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RESUMO CALCULO 1 - ufpe

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L.M.C / 2009 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 2 
CÁLCULO 1 
 
LIMITE 
 
Queremos determinar o que acontece com f(x) à medida que x se aproxima 
indefinidamente de xo. 
 
Exemplo: 
 
2
 
RR:
xx
f
→
Ι→Ι
 
 
 
 
À medida que x se aproxima de 2, f(x) se aproxima 
de 4. 
 
 
Exemplo: O que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0, da função 
11
)(
−+
=
x
x
xf ? 
 
 0 
 
 
x -0,01 -0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01 
f(x) 1,994987 1,999500 1,999950 2,000050 2,00500 2,0049 
 
 
Neste caso dizemos que 2
11
lim
0
=





−+→ x
x
x
, que lemos como: o limite de 
11
)(
−+
=
x
x
xf quando x tende a 0 é 2. 
 
 
Exemplo: Qual o limite da função
x
x
xf =)( quando x tende a zero. 
 



=
≠
=
0 se definida está não
0 se 1)(
x
x
xf 
 
 
1)(lim
0
=
→
xf
x
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 3 
Definição de limite 
 
Se os valores de f(x) podem ser definidos tão perto de L quanto possível ao tomarmos x 
arbitrariamente próximos de xo, dizemos que: 
 
Lxf
oxx
=
→
)(lim 
 
Que lemos: “O limite de f(x) quando x tende a xo é L” 
 
 
Definição rigorosa de limite 
 
Seja I um intervalo aberto ao qual pertence um número real a. Seja f uma função 
definida para }{aIx −∈ . Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e 
escrevemos Lxf
ax
=
→
)(lim , se para todo 0>ε , existir δ >0 tal que se δ<−< ax0 
então ε<− Lxf )( . 
 
 
εδδε <−⇒<−<>∃>∀⇔=
→
LxfaxLxf
ax
)(0 0 ,0)(lim 
 
Técnicas de cálculo de limites 
 
(1) o
xx
xx
o
=
→
)(lim 
 
(2) non
xx
xx
o
=
→
)(lim 
 
(3) kk
oxx
=
→
)(lim sendo k uma constante 
 
(4) o
xx
kxkx
o
=
→
)(lim 
 
(5) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf
ooo xxxxxx →→→
+=+ limlim)()(lim 
 
(6) ( ) 




⋅




=⋅
→→→
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
ooo xxxxxx
 
L.M.C / 2009 4 
(7) 










=





→
→
→ )(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
o
o
o
xx
xx
xx
, se 0)(lim ≠
→
xg
oxx
 
 
(8) ( ) )(lim)(lim xfkxfk
oo xxxx →→
⋅=⋅ 
 
Exemplos: 
 
(a) 632)(lim2)2(lim
33
=⋅=⋅=
→→
xx
xx
 
 
(b) 111212)1(lim)(lim)3(lim)13(lim
22
2
2
2
2
=+−=+−=+−
→→→→ xxxx
xxxx 
 
(c) 55020)52(lim 22
0
−=−⋅+=−+
→
xx
x
 
 
Funções Racionais: )(
)(
xQ
xP
, com )(xP e )(xQ polinômios 
 
(d) ( )( ) ( ) 21lim
1
11lim
1
1lim
11
2
1
=+=





−
+−
=





−
−
→→→
x
x
xx
x
x
xxx
 
 
(e) ( )
( )( )
( ) ???1
1lim
1
11lim
1
1lim
1212
2
1
=





−
+
=







−
−+
=







−
−
→→→ x
x
x
xx
x
x
xxx
 
 
(f) ( ) ( )( )( ) 011
1lim
1
1lim
2
12
2
1
=







+−
−
=







−
−
→→ xx
x
x
x
xx
 
 
 
 
Limites no infinito 
 
Comportamento das funções racionais quando ±∞→x 
 
Considere o seguinte polinômio 12)( 3 −+= xxxp . Imaginemos um valor para x 
absurdamente grande como, por exemplo, x = 1050, e calculemos p(1050). 
 
1)10(2)10()10( 5035050 −⋅+=p 
 
Perceba que 350 )10( >>> 1)10(2 50 −⋅ , desse modo podemos afirmar que: 
 
Sendo x absurdamente grande ⇒ 3)( xxp ≈ 
 
 
L.M.C / 2009 5 
Exemplos: 
 
(a) 01
2
3lim
2
3lim
2
13lim 27
5
37
5
=





⋅=





=





+
−+
∞→∞→∞→ xx
x
xx
xx
xxx
 
 
(b) +∞=





⋅=





=





+
+
−∞→−∞→−∞→
6
2
8
2
8
3
2lim
3
2lim
23
72lim x
x
x
x
xx
xxx
 
 
(c) 
3
5
3
5lim
3
5lim
3
125lim 5
5
25
5
=





=





=





−
−+
∞→∞→∞→ xxx x
x
xx
xx
 
 
LEMBRETE: xx =2 
 
Limites laterais 
 
Exemplo: Calcule ( )2
0
lim x
x +→
 e ( )2
0
lim x
x −→
 
 ( ) 0lim 2
0
=
+→
x
x
 
 ( ) 0lim 2
0
=
−→
x
x
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule 
x
x
x +→0
lim e 
x
x
x −→0
lim 
 
x
x
xf =)( não está definida para x = 0 
 






−=
−
=<
==>
1)( ,0 se
1)( ,0 se
x
x
xfx
x
x
xfx
 
 
( ) 11limlim)(lim
000
==





=
+++ →→→ xxx x
x
xf 
 
( ) 11limlim)(lim
000
−=−=




 −
=
−−− →→→ xxx x
x
xf 
 
 
 
L.M.C / 2009 6 
Exemplo: Calcule 





+→ xx
1lim
0
 e 





−→ xx
1lim
0
 
 
+∞=





+→ xx
1lim
0
 
 
−∞=





−→ xx
1lim
0
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule 





+→ 20
1lim
xx
 e 





−→ 20
1lim
xx
 
 
+∞=





+→ 20
1lim
xx
 
 
+∞=





−→ 20
1lim
xx
 
 
 
 
 
Exemplo: xxf =)( R),0[: Ι→+∞f 
 
 
 
0lim)(lim
00
==
+→→
xxf
xx
 
 
 
 
No caso acima subtende-se que xx
xx +→→
=
00
limlim 
 
 
 
 
Teorema: 
 
Lxf
oxx
=
→
)(lim se, e somente se, Lxfxf
xxxx
==
−+ →→
)(lim)(lim
00
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 7 
Exemplo: Calcule )(lim
3
xf
x→
 onde 




≥+
<−
=
3 se 13
3 se 5)(
2
xx
xx
xf 
 ( )
( ) 45lim)(lim
413lim)(lim
2
33
33
=−=
=+=
−−
++
→→
→→
xxf
xxf
xx
xx
 
 
Logo, 4)(lim
3
=
→
xf
x
 
 
Exemplo: Calcule )(lim
1
xf
x→
 onde 



≥
<+
=
1 se -
1 se 23)( 2 xxx
xx
xf 
 ( )
( ) 523lim)(lim
0lim)(lim
11
2
11
=+=
=−=
−−
++
→→
→→
xxf
xxxf
xx
xx
 
 
Logo, )(lim
1
xf
x→
 não existe 
 
Continuidade de uma função 
 
Definição: 
 
f(x) é contínua em xo se f(xo) existe e )()(lim)(lim
00
o
xxxx
xfxfxf ==
−+ →→
 
 
Exemplo: A função 





=
≠
=
0 se 1
0 se )(
2
x
x
x
x
xf é contínua ou descontínua em x = 0? 






−=
−
=<
==>
x
x
x
xfx
x
x
x
xfx
2
2
)( ,0 se 
)( ,0 se 
 
 
0)(lim
0)(lim
0
0
=
=
−
+
→
→
xf
xf
x
x
 
 
Logo, 0)(lim
0
=
→
xf
x
. 
 
Como 1)0( =f , )0()(lim
0
fxf
x
≠
→
, logo a função é descontínua em x = 0. 
 
 
 
L.M.C / 2009 8 
Exemplo: Determine k de tal forma que a função 



≥+
<+
=
0 se 3
0 se 1)(
2
xxk
xx
xf seja contínua 
em seu domínio. 
 
Queremos que )0()(lim)(lim
00
fxfxf
xx
==
−+ →→
* 
 
kkf =⋅+= 03)0( 
 
( )
( ) 11lim)(lim
3lim)(lim
2
00
00
=+=
=+=
−−
++
→→
→→
xxf
kxkxf
xx
xx
 
 
Impondo (*) � k = 1 
 
 
Teorema do confronto (Teorema do sanduíche) 
 
 
Sejam f(x), g(x) e h(x) funções tais que “perto” de xo temos que )()()( xhxfxg ≤≤ e 
Lxhxg
ooxxxx
==
→→
)(lim)(lim . Então Lxf
oxx
=
→
)(lim 
 
Exemplo: Calcule 











⋅
→ x
x
x
1
sinlim 2
0
 
 
Aplicando o teorema do sanduíche, temos: 
 
11sin1 ≤




≤−
x
 
 
Multiplicando as desigualdades por x2, temos: 
 
222 1sin x
x
xx ≤





⋅≤− 
 
( ) ( )2
0
2
0
2
0
lim1sinlimlim x
x
xx
xxx →→→
≤











⋅≤− 
 
Como: 
 ( ) 0lim 2
0
=
→
x
x
 e ( ) 0lim 2
0
=−
→
x
x
 
 
Logo: 01sinlim 2
0
=











⋅
→ x
x
x
 
 
L.M.C / 2009 9 
Atenção!! 
 
∞=





=





→→ 2030
1limlim
xx
x
xx
 
 
( ) 11limlim
03
3
0
==





→→ xx x
x
 
 
( ) 0limlim 2
0
3
0
==





→→
x
x
x
xx
 
 
Limite Trigonométrico Fundamental 
 
1)sin(lim
0
=





→ x
x
x
 
 
Demonstração: 
 
 
 
 
Da trigonometria, temos: 
 
(a) )tan(
11
)sin(
1)tan()sin(
2
0
xxx
xxxx >>⇒<<⇒<<
pi
 (I) 
 
(b) )tan(
11
)sin(
1)tan()sin(0
2 xxx
xxxx <<⇒>>⇒<<−
pi
 (II) 
 
 
Multiplicando as desigualdades (I) e (II) por sin(x), resulta: 
 
(a) )cos()sin(1)tan(
)sin()sin(
)sin(
)sin(
2
0 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x >>⇒>>⇒<<
pi
 ( sin(x) > 0 ) 
 
(b) )cos()sin(1)tan(
)sin()sin(
)sin(
)sin(0
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x >>⇒>>⇒<<−
pi
 ( sin(x) < 0 ) 
 
 
L.M.C / 2009 10 
Temos, portanto: 
 
Para 
22
pipi
<<− x e 0≠x 1)sin()cos( <<
x
x
x 
 
Considerando )cos()( xxg = , 
x
x
xf )sin()( = e 1)( =xh e notando que 
1)(lim)(lim
00
==
→→
xhxg
xx
, do teorema do sanduíche, temos: 
 
1)sin(lim
0
=





→ x
x
x
 
 
 
Outro limite trigonométrico importante 
 
0)cos(1lim
0
=




 −
→ x
x
x
 
 
Demonstração: 
 
( )
001)cos(1
)sin()sin(lim
))cos(1(
)(sinlim)cos(1
)(cos1lim)cos(1
)cos(1)cos(1lim)cos(1lim
0
2
0
2
000
=⋅=





+
⋅=
=





+⋅
=





+⋅
−
=





+
+
⋅
−
=




 −
→
→→→→
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
Atenção!! 
 
(a) 1)sin(1 <<− x 
 
(b) 1)(sin0 2 << x 
 
(c) 1)sin(0 << x 
 
 
 
OBS: 
 
)sin(lim x
x ∞→
 não existe, pois quando x cresce, os valores de )sin(x oscilam entre 1 e 1− 
um número infinito de vezes (logo, eles não tendem a qualquer número definido). 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 11 
DERIVADA E RETA TANGENTE 
 
A velocidade média de uma partícula é definida por: 
 
12
12
tt
xx
t
x
v
−
−
=
∆
∆
= 
 
No gráfico de x versus t, a velocidade média é indicada pela inclinação da reta secante à 
curva nos pontos (t1, x1) e (t2, x2). 
 
 
Considere agora sucessivos intervalos de tempo cada vez menores (figura abaixo) 1t∆ , 
2t∆ , 3t∆ , 4t∆ , ... A velocidade média em cada intervalo de tempo é dada pela 
inclinação da reta secante no dado intervalo. Assim que os intervalos de tempo tornam-
se cada vez menores essas inclinações se aproximam da inclinação da reta tangente no 
ponto t1. A inclinação da reta tangente em t1 é definida como a velocidade instantânea 
da partícula. 
 
L.M.C / 2009 12 
A velocidade instantânea é o limite da razão tx ∆∆ / quando t∆ se aproxima de zero: 
 
t
x
v
t
inst ∆
∆
=
→∆ 0.
lim � inclinação da reta tangente 
 
Esse limite é denominado de derivada de x em relação a t. 
 
Definição de derivada 
 
Considere f(x): 
 
 
 
A inclinação da reta tangente em P é dada por 




 −+
=





∆
∆
→→∆ h
xfhxf
x
f
hx
)()(limlim
00
 
 
A derivada de uma função f é a função denotada por f’ , tal que seu valor em qualquer 
número x do domínio de f seja dado por: 
 





 −+
=
→ h
xfhxf
xf
h
)()(lim)('
0
 ou 




 −+
=
→ h
xfhxf
dx
df
h
)()(lim
0
 
 
Se esse limite existir. 
 
 
Problema: Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de 2xy = no ponto: 
 (a) (2, 4) 
 (b) (xo, xo2) 
 
(a) )2('f � inclinação da reta tangente em x = 2 
 





 −+
=
→ h
fhff
h
)2()2(lim)2('
0
 
 





 −+
=
→ h
hf
h
22
0
2)2(lim)2(' 
 
4)4(lim444lim)2('
0
2
0
=




 +⋅
=




 −++
=
→→ h
hh
h
hhf
hh
L.M.C / 2009 13 
(b) )(' oxf � inclinação da reta tangente em x = xo 





 −+
=
→ h
xfhxf
xf oo
ho
)()(lim)('
0
 
 
( )
o
o
h
ooo
h
oo
ho
x
h
hxh
h
xhhxx
h
xhx
xf 22lim2lim)()(lim)('
0
222
0
22
0
=




 +⋅
=




 −++
=




 −+
=
→→→
 
 
 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função xxxf −= 3)( no ponto: 
 (a) (2, 6) 
 (b) (xo, f (xo)) 
 
(a) )2('f � inclinação da reta tangente em x = 2 
 





 −+
=
→ h
fhff
h
)2()2(lim)2('
0
 
 





 −+−+
=
→ h
hhf
h
6)2()2(lim)2('
3
0
 
 





 −−−+++
=
→ h
hhhhf
h
626128lim)2('
32
0
 
 





 ++
=
→ h
hhhf
h
116lim)2('
23
0
 
 ( )116lim)2(' 2
0
++=
→
hhf
h
 
 
11)2(' =f 
 
 
 
(b) )(' oxf � inclinação da reta tangente em x = xo 
 
( ) ( ) ( )








−−+−+
=




 −+
=
→→ h
xxhxhx
h
xfhxf
xf ooo
h
oo
ho
33
00
lim)()(lim)(' 
 
( )





 −++⋅
=




 +−−−+++
=
→→ h
xhxhh
h
xxhxhhxhxx
xf oo
h
oooooo
ho
133lim33lim)('
22
0
33223
0
 
 
13)(' 2 −= oo xxf 
L.M.C / 2009 14 
Regras de derivação 
 
(1) Se c for uma constante e se cxf =)( para todo x , então 
 
0)(' =xf 
 
Prova: 
 
00limlim)()(lim)('
000
==




 −
=




 −+
=
→→→ hhh h
cc
h
xfhxf
xf 
 
(2) Se n for um número inteiro positivo e se nxxf =)( , então 
 
1)(' −= nnxxf 
 
Prova: 
 
( )








−+
=




 −+
=
→→ h
xhx
h
xfhxf
xf
nn
hh 00
lim)()(lim)(' 
 
Aplicando o desenvolvimento do binômio de Newton, temos: 
 
( )
( ) nnnnnn
nnnnnn
hxh
n
n
xh
n
nhxxhx
h
n
n
xh
n
n
xh
n
hx
n
x
n
hx
+





−
++





++=+






+





−
++





+





+





=+
−−−
−−−
1221
1221
1
...
2
1
...
210
 
 
Logo: 
h
xhxh
n
n
xh
n
nhxx
xf
nnnnnn
h
−





+





−
++





++
=
−−−
→
1221
0
1
...
2
lim)(' 
 
 






+





−
++





+= −−−−
→
1221
0 1
...
2
lim)(' nnnn
h
hxh
n
n
hx
n
nxxf 1)(' −=∴ nnxxf 
 
 
(3) Se f for uma função, c uma constante e g a função definida por)()( xfcxg ⋅= 
 
Então, se )(' xf existir, 
 
)(')(' xfcxg ⋅= 
L.M.C / 2009 15 
Prova: 
 
[ ]
)(')()(lim
)()(lim)()(lim)()(lim)('
0
000
xfc
h
xfhxf
c
h
xfhxfc
h
xfchxfc
h
xghxg
xg
h
hhh
⋅=




 −+
⋅=
=




 −+⋅
=




 ⋅−+⋅
=




 −+
=
→
→→→
 
(4) Se f e g forem funções e se i for a função definida por 
 
)()()( xgxfxi += 
 
Então, se )(' xf e )(' xg existirem, 
 
)(')(')(' xgxfxi += 
 
Prova: 
 
[ ] [ ]
)(')('
)()(lim)()(lim)()()()(lim
)()()()(lim)()(lim)('
000
00
xgxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xgxfhxghxf
h
xihxi
xi
hhh
hh
+=
=




 −+
+




 −+
=




 −+
+
−+
=
=




 +−+++
=




 −+
=
→→→
→→
 
 (5) Se f e g forem funções e se i for a função definida por 
 
)()()( xgxfxi = 
 
Então, se )(' xf e )(' xg existirem, 
 
)(')()()(')(' xgxfxgxfxi += 
 
Prova: 
 





 ⋅−+⋅+
=




 −+
=
→→ h
xgxfhxghxf
h
xihxi
xi
hh
)()()()(lim)()(lim)('
00
 
 
Se )()( xghxf ⋅+ for somado e subtraído ao numerador, então 
 
=




 −+
⋅+




 −+
⋅+=
=




 −+
⋅+
−+
⋅+=
=




 ⋅−⋅++⋅+−+⋅+
=
→→
→
→
h
xfhxf
xg
h
xghxghxf
h
xfhxf
xg
h
xghxghxf
h
xgxfxghxfxghxfhxghxf
xi
hh
h
h
)()()(lim)()()(lim
)()()()()()(lim
)()()()()()()()(lim)('
00
0
0
 
L.M.C / 2009 16 
)(')()()(')(')()(')(
)()(lim)(lim)()(lim)(lim
0000
xgxfxgxfxfxgxgxf
h
xfhxf
xg
h
xghxghxf
hhhh
+=+=
=




 −+
⋅+




 −+
⋅+=
→→→→
 
 
 
OBS: [ ] )()()()()()()( xixhxgxixhxgxf ⋅⋅=⋅⋅= 
 
 [ ] [ ] )(')()()(')()()(' xixhxgxixhxgxf ⋅⋅+⋅⋅= 
 
 )(')()()()(')()()()(')(' xixhxgxixhxgxixhxgxf ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 
 
 
(6) Se f e g forem funções e se i for a função definida por 
 
)(
)()(
xg
xf
xi = onde 0)( ≠xg 
 
Então, se )(' xf e )(' xg existirem, 
 
[ ]2)(
)(')()()(')('
xg
xgxfxgxf
xi −= 
 
Prova: 






+⋅⋅
+⋅−⋅+
=












−
+
+
=




 −+
=
→→→ )()(
)()()()(lim)(
)(
)(
)(
lim)()(lim)('
000 hxgxgh
hxgxfxghxf
h
xg
xf
hxg
hxf
h
xihxi
xi
hhh
 
Se somarmos e subtrairmos )()( xgxf ⋅ ao numerador, então 
 
=
+⋅





 −+
⋅−




 −+
⋅
=
=












+⋅



 −+
⋅−


 −+
⋅
=
=





+⋅⋅
⋅++⋅−⋅−⋅+
=
→→
→→→→
→
→
)(lim)(lim
)()(lim)(lim)()(lim)(lim
)()(
)()()()()()(
lim
)()(
)()()()()()()()(lim)('
00
0000
0
0
hxgxg
h
xghxg
xf
h
xfhxf
xg
hxgxg
h
xghxg
xf
h
xfhxf
xg
hxgxgh
xgxfhxgxfxgxfxghxf
xi
hh
hhhh
h
h
 
 
L.M.C / 2009 17 
[ ]2)(
)(')()()('
)()(
)(')()(')(
xg
xgxfxgxf
xgxg
xgxfxfxg −
=
⋅
−
= 
 
 
Exemplos: Derive as seguintes funções 
 
Regra da soma 
(a) 52127 23)( −+−++= xxxxxxf 
 
62
16 5167)(' −− −−++= xxxxxf 
 
(b) 
x
xx
x
xf 1321)( 35 +−+= − 
 
2
342
16
2
195)(' −−−− −++−= xxxxxf Atenção!! ( )'
1'1
5
5
xx
≠





 
 
Regra do produto 
(c) ( ) 




−+⋅+−=
−
xxxxxxf 5323 13)( 
 ( ) ( ) 





−+−⋅+−+




−+⋅−=
−− 15
3
21333)(' 43535322 xxxxxxxxxf 
 
(d) ( ) ( ) ( )52121)( 473 −+⋅−+⋅+= xxxxxxf 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )24121 
5227152123)('
373
463472
+⋅−+⋅++
+−+⋅+⋅++−+⋅−+⋅=
xxxx
xxxxxxxxxxf
 
 
Regra do quociente 
(e) 
13
32)( 2
24
−
+−
=
x
xx
xf 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )22
2423
13
6321344)('
−
⋅+−−−⋅−
=
x
xxxxxx
xf 
 
(f) ( ) ( )( )1
13)( 3
52
+
−⋅+
=
x
xxx
xf 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )23
2523425
1
313153116)(
+
⋅−⋅+−+⋅⋅++−⋅+
=′
x
xxxxxxxxxx
xf 
ou 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )1
13
1
13)( 3
5
2
3
52
+
−
⋅+=
+
−⋅+
=
x
x
xx
x
xxx
xf 
L.M.C / 2009 18 
 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 





+
⋅−−+
⋅++





+
−
⋅+=′ 23
2534
2
3
5
1
31153
1
116)(
x
xxxx
xx
x
x
xxf 
 
Derivada das funções trigonométricas 
 
)cos()(sin' xx = 
 
Prova: 
 
)cos(
1)cos(0)sin()sin(lim)cos(lim1)cos(lim)sin(lim
)sin()cos(1)cos()sin(lim
)sin()cos()sin()cos()sin(lim)sin()sin(lim)(sin'
0000
0
00
x
xx
h
h
x
h
h
x
h
h
x
h
h
x
h
xxhhx
h
xhx
x
hhhh
h
hh
=
⋅+⋅=





⋅+




 −
⋅=
=





⋅+
−
⋅=
=




 −+
=




 −+
=
→→→→
→
→→
 
OBS: 





+=
2
sin)cos( pixx 
 
 
)sin()(cos' xx −= 
 
Prova: 
 
[ ]
)sin(
1)sin()cos(0)sin(lim)sin(lim)cos(lim)cos(1lim
)sin()sin(lim1)cos()cos(lim
)cos()sin()sin()cos()cos(lim)cos()cos(lim)(cos'
0000
00
00
x
xx
h
h
xx
h
h
h
hx
h
hx
h
xhxhx
h
xhx
x
hhhh
hh
hh
−=
=⋅−⋅=





⋅−⋅




 −
−=
=




 ⋅
−




 −⋅
=
=




 −−
=




 −+
=
→→→→
→→
→→
 
L.M.C / 2009 19 
)(sec)(tan' 2 xx = 
 
Prova: 
 
)(sec)(cos
1
)(cos
)(sin)(cos
)(cos
)(cos')sin()cos()(sin''
)cos(
)sin()(tan' 222
22
2 xxx
xx
x
xxxx
x
x
x ==
+
=
⋅−⋅
=





=
 
 
)(csc)(cot' 2 xx −= 
 
Prova: 
 
A fórmula da derivada da função co-tangente é obtida de forma análoga à da função 
tangente. 
 
)tan()sec()(sec' xxx ⋅= 
 
Prova: 
 
)tan()sec()cos(
)sin(
)cos(
1
)(cos
)sin(
)(cos
)(cos')1()cos( )'1('
)cos(
1)(sec' 22 xxx
x
xx
x
x
xx
x
x ⋅=⋅==
⋅−⋅
=





=
 
 
)cot()csc()(csc' xxx ⋅−= 
 
Prova: 
 
A fórmula da derivada da função co-secante é obtida de forma análoga à da função 
secante. 
 
Exemplos: Derive as seguintes funções 
 
(a) 
1
)sin()( 2 += x
x
xf 
 
 
( ) ( ) ( )
( )22
2
1
2sin1)cos()('
+
⋅−+⋅
=
x
xxxx
xf 
 
(b) )tan(
2)(
3
x
xx
xf −= 
 
 
( ) ( )
)(tan
)(sec2)tan(23)(' 2
232
x
xxxxx
xf ⋅−−⋅−= 
 
L.M.C / 2009 20 
Regra da Cadeia (Chain Rule) 
 
Sejam as seguintes funções 
 
BA: →f e CB: →g 
 
A função composta fg o é definida por 
 
CA: →fg o 
 
 
 
Teorema (Regra da Cadeia): 
 
Se a função f for derivável em x e a função g for derivável em f(x), então a função 
composta fg o será derivável em x, e 
 
( ) )(')(')'( xfxfgfg ⋅=o 
 
Exemplo: Calcule a derivada de 





=
x
xp 1sin)( 
 
)(xp é uma composição de funções: 
 
)sin()( xxg = 
 
x
xf 1)( = 
 
Observe que: 
 
( ))()( xfgxp = 
 






=





=
xx
gxp 1sin1)( 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 21 
Calculando )(' xf e )(' xg 
 
2
1)('
x
xf −= 
 
)cos()(' xxg = 
 
Aplicando a regra da cadeia 
 
( ) )(')(')(' xfxfgxp ⋅= 
 
( )





−⋅= 2
1)(cos)('
x
xfxp 
 






−⋅





= 2
11
cos)('
xx
xp 
 
 
Exemplo: Calcule a derivada de ( ))cos(sin)( xxp = 
 
)(xp é uma composição de funções: 
 
)cos()( xxf = 
 
)sin()( xxg = 
 
Calculando )(' xf e )(' xg 
 
)sin()(' xxf −= 
 
)cos()(' xxg = 
 
Aplicando a regra da cadeia 
 
( ) )(')(')(' xfxfgxp ⋅= 
 
( ) )sin()cos(cos)(' xxxp ⋅−= 
 
 
Exemplo: Calcule a derivada de ( )42 12)( +−= xxxp 
 
É possível calcular a deriva de )(xp utilizando a regra do produto. Entretanto, é viável 
o uso da regra da cadeia visto que ela apresenta um caminho mais prático para o cálculo 
da derivada desse tipo de função. 
 
 
L.M.C / 2009 22 
)(xp é uma composição de funções: 
 
12)( 2 +−= xxxf 
 
4)( xxg = 
 
Calculando )(' xf e )(' xg 
 
22)(' −= xxf 
 
34)(' xxg = 
 
Aplicando a regra da cadeia 
 
( ) )(')(')(' xfxfgxp ⋅= 
 
( ) ( )22124)(' 32 −⋅+−⋅= xxxxp 
 
 
Exemplo: Calcule a derivada de ( )2sin)( xxp = 
 
Vamos ser mais práticos agora: A derivada da função composta é igual ao produto entre 
a derivada da função “externa” e a derivada da função “interna”. 
 
Nesse exemplo, ( ) sin é a função “externa” e 2x é a função “interna”. Logo pela regra 
da cadeia, temos: 
 ( ) xxxp 2cos)(' 2 ⋅= 
 
 
 
Exemplo: Calcule a derivada de ( )12sin)( 3 −+= xxxp 
 ( ) ( )2312cos)(' 23 +⋅−+= xxxxp 
 
 
 
Exemplo: Calcule a derivada de 1)( 2 += xxp 
 
( ) 2122 11)( +=+= xxxp 
 
( ) ( )xxxp 21
2
1)(' 212 ⋅+⋅= − 
 
 
L.M.C / 2009 23 
Exemplo: Calcule a derivada de ( )( )2cossin)( xxf = 
 
Nesse exemplo temos a composição de três funções. Aplicando a regra da cadeia temos: 
 ( )( ) ( )( ) ( )xxxxf 2sincoscos)(' 22 ⋅−⋅= 
 
 
OBS: Regra da Cadeia usando a notação de Leibniz 
 
Se y for uma função de u, definida por )(ufy = e 
du
dy
 existir, e se u for uma função de 
x, definida por )(xgu = e 
dx
du
 existir, então y será uma função de x e 
dx
dy
 existirá e será 
dada por: 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= 
 
 
 
Exercícios: Calcule as seguintes derivadas 
 
(a) ( )xxf 5sin)( = 
 
 ( ) 55cos)(' ⋅= xxf 
 
 
(b) ( )1cos)( 2 += xxf 
 
 ( ) ( )xxxf 21sin)(' 2 ⋅+−= 
 
 
(c) ( )151)tan()( += xxf 
 
 ( ) ( ))(sec1)tan(15)(' 214 xxxf ⋅+⋅= 
 
 
(d) 





+
=
1
sec)( 2x
x
xf 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )22
2
22 1
211
1
tan
1
sec)('
+
⋅−+⋅
⋅





+
⋅





+
=
x
xxx
x
x
x
x
xf 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 24 
Equação da reta tangente 
 
Exemplo: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 
x
xf 1)( = 
(a) no ponto (1, 1) (b) no ponto (2, 
2
1 ) (c) em um ponto qualquer 
 
 
(a) A equação da reta tangente no ponto (1, 1) é 
dado por 
( )11 −⋅=− xmy 
 
Onde m é a inclinação da reta tangente, ou seja, 
 
)1('fm = 
 
Sendo 2
1)('
x
xf −= , 1)1(' −== fm 
 
Daí: 
( ) ( )111 −⋅−=− xy
 
 
 
(b) A equação da reta tangente no ponto (2, 
2
1 ) é dado por 
( )2
2
1
−⋅=− xmy 
Onde m é a inclinação da reta tangente, ou seja, 
4
1
)2(
1)2(' 2 −=−== fm 
Daí: 
( )2
4
1
2
1
−⋅





−=− xy
 
 
 
(c) Para um ponto genérico 





o
o
x
x
1
 , , a equação da reta tangente é: 
 
( )o
o
xxm
x
y −⋅=− 1 
Onde 2
1)('
o
o
x
xfm −== 
Daí: 
( )o
oo
xx
xx
y −⋅−=− 2
11
 
 
L.M.C / 2009 25 
Equação da reta normal 
 
 
Exemplo: Encontra a equação da reta normal ao gráfico )sin()( xxf = no ponto 








2
2
 ,
4
pi
. 
 
A reta normal a um gráfico em um dado ponto é a reta perpendicular à reta tangente 
naquele ponto. 
 
A equação das retas que passam no ponto 






2
2
 ,
4
pi
 é dada por: 
 






−⋅=−
42
2 pi
xmy 
 
Reta tangente: 
2
2
4
cos
4
' =





=





=
pipifm 
 
Reta normal: 2
2
2
2
2
11
−=−=−=−=
m
mn 
Daí: 






−⋅−=−
4
2
2
2 pi
xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 26 
Derivação Implícita 
 
As funções encontradas até agora podem ser descritas expressando uma variável 
explicitamente em termos de outra; por exemplo, 
 
13 += xy ou )sin(xy = 
 
ou, em geral, )(xfy = 
 
Algumas funções, entretanto, são definidas implicitamente por uma relação entre x e y: 
 
2522 =+ yx 
 
 xyyx 633 =+ (fólio de Descartes) 
 
 
 
 
Felizmente não precisamos resolver uma equação para y em termos de x para encontrar 
a derivada de y. Em vez disso, podemos usar o método da diferenciação implícita, que 
consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a 
equação resultante para y’. 
 
Exemplo: Derive implicitamente 
 
(a) 2522 =+ yx 
 
 ( ) ( ) 0222522 =′⋅+∴=+ yyx
dx
dyx
dx
d
 (Usamos a regra da cadeia, pois )(xyy = ) 
 
L.M.C / 2009 27 
(b) 33 32 =−+ xxyyx 
 ( ) 013132 232 =−′⋅⋅⋅+⋅⋅+′+ yyxyyxxy 
 
(c) 111 =+
xy
 
 011 22 =−′⋅− x
y
y
 
 
Exercício: Ache as inclinações das retas tangentes nos pontos ( )1,2 − e ( )1,2 para 
012 =+− xy . 
 
( ) ( )012
dx
d
xy
dx
d
=+− 
 
012 =−′⋅ yy 
 
y
y
2
1
=′ 
 
No ponto ( )1,2 − � ( ) 2
1
12
1
−=
−⋅
=′y 
No ponto ( )1,2 � ( ) 2
1
12
1
=
⋅
=′y 
 
 
Exercício: Considere o seguinte fólio de Descarte 
 
xyyx 333 =+ 
 
 
(a) Ache 
dx
dy
 
(b) Encontre a equação da reta tangente no ponto 





2
3
,
2
3
 
(c) Em quais pontos a reta tangente é horizontal? 
(d) Em quais pontos a reta tangente é vertical? 
L.M.C / 2009 28 
Resolução 
 
(a) ( ) ( )xy
dx
dyx
dx
d 333 =+ 
 
 
( )
( ) 22
22
22
22 333
xyxyy
xyyxyy
yxyyyx
yxyyyx
−=−⋅′
−=′⋅−′⋅
′⋅+=′⋅+
′⋅+=′⋅+
 
 
xy
xyy
−
−
=′ 2
2
 
 
(b) A equação tangente no ponto 





2
3
,
2
3
 é dada por: 






−⋅=−
2
3
2
3
xmy 
 
Onde 1
2
3
4
9
4
9
2
3
2
3
,
2
3
−=
−
−
=





′= ym 
 
Daí: 






−−=−
2
3
2
3
xy
 
 
(c) A reta tangente à curva é horizontal quando possui inclinação nula, ou seja, 
 
0=′y 
 
22 00 xyxyy =⇒=−⇒=′ 
 
Substituindo 2xy = na equação da curva, obtemos 
 
( ) ( )2323 3 xxxx =+ 
 
363 3xxx =+ 
 
Resolvendo a equação acima, obtemos 0=x e 3/12=x , entretanto, iremos utilizar 
apenas a segunda solução 3/12=x para evitar uma indeterminação do tipo 0/0. 
 
Como ( )23/12=y para 0=′y , o ponto a ser encontrado é ( )3/23/1 2,2 
L.M.C / 2009 29 
(d) A reta tangente é vertical quando o denominador na expressão 
xy
xyy
−
−
=′ 2
2
 é 0. Um 
outro método é observar que a equação da curva não varia quando x e y são trocados 
entre si, logo a curva é simétrica em torno da reta xy = . Isso significa que a tangente 
horizontal em ( )3/23/1 2,2 corresponde a tangente vertical em ( )3/13/2 2,2 
 
 
Revisão: Funções Exponenciais e Logarítmicas 
 
Função Exponencial 
 
Dado um número real a, tal que 10 ≠< a , chamamos função exponencial debase a a 
função f de IR em IR que associa a cada x real o número xa . 
 
xaxf =)( 
1º caso: 1>a 
 
 
 
0lim
lim
=
+∞=
−∞→
+∞→
x
x
x
x
a
a
 
 
 
 
 
 
 
2º caso: 10 << a 
 
 
 
0lim
lim
=
+∞=
+∞→
−∞→
x
x
x
x
a
a
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
(1) yxyx aaa ⋅=+ 
(2) y
x
yx
a
a
a =− 
(3) ( ) xyyx aa = 
(4) ( ) xxx baab = 
L.M.C / 2009 30 
Definição de Logaritmo 
 
baxb xa =⇔=log 
 
 
Propriedades 
(1) )(log)(log)(log yxxy aaa += 
(2) )(log)(loglog yx
y
x
aaa −=





 
(3) )(log)(log xrx ara = 
(4) )(log
)(log)(log
a
x
x
b
b
a = 
 
 
Função Logarítmica 
 
Dado um número real a, tal que 10 ≠< a , chamamos função logarítmica de base a a 
função f de ∗+IR em IR que associa a cada x real o número xalog . 
 
)(log)( xxf a= 
 
 
 
 
 
 
−∞=
+∞=
→
+∞→
x
x
a
x
a
x
loglim
loglim
0
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. 
 
 
OBS: 
xa
x
a =)(log 
 
xa
xa
=
)(log
 
 
)ln()(log xxe = 
 
L.M.C / 2009 31 
Derivada da função logarítmica 
 
Faremos uso do seguinte limite para encontrar a derivada da função logarítmica: 
 
( ) ex x
x
=+
→
1
0
1lim
 ou e
x
x
x
=





+
±∞→
11lim
 
 
 
Aplicando a definição da função derivada para )(log)( xxf a= , temos 
 


















+
=

















 +
=




 −+
=′
→→→ h
x
h
h
x
hx
h
xhx
xf
a
h
a
h
aa
h
1log
lim
log
lim)(log)(loglim)(
000
 
 
Definindo 
x
h
u = , temos: 
 
( ) ( ) ( ) 


 +⋅=



+⋅⋅=




 +
=′
→→→
u
a
u
a
u
a
u
u
x
u
uxux
u
xf
1
000
1loglim11log1lim11loglim)( 
 
Como a função logarítmica é contínua, podemos escrever 
 
( ) )(log11limlog1)( 1
0
e
x
u
x
xf au
u
a ⋅=


 +⋅=′
→
 
 
Logo 
[ ] )(log1)(log e
x
x
dx
d
aa ⋅= ou [ ] )ln(
1)(log
ax
x
dx
d
a
⋅
=
 
 
Quando ea = , temos 
( )
x
x
dx
d 1ln =
 
 
Pela regra da cadeia, 
 
 [ ] ⇒′⋅= )()(
1)(ln xf
xfxfdx
d
 
[ ] )(
)()(ln
xf
xf
xf
dx
d ′
=
 
 
 
Exemplo: Derive as seguintes funções 
 
(a) ( )xxf 2ln)( = 
 
xx
xf 12
2
1)( =⋅=′ 
L.M.C / 2009 32 
(b) ( )2ln)( xxf = 
 
x
x
x
xf 221)( 2 =⋅=′ 
 
(c) 




 −
= 3
2 1ln)(
x
x
xf 
 
( )





 ⋅−−⋅
⋅
−
=′ 6
223
2
3 312
1
)(
x
xxxx
x
x
xf 
 
 
Derivada da função exponencial 
 
Dada a função exponencial: 
xay = 
 
Podemos reescrevê-la da seguinte forma: 
 
)(log yx a= 
 
Derivando implicitamente em relação a x, temos 
 
ye
y a
′⋅⋅= )(log11 
 
)(log)(log e
a
e
yy
a
x
a
==′ 
 
Logo, 
 
( ) )(log e
a
a
dx
d
a
x
x
=
 ou ( ) )ln(aaa
dx
d xx
⋅=
 
 
Quando ea = , temos 
 
( ) xx ee
dx
d
=
 
 
 
Pela regra da cadeia, 
( ) )()()( xfee xfxf ′⋅=′
 
 
 
L.M.C / 2009 33 
OBS: Assim, a função exponencial xexf =)( tem como propriedade o fato de que sua 
derivada é ela mesma. O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta 
tangente à curva xey = é igual a coordenada y do ponto. 
 
 
 
OBS: e é um número tal que 11lim
0
=
−
→ h
eh
h
 
 
Exemplos: 
 
(1) ( ) 333 ⋅=′ xx ee 
 
(2) ( ) ( )xee xx 222 −⋅=′ −− 
 
(3) ( ) 




 ⋅+−⋅
⋅=
′







 ++
6
22311 3123
2
3
2
x
xxxx
ee x
x
x
x
 
 
 
Diferenciação logarítmica 
 
Passos na diferenciação logarítmica 
 
1º passo: 
Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação )(xfy = e use as 
propriedades do logaritmo para simplificar. 
 
2º passo: 
Diferencie implicitamente em relação a x. 
 
3º passo: 
Resolva a equação resultante para y′ . 
 
OBS: A diferenciação logarítmica ajuda-nos a diferenciar funções do tipo )()( xgxf 
L.M.C / 2009 34 
Exemplo: Diferencie xxy = 
 
Solução 1 
 
)ln()ln( xxy ⋅= 
 
( ) ( ))ln()ln( xx
dx
dy
dx
d
⋅= 
 
x
xx
y
y 1)ln(1 ⋅+⋅=′ 
 
[ ]1)ln( +⋅=′ xyy 
 
[ ]1)ln( +⋅=′ xxy x
 
 
Solução 2 
 
Outro método é escrever ( )xxx ex )ln(= 
 
( ) ( ))ln( xxx e
dx
d
x
dx
d
⋅
= 
 
( ) ( ))ln()ln( xx
dx
d
ex
dx
d xxx
⋅⋅=
⋅
 
 
( ) [ ]1)ln()ln( +⋅= ⋅ xex
dx
d xxx
 
 
( ) [ ]1)ln( +⋅= xxx
dx
d xx
 
 
 
Exercício: Calcule as derivadas das seguintes funções: 
 
 
(1) )2ln()( xxf = 
 
xx
xf 12
2
1)( =⋅=′ 
 
 
(2) )ln()( 3xxf = 
 
x
x
x
xf 331)( 23 =⋅=′ 
 
L.M.C / 2009 35 
(3) 





+
= 21
ln)(
x
x
xf 
 
( )
( ) 





+
⋅−+⋅
⋅
+
=′ 22
22
1
2111)(
x
xxx
x
x
xf 
 
 
(4) xexf 7)( = 
 7)( 7 ⋅=′ xexf 
 
 
(5) xexxf ⋅= 3)( 
 
xx exexxf ⋅+⋅=′ 323)( 
 
 
(6) )sin()( xexf = 
 )cos()( )sin( xexf x ⋅=′ 
 
 
(7) )ln()( x
e
xf
x
= 
 [ ] [ ]22 )ln(
)ln(
)ln(
1)ln(
)(
xx
exex
x
x
exe
xf
xx
xx
⋅
−⋅⋅
=
⋅−⋅
=′ 
 
 
(8) ( ) 2)sin(ln)( xexxf ⋅= 
 ( ) xexe
x
x
xf xx 2)sin(ln)sin(
)cos()( 22 ⋅⋅+⋅=′ 
 
 
 
OBS: Determine )(xf , tal que )tan()( xxf =′ . 
 
( ) ( )( ) ( ) )tan()cos(
)sin()cosln)sec(ln x
x
x
x
dx
d
x
dx
d
=
−−
=−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 36 
Noções de Funções Hiperbólicas 
Definição 
 
2
)sinh(
xx ee
x
−
−
= 
2
)cosh(
xx ee
x
−+
= )cosh(
)sinh()tanh(
x
x
x = 
 
 
 
Identidades hiperbólicas 
 
)sinh()sinh( xx −=− )cosh()cosh( xx =− 1)(sinh)(cosh 22 =− xx 
 
Observe que: 
 
Funções trigonométricas Funções hiperbólicas 
 (funções circulares) 1)cosh( ≥t 
 1)(sin)(cos 22 =+ xx 1)(sinh)(cosh 22 =− xx 
 
 
Derivadas das funções hiperbólicas 
 
( ) )cosh(
22
)sinh( xeeee
dx
d
x
dx
d xxxx
=
+
=




 −
=
−−
 
 
)cosh()(hsin xx =′ )sinh()(hcos xx =′ 
L.M.C / 2009 37 
OBS: 
 
Pode ser provado que se um cabo flexível pesado (tal como uma linha de telefone ou de 
eletricidade) estiver suspendido entre dois pontos na mesma altura, então ela assume a 
forma de uma curva com equação ( )axacy /cosh⋅+= , chamada de catenária. 
 
 
OBS: 
 
L++++++=
!5!4!3!2!1
1
5432 xxxxx
e x 
 
( ) ( ) ( ) ( )
L++++++=
!5!4!3!2!1
1
5432 θθθθθθ iiiiie i 
 
L+++−−+=
!5!4!3!2
1
5432 θθθθθθ iiie i 
 
L+++−−+=
!5!4!3!2
1
5432 θθθθθθ iiie i 
 
444 3444 21
L
444 3444 21
L
θθ
θ θθθθθ
sin
53
cos
42
!5!3!4!2
1 





++−⋅+





++−= ie i 
 




⋅−=
⋅+=
− θθ
θθ
θ
θ
sincos
sincos
ie
ie
i
i
 
 
⇒⋅=+ − θθθ cos2ii ee 
2cos
θθ
θ
ii ee −+
=
 
 
i
ee ii
2
sin
θθ
θ
−
−
=
 
 
 
L.M.C / 2009 38 
Revisão: Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas 
 
Função Injetiva 
 
Uma função BAf →: é injetiva quando elementos diferentes de A são transformados 
por f em elementos de B, ou seja, não há elemento de B que seja imagem de mais de um 
elemento de A. Assim, f é injetiva quando: 
 
BxfxfAxx em )()( em 2121 ≠⇒≠ 
 
ou equivalente usando a contra-positiva: 
 
AxxBxfxf em em )()( 2121 =⇒= 
 
 
 
Função sobrejetiva 
 
Uma função BAf →: é sobrejetiva quando, para qualquer elemento By ∈ , pode-se 
encontrar um elemento Ax ∈ tal que yxf =)( . Ou seja, f é sobrejetiva quando todo 
elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A, isto é, quando Bf =)Im( . 
 
 
OBS: Uma função é sempre sobrejetiva em sua imagem. 
 
Função Bijetiva 
 
Uma função BAf →: é bijetiva se ela for, simultaneamente, injetiva e sobrejetiva. 
Quando isso ocorre dizemos que há bijeção ou uma correspondência biunívoca entre A e 
B. 
 
L.M.C / 2009 39 
Revisão: Função inversa 
 
Dada uma função BAf →: , bijetiva, denomina-se função inversa de f a função 
ABg →: tal que, se baf =)( , então abg =)( , com Aa ∈ e Bb ∈ . 
 
De modo geral, se f é bijetiva, temos: 
 
 
Em que ABg →: é função inversa de BAf →: , uma vez que se tem: 
 
( ) xxfgyg == )()( e ( ) yygf =)( 
 
Para qualquer Ax ∈ e By ∈ . 
 
OBS: 
 
1) É comum utilizarmos 1−f para denotarmos a função inversa de f. 
 
2) A função inversa 1−f existe se, e somente se, f é bijetora. 
 
3) Para se obter a lei de formação da função inversa de uma função f, devemos trocar x 
por y e y por x em ( )xfy = e isolar a variável y. 
 
4) Os gráficos de f e 1−f são simétricos em relação à bissetriz do primeiro e do terceiro 
quadrantes. 
 
 
L.M.C / 2009 40 
Revisão: Funções trigonométricas inversas 
 
Uma função trigonométrica somente admite inversa se restringirmos o domínio 
 
 
Função arco-seno 
 
Por convenção, adota-se o intervalo 



−
2
,
2
pipi
 em que a função )sin(xy = é inversível. 
 
 
 
 
Considerando a função )sin(xy = definida em 



−
2
,
2
pipi
, cujo conjunto imagem é 
[ ]1,1− , podemos determinar sua inversa 1−f . 
 
 
A função 1−f definida de [ ]1,1− em 



−
2
,
2
pipi
 é definida por: 
 
 
xyxy =⇔= )sin()arcsin(
 
 
 
Outra notação: )(sin)arcsin( 1 xx −= 
L.M.C / 2009 41 
OBS: Construindo no mesmo plano os gráficos das funções )sin(xy = e )arcsin(xy = , 
vamos obter: 
 
 
 
Função arco-cosseno 
 
Por convenção adota-se o intervalo [ ]pi,0 em que a função )cos(xy = é inversível. 
 
 
 
Considerando a função )cos(xy = definida em [ ]pi,0 , cujo conjunto imagem é [ ]1,1− , 
podemos determinar sua inversa 1−f . 
 
A função 1−f definida de [ ]1,1− em [ ]pi,0 é definida por: 
 
xyxy =⇔= )cos()arccos(
 
 
 
L.M.C / 2009 42 
OBS: Construindo no mesmo plano os gráficos das funções )cos(xy = e )arccos(xy = , 
vamos obter: 
 
 
 
Função arco-tangente 
 
A função )tan(xy = é inversível no intervalo 



−
2
,
2
pipi
, adotado por convenção. 
 
Nesse intervalo, temos a função IRf →



−
2
,
2
:
pipi
, definida por )tan(xy = . 
 
A inversa de tan(x) é a função 



−→−
2
,
2
:1
pipiIRf , definida por: 
 
xyxy =⇔= )tan()arctan(
 
 
 
L.M.C / 2009 43 
OBS: Construindo no mesmo plano os gráficos das funções )tan(xy = e )arctan(xy = , 
vamos obter: 
 
 
 
Função arco-secante 
 
 
 
Função arco-cossecante 
 
 
L.M.C / 2009 44 
Função arco-cotangente 
 
 
 
Derivada das funções trigonométricas inversas 
 
21
1)(narcsi
x
x
−
=′ 
 
Demonstração 1 
 
)arcsin(xy = significa xy =)sin( 
 
Derivando implicitamente xy =)sin( em relação a x, temos: 
 
1)cos( =′⋅ yy 
 
)cos(
1
y
y =′ 
 
Como 0)cos( ≥y , uma vez que 2/2/ pipi ≤≤− y , logo: 
 
22 1)(sin1)cos( xyy −=−= 
 
Lembrando que )(narcsi xy ′=′ , temos então: 
 
21
1)(narcsi
x
x
−
=′ 
 
Demonstração 2 
 
É possível escrever que ( ) xx =)arcsin(sin 
 
Derivando em ambos os lados em relação a x (derivação implícita), temos 
 
( ) 1)(narcsi)arcsin(cos =′⋅ xx 
L.M.C / 2009 45 
( ))arcsin(cos
1)(narcsi
x
x =′ 
 
Considerando que θ=)arcsin(x temos o seguinte triângulo retângulo, 
 
 
 
Logo é possível visualizarmos que ( ) 21)cos()arcsin(cos xx −== θ 
 
Daí: 
21
1)(narcsi
x
x
−
=′ 
 
 
21
1)(sarcco
x
x
−
−=′ 
 
Demonstração 
 
)arccos(xy = significa xy =)cos( 
 
Derivando implicitamente xy =)cos( em relação a x, temos: 
 
1)sin( =′⋅− yy 
 
)sin(
1
y
y −=′ 
 
Como 0)sin( ≥y , uma vez que pi≤≤ y0 , logo: 
 
22 1)(cos1)sin( xyy −=−= 
 
Lembrando que )(sarcco xy ′=′ , temos então: 
 
21
1)(sarcco
x
x
−
−=′ 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 46 
21
1)(narcta
x
x
+
=′ 
 
Demonstração 
 
)arctan(xy = significa xy =)tan( 
 
Derivando implicitamente xy =)tan( em relação a x, temos: 
 
1)(sec2 =′⋅ yy 
 
)(sec
1
2 y
y =′ 
 
Recordando a seguinte identidade 
 
)(sec1)(tan)(cos
1
)(cos
)(cos
)(cos
)(sin 22
22
2
2
2
yy
yy
y
y
y
=+⇒=+ 
 
Temos, 
)(tan1
1
2 y
y
+
=′ 
 
Lembrando que )(narcta xy ′=′ , temos então: 
 
21
1)(narcta
x
x
+
=′ 
 
As funções trigonométricas inversas que ocorrem com mais freqüência são aquelas que 
acabamos de discutir. As derivadas das três funções remanescentes estão listadas 
abaixo. 
 
 
1
1)(ccsarc
2
−
−=′
xx
x 
1
1)(csearc
2
−
=′
xx
x 21
1)(tcoarc
x
x
+
−=′ 
 
 
Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hôpital 
 
Forma indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/±∞ 
 
Suponha que 0)(lim =
→
xf
oxx
, 0)(lim =
→
xg
oxx
 e que )(xf ′ e )(xg ′ sejam contínuas em xo. 
Queremos calcular 
 






=
→ )(
)(lim
xg
xf
oxx
 
L.M.C / 2009 47 
Idéia: Aproxime )(xf e )(xg perto de xo pelas suas respectivas retas tangentes 
 
 
 
 
)()()( ooo xxxfxfy −⋅′+= � reta tangente a f que passa por ( ))(, oo xfx 
 
)()()()( ooo xxxfxfxf −⋅′+≈ 
 
)()()( ooo xxxgxgy −⋅′+= � reta tangente a g que passa por ( ))(, oo xgx 
 
)()()()( ooo xxxgxgxg −⋅′+≈ 
 
Daí, 






−⋅′+
−⋅′+
=





→→ )()()(
)()()(lim)(
)(lim
ooo
ooo
xxxx xxxgxg
xxxfxf
xg
xf
oo
 
 
Como, 0)( =oxf e 0)( =oxg , temos 
 






′
′
=





−⋅′
−⋅′
=





→→→ )(
)(lim)()(
)()(lim)(
)(lim
o
o
xx
oo
oo
xxxx xg
xf
xxxg
xxxf
xg
xf
ooo
 
 
Assim, 
 






′
′
=





→→ )(
)(lim)(
)(lim
o
o
xxxx xg
xf
xg
xf
oo
 � Regra de L’Hôpital (0/0) 
 
 
Agora, suponha que ∞=
→
)(lim xf
oxx
, ∞=
→
)(lim xg
oxx
 e que )(xf ′ e )(xg ′ sejam contínuas 
em xo. Prova-se também que, 
 
 






′
′
=





→→ )(
)(lim)(
)(lim
o
o
xxxx xg
xf
xg
xf
oo
 � Regra de L’Hôpital (±∞/±∞) 
 
 
L.M.C / 2009 48 
Exemplos: Utilizando a regra de L’Hôpital, temos 
 
1) ⇒=





→ 0
0)sin(lim0 x
x
x
forma indeterminada 
 ( ) 11
)cos(lim)(nsilim)sin(lim
000
=





=








′
′
=





→→→
x
x
x
x
x
xxx
 
 
2) 0
1
)sin(lim)cos(1lim
00
=





=




 −
→→
x
x
x
xx
 
 
3) 4
1
2lim
2
4lim
2
2
2
=





=





−
−
→→
x
x
x
xx
 
 
4) 2
1
2)2cos(lim)2sin(lim
00
=




 ⋅
=





→→
x
x
x
xx
 
 
5) 
5
7
5)5cos(
7)7cos(lim)5sin(
)7sin(lim
00
=





⋅
⋅
=





→→ x
x
x
x
xx
 
 
6) 





=




 −
→→ x
x
x
x
xx 2
)sin(lim)cos(1lim
020
 
 
 Aplicando novamente a regra de L’Hôpital, 
 
 
2
1
2
)cos(lim
2
)sin(lim
00
=





=





→→
x
x
x
xx
 
 
7) 01limlim =





=





∞→∞→ xxxx ee
x
 
 
 
OBS: Há uma luta violenta entre o numerador e o denominador. Se o numerador 
ganhar, o limite será ∞; se o denominador ganhar, a resposta será 0 (zero). Ou, em 
algum equilíbrio, a resposta pode ser algum número finito. Ver o item Atenção! pág. 9 
 
 
8) Sendo 1, >∈ + nZn 
 
 
0!lim)2()1(lim
)1(limlimlim
3
21
=





==




 ⋅−⋅−⋅
=
=




 ⋅−⋅
=




 ⋅
=





∞→
−
∞→
−
∞→
−
∞→∞→
xxx
n
x
x
n
xx
n
xx
n
x
e
n
e
xnnn
e
xnn
e
xn
e
x
L
 
L.M.C / 2009 49 
9) Utilizando a regra de L’Hôpital 
 
0)tan()sin(lim)cos(
)sin()sin(lim
)sin(
)cos(
)sin(
1
1
lim)cot()csc(
/1lim)csc(
)ln(lim
00
000
=





⋅−=





⋅−=
=












⋅−
=





⋅−
=





++
+++
→→
→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xxx
 
 
 
10) 01lim
1
/1lim)ln(lim =





=





=





∞→∞→∞→ x
x
x
x
xxx
 
 
 
Forma indeterminada do tipo ∞⋅0 
 
Se 0)(lim =
→
xf
oxx
 e ∞=
→
)(lim xg
oxx
 (ou ∞− ), então não é claro qual será o valor de 
)()(lim xgxf
oxx
⋅
→
 , se houver algum. Há uma luta entre f e g. Se f ganhar a resposta será 0; 
se g ganhar, a resposta será ∞ (ou ∞− ). Ou pode haver um equilíbrio, e então a 
resposta será um número finito diferente de zero. Escrevendo o produto fg como um 
quociente: 
g
ffg
/1
= ou f
gfg
/1
= 
 
Isso converte o limite dado na forma indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/±∞ de tal 
forma que podemos usar a regra de L’Hôpital. 
 
Exemplos: 
 
1) ( )[ ])2sec()tan(1lim
4
xx
x
⋅−
→
pi
 
 
 
( )[ ] [ ] [ ] ⇒∞⋅=⋅−=⋅−
→→→
0)2sec(lim)tan(1lim)2sec()tan(1lim
444
xxxx
xxx
pipipi
 forma indeterminada 
 
 Reescrevendo o produto como um quociente e aplicando a regra de L’Hôpital, temos: 
 
( ) 1
2
2/2
1
2)2sin(
)(seclim)2sec(/1
)tan(1lim
22
44
=
−
−
=





⋅−
−
=




 −
→→ x
x
x
x
xx
pipi
 
 
 
2) ( ) ( ) 0lim
/1
/1lim
/1
)ln(lim)ln(lim
02000
=−=





−
=





=⋅
++++ →→→→
x
x
x
x
x
xx
xxxx
 
L.M.C / 2009 50 
Forma indeterminada do tipo ∞−∞ 
 
Se ∞=
→
)(lim xf
oxx
 e ∞=
→
)(lim xg
oxx
, então não é claro qual será o valor de 
[ ])()(lim xgxf
oxx
−
→
 , se houver algum. Há uma luta entre f e g. Se f ganhar a resposta será 
∞ ; se g ganhar, a resposta será ∞− . Ou pode haver um equilíbrio, e então a resposta é 
um número finito. 
 
Nesse caso, tentaremos converter a diferença, por exemplo, em um quociente, usando 
um denominador comum ou racionalização, ou pondo em evidência um fator comum de 
maneira a termos uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/±∞ (podendo, 
assim, utilizar a regra de L’Hôpital). 
 
Exemplo: 
 
1) ⇒∞−∞=





−
+→ )sin(
11lim
0 xxx
forma indeterminada 
 
 Usando um denominador comum, temos 
 
 





⋅
−
=





−
++ →→ )sin(
)sin(lim)sin(
11lim
00 xx
xx
xx xx
 
 
 Aplicando a regra de L’Hôpital, temos 
 
 





⋅+
−
=





⋅
−
++ →→ )cos()sin(
1)cos(lim)sin(
)sin(lim
00 xxx
x
xx
xx
xx
 
 
 Aplicando a regra de L’Hôpital novamente, temos: 
 
 0)sin()cos()cos(
)sin(lim
0
=





⋅−+
−
+→ xxxx
x
x
 
 
 
Forma indeterminada do tipo ∞∞ 1,,0 00 
 
As indeterminações ∞∞ 1,,0 00 surgem quando se estuda )()(lim xg
xx
xf
o→
. A idéia para 
tratar disso é usar a definição xe x =)ln( , ou melhor, )ln(abb ea = , e presumirmos que a 
composta das funções f e g está definida. Desse modo, teremos a forma 
indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/±∞ e poderemos utilizar a regra de L’Hôpital. 
 
OBS: Outra idéia é tomarmos o logaritmo natural. 
 
 
Exemplo: Calcule x
x
x /1
0
)1(lim +
→
 
L.M.C / 2009 51 
Solução 1 
 






++⋅
→→
→
=







=+
)1ln(1lim)1ln(1
0
/1
0
0lim)1(lim
x
x
x
x
x
x
x
x
eex 
 
Diante de uma indeterminação do tipo 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital, 
 
eeee
x
x
x
x
x
===












+






+ →
→ 1
1
1
1
lim
)1ln(1lim 0
0
 
 
 
 
Solução 2 
 
Assumindo que xxy /1)1( += , queremos, então, descobrir o valor de )(lim
0
y
x→
. 
 
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados da equação, temos 
 
)1ln(1)ln( x
x
y += 
 
Daí, 
[ ] 



+⋅=
→→
)1ln(1lim)ln(lim
00
x
x
y
xx
 
 
Diante de uma indeterminação do tipo 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital, 
 
1
1
1
1
lim)1ln(1lim
00
=












+
=



+⋅
→→
xx
x xx
 
 
Descobrimos que [ ] 1)ln(lim
0
=
→
y
x
, porém queremos o valor de )(lim
0
y
x→
. Para achá-lo 
usamos o fato de que )ln( yey = : 
 
( ) [ ] eeeey yy
xx
x
====
→
→→
1)ln(lim)ln(
00
0lim)(lim 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 52 
Taxas Relacionadas (aplicação de derivação implícita) 
 
Exemplo: Suponha que uma escada de 3 metros de comprimento esta apoiada em uma 
parede. Se a base desliza com uma velocidade constante e igual a 1 m/s, determine a 
velocidade com que o topo da escada desliza quando a base da escada estiver 2 metros 
afastada da parede. 
 
Solução 
 
 
Relacionar x e y através do teorema de Pitágoras 
 
922 =+ yx 
 
Derivando em relação ao tempo t obtemos 
 
022 =+
dt
dyy
dt
dx
x 
 
Observe que aplicamos a regra da cadeia, uma vez que ( )txx = e ( )tyy = . 
 
Queremos saber quanto vale 
dt
dy
 quando 2=x . É dado no problema que 1=
dt
dx
. 
 
Quando x = 2, temos que 529 2 =−=y . 
 
Daí, 
 
dt
dx
y
x
dt
dy
⋅−= 
 
 
m/s 
5
2
−=
dt
dy
 
 
L.M.C / 2009 53 
Exemplo: Óleo derramado por um tanque se espalha circularmente. O raio cresce a uma 
taxa de 2 pés por segundo. Com que velocidade a área do derramamento cresce quando 
o raio forde 60 pés? 
 
Como o problema trata-se de um espalhamento circular, a área do derramamento é dada 
por, 
 
2
rA ⋅= pi 
 
Derivando em relação ao tempo t, obtemos 
 
dt
dr
r
dt
dA
⋅= pi2 
 
Observe que aplicamos a regra da cadeia, uma vez que ( )tAA = e ( )trr = . 
 
Queremos saber quanto vale 
dt
dA
 quando 60=r . É dado no problema que 2=
dt
dr
. 
 
Logo, 
 
2602 ⋅⋅= pi
dt
dA
 
 
/spés 240 2pi=
dt
dA
 
 
 
Exemplo: Um líquido deve ser purificado por decantação através de um filtro cônico de 
16 cm de altura e 4 cm de raio (no topo). Assuma que o líquido flui do cone a uma taxa 
constante de 2 cm³/min. 
 
(a) A profundidade do líquido irá decrescer a uma taxa constante? 
(b) Expresse a taxa de variação da profundidade do líquido em termos da profundidade 
do líquido. 
(c) Qual a taxa de variação da profundidade do líquido quando o nível está a 8 cm de 
profundidade? 
 
Solução 
 
L.M.C / 2009 54 
(a) O volume do cone é expresso por 
 
hrV 2
3
1
pi= 
 
É muito proveitoso expressar V como uma função de h. Em ordem para eliminar r 
usamos o fato que os triângulos VCD e VAB são semelhantes. 
 
4
416 h
r
rh
=⇒= 
 
Daí, 
hhV
2
43
1






= pi 
 
48
3hV pi= 
 
Derivando em relação ao tempo t, obtemos 
 
dt
dhh
dt
dV
⋅⋅=
2
16
pi
 
 
Observe que aplicamos a regra da cadeia, uma vez que ( )tVV = e ( )thh = . 
 
Queremos saber quanto vale 
dt
dh
. É dado no problema que 2−=
dt
dV
. Portanto, 
 
dt
dhh ⋅⋅=− 2
16
2 pi 
 
2
32
hdt
dh
pi
−
= 
 
Assim, concluímos que a profundidade do líquido não decresce a uma taxa constante. 
 
(b) respondido no item (a) 
 
(c) Quando 8=y , 
pipi 2
1
8
32
2 −=−=dt
dh
 
 
cm/min 
2
1
pi
−=
dt
dh
 
 
 
 
L.M.C / 2009 55 
Exemplo: Seja V o volume de um cilindro tendo altura h e raio r. Suponha que h e r 
variam com o tempo. (a) Como estão relacionados 
dt
dV
, 
dt
dh
 e 
dt
dr ? (b) Em certo 
instante, h = 6 cm e cresce a 1 cm/s, enquanto r = 10 cm e está decrescendo a 1 cm/s. 
Com que rapidez está variando o volume naquele instante? 
 
(a) O volume do cilindro é expresso por 
 
hrV 2pi= 
 
Derivando em relação ao tempo t, obtemos 
 




+⋅=
dt
dh
rh
dt
dr
r
dt
dV 22pi 
 
Observe que aplicamos a regra da cadeia, uma vez que ( )tVV = , ( )trr = e ( )thh = . 
 
Queremos saber quanto vale 
dt
dV
 quando h = 6 e r = 10 . É dado no problema que 
1−=
dt
dr
 e 1=
dt
dh
. Portanto, 
 
[ ] pipi 2011006)1(102 −=⋅+⋅−⋅⋅⋅=
dt
dV
 
 
cm³/s 20pi−=
dt
dV
 
 
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 56 
Teorema do valor médio 
 
 
 
Seja )(xf uma função diferenciável no intervalo ( )ba, . Assuma que )(xf é contínua 
em [ ]ba, . Então existe ( )bax ,∈∗ tal que 
 
ab
afbf
xf
−
−
=′
∗ )()()(
 ou ( )abxfafbf −⋅′+= ∗ )()()( 
 
Interpretação Geométrica 
 
A inclinação da reta secante que passa pelos pontos A e B é 
 
ab
afbf
mAB
−
−
=
)()(
 
 
Que é a mesma expressão usada para calcular )( ∗′ xf . Portanto, há no mínimo um ponto 
( ))(, ∗∗ xfxP sobre o gráfico onde a inclinação da reta tangente é igual a inclinação da 
reta secante AB. 
 
Em outras palavras, há um ponto P onde a reta tangente é paralela à reta secante AB. 
 
 
Exemplo: Se um objeto move-se em uma linha reta com )(tfs = , então, existe um 
instante onde a velocidade instantânea se iguala à velocidade média de um dado 
intervalo de tempo. 
 
 
Exemplo: Suponha que 3)0( −=f e 5)( ≤′ xf para todos os valores de x. Quão grande 
)2(f pode ser? 
 
Aplicando o Teorema do Valor médio para o intervalo [0, 2], 
 
( )02)()0()2( −⋅′+= ∗xfff 
 
)(23)2( ∗′⋅+−= xff 
L.M.C / 2009 57 
Nos foi dado que 5)( ≤′ xf para todo x; assim multiplicando ambos os lados por 2, 
 
10)(2 ≤′ xf 
 
Daí, 
7103)(23)2( =+−≤′⋅+−= ∗xff 
 
O maior valor possível para )2(f é 7. 
 
 
 
 
Revisão: funções crescente e decrescente 
 
f é uma função 
 
(a) crescente se )()( 2121 xfxfxx <⇒< 
 
 
 
(b) decrescente se )()( 2121 xfxfxx >⇒< 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 58 
Derivada – crescimento – decréscimo 
 
Teorema: 
 
(a) Se 0)( >′ xf para todo x em [ ]ba, , então f é crescente em [ ]ba, . 
 
(b) Se 0)( <′ xf para todo x em [ ]ba, , então f é decrescente em [ ]ba, . 
 
Demonstração do item (a) 
 
Assuma que 0)( >′ xf [ ]bax ,∈∀ 
 
Seja 1x e 2x ( )ba,∈ com 21 xx < 
 
Pelo teorema do valor médio existe ( )21 , xxx ∈∗ tal que 
 
( )1212 )()()( xxxfxfxf −⋅′+= ∗ 
 
( )1212 )()()( xxxfxfxf −⋅′=− ∗ 
 
( )
43421321
0
12
0
12 )()()(
>>
∗
−⋅′=− xxxfxfxf 
 
0)()( 12 >− xfxf 
 
)()( 12 xfxf > (c.q.d.) 
 
Demonstração do item (b) 
 
Análoga a demonstração do item (a). 
 
 
Interpretação geométrica 
 
 
(b) (b) 
 
L.M.C / 2009 59 
Exemplos: 
 
Ache os intervalos nos quais as seguintes funções são crescente ou decrescente. 
 
(a) 34)( 2 +−= xxxf 
 
f crescente ⇔ 0)( >′ xf 
f decrescente ⇔ 0)( <′ xf 
 
42)( −=′ xxf 
 
Crescente: ⇒>−⇒>′ 0420)( xxf 2>x 
Decrescente: ⇒<−⇒<′ 0420)( xxf 2<x 
 
 
 
(b) 3)( xxf = 
 
03)( 2 >=′ xxf 
 
Daí, 
 



==′
≠>′
0 se 0)(
0 se 0)(
xxf
xxf
 
 
 
 
L.M.C / 2009 60 
(c) 34 4)( xxxf −= 
 
23 124)( xxxf −=′ 
 
)3(4)( 2 −=′ xxxf 
 
 
Fazendo o estudo dos sinais de )(xf ′ , temos 
 
 
 
 
Intervalo de crescimento de f � ( )∞+,3 
 
Intervalos de decrescimento de f � ( )3,∞− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 61 
Concavidade 
 
Teorema: 
 
(a) f é côncava para cima se 0>′′f 
 
(b) f é côncava para baixo se 0<′′f 
 
 
Interpretação geométrica 
 
(a) Se 0)( >′′ oxf , então f ′ é crescente nas vizinhanças de ox ; portanto, as tangentes 
ao gráfico têm inclinação crescente e isto só é possível quando a concavidade é positiva. 
 
 
 
 
(b) Se 0)( <′′ oxf , então f ′ é decrescente nas vizinhanças de ox ; portanto, as tangentes 
ao gráfico têm inclinação decrescente e isto só é possível quando a concavidade é 
negativa. 
 
 
 
OBS: Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes nas vizinhanças de 
ox então ele é chamado de côncavo pra cima. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as 
suas tangentes nas vizinhanças de ox , é chamado de côncavo para baixo. 
L.M.C / 2009 62 
Exemplo: Determine os intervalos onde f tem a concavidade para cima e para baixo. 
 
(a) 34)( 2 +−= xxxf 
 
42)( −=′ xxf 
 
02)( >=′′ xf , ou seja, f é côncava para cima em todos os pontos. 
 
 
 
(b) 3)( xxf = 
 
23)( xxf =′ 
 
xxf 6)( =′′ 
 



→<⇒<⇒<′′
→>⇒>⇒>′′
baixo para côncava 0060)(
cima para côncava 0060)(
xxxf
xxxf
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 63 
(c) 23 3)( xxxf −= 
 
xxxf 63)( 2 −=′ 
 
)1(666)( −=−=′′ xxxf 
 
Fazendo o estudo do sinal de f ′′ 
 
 
 
Construindo o gráfico de f, obtemos 
 
 
 
Pontos de inflexão 
 
xo é ponto de inflexão quando xo é o ponto em que a concavidade “troca de sinal”. 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 64 
Exemplo: 
 
Ache os pontos de inflexão das funções dadas. 
 
(a) xexxf −⋅=)( 
 
( )xeexexf xxx −=−⋅⋅+=′ −−− 1)1()()2()1()1()( xeexexf xxx −−=−+−−=′′ −−− 
 
Queremos pontos xo tais que f ′′ mude de sinal em torno de xo. 
 
Condição necessária (mas não SUFICIENTE!!) � 0)( =′′ xf 
 
2020)2( =⇒=−⇒=−− − xxxe x 
 
Fazendo o estudo do sinal da função )2()( xexf x −−=′′ − , temos: 
 
 
 
Como f ′′ muda de sinal em torno de x = 2, o ponto x = 2 é ponto de inflexão. 
 
OBS: Note que para 2>x , temos que 0)( >′′ xf , portanto, f possui concavidade para 
cima. E para 2<x , temos que 0)( <′′ xf e f possui concavidade para baixo. 
 
 
(b) )sin()( xxf = 
 
)cos()( xxf =′ 
 
)sin()( xxf −=′′ 
 
Queremos pontos xo tais que f ′′ mude de sinal em torno de xo. 
 
Condição necessária (mas não SUFICIENTE!!) � 0)( =′′ xf 
 
pipi ⋅+=⇒=− kxx 0)sin( 
 
Fazendo o estudo do sinal da função )sin()( xxf −=′′ , temos: 
L.M.C / 2009 65 
 
Como f ′′ muda de sinal em torno de pipi ⋅+= kx , os pontos pipi ⋅+= kx são pontos 
de inflexão. 
 
OBS: Note que para pi<< x0 , temos que 0)( <′′ xf , portanto, f possui concavidade 
para baixo. E para pipi 2<< x , temos que 0)( >′′ xf , portanto, f possui concavidade 
para cima. 
 
 
(c) 4)( xxf = 
 
34)( xxf =′ 
 
012)( 2 ≥=′′ xxf 
 
Queremos pontos xo tais que f ′′ mude de sinal em torno de xo. 
 
Condição necessária (mas não SUFICIENTE!!) � 0)( =′′ xf 
 
0012 2 =⇒= xx 
 
Fazendo o estudo do sinal da função 212)( xxf =′′ , temos: 
 
 
 
Como f ′′ NÃO muda de sinal em torno de 0=x , o ponto 0=x NÃO é ponto de 
inflexão. Observe o gráfico de f. 
 
 
 
OBS: Se 0)( =′′ oxf e 0)( ≠′′′ oxf , então ox é um ponto de inflexão. Porém, se 
0)()( =′′′=′′ oo xfxf nada podemos afirmar. 
L.M.C / 2009 66 
Máximos e mínimos 
 
Seja IRIf →: uma função. Ixo ∈ é ponto de máximo (mínimo) relativo ou local, se 
existe intervalo IU ⊂ e contendo ox tal que )()( oxfxf ≤ ( ))()( oxfxf ≥ para todo 
Ux ∈ . 
 
 
Definição de ponto crítico: 
 
Um ponto crítico de uma função é um ponto ox onde 0)( =′ oxf ou )( oxf ′ não existe. 
 
 
 
 0)( =′ oxf 0)( =′ oxf )( oxf ′ não existe 
 
 
Teorema: 
 
Se ox é ponto de extremo relativo, isto é, máximo ou mínimo local, então ox é ponto 
crítico. 
 
 
 
OBS: 
 
 (a) (b) 
 
 
Os pontos ox em (a) e (b) são pontos de máximo e mínimo local onde a há perda de 
diferenciabilidade. 
L.M.C / 2009 67 
 
 
 (c) (d) 
 
Os pontos ox em (c) de (d) são pontos de máximo e mínimo local onde 0)( =′ oxf . 
 
 
 
(e) 
 
!! existe não )0(
3
1)()( 3/231 fxxfxxf ′⇒=′⇒= 
 
O ponto ox em (e) é ponto onde há perda de diferenciabilidade e não é ponto de 
máximo ou mínimo. 
 
 
 
(f) 
 
O ponto ox em (f) é ponto onde 0)( =′ oxf e não é ponto de máximo ou mínimo. 
 
 
 
L.M.C / 2009 68 
Teste da derivada primeira 
 
Sejam f uma função contínua e ox um ponto crítico de f. 
 
(a) Se 0)( >′ xf à esquerda de ox e 0)( <′ xf à direita de ox � ox é ponto de máximo. 
 
(b) Se 0)( <′ xf à esquerda de ox e 0)( >′ xf à direita de ox � ox é ponto de mínimo. 
 
(c) Se )(xf ′ não muda de sinal em torno de ox � ox não é ponto de máximo nem de 
mínimo. 
 
 
 
 
Exemplo: Encontre os pontos de máximo e de mínimo de 35325)( xxxf −= . 
 
( )xxxxxf −=−=′ −− 2
3
5
3
5
3
10)( 313231 
 
( )
31
2
3
5)(
x
x
xf −=′ 
 
Achar os pontos críticos (ou seja, achar os candidatos a serem pontos de máximo ou de 
mínimo): 
 
321
0)(
1
1
2
=′
=
xf
x 
321
definida está não )(
2
2
0
xf
x
′
= 
 
Estudando a variação do sinal de f ′ , obtemos 
 
 
 
L.M.C / 2009 69 
Daí, usando o teste da primeira derivada, concluímos que: 
 
21 =x é ponto de máximo 
 
02 =x é ponto de mínimo 
 
Observe o esboço do gráfico de f 
 
 
 
 
Teste da derivada segunda 
 
Seja ox tal que 0)( =′ oxf e )( oxf ′′ exista. 
 
(a) Se 0)( >′′ oxf , ox é ponto de mínimo local. 
 
(b) Se 0)( <′′ oxf , ox é ponto de máximo local. 
 
(c) Se 0)( =′′ oxf , nada podemos afirmar. 
 
 
Exemplo: Encontre os pontos de máximo e de mínimo de 24 6)( xxxf −= 
 
)3(4124)( 23 −=−=′ xxxxxf 
 
Para 





=
=
−=
=−⇒=′
3
0
3
0)3(40)(
3
2
1
2
x
x
x
xxxf 
 
1212)( 2 −=′′ xxf 
 
11 02412312)(3 xxfx ⇒>=−⋅=′′⇒−= é ponto de mínimo. 
 
L.M.C / 2009 70 
22 01212012)(0 xxfx ⇒<−=−⋅=′′⇒= é ponto de máximo. 
 
33 02412312)(3 xxfx ⇒>=−⋅=′′⇒= é ponto de mínimo. 
 
 
Observe o esboço do gráfico de f 
 
 
 
 
 
Critério geral para pesquisar extremantes 
 
Seja f uma função derivável com derivadas sucessivas também deriváveis em 
] [baI ,= . Seja Ixo ∈ tal que 
 
( ) ( ) 0)( e 0)()()( 1 ≠===′′=′ − ononoo xfxfxfxf K 
 
Nestas condições, temos: 
 
Se n é par e ( ) 0)( <on xf , então ox é ponto de máximo local de f. 
 
Se n é par e ( ) 0)( >on xf , então ox é ponto de mínimo local de f. 
 
Se n é ímpar, então ox não é ponto de máximo local nem de mínimo local de f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.C / 2009 71 
Análise de funções 
 
Propriedades dos gráficos: 
 
1) Domínio da função. 
2) Interceptos em x e y. 
3) Intervalos de crescimento e decrescimento. 
4) Concavidade e pontos de inflexão. 
5) Extremos relativos 
6) Assíntotas horizontais e verticais. 
7) Esboço do gráfico. 
 
Exemplo: Esboce o gráfico 
1
2
2
2
−
=
x
xy . 
 
1) A função não está definida pra 1±=x . 
 
 
2) Interceptos em x e y. 
 
 Em x ⇒=
−
⇒=⇒ 0
1
20 2
2
x
xy 0=x 
 
Em y ⇒=
−
⋅
=⇒=⇒ 0
10
02)0(0 2
2
yx 0=y 
 
 
3) Intervalos de crescimento e decrescimento. 
 
Queremos estudar o sinal de y′ 
 
2222
22
)1(
4
)1(
)2(2)1(4
−
−
=
−
⋅−−⋅
=′
x
x
x
xxxxy 
 
O denominador é sempre positivo. Daí, para determinar a variação do sinal de y′ 
estudaremos o sinal do numerador x4− . 
 
 
Intervalo de crescimento de y � ( )0,∞− 
 
Intervalos de decrescimento de y � ( )∞+,0 
L.M.C / 2009 72 
4) Concavidade e pontos de inflexão 
 
Queremos estudar o sinal de y ′′ 
 
( ) ( )
( ) ( )32
2
42
222
1
412
1
21414
−
+
=
−
−⋅+−⋅−
=′′
x
x
x
xxxxy 
 
O numerador é sempre positivo. Daí, para determinar a variação do sinal de y ′′ 
estudaremos o sinal do denominador ( )32 1−x , ou melhor, 12 −x . 
 
 
 
 
Concavidade para cima (positiva) � ( )∞+−−∞ ,1)1,( U 
Concavidade para baixo (negativa) � ( )1,1− 
 
OBS: Não há ponto de inflexão, uma vez que y não está definida para 1±=x . 
 
 
5) Extremos relativos 
 
Pontos críticos: 0=′y e pontos onde há perda de diferenciabilidade. 
 
0=′y � 0)1(
4
22 =
−
−
x
x
 � 0=x 
 
Pelo teste da segunda derivada ( ) 010
4012)0( 32
2
<
−
+⋅
=′′y 
 
Daí, 0=x é máximo relativo. 
 
 
Perda de diferenciabilidade � pontos que anulam o denominador de 22 )1(
4
−
−
=′
x
xy . 
 
São eles 1±=x . Entretanto, y não está definida para 1±=x , portanto, não há extremo 
relativo com perda de diferenciabilidade. 
 
 
L.M.C / 2009 73 
6) Assíntotas 
 
Horizontais � Limites no infinito 
 
2
1
2lim 2
2
=





−
∞→ x
x
x
 
 
2
1
2lim 2
2
=




−
−∞→ x
x
x
 
 
 
Verticais � Por exemplo, limites quando x tende a pontos onde a função não está 
definida. 
 
∞=





−
+→ 1
2lim 2
2
1 x
x
x
 −∞=





−
−→ 1
2lim 2
2
1 x
x
x
 
 
−∞=





−
+
−→ 1
2lim 2
2
1 x
x
x
 ∞=





−
−
−→ 1
2lim 2
2
1 x
x
x
 
 
 
7) Esboço do gráfico 
 
 
 
 
OBS: Outro ponto importante da análise de funções é verificar a paridade dela. 
Lembrando que o gráfico de uma função par é simétrica em relação ao eixo y e o de 
uma função ímpar é simétrica à origem e pode ser obtida rotacionando a curva em 180º 
em torno da origem. A curva esboçada acima representa uma função par. 
 
Função par � )()( xfxf =− 
 
Função ímpar � )()( xfxf −=− 
L.M.C / 2009 74 
Exemplo: Esboce o gráfico xxey = . 
 
1) A função esta definida para todo x real. 
 
 
2) Interceptos em x e y. 
 
Em x ⇒=⇒=⇒ 00 xxey 0=x 
 
Em y ⇒=⋅=⇒=⇒ 00)0(0 0eyx 0=y 
 
 
3) Intervalos de crescimento e decrescimento. 
 
Queremos estudar o sinal de y′ 
 
)1( xexeey xxx +=+=′ 
 
Uma vez que xe é sempre positiva, a variação do sinal de y′ será determinada pelo 
estudo do sinal de ( )x+1 . 
 
 
Intervalo de crescimento de y � ( )∞+− ,1 
 
Intervalos de decrescimento de y � ( )1, −∞− 
 
 
4) Concavidade e pontos de inflexão 
 
Queremos estudar o sinal de y ′′ 
 
)2()1( xeexey xxx +=++=′′ 
 
Uma vez que xe é sempre positiva, a variação do sinal de y ′′ será determinada pelo 
estudo do sinal de ( )x+2 . 
 
L.M.C / 2009 75 
Concavidade para cima (positiva) � ),2( ∞+− 
Concavidade para baixo (negativa) � ( )2, −∞− 
 
Observe que 2−=x é ponto de inflexão, uma vez que 0)2( =−′′y e há troca de sinal de 
y ′′ em torno de 2−=x . 
 
 
5) Extremos relativos 
 
Pontos críticos: 0=′y e pontos onde há perda de diferenciabilidade. 
 
0=′y � 0)1( =+ xe x � 1−=x 
 
Pelo teste da derivada segunda 0)1( >−′′y 
 
Daí, 1−=x é um ponto de mínimo. 
 
 
Não há perda de diferenciabilidade em xxey = . 
 
 
6) Assíntotas 
 
Horizontais � limites no infinito 
 ( ) ∞=
∞→
x
x
xelim 
 
( ) ( ) 0limlimlim =−=





=
−∞→−−∞→−∞→
x
xxx
x
x
e
e
x
xe (Regra de L’Hôpital) 
 
 
Verticais � não existem 
 
 
7) Esboço do gráfico 
 
L.M.C / 2009 76 
Exemplo: Esboce o gráfico 3431 2xxy += . 
 
1) A função esta definida para todo x real. 
 
 
2) Interceptos em x e y. 
 
 Em x ⇒=⇒ 0y 02 3431 =+ xx 
 ( ) 02131 =+ xx 
 
0=x
 
2
1
−=x
 
 
Em y ⇒=⇒=⇒ 0)0(0 yx 0=y 
 
 
3) Intervalos de crescimento e decrescimento. 
 
Queremos estudar o sinal de y′ 
 
( ) ( )
32
323132 18
3
1
3
81
3
8
3 x
xxxxxy +=+=+=′
−−
 
 
Uma vez que o denominador é sempre positivo, o sinal de y′ será determinado pelo 
estudo do sinal do numerador 18 +x . 
 
 
 
Intervalo de crescimento de y � 





∞+− ,
8
1
 
 
Intervalos de decrescimento de y � 





−∞−
8
1
, 
 
 
4) Concavidade e pontos de inflexão 
 
Queremos estudar o sinal de y ′′ 
 
( ) ( )
35
353235 14
9
2
9
412
9
8
9
2
x
xxxxxy −=+−=+−=′′
−−−
 
L.M.C / 2009 77 
 
 
Concavidade para cima (positiva) � ( ) ( )∞+∪∞− ,4/10, 
Concavidade para baixo (negativa) � ( )4/1,0 − 
 
Observe que 4/1=x é ponto de inflexão, uma vez que 0)4/1( =′′y e há troca de sinal 
de y ′′ em torno de 4/1=x . Note também que 0=x é ponto de inflexão, mesmo que 
y ′′ seja descontínua em 0=x , y ′′ muda de sinal em torno de 0 e y é contínua em x = 0. 
 
 
5) Extremos relativos 
 
Pontos críticos: 0=′y e pontos onde há perda de diferenciabilidade. 
 
0=′y � ( ) 018
3
1
32 =
+
x
x
 � 8/1−=x 
 
Pelo teste da derivada segunda 0)8/1( >−′′y 
 
Daí, 8/1−=x é um ponto de mínimo. 
 
Perda de diferenciabilidade � pontos que anulam o denominador de ( )32 183
1
x
xy +=′ . 
 
Entretanto, em torno de 0=x não há mudança de sinal de y′ , logo 0=x não é ponto 
nem de máximo nem de mínimo. 
 
 
6) Assíntotas 
 
Horizontais � limites no infinito 
 ( ) ∞=+
∞→
3431 2lim xx
x
 
 ( ) ∞=+
−∞→
3431 2lim xx
x
 
 
Logo, não existem assíntotas horizontais. 
 
Verticais � não existem 
L.M.C / 2009 78 
7) Esboço do gráfico 
 
 
 
 
 
Exemplo: Esboce o gráfico ( )24ln xy −= . 
 
1) Domínio: 04 2 >− x (condição de existência de ln) 
 
 
 
Logo, o domínio da função é dado pelo intervalo ( )2,2− . 
 
 
2) Interceptos em x e y. 
 
Em x ( ) 1404ln0 22 =−⇒=−⇒=⇒ xxy 3±=x 
 
Em y ⇒=⇒=⇒ )4ln()0(0 yx )4ln(=y 
 
 
3) Intervalos de crescimento e decrescimento. 
 
Queremos estudar o sinal de y′ 
 
4
2
4
2
22
−
=
−
−
=′
x
x
x
xy 
 
L.M.C / 2009 79 
 
 
Intervalo de crescimento de y � ( )0,2− 
 
Intervalos de decrescimento de y � ( )2,0 
 
 
4) Concavidade e pontos de inflexão 
 
Queremos estudar o sinal de y ′′ 
 
22
2
22
2
)4(
)82(
)4(
)2(2)4(2
−
+−
=
−
−−
=′′
x
x
x
xxxy 
 
Note que o sinal de y ′′ é sempre negativo, logo y possui apenas concavidade para baixo. 
 
E como não há troca do sinal de y ′′ , não há ponto de inflexão. 
 
 
 
5) Extremos relativos 
 
Pontos críticos: 0=′y e pontos onde há perda de diferenciabilidade. 
 
0=′y � 0
4
2
2 =
−x
x
 � 0=x 
 
Pelo teste da derivada segunda 0)0( <′′y 
 
Daí, 0=x é um ponto de máximo. 
 
Não há perda de diferenciabilidade no domínio de y. 
 
 
6) Assíntotas 
 
Horizontais � limites no infinito 
 
Não existem assíntotas horizontais. 
L.M.C / 2009 80 
Verticais � Por exemplo, limites quando x tende a pontos onde a função não está 
definida. 
 ( )[ ] −∞=−
−→
2
2
4lnlim x
x
 
 ( )[ ] −∞=−
+
−→
2
2
4lnlim x
x
 
 
 
7) Esboço do gráfico 
 
 
 
 
Exemplo: Esboce o gráfico )2sin()cos(2 xxy += para [ ]pi2,0∈x . 
 
1) Domínio � [ ]pi2,0∈x 
 
 
2) Interceptos em x e y. 
 
Em x 0)2sin()cos(20 =+⇒=⇒ xxy 
 [ ]
[ ] 0)sin(1)cos(
0)sin(1)cos(2
0)cos()sin(2)cos(2
=+
=+
=+
xx
xx
xxx
 
 
 0)cos( =x 0)sin(1 =+ x 
 
2
pi
=x ou 
2
3pi
=x 
2
3pi
=x 
 
Logo, os interceptos em x são em 
2
pi
=x
 e 
2
3pi
=x
 
 
 
Em y ⇒⋅+=⇒=⇒ )02sin()0cos(20 yx 2=y 
 
L.M.C / 2009 81 
3) Intervalos de crescimento e decrescimento. 
 
Queremos estudar o sinal de y′ 
 
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]2/1)sin(1)sin(4
2/1)sin(1)sin()2(2
1)sin()(sin22
)(sin212)sin(2
)2cos(2)sin(2
2
2
−⋅−−⋅=′
−⋅+⋅−⋅=′
+−−=′
−+−=′
+−=′
xxy
xxy
xxy
xxy
xxy
 
 
Os valores de x que anulam y′ são as raízes das equações: 
 
01)sin( =−− x 0
2
1)sin( =−x 
 1)sin( −=x 
2
1)sin( =x 
 
2
3pi
=x 
6
pi
=x ; 
6
5pi
=x 
 
 
 
 
Intervalo de crescimento de y � 





∪





pi
pipi 2,
6
5
6
,0 
 
Intervalos de decrescimento de y � 





6
5
,
6
pipi
 
 
 
4) Concavidade e pontos de inflexão

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