Relatório Pêndulo Simples e Pêndulo Fisico laboratório de fisica 3

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pêndulos Simples 
e 
Pêndulos Físicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório de Física III 
Aluno (a):Laura M. S. C. de Alvarenga. 
Prof.º: Juraci Sampaio. 
 
 
 
 
 
Campos dos Goytacazes, 13 de outubro de 2010. 
 
 
Juraci Aparecido Sampaio
Nota 8,0
Juraci Aparecido Sampaio
1.) Introdução 
 
 
 É muito comum em nosso dia-a-dia, observarmos diversos tipos de movimentos 
que se repetem como barcos balançando no cais, lustres oscilantes e tantos outros. Nos 
casos reais, as oscilações às quais observamos são em geral classificadas como 
amortecidas, ou seja, elas não se mantêm indefinidamente. Nessas situações, o 
movimento se reduz gradualmente com o tempo até que o sistema oscilatório se 
estabilize, já que aos poucos a energia mecânica do mesmo vai sendo dissipada por 
conta dos atritos internos e da resistência do ar que está em volta. 
 Em um sistema oscilatório simples, um corpo move-se repetidamente para frente 
e para trás (movimento de “vaivém”) em torno de uma posição de equilíbrio. Ainda 
nesta linha de raciocínio, introduzimos a idéia de movimento harmônico simples 
(MHS), que é o movimento realizado por um corpo de massa m sujeito a uma força que 
é proporcional ao deslocamento do corpo, porém com o sinal contrário. 
 Na vida prática, o conhecimento a respeito das oscilações é de fundamental 
importância para o entendimento de fenômenos tais como terremotos e abalos sísmicos 
que em muitos casos causam inclusive o rompimento e a destruição de várias estruturas 
do ramo da Engenharia Civil por exemplo, como pontes, prédios e viadutos. 
 Depois de compreendidas estas ideias iniciais, que são a base de todo nosso 
estudo neste trabalho, vamos considerar o experimento propriamente dito, que trata de 
uma classe em especial de osciladores harmônicos simples, que são os pêndulos 
simples e físicos, onde a força restauradora (força que tende a levar o sistema para seu 
estado inicial) está associada à gravidade, ao invés de estar associada às propriedades de 
uma mola deformada ou de um fio torcido. 
 Com esta experiência, iremos determinar a aceleração da gravidade através da 
análise do movimento de um pêndulo simples, mostrar a dependência do período T de 
um corpo (tempo para completar uma oscilação) com sua massa e comparar o período 
de um pêndulo físico com seu valor teórico. Esperamos, com estes procedimentos, 
obtermos resultados os mais próximos possíveis da realidade como o valor da 
aceleração da gravidade na Terra, que é cerca de 9,81 m/s!, obtermos uma descrição 
aproximada dos comportamentos desses pêndulos oscilando e também a relação de 
influência de um valor de massa de um corpo com seu período. 
 
 
2.) Teoria 
 
 
O chamado pêndulo simples que é uma idealização, consiste em uma partícula 
de massa m suspensa por um fio inextensível e sem massa (fio ideal), de comprimento 
L. A massa m desta partícula é livre para oscilar em um plano à direita e à esquerda de 
uma linha imaginária vertical que passa através do ponto onde a extremidade superior 
do fio está presa. 
O elemento de inércia neste tipo de pêndulo é a massa m da partícula e o 
elemento de restauração está associado à gravidade entre a partícula e a Terra. A energia 
potencial por sua vez, está associada com a distância vertical variável entre a partícula 
que oscila e a Terra. 
Sobre esta partícula, agem algumas forças, a saber: seu peso (mg, onde g é a 
gravidade na Terra) e a tensão T no fio. Decompondo a força mg em 2 componentes, 
temos: a componente radial mgcos! e a componente mgsen! que é tangente à trajetória 
 
s = L! da partícula. Esta última é a chamada força de restauração do sistema, pois 
sempre atua no sentido oposto ao deslocamento da partícula, de modo a trazê-la de volta 
à sua localização central ou posição de equilíbrio que é quando o ângulo ! é igual a 
zero. Dizemos também que tal componente produz um torque restaurador em relação ao 
ponto de equilíbrio (" = r# F = -Lmgsen!, onde L é o comprimento do fio). Por esta 
razão, por atuar em sentido contrário ao movimento da partícula, escrevemos esta força 
como F = -mgsen!, onde o sinal negativo indica esta oposição. O esquema ilustrativo 
abaixo apresenta estas forças: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando tratamos de pêndulos simples, consideramos o ângulo ! suficientemente 
pequeno, pois assim o seno do mesmo é aproximadamente igual ao seu próprio valor. 
Normalmente adotamos ângulos na faixa ente 10 e 15º. Desta forma, o deslocamento s 
da partícula medido ao longo do arco que esta descreve é dado por L!. 
 Com tudo isto, podemos reescrever a equação da componente tangencial de mg 
como: 
 
F ~ -mg! = -mgs/L = - (mg/L)s 
 
 
Consultando a conhecida Lei de Hooke (F = -kx), observamos que esta faz uma 
analogia com a equação acima, com o deslocamento agora sendo o comprimento do 
arco s no lugar de x. 
Assim, concluímos que, se um pêndulo simples oscila com pequenas amplitudes, 
então ele se comporta como um oscilador linear tal como um sistema massa-mola, ou 
seja, ele de fato realiza um movimento harmônico simples. Nesta situação, a amplitude 
do movimento é a amplitude angular !m, que é o ângulo máximo de oscilação, e a 
constante elástica k passa a ser a nova constante mg/L que está relacionada ao pêndulo. 
Do estudo detalhado do movimento harmônico simples (MHS), deduzimos com 
o experimento anterior (sistemas massa-mola) que a aceleração (que é a derivada da 
velocidade) é dada pela equação a(t) = -$!xmcos($t + %) neste movimento, onde "t + # 
é a chamada fase do movimento. Também do estudo deste movimento, trabalhamos 
com a fórmula do deslocamento que é dado por x(t) = xmcos($t + %). 
Substituindo xmcos("t + #) por x(t) na fórmula da aceleração, temos: 
 
a(t) = -$!x(t) 
 
Substituindo agora a aceleração da 2ª Lei de Newton (F = ma) por –"!x temos: 
 
F = ma = -(m$!)x 
 
 
E novamente utilizando a Lei de Hooke (F = -kx), temos que: 
 
k = m$! ou $ = mk / 
 
Da análise da já apresentada equação do deslocamento no MHS, sabemos que 
quando temos a constante de fase # = 0 e o retorno do corpo à sua posição inicial após 
um período T do movimento, podemos fazer com que a função cosseno se repita 
atribuindo a T o valor de 2$ para que tenhamos a freqüência angular $ = 2&/ T e assim 
possamos combinar esta equação com $ = mk / e termos: T = 2& km / . 
 
 
Substituindo k por mg/L, temos: 
 
T = 2& Lmgm // = 2& gL / , que é o período para um pêndulo simples. 
 
Vale ressaltar que esta última equação só se aplica quando a amplitude angular 
!m for pequena. 
 
Agora, iremos discutir sobre uma outra variedade de pêndulo que é o chamado 
pêndulo físico, que é o que mais se aproxima dos “pêndulos” com os quais lidamos no 
dia-a-dia. O pêndulo físico tem o seu peso mg, atuando sobre seu centro de massa C. 
Quando este pêndulo é deslocado de um ângulo ! em qualquer direção em relação à sua 
posição de equilíbrio também aparece um torque restaurador que atua em torno de um 
eixo que atravessa o ponto O por onde o pêndulo está suspenso. Este torque tem uma 
intensidade " = -mgsen!h, onde mgsen! é a componente tangencial do peso mg e h que 
equivale a OC e é o braço de alavanca desta componente. Outra vez, vamos nos ater a 
pequenas amplitudes para ! (entre 10 e 15º), de modo que o seno de ! seja quase igual 
ao próprio ! e para que então possamos escrever: " = -mgh!. Vejamos a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Comparando a equação % = -mgh! com a equação do torque restaurador 
num pêndulo de torção" (" = -k!) observamos que temos novamente a Lei de Hooke 
numa forma angular e concluímos que um pêndulo físico executa um MHS para valores 
pequenosde !. Substituindo o termo k por mgh na equação do período do pêndulo de 
torção (T = 2& kI / ) temos T = 2& mghI / , que é o período para um pêndulo físico. 
O pêndulo físico da ilustração acima considera o pêndulo simples como um caso 
especial no qual h equivale a L ou comprimento do fio e I = mL! . Fazendo algumas 
substituições simples, temos que a equação do período para um pêndulo físico é igual a 
2& mgLmL /! = 2& gL / , que é a já conhecida equação do período para um pêndulo 
simples. 
Em nosso experimento, consideramos um pêndulo físico como o da figura 
abaixo: uma haste plana de aproximadamente 0,36m suspensa por uma de suas 
extremidades. Vejamos o esquema: 
 
 
 
 
 
 
1 
 O pêndulo de torção é um formato angular do oscilador harmônico simples 
linear (sistema massa-mola). Este pêndulo é composto por um disco que oscila no plano 
horizontal e uma linha de referência (raio do disco) que oscila com amplitude angular 
!m . A torção no fio que suspende o disco armazena energia potencial como se fosse uma 
mola e também fornece o torque restaurador. 
 
 
 
 
 
 
3.) Procedimento Experimental 
 
Materiais utilizados no experimento: 
 
1.) Balança Ohaus com sensibilidade de 0,1 g (erro!0,05g) 
2.) Esferas de metal de 116,8 g e 225,2 g 
3.) Fio de náilon para prender as esferas 
4.) Transferidor 
5.) Régua de acrílico de 0,36m para funcionar como pêndulo físico 
6.) Fotogate (erro!0,0001 s; erro desprezível) 
 
 
Procedimentos para o pêndulo simples com a esfera de 116,8 g : 
 
- Inicialmente, pesamos as esferas de metal e encontramos os valores de 116,8 g e 225,2 
g para suas massas. 
- Após a pesagem, tomamos a esfera de 116,8 g e a amarramos com o fio de náilon 
(estrutura do pêndulo simples) medindo primeiramente 0,30 m na direção do fotogate. 
Feito isto, medimos um ângulo de aproximadamente 10º no transferidor e alinhamos o 
fio de náilon com este ângulo, para então o soltarmos, com o fotogate já ligado. Desta 
forma, o sistema montado começou a oscilar, e foram anotados 10 valores diferentes de 
períodos conforme mostra a tabela I em Resultados e Discussões. 
- O procedimento anterior foi repetido por mais 4 vezes com a mesma esfera e o mesmo 
ângulo de forma que apenas o valor do comprimento do fio variasse, sendo este 
reduzido de 0,05 m a cada vez, até chegarmos ao valor de 0,10 m. 
- Após termos os 10 diferentes valores de períodos para cada um dos comprimentos do 
fio, calculamos uma média desses períodos (T médio) e elevamos estas médias ao 
quadrado (como mostra a tabela II em Resultados e Discussões) para que pudéssemos 
traçar o gráfico comprimento versus período ao quadrado e também para que 
pudéssemos calcular a gravidade. 
 
 
Procedimentos para o pêndulo simples com a esfera de 225,2 g: 
 
 
- Nesta etapa, suspendemos a esfera de 225,2 g na direção do fotogate com o mesmo fio 
de náilon medindo 0,30 m e com o mesmo ângulo anterior (aproximadamente 10º). 
- Com o fotogate novamente ligado, coletamos 10 diferentes valores de períodos, 
calculamos uma média desses valores e elevamos esta média ao quadrado, como indica 
a tabela III. O objetivo é mostrar que o período em um pêndulo simples não depende da 
massa do corpo suspenso, mas sim do comprimento do fio que o suspende. 
 
 
Procedimentos para o pêndulo físico (régua de acrílico): 
 
 
- Nesta etapa final, encaixamos a régua de acrílico num pequeno gancho na direção do 
fotogate e outra vez medimos um ângulo de cerca de 10º no transferidor para que então 
pudésssemos soltar a régua. 
- Enquanto a régua oscilava coletamos 10 valores diferentes de períodos para a mesma e 
fizemos uma média desses valores (tabela IV). O objetivo é comparar este valor médio 
experimental com o valor teórico. 
 
 
4.) Resultados e Discussões 
 
 
Tabela I 
 
Comprimento 
do fio-L (m) 
Valores dos períodos (s) para cada comprimento de fio (10 medições 
diferentes de valores de períodos para cada comprimento de fio) 
0,30 1,1556 1,1549 1,1563 1,1551 1,1599 1,1509 1,1540 1,1539 1,1571 1,1533 
0,25 1,0653 1,0636 1,0624 1,0629 1,0655 1,0637 1,0632 1,0644 1,0628 1,0623 
0,20 0,9610 0,9606 0,9591 0,9672 0,9586 0,9619 0,9614 0,9613 0,9612 0,9588 
0,15 0,8539 0,8586 0,8520 0,8552 0,8548 0,8545 0,8533 0,8549 0,8558 0,8556 
0,10 0,7298 0,7320 0,7299 0,7244 0,7329 0,7318 0,7349 0,7285 0,7352 0,7367 
 
 
Tabela II 
 
L (m) T médio (s) T! (s) 
0,30 1,1551 1,3342 
0,25 1,0636 1,1312 
0,20 0,9611 0,9237 
0,15 0,8549 0,7308 
0,10 0,7316 0,5352 
 
 
 
Tabela III 
 
 
 
 
Tabela IV 
 
Comprimento 
da 
régua (m) 
 
Valores de 10 períodos diferentes (s) para a régua 
T 
médio 
(s) 
0,36 0,9843 0,9822 0,9815 0,9799 0,9695 0,9621 0,9832 0,9831 0,9797 0,9693 0,9775 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Massa 
da 
esfera 
(g) 
 
Valores de 10 períodos diferentes (s) para um comprimento de fio de 
aproximadamente 0,30m 
T 
médio 
(s) 
 
T! 
(s) 
225,2 1,1440 1,1433 1,1448 1,1441 1,1437 1,1436 1,1431 1,1439 1,1437 1,1436 1,1438 1,3083 
 
Conclusões considerações e outros resultados: 
 
 
1.) De acordo com os dados da tabela I, observamos que o período de um corpo de 
massa m num pêndulo simples varia conforme mudamos o comprimento do fio que 
suspende o corpo, de modo que quando diminuímos o comprimento do fio, o período 
também diminui. Pudemos observar este fato com mais clareza no gráfico comprimento 
versus período ao quadrado onde vemos o comportamento linear desta função e 
constatamos que o período num pêndulo simples e o comprimento do fio são 
diretamente proporcionais. 
 Outra forma de comprovarmos este fato é através da análise da equação do 
período para um pêndulo simples (T = 2$ gL / ). Nesta equação temos as constantes 
2$ e g (aceleração da gravidade). Assim, o único valor variável é o de L (comprimento 
do fio). Podemos testar esta equação atribuindo os mais diversos valores para L e 
observando como o período diminui ou aumenta, à medida que o comprimento também 
diminui ou aumenta. 
 Vamos agora, calcular o valor da gravidade g com os valores do período para o 
pêndulo simples. Para este cálculo, temos a expressão g = 4&!L / T!. É fácil observar 
que a equação da reta ajustada no gráfico é dada por T! = A + BL (função do 1º grau) e 
que B = T! / L. O ajuste linear dos pontos que encontramos em nosso experimento nos 
forneceu os seguintes valores para A, B e r: 
 
A = 0,13166 
B = 3,9968 
r!0,9999 
 
 
 Na equação da gravidade observamos o termo L / T! que é exatamente o inverso 
de nosso B (1 / B). Assim calculamos 1 / B = 1 / 3,9968!0,2502 e daí podemos calcular 
nossa gravidade g, alcançando nossa primeira meta neste experimento: 
 
g = 4&!(0,2502) = 9,87 m/s! (aproximadamente) 
 
Este valor (considerando-se o erro experimental que discutiremos mais a frente) está 
dentro da faixa da gravidade real na Terra que é cerca de 9,81 m/s!. Em muitos 
problemas da Física e de outras áreas costuma-se aproximar tal valor para 10 m/s! por 
questões de simplificação de cálculos. 
 
 
2.) Uma segunda conclusão a qual chegamos, alcançando nossa segunda meta neste 
experimento, é que o período num pêndulo simples não depende do valor da massa que 
está suspensa pelo fio e sim do comprimento do fio como já foi dito. 
 Prova disto, é a tabela III onde tomamos a esfera de maior massa (225,2 g) e 
fizemos com que ela oscilasse presa a um comprimento de fio de 0,30m. Nela 
observamos que os valores de período para esta massa com este comprimento, estão 
próximos aos valores da esfera de massa 116,8 g para o mesmo comprimento (tabela I). 
 Novamente, também podemos constatar isto através da fórmula T = 
2$ Lmgm // . Atribuindo-se quaisquer valores para m e mantendo-se o valor de L 
podemos afirmar que o período se mantém constante. 
 
 
3.) Nosso terceiro e último objetivoneste relatório, é compararmos a média dos valores 
de período para o pêndulo físico com o valor teórico que calculamos usando a gravidade 
que encontramos, pois também é comum na Física usar este tipo de pêndulo para provar 
a ação única da gravidade sobre os corpos. 
 Para isso, consideraremos o pêndulo físico em forma de haste (régua de 
acrílico), como já foi dito. Para esta haste, h representa a distância entre o centro de 
massa da régua e o ponto de suspensão da mesma logo, h = L/2, onde L é o 
comprimento total da régua. 
 Outro ponto a considerar, é o momento de inércia deste tipo de pêndulo. O 
estudo do momento de inércia na Física I nos diz que para um eixo perpendicular a uma 
extremidade o momento de inércia deste pêndulo em relação a este eixo será dado por I 
= mL#/3. Substituindo, h por L/2 e I por mL#/3 em T = 2$ mghI / , temos: 
 
T = 2& gL 3/2 
 
E substituindo os valores que já calculamos, temos: 
 
T = 2$ )87,9(3/)36,0(2 !0,9793 s, que é o valor teórico encontrado. 
 
O valor experimental é a média dos períodos para este pêndulo que é 0,9775 s. Como 
podemos ver, os valores estão próximos, o que mostra que a componente tangencial do 
peso mg é de fato a única força que atua sobre o corpo causando-lhe um torque 
restaurador. 
 
 
5.) Erros 
 
 Como já é de nosso conhecimento, qualquer tipo de experimento está sujeito aos 
chamados erros experimentais. Neste nosso caso, os erros são decorrentes da ação da 
resistência do ar, pois nosso sistema não estava isolado em uma câmara de vácuo, de 
alguma imprecisão na medida do ângulo ! no transferidor, dos erros dos aparelhos, 
entre outros. Com a ajuda de uma calculadora analisamos alguns erros. Vejamos: 
 
a) Erro em relação à média: 
 
X médio = x1 + x2 + ... + xi / n, onde n é o número de elementos. 
 
- Para os períodos do pêndulo simples com a esfera de massa 116,8 g e um 
comprimento de fio de: 
 
- 0,30 m: 1,1551 
 
- 0,25 m: 1,06361 
Juraci Aparecido Sampaio
Qual o objetivo de tantas casas decimais?nullE o que dizer de algarismos significativos?null
 
-0,20 m: 0,96111 
 
-0,15 m: 0,85486 
 
-0,10 m: 0,73161 
 
- Para os períodos do pêndulo simples com a esfera de massa 225,2 g e um 
comprimento de fio de 0,30 m: 1,14378 
 
- Para os períodos do pêndulo físico (régua de acrílico): 0,97748 
 
b) Desvio padrão d: 
 
d = !
=
""
1
)!()1/(1
i
xmédioxin 
 
- Para os períodos do pêndulo simples com a esfera de massa 116,8 g e um 
comprimento de fio de: 
 
- 0,30 m: 0,002410624 
 
- 0,25 m: 0,001133774 
 
- 0,20 m: 0,002444699 
 
- 0,15 m: 0,001738581 
 
- 0,10 m: 0,00364126 
 
- Para os períodos do pêndulo simples com a esfera de massa 225,2 g e um 
comprimento de fio de 0,30 m: 0,000468567 
 
- Para os períodos do pêndulo físico (régua de acrílico): 0,007653437 
 
c) Desvio padrão da média: 
 
dm = d / n 
 
- Para os períodos do pêndulo simples com a esfera de massa 116,8 g e um 
comprimento de fio de: 
 
- 0,30 m: 0,000762306 
 
- 0,25 m: 0,00035853 
 
- 0,20 m: 0,000773081 
 
- 0,15 m: 0,000549787 
 
- 0,10 m: 0,001151467 
 
- Para os períodos do pêndulo simples com a esfera de massa 225,2 g e um 
comprimento de fio de 0,30 m: 0,000148173 
 
- Para os períodos do pêndulo físico (régua de acrílico): 0,002420229 
 
Observações: 
 
1.) Os pequenos valores obtidos para os desvios padrões d indicam uma alta precisão 
para os dados do experimento. 
 
2.) O desvio padrão da média dm faz parte da representação da média dos dados obtidos 
no experimento da seguinte forma: 
 
Medida = (x médio +- dm) unidade 
 
 
6.) Bibliografia 
 
[1] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física – 4ª edição/ cap. 14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juraci Aparecido Sampaio
Conclusões???