ED 1 ordem separaveis 2016 1

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Disciplina: Equações Diferenciais
 
 Professora: Maria Fernanda Donnard Carneiro
 
 Equações diferenciais de 1ª Ordem - PARTE II
4) Equações de 1ª ordem - Tipos
Resolução de equações diferenciais de 1ª ordem SEPARÁVEIS
5) Equações Separáveis
Definição: 
Exemplos:
Técnica de resolução:
Exemplo 6: Mostre que a equação 
é separável e depois determine a sua solução geral.
Exemplo 7: Resolva o problema de valor inicial 
Exemplo 8 – Contextualizado 
De acordo com a Lei do Resfriamento de Newton, se um objeto na temperatura T for imerso em um meio, tendo a temperatura constante M, então a taxa de mudança de temperatura de T é proporcional à diferença da temperatura M – T. Tal situação pode ser modelada pela equação diferencial
sendo k uma constante de proporcionalidade. Com base nessas informações, faça o que se pede:
Resolva a equação diferencial para T e determine a função T(t) que fornece a temperatura do objeto em um instante t.
Um bolo é retirado de um forno a 180°C e deixado para esfriar à temperatura de ambiente de 30°C. Após 40 minutos, a temperatura do bolo é de 120°C. Supondo que a lei de resfriamento de Newton se aplique a esta situação, determine quanto tempo levará até que o bolo atinja 80°C?
	
ATENÇÃO:
A equação diferencial 
serve como um modelo matemático para uma gama notavelmente larga de fenômenos naturais – qualquer um envolvendo uma quantidade cuja taxa de variação temporal seja, em cada instante, proporcional a seu valor nesse instante. Alguns exemplos de situações como estas são:
Crescimento Populacional
O modelo mais simples de crescimento populacional é aquele em que se supõe que a taxa de crescimento de uma população dy/ dt é proporcional à população presente naquele instante y(t). Podemos descrever o problema de encontrar y(t) como o problema de valor inicial:
Decaimento Radioativo
Nesse modelo, supõe-se que a taxa segundo a qual o núcleo de uma substância decai (transmuta-se em outra substância) é proporcional à quantidade de substância y(t) remanescente no instante t. Assim, temos o problema de valor inicial 
Exercícios da parte II
	9) Resolva as equações
 
 
10) Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita
 d) 
 e) f) 
11) Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto (0, 1) e cuja inclinação em (x,y) seja xy.
12) Um assado pesando 5,0 kg, inicialmente a 50°F, é posto em um forno a 375°F às cinco horas da tarde. Depois de 75 min a temperatura T(t) do assado é de 125°F. Admitindo que a lei de resfriamento de Newton se aplique a esta situação, determine em qual horário o assado deverá ser retirado do forno, para que ainda esteja ml assado (na temperatura de 150°F).
13) Suponha que a população da Terra tem aumentado a uma taxa proporcional à população instantânea P(t). A constante de proporcionalidade não é conhecida a princípio, mas sabe-se que no ano de 1650 a população era de 600 milhões e em 2000 era de 6 bilhões. Estima-se que a maior população que a Terra é capaz de sustentar seja de 30 bilhões de habitantes. Se a constante de proporcionalidade não se alterar, quando esse limite será atingido?
14) Uma substância se decompõe com uma taxa temporal proporcional à quantidade Q(t) de substância. A princípio, não se conhece a constante de proporcionalidade, mas sabe-se que que 100 gramas dessa substância se reduzem pela metade em 1 hora. Em quanto tempo 100 gramas se reduzem a 20 gramas? 
15) O isótopo radioativo do chumbo, Pb-209, decai a uma taxa proporcional à quantidade presente no instante t e tem uma meia-vida (tempo requerido para que a substância inicial se reduza à metade) de 3,3 horas. Se houver 1,0 grama de chumbo inicialmente, quanto tempo levará para que 90% do chumbo decaia?
Respostas da parte II
9)
 
 
10) 
d) 
11) 
12) Próximo de 18:45h 13) No ano de 2245 14) 2h 19 min 15) 11 h
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