ED 2016 1 definição e solução parte I

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Disciplina: Equações Diferenciais
 
 Professora: Maria Fernanda Donnard Carneiro
 
Equações diferenciais
PARTE I
1) Definição
Definição
	 
Exemplos de equações diferenciais
Exemplo 1: Para cada um dos problemas abaixo, escreva uma equação diferencial que seja um modelo matemático para a situação descrita
A taxa de variação temporal de uma população P é proporcional à raiz quadrada de P.
Em uma cidade com uma população fixa de P pessoas, a taxa de variação temporal do número N de pessoas que contraíram certa doença é proporcional ao produto do número de pessoas que tem a doença pelo número de pessoas que não tem.
2) Classificação das equações diferenciais
 Quanto ao tipo
 Quanto à ordem
Quanto à linearidade
3) Soluções de equações diferenciais 
Definição:
	
Uma solução de uma equação diferencial ordinária no intervalo I: é uma função definida no intervalo I tal que as suas derivadas de ordem até n também estão definidas no intervalo I e satisfazem a equação neste intervalo.
Exemplo 2: Verifique que é solução da equação .
Exemplo 3: Determine os valores de r, para os quais a equação diferencial tem solução da forma .
Exemplo 4: 
Mostre que todo membro da família de funções é uma solução da equação diferencial .
 Encontre uma solução da equação diferencial que satisfaça à condição inicial .
Exemplo 5: Determine uma solução particular para a equação , que satisfaça às condições de contorno 
,
sabendo-se que é a solução geral da equação.
Exercícios da parte I
	1) Para cada uma das equações a seguir, determine a ordem e classifique-a como linear ou não-linear.
a) b) c) 
d) e) f) 
2) Determine a ordem de cada equação diferencial parcial e diga se a equação é linear ou não.
a) b) c) 
3) Verifique se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial
a) e 
 b) 
 c) e 
d) t > 0 , 
4) Determine os valores de r para os quais a equação diferencial tem soluções da forma .
5) Determine os valores de r para os quais a equação diferencial tem soluções da forma para t > 0.
6) Determine os valores de r para os quais a função y(t) é solução da equação.
a) e 
b) e 
7) Determine todas as soluções da equação diferencial 
que são funções de 1º graus, ou seja, da forma , para a e b constantes.
8) Determine os valores de c1 e c2 de modo que a função satisfaça às condições de contorno 
Respostas dos exercícios
Parte I
 
1) a) 2ª ordem, linear	 b) 2ª ordem, não-linear 	 c) 4ª ordem, linear	 d) 1ª ordem, não linear
e) 2ª ordem, não linear	 f) 3ª ordem, linear
2) 
a) 2ª ordem, linear b) 2ª ordem, não linear c) 4ª ordem, linear
3) 
a) As duas são soluções b) É solução c) Apenas é solução d) As duas são soluções 
4) r = -2
5) r = -2, -1
6) a) r = 0 ou r = 2 		b) r = 0 ou r = -2
7) Todas as soluções da forma 
8) c1 = 3 e c2 = - 6 
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