ELIPSES CÔNICAS

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João Carlos Lemos Júnior 
Monitoria de Geometria Analítica– Resumo de Cônicas 
Matemática - Licenciatura 
 
1. ELIPSES 
 
 
 
 
 A excentricidade da elipse é dada por: 
 
 Em toda elipse é válida a relação: 
 
1.1 Equação da elipse de centro na origem do sistema 
 
 
Ao demonstrarmos, chegaremos em: 
 
Sendo esta, a equação reduzida da elipse de centro na origem, com eixo maior no eixo dos x. 
FOCOS 
(sempre estão no maior eixo) 
DISTÂNCIA FOCAL 
(distância entre os focos) 
CENTRO 
(ponto médio dos focos) 
EIXO MAIOR 
 
EIXO MENOR 
 
VÉRTICES 
(são os pontos A1, A2, B1 e B2) 
Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse, de 
focos F1 (-c,0) e F2(c,0). Por definição temos: 
 
 
 
 
 
 
 
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Com procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação reduzida: 
 
 Note que a única diferença em relação ao primeiro caso é que se invertem os 
denominadores. 
 
 
COMO SABER SE A ELIPSE TEM O EIXO MAIOR NO EIXO DOS “X” OU NO EIXO DOS “Y” ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, sempre o maior dos denominadores na equação reduzida representa o número a², 
onde a medida é o semi-eixo maior. 
 
 
 
 
 
Tendo em vista que a²=b²+c², segue-se que: 
 
 
 
 
 
EIXO MAIOR NO EIXO X 
Ocorre quando a² for 
denominador de x² 
EIXO MAIOR NO EIXO Y 
Ocorre quando a² for 
denominador de y² 
ANALISANDO A POSIÇÃO DE (A) 
 
 
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João Carlos Lemos Júnior 
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1.2 Equação da elipse de centro fora da origem do sistema 
 
 
 
 
 
 
 
COMO ESBOÇAR O GRÁFICO NESTES CASOS: 
 Se possuir o valor do eixo maior, iguale a: 2a; 
 Se possuir o valor do eixo menor, iguale a 2b; 
 Usando a “excentricidade” também podemos definir o valor de a ou c. Porém ao ver o valor da 
excentricidade de uma elipse em forma de fração, como por exemplo (1/2), sabendo que e= c/a, 
não é correto concluir que c=1 e a=2. Devem ser feitos relações igualando c/a=1/2, e usando o 
valor de b, se tiver o valor do eixo menor, substituindo, usando Pitágoras. 
 Sabendo o valor do vértice, a excentricidade, os valores de a e b, basta encontrar o valor dos 
focos e esboçar o gráfico, e se preciso construir a equação reduzida ou equação geral da elipse. 
 
Consideramos uma elipse de centro C(h,k) e 
seja P(x,y) um ponto qualquer da mesma. 
Quando o eixo maior for PARALELO AO EIXO X 
e tiver centro C(h,k), a equação passa a ser: 
 
 
 
 Perceba que a² é denominador 
de (x-h)². Com isso conclui que a 
elipse tem eixo maior paralelo 
ao eixo dos X. 
Consideramos uma elipse de centro C(h,k) e 
seja P(x,y) um ponto qualquer da mesma. 
Quando o eixo maior for PARALELO AO EIXO Y 
e tiver centro C(h,k), a equação passa a ser: 
 
 
 
 Perceba que a² é denominador 
de (Y-K)². Com isso conclui que a 
elipse tem eixo maior paralelo 
ao eixo dos Y. 
Nestes casos, encontraremos o 
valor de a ou b. 
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Referência: STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica: Cônicas. São Paulo: Makron 
Books Editora Ltda.