Circuitos de Primeira e Segunda Ordem

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Trabalho avaliativo da disciplina de Circuitos 2
APS Nº 1 – Transitórios de 1ª e 2ª ordem
Parte 1 - Circuitos de 1ª ordem
Analise ambas as fontes constantes
Tempo Permanente I(-0) 
Req1 = 0,8Ω
I(∞) = 
Após o tempo de comutação I(+0)
I(t) = I(∞) + [I(0) – I(∞)]
I(t) = 1 – 0,23
Análise uma fonte constante em t=0- e fonte alternada em t=0=0+
No momento permanente de t=(-0) o circuito ficara igual o exercício (a), porem a partir do momento t=(0) mudara.
Fazendo o LKT temos:
I1 = I2 – I1
-V + R1*I1 + R2*I2 = 0
R2*I2 + R3*IL + L = 0
Substituindo I2 = IL – I1,
I1 = V/R1,
R1=3Ω, R2=2Ω, R3=4Ω e L=20mH.
Temos então substituindo as equações do LKT uma EDO linear:
Após analisarmos a EDO e acharmos suas constantes o resultado encontrado foi: 
I(t) = + 0,133 sen(377t+60°) – 1,38 cos(377t+60°)
Parte 2 - Circuitos de 2ª ordem
Parâmetros requeridos para as seguintes respostas de circuito:
Equação geral para 
	
Sobre-amortecido
Sub-amortecido
Criticamente amortecido
Adotando 3 parâmetros para a solução das três respostas: 
 ; ; ; 
e sendo e , desenvolvendo a base de solução para as respostas, temos que:
como o resistor necessita ser de valor real positivo e não complexo, logo assume a raiz positiva da solução , assim:
1- Se ou , então a resposta do circuito é superamortecido, logo:
 vamos assumir 
a)Assumindoe como sendo fontes constantes:
substituindo os parâmetros na EDO geral temos que:
onde vamos resolver a equação característica dada por ;
aplicando Bhaskara encontramos as raízese;
sendo a solução geral para o circuito de resposta sobre-amortecida
		(1)
e substituindo as raízes na equação (1)
	
onde é a solução em regime permanente, sendo assim:
em o circuito se reduz como a seguir, onde o indutor se comporta como um curto circuito e o capacitor como o circuito aberto:
		(2)
logo (2) que é a resposta permanente do circuito para a tensão 
Agora precisamos saber as condições iniciais para , sabendo que o indutor se comporta como um curto circuito e o capacitor como o circuito aberto:
		(3)
Aplicando na equação (1) e aplicando a equação (2) em (1), temos:
		(4)
e igualando (4) a (3)
		(5)
Agora precisamos das condições iniciais de :
derivando (1) e aplicando no tempo , temos que:
	(6)
Vamos aplicar LKC para 
	(7)
Igualando (6) e (7):
	(8)
Montando um sistema com as equações (5) e (8), temos:
Resolvendo esse sistema achamos quee
Agora podemos substituir os valores encontrados em (1), que por fim obtemos a equação geral do circuito sobre-amortecido:
b)Assumindo uma tensão alternada e como sendo fonte constante:
substituindo os parâmetros na EDO geral, temos que:
		(*)
onde vamos resolver a equação característica dada por ;
aplicando Bhaskara encontramos as raízes e;
sendo a solução geral para o circuito de resposta sobre-amortecida
		(1)
e substituindo as raízes na equação (1)
	(2)
onde é a solução em regime permanente, sendo assim:
em vamos obter uma solução permanente onde:
		(3)
	(4)
		(5)
Substituindo (3), (4) e (5) em (*), temos que:
Resolvendo o sistema linear
Agora precisamos saber as condições iniciais para , sabendo que o indutor se comporta como um curto circuito e o capacitor como o circuito aberto:
		(6)
Aplicando na equação (1)e aplicando a equação permanente em (1):
		
		(7)
e igualando (6) a (7)
		(8)
Agora precisamos das condições iniciais de :
derivando (2) e aplicando no tempo , temos que:
	(9)
Vamos aplicar LKC para 
	(10)
Igualando (9) e (10):
	(11)
Montando um sistema com as equações (8) e (11), temos:
Resolvendo esse sistema achamos quee
Agora podemos substituir os valores encontrados em (1), que por fim obtemos a equação geral do circuito sobre-amortecido:
2- Se ou, então a resposta do circuito é sub-amortecido, logo:
 vamos assumir 
a)Assumindo e como sendo fontes constantes:
substituindo os parâmetros na EDO geral temos que:
onde vamos resolver a equação característica dada por ;
aplicando Bhaskara encontramos as raízese;
sendo a solução geral para o circuito de resposta sub-amortecida,
		(1)
Onde ,e 
Sendoé a solução em regime permanente, temos:
em o circuito se reduz como a seguir, onde o indutor se comporta como um curto circuito e o capacitor como o circuito aberto:
logo	(2) , que é a resposta permanente do circuito para a tensão 
Agora precisamos saber as condições iniciais para , sabendo que o indutor se comporta como um curto circuito e o capacitor como o circuito aberto:
		(3)
Logo		(4)
Agora precisamos das condições iniciais de no tempo :
Vamos aplicar LKC para 
(5)	
Substituindo (4) em (5), podemos achar o valor de , que resulta em:
Substituindo os valores de e, na forma da equação geral, temos: 
b)Assumindo uma tensão alternada e como sendo fonte constante:
substituindo os parâmetros na EDO geral, temos que:
		(1)
Sendo a solução geral sub-amortecida é dada por
		(2)
Onde ,e 
Forma da solução particular
		(3)
Fazendo a segunda derivada de (3), temos
	(4)
		(5)
Substituindo (3), (4) e (5) em (1), obtemos que:
		(6)
Resolvendo o sistema linear
Portanto a solução particular fica na forma
	(7)
Substituindo (7) em (2), derivando e aplicando no tempo :
		(8)
Sendo ,vamos substituir em (8) para obter , assim:
Considerando os parâmetros encontrados vamos montar nossa solução completa com base na equação (2):
3- Se ou , então a resposta do circuito é criticamente amortecido, logo:
 vamos assumir 
a)Assumindo e como sendo fontes constantes:
substituindo os parâmetros na EDO geral temos que:
 
onde vamos resolver a equação característica dada por
aplicando Bhaskara encontramos as raízes
sendo a solução geral para o circuito de resposta sobre-amortecida
		(1)
Onde , valor obtido analisando o circuito em
Para achar o valor de devemos derivar nossa solução natural (1) e aplicar em , o que nos da:
		(2)
Aplicando LKC para as condições iniciais em , assim:
		(3)
Substituindo o valor de em (2) e igualando a (3), podemos descobrir o valor de, logo:
em o circuito se reduz como a seguir, onde o indutor se comporta como um curto circuito e o capacitor como o circuito aberto:
logo , que é a resposta permanente do circuito para a tensão 
Por fim, vamos substituir os valores de eencontrados na equação(1), e somar com a resposta permanente para obter a resposta geral criticamente amortecida:
+4.1177
b)Assumindo uma tensão alternada e como sendo fonte constante:
substituindo os parâmetros na EDO geral, temos que:
onde vamos resolver a equação característica dada por
aplicandoBhaskara encontramos as raízes 
sendo a solução geral para o circuito de resposta sobre-amortecida
		(1)
Forma da solução particular , derivando duas vezes 
		(2)
		(3)
		(4)
Substituindo (2), (3) e (4) na edo do circuito temos que
Ajustando tudo isso chegará ao seguinte sistema
Resolvendo esse sistema obtemos que e, substituindo em (2) obtemos a solução particular:
 	(5)
Substituindo (5) em (1)
 	(6)
Onde , valor obtido analisando o circuito em , logo:
Para achar o valor de devemos derivar nossa solução (6) e aplicar em , o que nos da:
 
 
Mas ainda precisamos saber o valor de o qual faremos isso analisando o circuito:
Então temos que:
Por fim podemos substituir todas as nossas soluções encontradas na solução geral: