Lei do resfriamento de newton

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Celer Faculdades – Xaxim/SC
Centro de Excelência em Gestão Pública
Aula De Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
MATEMÁTICA APLICADA
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LEI DO RESFRIAMENTO DE 	 NEWTON 	
Determinação do instante da morte
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Além das grandes contribuições para a Física, Newton também deixou algumas contribuições para a Matemática. Uma delas refere-se às trocas de calor entre corpos. O mais interessante disto, para nós, é a modelagem do problema, que recairá em uma equação diferencial. 
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A lei de Newton do resfriamento	
		Em 1701, com quase 60 anos, Newton publicou anonimamente um artigo “Scala Graduum Caloris”, onde descreve um método para medir temperaturas de até 1000 °C, algo impossível aos termômetros da época (SOUZA, 2007).
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O método estava baseado no que hoje é conhecido como a Lei do Resfriamento de Newton, ou seja:
	
	A taxa de diminuição da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperaturas entre o corpo e o ambiente.
Em termos matemáticos:
dT = - k (T – Tm)
 dt
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DIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAÇÃO À
Onde:
T = é a temperatura do corpo
t = é o tempo
Tm = é a temperatura do meio ambiente
k = é uma constante que depende do material
	 com que o corpo foi construído.
OBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTÁ
TEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.
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 VAMOS AO PROBLEMA...
Sobre a condução do calor: um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que o mesmo está colocado. 
	Aceita 3 hipóteses básicas:
A temperatura T = T (t) depende do tempo t e é a mesma em todos os pontos do corpo.
A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante ao longo da experiência. 
A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo t é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente. 
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MONTAGEM E RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO):	
	Assumiremos verdadeiras as hipóteses enumeradas, observando que:
dT = - k (T – Tm)
 	 dt
	Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em:
 __dT__ = - k dt
 (T – Tm)
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	Integrando ambos os membros em relação à variável tempo: 
 	Teremos,
ln (T-Tm) = - k t + k0
 	Aplicando a função exponencial a ambos os membros, teremos:
e Ln (T - Tm) = e k (- t + 1)
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	Logo:
 T – Tm = e-kt . e1 C ,
e tomando as constantes embutidas, obtém-se: 
T (t) – Tm = C . e-kt	
	Então a solução da equação diferencial será:
T(t) = Tm + C . e-kt
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Determinação da constante C:
		Mas como sabemos que a temperatura inicial do corpo é T(0) = T0 , então substituindo t = 0 na solução da equação, teremos:
T(0) = Tm + C . eo T0 = Tm + C 
		Logo, 
C = T0 – Tm
		Então substituindo C na equação, obtém-se a solução final:
T(t) = Tm + (T0 – Tm) . e-kt
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DETERMINAÇÃO DO INSTANTE DA MORTE
		Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é muitas vezes importante estimar o instante da morte.
		Por exemplo:
		1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notícia:
		 CORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTE
	Foi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpo de um homem aparentando 30 anos. Moradores do local disseram ter ouvido tiros por volta da meia-noite e também em torno das 3 da madrugada. A polícia já encontrou ambos os autores dos disparos. Somente após o legista identificar a hora da morte é que a polícia poderá prender um dos suspeitos.
	Você deve estar se perguntando: 
	Como podemos saber quando a vítima morreu?		
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	Para responder a esta pergunta precisamos saber a temperatura do corpo no instante da descoberta e a temperatura ambiente, e efetuarmos os seguintes cálculos, usando a equação final da temperatura em função do tempo.
		Então vamos admitir que a temperatura do corpo seja 30°C no instante da descoberta e 23°C duas horas depois, e a temperatura ambiente é de 20°C.
		Primeiramente, calcularemos a constante k, tendo os dados:
		T = 23°C
		t = 2h
		Tm = 20°C
		T0 = 30°C
RESOLVENDO:
	 T(t) = Tm + (T0 – Tm) . e-kt
23 = 20 + (30 – 20) . e-2k
3 / 10 = e-2k 
e-2k = 0,3
-2k = ln 0,3
k = -1,2 / -2
k = 0,6
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Agora precisamos saber o instante da morte, ou seja, a hora exata da morte.
		Então vamos admitir que a temperatura do corpo seja igual a temperatura normal de 37°C no instante t = 0, a temperatura ambiente é de 20°C. 		Calcularemos t (instante da morte), tendo os dados:
		 T0 = 37°C
		Tm = 20°C
		 T = 30°C
		 k = 0,6
RESOLVENDO:
	 T(t) = Tm + (T0 – Tm) . e-kt
30 = 20 + (37 – 20) . e-0,6t
10 / 17 = e-0,6t 
e-0,6t = 0,58823...
-0,6t = ln 0,58823...
t = -0,53 / -0,6
t = 0,88333...h 
t 53 min
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	RESPONDENDO A PERGUNTA INICIAL:
Como podemos saber quando a vítima morreu?
Como acharam o corpo às 4h, e o instante de sua morte foi 53 min antes, então a vítima morreu aproximadamente às 3h 07min.
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23/06/2014
02/08/2008