Cálculo II

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Parte I – Integrais definidas 
A.Nos problemas abaixo calcule a integral definida dada usando a segunda parte do 
teorema fundamental do cálculo e as propriedades básicas da integral definida, esboçe 
um gráfico do integrando e interprete a integral como área ou uma diferença de 
áreas. 
a. 
 
 
 
b. 
 
 
 
c. 
 
 
 
e. 
 
 
 
 
 
f. 
 
 
 
g. 
 
 
 
 
 
 
B.Nos problemas: 
(a) Esboçe o gráfico destas equações 
(b)Determine os pontos de interseção gráficos 
(c)Calcule a área da região limitada por estes gráficos 
a. 
 
 
 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
 
C.Nos problemas abaixo ache as antiderivadas usando substituição e as regras básicas 
para antidiferenciação 
a. 
b. 
c. 
 
 
 
d. 
Escola Politécnica de Pernambuco 
Departamento de Ensino Básico 
Disciplina: Cálculo II 
Professora: Kíssia Carvalho 
Lista de Exercício - I 
 
 
 e. 
 
 
 
 
 f. 
 h. 
 
 
 
 
 
 
 j. 
 k. 
 
 
 l. 
 
 
 
 m. 
 
 
 n. 
 
 
 
 o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 p. 
 q. 
 
 
 
 r. 
 
 
 
 s. 
 
 
 C. Calcule por dois métodoss e compare suas respostas: 
 (a) Use a substituição y=5x-1. 
 (b)Use a substituição 
 D. Se n é um inteiro positivo, determine . 
 E.Calcule , partindo da mudança de variável e usando o fato 
de que 
 F.A região sob o gráfico da função dada por: 
 
 
 
 
 
Entre x=-3 e x=8. 
G.A região limitada superiormente por y=1-x2 e inferiormente y=|x|-1 
H.A região limitada entre as duas retas paralelas y=2x+8 e e y=2x+3 seccionadas pela parábola 
y=x2 
I.A região limitada por y=x+2, y=3x-3, y=1-x, e 2y+3x+6=0. 
J.A região limitada superiormente por y=1, à esquerda por y=x2, à direita por y=x e 
inferiormente por y=0. 
 (a)Use o eixo y como referência (dy) 
 (b) Useo eixo x como referência (dx) 
K.Nos problemas a seguir determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada 
pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Use o método dos discos cicurlares ou método 
dos anéis circulares. 
a. y=x2 e y=2x em torno do eixo x 
b.y=x2 e y=x em torno do eixo y 
c.y=12-x2, y=x e x=0 (primeiro quadrante) em torno do eixo y. 
d.y=x3, x=2 e o eixo x em torno do do eixo y 
e.y2=4x+16 e o eixo y em torno do eixo y 
f.y=x2 e y2=x em torno da reta x=-1 
g.y=4x –x2 e y=x em torno da reta x=3. 
L. Nos problemas a seguir use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume V do 
sólido de revolução S gerado pela rotação de cada região R em torno do eixo y. 
a. R é limitada pleos gráficos de y=x3, y=x2 +1,x=0 e x=1 
b. R é limitada pleos gráficos de 3x-2y+1=0, y=x , x=1 e x=3. 
M. Nos problemas a seguir use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume V do 
sólido de revolução S gerado pela rotação de cada região R em torno do eixo indicado. 
a.R é limitada pleos gráficos de y=x3 , y=27 e x=0 em torno do eixo x. 
b.R é limitada pleos gráficos da reta y=16 e pela parábola y=x2, em torno do eixo x 
N. Um sólido S é gerado pela revolução da região R no segundo quadrante acima do gráfico y=-
x3 e abaixo do gráfico de y=3x2 em torno da reta y=-3. Usando o método das cascas cilíndricas, 
calcule o volume V de S 
O.A gasolina é armazenada num tanque esférico de raio r=10 metros. Quantos metros cúbicos 
de gasolina estão no tanque se superfície da gasolina está a 3 metros abaixo do centro do 
tanque (veja a figura01 como referência). Calcule usando o método de divisão em fatias. 
Resp.1180,19 metros cúbicos 
P.Um cilindro sólido circular reto tem um raio de 3 cm. Uma porção foi cortada a partir deste 
cilindro por um plano que passa por um diâmetro da base e inclinado em realação à base de 
um ângulo de um ângulo de 30o . Calcule usando o método da divisão em fatias o volume da 
porção (veja a figura02 como referência). R. 10,39 
Figura 01 Figura 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q. Um certo sólido tem uma base circular de raio 3. Se as seções transversais perpendiculares 
a um dos diâmetros da bese são quadradas, calcule o volume do sólido (Não há figura de 
referência) 
R. A base de um sólido está no plano e altura do sólido é igual a 5 metros. Calcule o volume do 
sólido, se a área da seção de corte corte parealela à base e situada a s metros acima da base é 
dada pela equação (Não há figura de referência). 
(a) A(s)=3s2+2 e (b) A(S)=s2 +s 
S.Nos problemas abaixo calcule o comprimento do arco do gráfico de cada equação: 
(a) y=x3/2 de (0,0) a (4,8) 
(b) y=mx + b de (0,b) a (a,ma+b) 
(c) 12xy=4x4 +3 de (1, 7/12) a (3,109/12) 
(d) 
 
 
 de (4,0) a (9, 
 
 
 ) sug: Não calcule 
 
 
 - use o teorema 
fundamental do cálculo.