Dado o triangulo ABC ...

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Comentários estarão em azul, respostas em vermelho e em preto a 
solução em si. 
Dado o triângulo ABC, sejam Y o ponto que divide (A,B) na 
razão 2 e X o ponto que divide (B,C) na razão 3. 
A) Prove que as retas CY e AX são concorrentes. 
B) Exprima o ponto de concorrência P em função de A, 
(vetor)AB, (vetor)AC. 
 
A) Suponha que a figura abaixo represente nosso triangulo. Logo: 
A 
 
Y 
 
 B C 
 X 
Sabemos que 
 
 
 
Note que: 
 (1) 
 
O mesmo vale para o Y 
 
 (2) 
Se o vetor AX e CY não são concorrentes quer dizer que são paralelos, 
vamos provar aqui por absurdo que eles devem ser comcorentes. 
Suponha que são paralelos, logo e o vetor é 
paralelo ao vetor AC. Então: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Cancela AC dos dois lados. 
 
 
 . 
 
Lembrando que 
 
 
 
Absurdo, pois pode ser descrito como Portanto 
concluímos que os vetores são concorrentes. 
Ou olhando por outro lado XY= 0 somente se X=Y. O que também é 
absurdo pois, X,Y pertencem a lados diferentes do triangulo. 
 
Note que o problema foi resolvido de maneira genérica (sem utilizar 
as proporções dadas no problema). 
 
B) Expressar um único ponto em função de vetores(diferente do 
vetor nulo) é impossível, portanto o que faremos aqui é 
correlacionar os vetores AB e BC com o ponto P de alguma forma. 
 
 
 A segunda parte do problema foi mal formulada por isso a resposta 
acima deve ser suficiente.