´ positivo.
Agora fixe um segmento qualquer da barra entre as posic¸o˜es x = a e x = b. Vamos calcular a quantidade
total de calor Q que entra neste segmento no per´ıodo de tempo que vai de t0 ate´ t1. Esta e´ a diferenc¸a entre
o calor que entra na sec¸a˜o transversal que ocupa a posic¸a˜o x = a e o calor que sai pela sec¸a˜o transversal que
ocupa a posic¸a˜o x = b durante o per´ıodo de tempo considerado:
Q =
∫ t1
t0
φ(a, t)Adt−
∫ t1
t0
φ(b, t)Adt
=
∫ t1
t0
kA[ux(b, t)− ux(a, t)] dt.
Mas, pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, podemos escrever
ux(b, t)− ux(a, t) =
∫ b
a
uxx(x, t) dx.
Logo, como k e´ constante (pois assumimos que a barra e´ feita de um u´nico material homogeˆneo), temos
Q = kA
∫ t1
t0
∫ b
a
uxx(x, t) dxdt. (1)
Por outro lado, tambe´m e´ observado experimentalmente que a quantidade de calor absorvida por uma
substaˆncia em um per´ıodo de tempo e´ diretamente proporcional a` massa desta substaˆncia e a` variac¸a˜o me´dia
de sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado:
Q = cm∆u.
A constante de proporcionalidade, denotada por c, dependede cada substaˆncia e e´ chamada o calor espec´ıfico
da substaˆncia; em outras palavras, o calor espec´ıfico nada mais e´ que a quantidade de calor necessa´ria para
elevar em um grau a temperatura de uma unidade de massa da substaˆncia; no S.I., o calor espec´ıfico tem
como unidades Joules/kgK. Embora o calor espec´ıfico de uma substaˆncia em geral varie com a temperatura
em que ela se encontra (isto e´, c = c(u)), para diferenc¸as de temperaturas na˜o muito grandes o calor espec´ıfico
e´ aproximadamente constante.
Aplicamos esta lei emp´ırica novamente a um segmento qualquer da barra entre as posic¸o˜es x = a e x = b.
A variac¸a˜o me´dia da temperatura neste segmento da barra no intervalo de tempo que vai de t0 ate´ t1 e´
obtida tomando-se a me´dia das variac¸o˜es me´dias das temperaturas de todos os pontos da barra, ou seja
∆u =
1
b− a
∫ b
a
[u(x, t1)− u(x, t0)] dx.
Rodney Josue´ Biezuner 8
Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, segue que
∆u =
1
b− a
∫ b
a
[∫ t1
t0
ut(x, t) dt
]
dx.
Logo, a quantidade de calor absorvida por este segmento e´ dada por
Q = cm∆u =
cm
b− a
∫ b
a
∫ t1
t0
ut(x, t) dt dx.
sendo m a massa deste segmento e c o calor espec´ıfico do material que constitui a barra. Por outro lado,
escrevendo m = ρA(b − a), onde ρ e´ a densidade volume´trica da barra, e trocando a ordem dos limites de
integrac¸a˜o, obtemos
Q = cρA
∫ t1
t0
∫ b
a
ut(x, t) dxdt. (2)
Igualando as duas expresso˜es obtidas em (1) e (2) para a quantidade total de calor Q que entra no
segmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 ate´ t1, obtemos a equac¸a˜o do calor em sua forma
integral:
cρ
∫ t1
t0
∫ b
a
ut(x, t) dxdt = k
∫ t1
t0
∫ b
a
uxx(x, t) dxdt.
Mas a, b, t0, t1 sa˜o arbitra´rios, logo os integrandos sa˜o necessariamente iguais e assim obtemos a equac¸a˜o do
calor na sua forma diferencial
ut = Kuxx, (3)
onde K =
k
cρ
e´ chamada a difusividade te´rmica do material. A equac¸a˜o (3) e´ chamada simplesmente
a equac¸a˜o do calor, e representa a lei de variac¸a˜o da temperatura u(x, t) de uma barra uniforme com
superf´ıcie lateral termicamente isolada. Ela descreve como o calor se espalha ou se difunde com o passar do
tempo, um processo f´ısico conhecido como difusa˜o. Outras quantidades f´ısicas tambe´m se difundem seguindo
esta mesma equac¸a˜o diferencial parcial (em situac¸o˜es unidimensionais), como por exemplo a concentrac¸a˜o de
substaˆncias qu´ımicas, tais como perfumes ou polutantes, e por este motivo a equac¸a˜o (3) tambe´m e´ chamada
mais geralmente de equac¸a˜o de difusa˜o.
Observac¸a˜o: A forma diferencial da equac¸a˜o do calor tambe´m pode ser obtida mais diretamente. De fato,
diferenciando a lei de Fourier
φ(x, t) = −kux(x, t)
em relac¸a˜o a x obtemos
φx = −kuxx. (4)
Por outro lado, vimos acima que
Q = −
∫ t1
t0
[φ(b, t)− φ(a, t)]Adt = cρA
∫ b
a
∫ t1
t0
ut(x, t) dt dx.
Agora, ao inve´s de usar a lei de Fourier na integral do lado esquerdo como fizemos acima para obter (1),
usamos o Teorema Fundamental do Ca´lculo para escreveˆ-la na forma∫ t1
t0
[φ(b, t)− φ(a, t)]Adt =
∫ t1
t0
[∫ b
a
φx(x, t) dx
]
Adt.
Rodney Josue´ Biezuner 9
Logo,
−
∫ b
a
∫ t1
t0
φx(x, t) dt dx = cρ
∫ b
a
∫ t1
t0
ut(x, t) dt dx.
Como a, b, t0, t1 sa˜o arbitra´rios, os integrandos devem ser iguais e portanto obtemos a equac¸a˜o
φx = −cρut. (5)
Igualando as expresso˜es (4) e (5) para φx, obtemos novamente a equac¸a˜o do calor.
0.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equac¸a˜o do Calor
Pode acontecer que a condutividade te´rmica ao longo da barra na˜o seja constante, mas dependa de x. Esta
situac¸a˜o pode ocorrer, por exemplo, se tivermos uma barra formada por va´rias barras, cada uma delas
constitu´ıda por um material diferente. Neste caso, usando a lei de Fourier como fizemos para obter (1),
desta vez segue que
Q =
∫ t1
t0
A[k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t)] dt,
e usamos o Teorema Fundamental do Ca´lculo para escrever
k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t) =
∫ b
a
[k(x)ux(x, t)]x dx,
de modo que
Q = A
∫ t1
t0
∫ b
a
[k(x)ux(x, t)]x dxdt.
Do mesmo modo, pode ocorrer que o calor espec´ıfico do material que constitui a barra varie com x, assim
como a sua densidade linear (o que certamente ocorrera´ na situac¸a˜o dada acima como exemplo). Logo,
Q = A
∫ t1
t0
∫ b
a
c(x)ρ(x)ut(x, t) dxdt
Portanto, nesta situac¸a˜o, a equac¸a˜o do calor que descreve a variac¸a˜o da temperatura da barra com o passar
do tempo se torna
c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x, (6)
Esta equac¸a˜o e´ chamada a equac¸a˜o do calor na forma divergente.
Pode tambe´m ocorrer que exista uma fonte interna de calor em regio˜es da barra, devida por exemplo a
reac¸o˜es qu´ımicas, nucleares ou aquecimento ele´trico. Denotemos
q(x, t) = quantidade de calor gerada por unidade de volume por unidade de tempo.
A` quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 ate´ t1,
devido ao fenoˆmeno de conduc¸a˜o do calor ao longo da barra, deve ser somada a quantidade de calor gerada
internamente no segmento durante este per´ıodo, antes de igualar a` expressa˜o obtida em (2) (isso nada mais
e´ que a lei de conservac¸a˜o do calor, um caso particular da lei de conservac¸a˜o da energia). Pela definic¸a˜o de
q(x, t), este calor gerado internamente e´ dado por∫ t1
t0
∫ b
a
q(x, t)Adxdt.
Portanto, temos que ∫ t1
t0
∫ b
a
[kuxx(x, t) + q(x, t)] dxdt = cρ
∫ t1
t0
∫ b
a
ut(x, t) dxdt
Rodney Josue´ Biezuner 10
e da´ı obtemos a equac¸a˜o
ut = Kuxx + q(x, t). (7)
E´ claro que nada impede que as duas situac¸o˜es acima ocorram simultaneamente. Neste caso, a equac¸a˜o
completa que descreve o fenoˆmeno da conduc¸a˜o de calor na barra sera´
c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x + q(x, t). (8)
0.1.3 Condic¸a˜o Inicial e Condic¸a˜o de Fronteira
A equac¸a˜o do calor (3) tem um nu´mero infinito de soluc¸o˜es. Por exemplo, qualquer func¸a˜o constante
u(x, t) = C ou afim u(x, t) = Ax + B, onde A,B,C sa˜o quaisquer constantes reais, satisfazem (3). Um
problema fisico real, no caso a distribuic¸a˜o de temperaturas em uma barra, deve ter uma soluc¸a˜o u´nica.
Portanto, e´ necessa´rio impor restric¸o˜es adicionais sobre o problema, de modo que possamos obter uma
soluc¸a˜o u´nica para a equac¸a˜o do calor.
Intuitivamente, parece o´bvio que a distribuic¸a˜o de temperaturas na barra ao longo do tempo depende da
distribuic¸a˜o inicial de temperaturas, chamada a condic¸a˜o inicial do problema:
u(x, 0) = f(x).
Esta e´ a u´nica condic¸a˜o inicial necessa´ria. Matematicamente, esta necessidade e´ expressa pelo fato da equac¸a˜o
diferencial parcial (3) possuir uma derivada parcial em relac¸a˜o ao tempo de primeira ordem (como no caso de
equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem, em que e´ necessa´rio saber apenas uma condic¸a˜o inicial,
o valor da func¸a˜o no instante inicial, para se conhecer a soluc¸a˜o u´nica da equac¸a˜o).
Ale´m disso, a distribuic¸a˜o de temperaturas na barra ao longo do tempo tambe´m deve depender do que
se passa nas extremidades da barra, que podem na˜o estar isoladas termicamente e portanto podem permitir
a entrada ou sa´ıda de calor, influindo na distribuic¸a˜o de temperaturas na barra com o passar do tempo. As
condic¸o˜es nas extremidades da barra sa˜o chamadas de condic¸o˜es de fronteira. Matematicamente, isso se
deve ao fato da equac¸a˜o diferencial parcial (3) depender tambe´m da varia´vel x. Podemos imaginar va´rios
tipos de condic¸o˜es de fronteira para o problema da barra:
1. Extremidades mantidas a temperaturas constantes:
u(0, t) = T1 e u(L, t) = T2.
2. Temperaturas nas extremidades variando com o tempo de acordo com func¸o˜es conhecidas:
u(0, t) = g1(t) e u(L, t) = g2(t).
3. Extremidades isoladas termicamente (ou seja, o fluxo de calor atrave´s das extremidades e´ nulo ea
barra esta´ completamente isolada):
ux(0, t) = ux(L, t) = 0.
4. Fluxo de calor atrave´s das extremidades conhecido:
ux(0, t) = h1(t) e ux(L, t) = h2(t).
5. Combinac¸a˜o de quaisquer duas das condic¸o˜es acima:
u(0, t) = 0 e ux(L, t) = 0.
Rodney Josue´ Biezuner 11
Com uma condic¸a˜o inicial e qualquer uma destas condic¸o˜es de fronteira o problema matema´tico esta´
bem posto, admitindo uma u´nica soluc¸a˜o, conforme veremos em detalhes em um cap´ıtulo posterior. Uma
condic¸a˜o do tipo 1 ou 2, em que sa˜o dados valores para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial parcial na fronteira,
e´ chamada uma condic¸a˜o de Dirichlet. Uma condic¸a˜o do tipo 3 ou 4, em que sa˜o dados valores para a
derivada da soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial parcial na fronteira em relac¸a˜o a` varia´vel espacial, e´ chamada
uma condic¸a˜o de Neumann. Uma condic¸a˜o mista, envolvendo tanto o valor da soluc¸a˜o como o de sua
derivada espacial na fronteira, exemplificada pela condic¸a˜o do tipo 5, e´ chamada uma condic¸a˜o de Robin.
Observac¸a˜o: O fato da equac¸a˜o do calor (3) ter uma derivada parcial em relac¸a˜o a` varia´vel x de segunda
ordem na˜o tem nada a ver com o fato de precisarmos de duas condic¸o˜es de fronteira. Se foˆssemos usar a
analogia com equac¸o˜es diferenciais ordina´rias, seria por exemplo suficiente especificar u(0, t) e ux(0, t), mas
este tipo de problema na˜o tem soluc¸a˜o em geral (e´ chamado sobredeterminado). O fato de precisarmos de
duas condic¸o˜es de fronteira e´ uma simples consequ¨eˆncia da fronteira de um segmento ser formada por dois
pontos (no caso, a fronteira do segmento [0, L] e´ formada pelos pontos 0 e L). Na verdade, essencialmente
temos apenas uma condic¸a˜o de fronteira; o que ocorre e´ que, no caso de um segmento, a fronteira e´ desconexa
e esta condic¸a˜o de fronteira e´ mais facilmente expressa por duas sentenc¸as. Este conceito ficara´ mais claro
quando estudarmos equac¸o˜es diferenciais parciais em regio˜es do plano e do espac¸o.
Uma condic¸a˜o de fronteira de grande interesse pra´tico ocorre quando a barra esta´ em contato com um
fluido em movimento, como ar ou a´gua. Como exemplo desta situac¸a˜o, imagine uma barra quente em contato
com ar mais frio em movimento. Calor deixa a barra, aquecendo o ar, que leva o calor embora, no conhecido
processo de convecc¸a˜o. Experimentos mostram que o fluxo do calor que deixa a barra e´ proporcional a`
diferenc¸a de temperatura entre a barra e a temperatura exterior:
Kux(0, t) = H[u(0, t)− T ];
T e´ a temperatura externa e a constante de proporcionalidade H e´ chamada o coeficiente de transfereˆncia de
calor ou coeficiente de convecc¸a˜o; a constante H depende do material que forma a barra e das propriedades
do fluido (tais como sua velocidade). Esta e´ a chamada lei de resfriamento de Newton. Note que esta
condic¸a˜o de fronteira envolve uma combinac¸a˜o linear entre u e ux e e´ uma condic¸a˜o de Robin. Como pela
lei de Fourier o fluxo de calor e´ dado por φ = −kux, temos que φ(0, t) = −kH[u(0, t)−T ], de modo que se a
barra esta´ mais quente que o ambiente exterior (u(0, t) > T ), o fluxo e´ negativo, isto e´, na direc¸a˜o negativa
do eixo x, saindo da extremidade da barra localizada em x = 0 para o ambiente externo, e vice-versa. Por
causa disso, no caso da outra extremidade, localizada no ponto x = L, a lei de resfriamento de Newton deve
enta˜o ser escrita na forma
Kux(L, t) = −H[u(L, t)− T ].
0.1.4 Soluc¸a˜o do Modelo Matema´tico: O Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e
Se´ries de Fourier
O modelo matema´tico que obtivemos, para a distribuic¸a˜o de temperaturas com o passar do tempo em uma
barra cuja superf´ıcie lateral esta´ isolada termicamente, e´ uma equac¸a˜o diferencial parcial com condic¸a˜o inicial
e condic¸a˜o de fronteira. Vamos tentar resolver o problema espec´ıfico em que as extremidades da barra esta˜o
mantidas a` temperatura constante igual a 0 (correspondente ao primeiro problema de Dirichlet da subsec¸a˜o
anterior):  ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L,
u(0, t) = u(L, t) = 0. se t > 0.
(9)
Tentaremos resolver este problema pelo chamado me´todo de separac¸a˜o de varia´veis. No me´todo de
separac¸a˜o de varia´veis, supomos que a soluc¸a˜o u(x, t) do problema pode ser escrita como o produto de duas
func¸o˜es de uma varia´vel, uma dependendo apenas de x e a outra dependendo apenas de t:
u(x, t) = F (x)G(t). (10)
Rodney Josue´ Biezuner 12
Esta e´ apenas uma suposic¸a˜o, que pode ou na˜o ser correta (na verdade, veremos que em geral esta suposic¸a˜o
esta´ errada, mas ainda assim ela nos ajudara´ a encontrar a soluc¸a˜o correta para o problema). A vantagem
de fazer esta suposic¸a˜o e´ que ela simplifica consideravelmente o problema, transformando um problema de
encontrar a soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial parcial, que na˜o sabemos como resolver, em um problema de
encontrar a soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria, que sabemos resolver. De fato, substituindo (10)
na equac¸a˜o do calor, obtemos
F (x)G′(t) = KF ′′(x)G(t)
donde
F ′′(x)
F (x)
=
1
K
G′(t)
G(t)
.
Note que o lado esquerdo desta equac¸a˜o depende apenas de x, enquanto que o lado direito depende apenas
de t. Isso so´ pode ser poss´ıvel se na verdade ambos os lados forem independentes de x e t, isto e´,
F ′′(x)
F (x)
= σ e
1
K
G′(t)
G(t)
= σ
onde σ ∈ R e´ uma constante. Portanto o problema se reduz a resolver duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias:
• A equac¸a˜o diferencial de segunda ordem
F ′′(x)− σF (x) = 0 (11)
para 0 < x < L.
• A equac¸a˜o diferencial de primeira ordem
G′(t)− σKG(t) = 0 (12)
para t > 0.
Vamos resolver primeiro (11). Fazemos isso, apesar dela ser uma equac¸a˜o mais complexa que (12), porque
as condic¸o˜es de fronteira de (9) implicam que F satisfaz as condic¸o˜es
F (0) = F (L) = 0. (13)
De fato, a condic¸a˜o de fronteira u(0, t) = 0 implica que F (0)G(t) = 0 para todo t > 0, o que por sua vez
implica que F (0) = 0 (a menos que G(t) = 0 para todo t, o que significaria que u ≡ 0, uma soluc¸a˜o que na˜o
nos interessa, exceto no caso raro em que a condic¸a˜o inicial seja tambe´m f ≡ 0); similarmente a condic¸a˜o de
fronteira u(L, t) = F (L)G(t) = 0 implica que F (L) = 0. Assim, apesar da equac¸a˜o (11) ser mais complexa,
ela esta´ sujeita a restric¸o˜es, o que na˜o ocorre com a equac¸a˜o (12): a condic¸a˜o (13) restringe as soluc¸o˜es
de (11), o que ultimamente limitara´ os valores poss´ıveis de σ. Em princ´ıpio, ha´ treˆs soluc¸o˜es poss´ıveis,
dependendo do sinal de σ:
1. σ > 0 : Neste caso, a soluc¸a˜o geral de (11) e´ da forma
F (x) = c1e
√
σx + c2e−
√
σx.
Logo, a condic¸a˜o (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{
c1 + c2 = 0
c1e
√
σL + c2e−
√
σL = 0
.
Mas a u´nica soluc¸a˜o deste sistema e´ c1 = c2 = 0, o que levaria a F ≡ 0 e portanto u ≡ 0, soluc¸a˜o que
na˜o nos interessa (a na˜o ser que a condic¸a˜o inicial fosse u(x, 0) ≡ 0).
Rodney Josue´ Biezuner 13
2. σ = 0 : A soluc¸a˜o geral de (11) neste caso e´ da forma
F (x) = c1x+ c2.
A condic¸a˜o (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{
c2 = 0
c1L+ c2 = 0
.
cuja u´nica soluc¸a˜o tambe´m e´ c1 = c2 = 0 e novamente F ≡ 0, o que na˜o nos interessa.
3. σ < 0 : Denotando λ =
√−σ, a soluc¸a˜o geral de (11) neste u´ltimo caso e´ da forma
F (x) = c1 cosλx+ c2 senλx.
A condic¸a˜o (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{
c1 = 0
c2 senλL = 0
.
Como na˜o queremos c2 = 0, devemos ter senλL = 0, o que implica λL = npi, onde n ∈ N pode ser um
inteiro positivo qualquer.
Portanto, para cada valor de n uma soluc¸a˜o na˜o nula para o problema (11), (13) e´ da forma
Fn(x) = sen
npi
L
x, (14)
por este motivo chamada uma autofunc¸a˜o para o problema (11), (13) associada ao autovalor
−σ = λ2n =
n2pi2
L2
. (15)
A equac¸a˜o(12) e´ imediatamente resolvida atrave´s de uma integrac¸a˜o simples. A soluc¸a˜o de (12) e´ da
forma
G(t) = ceσKt,
onde c ∈ R e´ uma constante real. Como o valor de σ para que o problema (9) tenha soluc¸o˜es na˜o nulas e´ o
dado em (15), segue que para cada valor de n temos uma soluc¸a˜o relevante de (12) dada por (a menos da
constante)
Gn(x) = e−
n2pi2
L2
Kt. (16)
Segue que para cada n = 1, 2, 3, . . ., temos uma func¸a˜o
un(x, t) = e−
n2pi2
L2
Kt sen
npi
L
x
que e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial parcial do problema (9) satisfazendo a`s suas condic¸o˜es de
fronteira.
Por outro lado, precisamos de uma soluc¸a˜o que tambe´m satisfac¸a a` condic¸a˜o inicial u(x, 0) = f(x). Logo,
as soluc¸o˜es que encontramos so´ funcionam se a func¸a˜o f(x) tem uma forma muito particular, ou seja, se
f(x) for um mu´ltiplo escalar da func¸a˜o seno. Por exemplo,
se f(x) = 3 sen
pi
L
x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 3u1;
se f(x) = 17 sen
5pi
L
x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 17u5.
Rodney Josue´ Biezuner 14
E´ o´bvio que isso raramente ocorre.
Na verdade, pore´m, ainda podemos obter soluc¸o˜es para o problema (9) a partir destas soluc¸o˜es se f(x)
for apenas uma combinac¸a˜o linear de senos. Por exemplo,
se f(x) = 3 sen
pi
L
x+ 25 sen
9pi
L
x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 3u1 + 25u9;
se f(x) = 4 sen
2pi
L
x− 2
3
sen
22pi
L
x+
√
5 sen
901pi
L
x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 4u2 − 23u22 +
√
5u901.
Isso e´ verdade porque a equac¸a˜o do calor e´ uma equac¸a˜o linear, o que significa que combinac¸o˜es lineares
de soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial sa˜o tambe´m soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial e, ale´m disso, as condic¸o˜es
de fronteira de (9) sa˜o homogeˆneas, logo combinac¸o˜es lineares de soluc¸o˜es que satisfazem as condic¸o˜es de
fronteira continuam satisfazendo as condic¸o˜es de fronteira (veja o Exerc´ıcio 0.1). Assim, qualquer expressa˜o
da forma (isto e´, qualquer combinac¸a˜o linear de soluc¸o˜es)
u(x, t) =
N∑
n=1
cnun(x, t)
e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o do calor satisfazendo as condic¸o˜es de fronteira em (9). Em particular, se
f(x) =
N∑
n=1
cn sen
npi
L
x,
segue que
u(x, t) =
N∑
n=1
cne
−n2pi2
L2
Kt sen
npi
L
x (17)
e´ uma soluc¸a˜o do problema (9).
Mas, na maioria dos casos, a temperatura inicial f na˜o e´ uma combinac¸a˜o linear de senos. Enta˜o Fourier
(em 1807) teve a ide´ia de tomar “combinac¸o˜es lineares infinitas”, isto e´, se´ries infinitas, assumindo que toda
func¸a˜o pode ser escrita como uma se´rie infinita de senos. Em outras palavras, assumindo que podemos
escrever toda func¸a˜o f na forma
f(x) =
∞∑
n=1
cn sen
npi
L
x
para certos coeficientes bem determinados cn, o que atualmente chamamos a se´rie de Fourier de f , enta˜o o
candidato para soluc¸a˜o do problema de valor inicial e de condic¸a˜o de fronteira (9) seria a func¸a˜o
u(x, t) =
∞∑
n=1
cne
−n2pi2
L2
Kt sen
npi
L
x. (18)
Isso nos leva a`s seguintes indagac¸o˜es:
1. Sera´ que toda func¸a˜o f(x) realmente pode ser escrita como uma se´rie de Fourier?
2. Se a resposta a` pergunta anterior for negativa, quais sa˜o as func¸o˜es que possuem se´ries de Fourier?
Sera´ que elas formam uma classe suficientemente grande para abranger todas ou uma quantidade
significativa das func¸o˜es que surgem nos problemas pra´ticos?
3. Mesmo que f(x) possa ser representada por uma se´rie de Fourier, sera´ que a se´rie definida acima para
u(x, t) converge para uma func¸a˜o diferencia´vel em t e duas vezes diferencia´vel em x que e´ a soluc¸a˜o de
(9)?
Rodney Josue´ Biezuner 15
Estas perguntas mostram a necessidade de se desenvolver uma teoria para as se´ries de Fourier. Faremos isso
no pro´ximo cap´ıtulo.
Observac¸a˜o: Note que nem o candidato a` soluc¸a˜o (18), e nem mesmo a soluc¸a˜o (17), sa˜o produtos de duas
func¸o˜es de uma varia´vel, uma dependendo apenas de x e outra dependendo apenas de t (elas sa˜o na realidade
somas de produtos de func¸o˜es de uma varia´vel, soma finita em um caso, soma infinita no outro). Portanto a
suposic¸a˜o inicial de que partimos no me´todo de separac¸a˜o de varia´veis e´ errada para a maioria das condic¸o˜es
iniciais, a na˜o ser que elas sejam mu´ltiplos de sen(npix/L). Mas, usando a linearidade da equac¸a˜o do calor,
pudemos usar as soluc¸o˜es obtidas atrave´s do me´todo de separac¸a˜o de varia´veis e a partir delas construir a
soluc¸a˜o para o problema geral. Este e´ um me´todo frequ¨entemente usado em cieˆncias exatas: simplificar um
problema complexo atrave´s de uma suposic¸a˜o que em geral na˜o e´ va´lida, mas a partir da soluc¸a˜o para o
problema simplificado, construir a soluc¸a˜o correta para o problema complicado.
0.1.5 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 0.1. Mostre que a equac¸a˜o do calor e´ linear, isto e´, se u1(x, t) e u2(x, t) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
diferencial parcial ut = Kuxx, enta˜o au1(x, t) + bu2(x, t) tambe´m e´, quaisquer que sejam a, b ∈ R.
Ale´m disso, se elas satisfazem as condic¸o˜es de fronteira homogeˆneas u(0, t) = u(L, t) = 0, enta˜o
au1(x, t) + bu2(x, t) tambe´m satisfaz.
Exerc´ıcio 0.2. Mostre que a equac¸a˜o mais geral do calor, c(x)ρ(x)ut = [K(x)ux]x+ q(x, t), tambe´m e´ uma
equac¸a˜o linear.
Exerc´ıcio 0.3. Proceda como fizemos no texto e encontre um candidato a` soluc¸a˜o para o seguinte problema
de valor inicial com condic¸a˜o de fronteira de Neumann homogeˆnea: ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t > 0,
u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L.
0.2 Leis de Conservac¸a˜o e Relac¸o˜es Constitutivas
0.2.1 Lei de Conservac¸a˜o Unidimensional
A deduc¸a˜o da equac¸a˜o do calor e´ um exemplo de uma situac¸a˜o bem mais geral. Muitas das equac¸o˜es
fundamentais que aparecem nas cieˆncias naturais sa˜o obtidas atrave´s de leis de conservac¸a˜o.
Leis de conservac¸a˜o sa˜o essencialmente leis de balanceamento, expressando o fato de que alguma substaˆncia
e´ balanceada. Aqui, o termo substaˆncia pode indicar uma substaˆncia realmente material, ou ate´ mesmo um
conceito abstrato, tal como energia ou uma populac¸a˜o de animais. Por exemplo, a primeira lei da ter-
modinaˆmica e´ a lei de conservac¸a˜o da energia: a variac¸a˜o de energia interna de um sistema e´ igual ao calor
total adicionado ao sistema mais o trabalho realizado sobre o sistema. Como outro exemplo, considere um
fluido escoando em alguma regia˜o do espac¸o, consistindo de substaˆncias sofrendo reac¸o˜es qu´ımicas: para
cada substaˆncia qu´ımica individual, a taxa de variac¸a˜o da quantidade total da substaˆncia na regia˜o e´ igual
a` taxa com que a substaˆncia flui para dentro da regia˜o, menos a taxa com que ela flui para fora da regia˜o,
mais a taxa com que ela e´ criada, ou consumida, pelas reac¸o˜es qu´ımicas. Como u´ltimo exemplo, a taxa de
variac¸a˜o de uma dada populac¸a˜o de animais em uma regia˜o e´ igual a` taxa de nascimentos, menos a taxa de
mortes, mais a taxa de migrac¸a˜o para dentro ou fora da regia˜o.
Matematicamente, leis de conservac¸a˜o traduzem-se em equac¸o˜es integrais, de onde podem ser deduzidas
equac¸o˜es diferenciais, na maior parte dos casos. Estas equac¸o˜es descrevem como o processo evolui com o
tempo. Por este motivo, elas sa˜o tambe´m chamadas de equac¸o˜es de evoluc¸a˜o. Vamos examinar primeiro
o caso unidimensional.
Rodney Josue´ Biezuner 16
Seja u = u(x, t) a densidade ou concentrac¸a˜o de alguma substaˆncia, por unidade de volume, que depende
apenas de uma varia´vel espacial x ∈ R e do tempo t > 0. Novamente enfatizamos que a substaˆncia cuja
densidade estamos medindo pode ser massa, momento, energia, populac¸a˜o, ou qualquer outra coisa, material
ou abstrata. Por exemplo, no caso da equac¸a˜o do calor, a temperatura u e´ uma medida da densidade de
energia te´rmica. De fato, se e(x, t) denota a densidade de energia te´rmica, isto e´, a quantidade de energiate´rmica por unidade de volume, enta˜o a densidade de energia te´rmica e a temperatura esta˜o relacionadas
atrave´s da equac¸a˜o
e(x, t) = c(x)ρ(x)u(x, t),
cujo significado e´: a energia te´rmica por unidade de volume e´ igual a` energia te´rmica por unidade de massa
por unidade de temperatura (i.e., o calor espec´ıfico), vezes a temperatura, vezes a densidade volume´trica de
massa.
Imaginamos que a substaˆncia esta´ distribu´ıda em um tubo uniforme com sec¸a˜o transversal de a´rea
constante A. Por hipo´tese, u e´ constante em cada sec¸a˜o transversal do tubo, variando apenas na direc¸a˜o x.
Considere um segmento arbitra´rio do tubo, entre as sec¸o˜es transversais localizadas em x = a e em x = b.
Chamamos este segmento de volume de controle. A quantidade total da substaˆncia dentro do volume de
controle no instante de tempo t e´
Quantidade total da substaˆncia
dentro do volume de controle =
∫ b
a
u(x, t)Adx.
Assuma agora que existe movimento da substaˆncia atrave´s do tubo na direc¸a˜o axial. Definimos o fluxo
φ(x, t) da substaˆncia no tempo t como sendo a quantidade da substaˆncia fluindo atrave´s da sec¸a˜o transversal
em x no tempo t por unidade de a´rea, por unidade de tempo. Assim as dimenso˜es de φ sa˜o [φ] = quantidade
da substaˆncia / (a´rea × tempo). Por convenc¸a˜o, φ sera´ positivo se a substaˆncia estiver se movendo na direc¸a˜o
positiva do eixo x, e negativo se ela estiver se movendo na direc¸a˜o negativa do eixo x. Portanto, no tempo t,
a quantidade l´ıquida de substaˆncia permanecendo no volume de controle sera´ a diferenc¸a entre a quantidade
da substaˆncia entrando em x = a e a quantidade da substaˆncia saindo em x = b:
Taxa de transfereˆncia l´ıquida da substaˆncia
para dentro do volume de controle = φ(a, t)A− φ(b, t)A.
A substaˆncia pode ser criada ou destru´ıda dentro do volume de controle por uma fonte interna ou externa.
A taxa de criac¸a˜o ou destruic¸a˜o da substaˆncia, que chamaremos de termo fonte e denotaremos por f(x, t, u),
tem dimenso˜es [f ] = quantidade da substaˆncia / (volume × tempo), tendo sinal positivo se a substaˆncia e´
criada dentro do volume de controle e negativa se a substaˆncia for destru´ıda dentro do volume de controle.
Observe que ela pode depender da pro´pria quantidade da substaˆncia dispon´ıvel, medida pela densidade u.
A taxa de criac¸a˜o ou destruic¸a˜o da substaˆncia dentro do volume de controle e´ enta˜o dada por
Taxa de criac¸a˜o da substaˆncia
dentro do volume de controle =
∫ b
a
f(x, t, u)Adx.
A lei de conservac¸a˜o para a substaˆncia pode ser formulada da seguinte forma:
Taxa de variac¸a˜o
da quantidade de substaˆncia
dentro do volume de controle
=
Taxa de transfereˆncia l´ıquida de substaˆncia
para dentro do volume de controle
atrave´s de sua fronteira
+ Taxa de criac¸a˜o da substaˆncia
dentro do volume de controle
ou, em termos matema´ticos, apo´s cancelar o termo comum A,
d
dt
∫ b
a
u(x, t) dx = φ(a, t)− φ(b, t) +
∫ b
a
f(x, t, u) dx. (19)
Rodney Josue´ Biezuner 17
Esta e´ a lei de conservac¸a˜o na forma integral, valendo mesmo se u, φ ou f na˜o forem func¸o˜es diferencia´veis
(o que pode ocorrer em certos fenoˆmenos f´ısicos, como por exemplo naqueles que envolvem ondas de choque
ou outros tipos de descontinuidade). Se estas func¸o˜es forem continuamente diferencia´veis, podemos derivar
sob o sinal de integrac¸a˜o na primeira integral
d
dt
∫ b
a
u(x, t) dx =
∫ b
a
ut(x, t) dx,
e usar o Teorema Fundamental do Ca´lculo para escrever
φ(a, t)− φ(b, t) = −
∫ b
a
φx(x, t) dx,
obtendo a equac¸a˜o diferencial parcial
ut + φx = f(x, t, u) (20)
que e´ a lei de conservac¸a˜o na forma diferencial.
0.2.2 Lei de Conservac¸a˜o em Va´rias Dimenso˜es
Vamos formular a lei de conservac¸a˜o nas formas integral e diferencial para os espac¸os Rn, n = 2 ou n = 3
(na verdade, tudo o que deduzirmos aqui, vale para qualquer n > 2). Considere um volume de controle V em
Rn, em que a densidade ou concentrac¸a˜o u = u(x, t) de alguma substaˆncia por unidade de volume depende
de n varia´veis espaciais x = (x1, . . . , xn) e do tempo t > 0. Temos
Quantidade total da substaˆncia
dentro do volume de controle =
∫
V
u(x, t) dV
e, se f(x, t, u) denota o termo fonte,
Taxa de criac¸a˜o da substaˆncia
dentro do volume de controle =
∫
V
f(x, t, u) dV.
Em n dimenso˜es, o fluxo pode ser em qualquer direc¸a˜o, logo ele e´ uma grandeza vetorial que denotaremos
por φ(x, t). Se η(x) denota o vetor unita´rio normal apontando para fora da regia˜o V , a taxa de transfereˆncia
l´ıquida da substaˆncia para fora do volume de controle atrave´s de sua fronteira ∂V e´ dada por
Taxa de transfereˆncia l´ıquida da substaˆncia
para fora do volume de controle =
∫
∂V
φ(x, t) · η(x) dS.
A lei de conservac¸a˜o e´, portanto,
d
dt
∫
V
u(x, t) dV = −
∫
∂V
φ(x, t) · η(x) dS +
∫
V
f(x, t, u) dV. (21)
Se u, φ e f forem todas de classe C1 (assim como a regia˜o V ), podemos derivar sob o sinal de integrac¸a˜o e
usar o Teorema da Divergeˆncia ∫
∂V
φ(x, t) · η(x) dS =
∫
V
div φ(x, t) dV,
para obter a lei de conservac¸a˜o em forma diferencial
ut + div φ = f(x, t, u). (22)
Rodney Josue´ Biezuner 18
0.2.3 Relac¸o˜es Constitutivas
A lei de conservac¸a˜o na forma diferencial e´ uma equac¸a˜o diferencial parcial em duas inco´gnitas, u e φ.
Precisamos, portanto, de uma segunda equac¸a˜o para obter um sistema bem determinado. A equac¸a˜o adicional
e´ frequ¨entemente baseada nas propriedades f´ısicas do meio, as quais frequ¨entemente decorrem de observac¸o˜es
emp´ıricas. Tais equac¸o˜es sa˜o chamadas de relac¸o˜es constitutivas ou equac¸o˜es de estado.
Exemplo 0.1. (Equac¸a˜o do Calor) No caso da equac¸a˜o do calor, a relac¸a˜o constitutiva e´ a lei de Fourier:
φ(x, t) = −kux(x, t).
Em dimenso˜es mais altas, a lei de Fourier assume a forma
φ(x, t) = −k∇u(x, t). (23)
De fato, para materiais isotro´picos (isto e´, materiais em que na˜o existem direc¸o˜es preferenciais) verifica-
se experimentalmente que o calor flui de pontos quentes para pontos frios na direc¸a˜o em que a diferenc¸a
de temperatura e´ a maior. O fluxo de calor e´ proporcional a` taxa de variac¸a˜o da temperatura nesta
direc¸a˜o, com a constante de proporcionalidade k sendo por definic¸a˜o a condutividade te´rmica, como
no caso unidimensional. Como sabemos, a direc¸a˜o onde uma func¸a˜o cresce mais ra´pido e´ exatamente
aquela dada pelo vetor gradiente da func¸a˜o, e o mo´dulo do gradiente fornece a magnitude da taxa
de variac¸a˜o da func¸a˜o nesta direc¸a˜o. O sinal negativo ocorre, como no caso unidimensional, porque o
vetor gradiente aponta na direc¸a˜o de crescimento da temperatura, enquanto que o fluxo do calor se da´
na direc¸a˜o oposta (da temperatura maior para a temperatura menor). O fluxo do calor em uma regia˜o
bi ou tridimensional pode ser facilmente visualizado quando se lembra que o gradiente de uma func¸a˜o e´
perpendicular a`s superf´ıcies de n´ıvel da func¸a˜o. No caso em que a func¸a˜o e´ a temperatura, as superf´ıcies
de n´ıvel sa˜o chamadas superf´ıcies isote´rmicas ou, simplesmente, isotermas. Assim, o calor flui das
isotermas mais quentes para as isotermas mais frias, e em cada ponto da isoterma perpendicularmente
a` isoterma. Em outras palavras, as linhas de corrente do fluxo de calor correspondem a`s linhas de fluxo
do campo gradiente da temperatura.
Portanto, a equac¸a˜o do calor em Rn com termo fonte independente de u tem a forma
ut = K∆u+ f(x, t), (24)
onde ∆u denota o laplaciano de u:
∆u = div∇u = ∂
2u
∂x21
+ . . .+
∂2u
∂x2n
. (25)
¤
Exemplo 0.2. (Equac¸a˜o da Difusa˜o) Em muitos outros processos f´ısicos observa-se que a substaˆncia flui
a uma taxa diretamente proporcional ao gradiente de densidade, de regio˜es de maior densidade para
regio˜es de menor densidade. Esta relac¸a˜o geral e´ chamada de leide Fick :
φ(x, t) = −D∇u(x, t), (26)
onde D e´ a constante de difusa˜o. Se o termo fonte e´ independente de u, obtemos a equac¸a˜o da
difusa˜o
ut = D∆u+ f(x, t). (27)
O nome difusa˜o vem do fato de que a substaˆncia difunde-se para regio˜es adjacentes por causa de
gradientes (i.e., diferenc¸as) de concentrac¸a˜o, e na˜o porque e´ transportada pela corrente (i.e., na˜o
atrave´s de convecc¸a˜o). Por este motivo, o termo D∆u e´ chamado de termo difusivo.
Rodney Josue´ Biezuner 19
Ale´m do calor, exemplos de outras substaˆncias que se comportam assim sa˜o substaˆncias qu´ımicas
dissolvidas em algum fluido (neste caso, u representa a concentrac¸a˜o qu´ımica) e ate´ mesmo populac¸o˜es
de insetos. Ale´m de ser confirmada atrave´s de observac¸o˜es emp´ıricas, a lei de Fick que governa estes
e va´rios outros fenoˆmenos f´ısicos e biolo´gicos pode ser justificada teoricamente atrave´s de argumentos
baseados em modelos probabil´ısticos e caminhos aleato´rios. ¤
Exemplo 0.3. Quando o termo fonte na˜o e´ independente de u, processos governados pela lei de conservac¸a˜o
e pela lei de Fuck sa˜o regidos pela chamada equac¸a˜o da difusa˜o-reac¸a˜o
ut = ∆u+ f(x, t, u). (28)
O termo fonte, tambe´m chamado termo de reac¸a˜o, pode ser na˜o linear em u. Exemplos importantes
aparecem na teoria de combusta˜o e em biologia. ¤
Exemplo 0.4. (Equac¸a˜o da Continuidade) Se ρ denota a densidade de um fluido e V e´ o campo de ve-
locidades de escoamento do fluido, o fluxo de massa (taxa de transfereˆncia de massa, medida em
quantidade de massa / (a´rea)×(tempo)) e´ dado por
φ = ρV.
Note que a densidade ρ = ρ(x, t) de um fluido movendo-se no espac¸o, assim como o seu campo de
velocidades V = V(x, t), sa˜o func¸o˜es da posic¸a˜o no espac¸o e do instante de tempo considerado. A lei
de conservac¸a˜o de massa implica enta˜o a equac¸a˜o da continuidade
ρt + div(ρV) = 0.
A equac¸a˜o da continuidade e´ a primeira das equac¸o˜es de Navier-Stokes que governam a dinaˆmica
dos fluidos. ¤
Exemplo 0.5. (Equac¸a˜o da Advecc¸a˜o) Quando a velocidade do fluido e´ constante, o fluxo de massa e´ dado
por uma relac¸a˜o linear simples. No caso unidimensional (por exemplo, quando o fluido esta´ restrito a
um tubo ou cano), o fluxo e´
φ = cu, (29)
onde c e´ a velocidade do fluido e denotamos a densidade por u. Neste caso, a equac¸a˜o da continuidade
torna-se
ut + cux = 0. (30)
Esta e´ a chamada equac¸a˜o da advecc¸a˜o ou equac¸a˜o do transporte. Advecc¸a˜o refere-se ao movi-
mento horizontal de uma propriedade f´ısica. Esta equac¸a˜o de primeira ordem linear e´ o modelo mais
simples de convecc¸a˜o. ¤
0.2.4 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 0.4. Identifique as relac¸o˜es constitutivas para as seguintes leis de conservac¸a˜o escritas em forma
diferencial:
1. Equac¸a˜o de Burgers:
ut + uux = 0.
2. Equac¸a˜o de Korteweg-deVries (KdV):
ut + uux + uxxx = 0.
3. Equac¸a˜o dos meios porosos:
ut + (uγ)xx = 0.
Cap´ıtulo 1
Se´ries de Fourier
Para determinar a possibilidade de uma determinada func¸a˜o poder ser expressa como uma se´rie de Fourier,
bem como para obter os coeficientes da se´rie de Fourier da func¸a˜o quando isso ocorrer, precisamos antes
estudar certas propriedades das func¸o˜es seno e cosseno.
1.1 Propriedades das Func¸o˜es Seno e Cosseno
1.1.1 Periodicidade
Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o f : R −→ R e´ perio´dica se existe T ∈ R, T 6= 0, tal que f(x + T ) = f(x) para
todo x ∈ R. O nu´mero real T e´ chamado um per´ıodo para a func¸a˜o f .
Claramente, se T e´ um per´ıodo para a func¸a˜o f , enta˜o qualquer mu´ltiplo inteiro de T tambe´m e´ um per´ıodo
para f : 2T , −2T , 3T , −3T , 4T , −4T , etc. Por exemplo,
f(x+ 3T ) = f((x+ 2T ) + T ) = f(x+ 2T ) = f((x+ T ) + T ) = f(x+ T ) = f(x).
Definic¸a˜o. O menor per´ıodo positivo de uma func¸a˜o perio´dica f e´ chamado o per´ıodo fundamental.
Em geral, o per´ıodo fundamental de uma func¸a˜o perio´dica e´ referido simplesmente como o per´ıodo da func¸a˜o.
Porque o valor de uma func¸a˜o perio´dica repete-se a cada intervalo de comprimento igual ao seu per´ıodo,
para conhecer uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T basta descreveˆ-la em qualquer intervalo de comprimento
T ; o seu gra´fico e´ obtido repetindo-se o gra´fico neste intervalo em qualquer outro intervalo de comprimento
T .
Exemplo 1.1.
(a) As func¸o˜es seno e cosseno sa˜o perio´dicas e ambas teˆm per´ıodo 2pi.
(b) Func¸o˜es constantes sa˜o func¸o˜es perio´dicas que na˜o possuem per´ıodo fundamental, pois qualquer nu´mero
real na˜o nulo e´ um per´ıodo para a func¸a˜o constante, logo na˜o existe um menor per´ıodo positivo. Do
mesmo modo, a func¸a˜o
f(x) =
{
1 se x e´ racional,
0 se x e´ irracional,
e´ uma func¸a˜o perio´dica que na˜o possui per´ıodo fundamental, pois todo nu´mero racional na˜o nulo e´ um
per´ıodo para f (observe que nu´meros irracionais na˜o sa˜o per´ıodos para f).
20
Rodney Josue´ Biezuner 21
(c) A func¸a˜o f(x) = x− bxc, onde bxc e´ o maior inteiro menor que ou igual a x, e´ perio´dica de per´ıodo 1.
1
0,6
0,8
0,4
0
x
321
0,2
0-3 -1-2
(d) Podemos encontrar uma infinidade de exemplos de func¸o˜es perio´dicas, simplemente definindo uma func¸a˜o
em um intervalo de comprimento T e declarando que ela e´ perio´dica de per´ıodo T , desta forma definindo
ela na reta toda. Ou seja, suponha que a func¸a˜o f foi inicialmente definida no intervalo I de compri-
mento T ; dado x ∈ R, se x /∈ I, determine um inteiro k tal que x + kT ∈ I (k e´ positivo se x esta´
localizado a` esquerda do intervalo I e negativo se x esta´ a` direita de I) e defina
f(x) = f(x+ kT ).
Desta forma, definimos uma func¸a˜o f na reta toda que e´ automaticamente perio´dica de per´ıodo T . Por
exemplo, podemos definir uma func¸a˜o g por
g(x) =
{ −x se − L 6 x < 0,
x se 0 6 x < L,
e declara´-la perio´dica de per´ıodo 2L.
0,8
1
0,4
0
0,6
0,2
x
210-1-2
Para que a definic¸a˜o desta extensa˜o perio´dica seja consistente, observe que o intervalo I deve ser fechado
em um extremo e aberto no outro ou, se o intervalo I for fechado nos dois extremos, a func¸a˜o deve ter
os mesmos valores nestes extremos. ¤
Com relac¸a˜o aos per´ıodos das func¸o˜es que constituem a se´rie de Fourier, fazemos a seguinte importante
observac¸a˜o:
Rodney Josue´ Biezuner 22
Proposic¸a˜o 1.2. As func¸o˜es sen
npix
L
e cos
npix
L
teˆm o mesmo per´ıodo fundamental, igual a
2L
n
.
Prova. De fato, na verdade vale a seguinte afirmac¸a˜o mais geral: para qualquer valor α ∈ R, α 6= 0,
senαx e cosαx teˆm per´ıodo fundamental igual a
2pi
α
.
Isso pode ser determinado atrave´s do seguinte argumento: queremos encontrar o menor valor positivo de T
para o qual vale
senα(x+ T ) = senαx para todo x ∈ R,
ou seja,
senαx cosαT + cosαx senαT = senαx para todo x ∈ R.
Para determinar αT , o que consequ¨entemente determinara´ T , basta obter os valores de senαT e cosαT ,
pois um aˆngulo fica completamente determinado quando se conhece os valores de seu seno e de seu cosseno,
a menos de mu´ltiplos de 2pi. Para isso, observamos que a equac¸a˜o acima e´ va´lida para qualquer valor de x.
Em particular, substituindo o valor x = 0 na expressa˜o acima, obtemos
senαT = 0,
o que implica que αT e´ um mu´ltiplo de pi. Agora, substituindo o valor x =
pi
2α
na expressa˜o acima, obtemos
cosαT = 1.
Logo, αT e´ necessariamente um mu´ltiplo de 2pi. Como queremos o menor valor positivo de T , segue que
αT = 2pi
e, portanto,
T =
2pi
α
.
A mesma conclusa˜o vale para a func¸a˜o cosαx, ja´ que a func¸a˜o cosseno nada mais e´ que a func¸a˜o seno
defasada. ¥
Como consequ¨eˆncia deste resultado, ja´ que qualquer mu´ltiplo inteiro do per´ıodo fundamental e´ um per´ıodo,
segue que para todo n as func¸o˜es sen
npix
L
e cos
npix
L
teˆm o valor 2L como per´ıodo comum.
1.1.2 Relac¸o˜es de Ortogonalidade
Parao ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier de uma func¸a˜o (quando existir), as seguintes relac¸o˜es de
ortogonalidade entre as func¸o˜es sen
npix
L
e cos
npix
L
desempenham um papel fundamental:
Proposic¸a˜o 1.3. (Relac¸o˜es de Ortogonalidade) Valem as seguintes identidades:∫ L
−L
cos
npix
L
sen
mpix
L
dx = 0 para todos n,m;∫ L
−L
cos
npix
L
cos
mpix
L
dx =
{
L se n = m,
0 se n 6= m; (1.1)∫ L
−L
sen
npix
L
sen
mpix
L
dx =
{
L se n = m,
0 se n 6= m.
Rodney Josue´ Biezuner 23
Prova. Estas relac¸o˜es podem ser obtidas atrave´s de integrac¸a˜o direta e uso das identidades trigonome´tricas.
Por exemplo, se n 6= m, escrevemos∫ L
−L
sen
npix
L
sen
mpix
L
dx =
1
2
∫ L
−L
[
cos
(n−m)pix
L
− cos (n+m)pix
L
]
dx
=
1
2
1
pi
[
1
n−m sen
(n−m)pix
L
− 1
n+m
sen
(n+m)pix
L
∣∣∣∣L
−L
= 0.
Se n = m, escrevemos∫ L
−L
sen
npix
L
sen
mpix
L
dx =
∫ L
−L
(
sen
npix
L
)2
dx =
1
2
∫ L
−L
[
1− cos 2npix
L
]
dx
=
1
2
[
x− L
2npi
sen
2npix
L
∣∣∣∣L
−L
= L.
¥
1.1.3 Produto Interno no Espac¸o das Func¸o˜es Quadrado-Integra´veis
O nome relac¸o˜es de ortogonalidade deve-se ao fato de que as expresso˜es acima significam que as func¸o˜es
sen
npix
L
e cos
npix
L
sa˜o ortogonais no espac¸o vetorial das func¸o˜es quadrado-integra´veis definidas no intervalo
[−L,L]. De fato, no espac¸o
L2([a, b]) =
{
u : [a, b] −→ R :
∫ b
a
u2(x) dx <∞
}
das func¸o˜es definidas no intervalo [a, b] cujo quadrado e´ integra´vel, podemos definir um produto interno por
〈u, v〉 =
∫ b
a
u(x)v(x) dx.
Porque as func¸o˜es sa˜o quadrado-integra´veis, a integral acima esta´ bem definida e e´ finita (caso contra´rio, se
duas func¸o˜es sa˜o apenas integra´veis, o produto delas na˜o e´ necessariamente integra´vel; tome, por exemplo,
u(x) = v(x) = x−1/2 no intervalo [0, 1]). De fato, como para quaisquer A,B ∈ R vale a desigualdade
2AB 6 A2 +B2, segue que∫ b
a
u(x)v(x) dx ≤ 1
2
∫ b
a
u2(x) dx+
1
2
∫ b
a
v2(x) dx <∞.
Como o aˆngulo entre dois vetores e´ definido por
](u, v) = arccos 〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ ,
segue que duas func¸o˜es sa˜o ortogonais se ∫ b
a
u(x)v(x) dx = 0.
Rodney Josue´ Biezuner 24
1.1.4 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1.1. Sejam f, g : R→ R func¸o˜es perio´dicas de per´ıodo T . Mostre que
(a) f + g e´ perio´dica de per´ıodo T .
(b) αf e´ perio´dica de per´ıodo T para qualquer escalar α ∈ R.
(c) O conjunto PT (R) das func¸o˜es perio´dicas de per´ıodo T e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o F(R) das
func¸o˜es reais definidas na reta.
(d) fg e´ perio´dica de per´ıodo T .
(e) f/g e´ perio´dica de per´ıodo T (assuma que g nunca se anula).
(f) f
(x
a
)
e´ perio´dica de per´ıodo aT .
(g) f (ax) e´ perio´dica de per´ıodo
T
a
.
(h) Se h e´ uma func¸a˜o qualquer (na˜o necessariamente perio´dica), enta˜o a composta h ◦ f e´ perio´dica de
per´ıodo T .
Exerc´ıcio 1.2. Sejam f, g : R → R func¸o˜es perio´dicas de per´ıodos fundamentais diferentes. Podemos
concluir que f + g e´ perio´dica? Podemos concluir que f + g na˜o e´ perio´dica?
Exerc´ıcio 1.3. Sejam f1, f2 : R → R func¸o˜es perio´dicas de per´ıodos T1, T2, respectivamente. Prove que se
existem inteiros n,m tais que
nT1 = mT2,
enta˜o f1 + f2 e´ perio´dica de per´ıodo nT1.
Exerc´ıcio 1.4. Mostre que sen ax+ sen bx e´ perio´dica se e somente se a/b e´ racional.
Exerc´ıcio 1.5. Seja f : R→ R uma func¸a˜o diferencia´vel, perio´dica de per´ıodo T . Mostre que f ′ tambe´m e´
perio´dica de per´ıodo T .
Exerc´ıcio 1.6. Seja f : R → R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T , localmente integra´vel (i.e., integra´vel
em qualquer intervalo). Mostre que a func¸a˜o
F (x) =
∫ x
0
f
e´ perio´dica de per´ıodo T se e somente se ∫ T
0
f = 0.
Exerc´ıcio 1.7. Seja f : R → R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T , localmente integra´vel. Determine a
constante a para que a func¸a˜o abaixo seja perio´dica de per´ıodo T :
F (x) =
∫ x
0
f(t) dt− ax.
Exerc´ıcio 1.8. Seja f : R→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T , localmente integra´vel. Mostre que∫ a+T
a
f =
∫ T
0
f.
Exerc´ıcio 1.9. Mostre que uma func¸a˜o perio´dica cont´ınua na˜o constante possui per´ıodo fundamental.
Rodney Josue´ Biezuner 25
1.2 Ca´lculo dos Coeficientes da Se´rie de Fourier
Suponha que possamos expressar uma func¸a˜o f : R→ R na forma
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sen
npix
L
)
, (1.2)
ou seja, que o lado direito desta identidade seja uma se´rie convergente que converge para o valor f(x) em
todo ponto x ∈ R. A se´rie no lado direito da expressa˜o acima e´ chamado a se´rie de Fourier de f . [O
motivo de termos escolhido escrever
a0
2
ao inve´s de simplesmente a0 ficara´ claro a seguir.] Em particular,
para que isso seja poss´ıvel vemos que f tem que ser perio´dica com per´ıodo 2L, pois este e´ o per´ıodo comum
das func¸o˜es sen
npix
L
e cos
npix
L
; portanto, func¸o˜es definidas na reta toda que na˜o satisfazem esta condic¸a˜o
na˜o podem possuir se´ries de Fourier.
Suponha, ale´m disso, que a func¸a˜o f seja integra´vel no intervalo [−L,L] e que a se´rie do lado direito
possa ser integrada termo a termo. Obtemos, pelas relac¸o˜es de ortogonalidade,∫ L
−L
f(x) dx =
a0
2
∫ L
−L
dx+
∞∑
n=1
(
an
∫ L
−L
cos
npix
L
dx+ bn
∫ L
−L
sen
npix
L
dx
)
= a0L,
donde
a0 =
1
L
∫ L
−L
f(x) dx. (1.3)
Os outros coeficientes tambe´m podem ser obtidos facilmente explorando as relac¸o˜es de ortogonalidade. Mul-
tiplicando ambos os lados da equac¸a˜o (1.2) por cos
npix
L
e integrando de −L a L, obtemos
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx =
a0
2
∫ L
−L
cos
npix
L
dx+
∞∑
m=1
(
am
∫ L
−L
cos
mpix
L
cos
npix
L
dx+ bm
∫ L
−L
sen
mpix
L
cos
npix
L
dx
)
= anL,
donde
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx. (1.4)
[Por este motivo escrevemos o termo constante da se´rie de Fourier na forma
a0
2
: deste modo, a fo´rmula para
os coeficientes an e´ a mesma, independente se n = 0 ou n 6= 0.] Analogamente, multiplicando ambos os lados
da equac¸a˜o (1.2) por sen
npix
L
e integrando de −L a L, obtemos
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx. (1.5)
Exemplo 1.4. Admitindo que exista uma se´rie de Fourier que convirja para a func¸a˜o perio´dica f de per´ıodo
2L, definida no intervalo [−L,L] por
f(x) =
{ −x se − L 6 x 6 0,
x se 0 6 x 6 L,
calcule os seus coeficientes.
Rodney Josue´ Biezuner 26
Soluc¸a˜o. Temos
a0 =
1
L
∫ L
−L
f(x) dx =
1
L
[
−
∫ 0
−L
x dx+
∫ L
0
x dx
]
=
1
L
(
L2
2
+
L2
2
)
= L.
Os outros coeficientes podem ser calculados atrave´s de integrac¸a˜o por partes. Temos
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx =
1
L
[
−
∫ 0
−L
x cos
npix
L
dx+
∫ L
0
x cos
npix
L
dx
]
=
1
L
[(
− L
npi
x sen
npix
L
∣∣∣∣0
−L
+
L
npi
∫ 0
−L
sen
npix
L
dx
)
+
(
L
npi
x sen
npix
L
∣∣∣∣L
0
− L
npi
∫ L
0
sen
npix
L
dx
)]
=
1
L
[
− L
2
n2pi2
cos
npix
L
∣∣∣∣0
−L
+
L2
n2pi2
cos
npix
L
∣∣∣∣L
0
]
=
1
L
[
− L
2
n2pi2
+
L2
n2pi2
cosnpi +
L2
n2pi2
cosnpi − L
2
n2pi2
]
=
2L
n2pi2
(cosnpi − 1)
=
{
0 se n e´ par,
− 4L
n2pi2
se n e´ ı´mpar.
e
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx =
1
L
[
−
∫ 0
−L
x sen
npix
L
dx+
∫ L
0
x sen
npix
L
dx
]
=
1
L
[(
L
npi
x cos
npix
L
∣∣∣∣0
−L
− L
npi
∫ 0
−L
cos
npix
L
dx
)
+
(
− L
npi
xcos
npix
L
∣∣∣∣L
0
+
L
npi
∫ L
0
cos
npix
L
dx
)]
=
1
L
[
L2
npi
cosnpi − L
2
n2pi2
sen
npix
L
∣∣∣∣0
−L
− L
2
npi
cosnpi +
L2
n2pi2
sen
npix
L
∣∣∣∣L
0
]
= 0.
Portanto,
f(x) =
L
2
− 4L
pi2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 cos
(2n− 1)pix
L
.
Observe que a se´rie do lado direito e´ de fato convergente em todo ponto x, ja´ que os coeficientes
diminuem na raza˜o de
1
(2n− 1)2 ,
∣∣∣∣cos (2n− 1)pixL
∣∣∣∣ 6 1 e a se´rie ∞∑
n=1
1
n2
e´ sabidamente convergente.
Na figura a seguir ilustramos o gra´fico da se´rie truncada em va´rios valores de n (vermelho corresponde
a truncar a se´rie em n = 1, azul a trunca´-la em n = 2 e verde a trunca´-la em n = 3; preto corresponde
Rodney Josue´ Biezuner 27
a truncar a se´rie em n = 100, indistingu´ıvel do gra´fico da func¸a˜o f propriamente dita):
-2
1
0,6
0,8
0,4
x
210
0
0,2
-1
Por outro lado, a convergeˆncia parece ser mais lenta nas quinas (isto e´, nos pontos onde f na˜o e´
diferencia´vel), como pode ser observado na figura acima. Para ver isso melhor, tome L = x = pi, de
modo que obtemos
pi =
pi
2
− 4
pi
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 cos(2n− 1)pi
ou
pi2
8
=
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 = 1 +
1
9
+
1
25
+
1
49
+ . . .
Enquanto que pi = 3.1415926536 e´ uma aproximac¸a˜o para pi com 10 casas decimais, temos:√√√√8 k∑
n=1
1
(2n− 1)2 =
 3.141274327 se k = 1000,3.141589470 se k = 100000,3.141592335 se k = 1000000.
¤
1.3 Teorema de Fourier
Vamos determinar condic¸o˜es suficientes para que uma func¸a˜o f possua uma se´rie de Fourier e que esta
convirja para f pelo menos na maioria dos pontos de seu domı´nio.
Rodney Josue´ Biezuner 28
1.3.1 Existeˆncia da Se´rie de Fourier
Primeiramente, vamos ver que condic¸o˜es a func¸a˜o f deve satisfazer para que a sua se´rie de Fourier esteja
definida, mesmo que ela possa na˜o convergir para f em nenhum ponto. Para que a se´rie de Fourier de f
exista, os coeficientes de Fourier de f precisam estar definidos.
Definic¸a˜o. Dizemos que uma func¸a˜o integra´vel f : R −→ R e´ absolutamente integra´vel no intervalo
[a, b] se ∫ b
a
|f(x)| dx <∞.
Denotamos isso por f ∈ L1([a, b]).
Se f e´ localmente absolutamente integra´vel (isto e´, se f e´ absolutamente integra´vel em todo intervalo),
denotamos isso por f ∈ L1loc(R).
Proposic¸a˜o 1.5. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L. Se f e´ absolutamente integra´vel
no intervalo [−L,L], enta˜o os coeficientes de Fourier de f
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx, n = 1, 2, . . . ,
esta˜o bem definidos.
Prova. De fato, ∣∣∣∣∣
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx
∣∣∣∣∣ 6
∫ L
−L
|f(x)|
∣∣∣cos npix
L
∣∣∣ dx < ∫ L
−L
|f(x)| dx <∞,∣∣∣∣∣
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx
∣∣∣∣∣ 6
∫ L
−L
|f(x)|
∣∣∣sen npix
L
∣∣∣ dx < ∫ L
−L
|f(x)| dx <∞.
¥
Portanto, quando f ∈ L1loc(R) e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L, podemos construir formalmente a se´rie
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sen
npix
L
)
.
A pro´xima questa˜o e´ se esta se´rie converge em cada ponto x e se ela converge para o valor f(x).
1.3.2 Func¸o˜es Cont´ınuas por Partes
Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o real f e´ cont´ınua por partes no intervalo [a, b] se existir um nu´mero finito de
pontos a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b tais que
(i) f e´ cont´ınua em cada subintervalo [xi−1, xi], i = 1, . . . , n;
(ii) existem os limites laterais a` esquerda e a` direita nos extremos de cada subintervalo.
Exemplo 1.6.
Rodney Josue´ Biezuner 29
(a) A func¸a˜o
f(x) =
 −1 se n < x < n+ 1 e n e´ par,0 se x = n ∈ Z,1 se n < x < n+ 1 e n e´ ı´mpar.
e´ cont´ınua por partes em qualquer intervalo fechado da reta. Seus pontos de descontinuidade sa˜o os
pontos com valores inteiros e os limites laterais nestes pontos sa˜o −1 e 1.
1
0
0,5
3
-0,5x
20 1
-1
-3 -2 -1
(b) A func¸a˜o
g(x) =

1 se x < 0,
0 se x = 0,
sen
1
x
se x > 0,
na˜o e´ cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1] pois na˜o existe o limite lateral a` direita em x = 0.
1
0
0,5
1
x
0,5-0,5
-1
-0,5
-1 0
Rodney Josue´ Biezuner 30
(c) Similarmente, a func¸a˜o
h(x) =

− 1
x
se x < 0,
0 se x = 0,
1 se x > 0,
na˜o e´ cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1], pois na˜o existe o limite lateral a` esquerda em x = 0.
x
20
10
10
15
0,5-0,5
0
5
-1
¤
1.3.3 O Teorema de Fourier
Agora enunciaremos o Teorema de Fourier, que da´ condic¸o˜es suficientes sobre uma func¸a˜o perio´dica f para
que a sua se´rie de Fourier convirja puntualmente para f nos pontos de continuidade de f . A demonstrac¸a˜o
deste resultado sera´ adiada para uma sec¸a˜o posterior.
Teorema 1.7. (Teorema de Fourier) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L, tal que f e f ′
sa˜o cont´ınuas por partes no intervalo [−L,L]. Enta˜o a se´rie de Fourier de f
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sen
npix
L
)
onde
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx, n = 1, 2, . . . ,
converge para f(x), se f e´ cont´ınua em x, e para
f(x+) + f(x−)
2
, se f e´ descont´ınua em x.
Em geral, se uma func¸a˜o f e a sua derivada f ′ forem cont´ınuas por partes, diremos simplesmente que f e´
diferencia´vel por partes. Observe que se f e´ cont´ınua em x, enta˜o a me´dia dos limites laterais de f em x
e´ exatamente igual a f(x); o teorema poderia ter sido enunciado em uma forma mais compacta simplesmente
Rodney Josue´ Biezuner 31
afirmando que se f satisfaz as condic¸o˜es do enunciado, enta˜o a se´rie de Fourier de f converge sempre para
f(x+) + f(x−)
2
.
Exemplo 1.8.
(a) Defina
f(x) =
{
x2 sen
1
x
se x 6= 0,
0 se x = 0.
Observe que f e´ cont´ınua ( lim
x→0
x2 sen
1
x
= 0), mas f ′ na˜o e´ cont´ınua por partes, pois apesar da derivada
existir em x = 0, na˜o existe nenhum dos limites laterais da derivada em x = 0:
f ′(x) =
{
2x sen
1
x
− cos 1
x
se x 6= 0,
0 se x = 0.
0,04
0
0,02
-0,02
-0,04
x
0,30,2-0,1-0,2 0-0,3 0,1
1
0
0,5
0,3
-0,5
x
0,20
-1
-0,3 -0,2 -0,1 0,1
(b) (Onda quadrada) Defina f : R −→ R por
f(x) =
{
0 se − L < x < 0,
L se 0 < x < L,
e f perio´dica de per´ıodo 2L.
1
0,6
0,8
0,4
0
x
321
0,2
0-3 -1-2
Rodney Josue´ Biezuner 32
Vamos calcular a se´rie de Fourier de f e verificar onde ela converge. Temos
a0 =
1
L
∫ L
−L
f(x) dx =
∫ L
0
dx = L,
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx =
∫ L
0
cos
npix
L
dx =
L
npi
sen
npix
L
∣∣∣L
0
= 0,
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx =
∫ L
0
sen
npix
L
dx = − L
npi
cos
npix
L
∣∣∣L
0
=
L
npi
(1− cosnpi)
=
{
0 se n e´ par,
2L
npi
se n e´ ı´mpar.
Portanto,
f(x) =
L
2
+
2L
pi
∞∑
n=1
1
2n− 1 sen
(2n− 1)pix
L
.
Veja a figura abaixo, representando a soma parcial truncada em n = 10:
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
x
420-2-4
Para os valores de descontinuidade (x = kL, k ∈ Z), os senos se anulam e a se´rie de Fourier de f tem
valor igual a L/2, exatamente a me´dia dos limites laterais nestes pontos. Nos demais pontos, a se´rie
de Fourier converge para f , mas com uma convergeˆncia lenta, ja´ que os seus coeficientes sa˜o da ordem
de 1/(2n− 1).
(c) (Onda triangular) Defina g : R −→ R por
g(x) =
{ −x se − L 6 x < 0,
x se 0 6 x < L,
e g perio´dica de per´ıodo 2L. Observe que g e´ cont´ınua e diferencia´vel por partes (isto e´, g′ e´ cont´ınua
por partes), logo a se´rie de