Esq Equa 2 ordem coef constantes 2016 1

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Disciplina: Equações Diferenciais
 
 Professora: Maria Fernanda Donnard Carneiro
 
 Equações diferenciais de 2ª Ordem
PARTE I
Definição
Equações de 2ª ordem homogêneas com coeficientes constantes
Ideia do método
Caso 1: Equação característica tem duas raízes reais e distintas
Caso 2: Equação característica tem raízes reais e repetidas
Caso 3: A equação característica não apresenta raízes reais 
Exemplo 1: Determine a solução do problema de valor inicial 
Exemplo 2: Determine a solução do problema de valor inicial 
Aplicações
Movimento harmônico simples: Sistema massa mola
Exemplo 3: Uma mola de constante elástica k = 2000 N/m tem uma extremidade fixada numa parede e a outra em um carrinho de massa m = 5,0 kg, que pode se movimentar numa superfície horizontal sem atrito.
A partir da posição de equilíbrio, o carrinho é puxado para a direita até que a elongação da mola corresponda ao valor de x = 0,25 m. Depois de solto, o sistema se comporta como um oscilador harmônico.
Determine a função horária da posição do carrinho no instante t.
Encontre a velocidade do carrinho para 
Movimento amortecido
Exemplo 4: Uma massa de 0,5 kg está suspensa por uma mola cuja constante elástica é de 8 N/m. A massa é posta em movimento deslocando-a 10 cm abaixo de sua posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de 2 m/s para cima. Considerando que o meio ofereça uma resistência de – 4v N e g = 9,8 m/s², determine:
A função horária da posição da mola.
A velocidade da massa em t = 0,1 s. 
	
Exercícios
Determine a solução geral das equações:
Resolva as equações diferenciais dadas a seguir, sujeitas às condições iniciais indicadas.
Uma massa de 0,5 kg está suspensa por uma mola cuja constante elástica é de 6 N/m. A massa é posta em movimento deslocando-a 0,5 m abaixo de sua posição de equilíbrio, sem velocidade inicial. Considerando que a resistência oferecida pelo meio seja de N, determine: 
A função horária da posição do sistema
A velocidade do sistema t = 0,5 s depois de iniciado o movimento.
Uma massa de 0,5 kg está suspensa por uma mola, distendendo-a 0,613 m além do seu comprimento natural. A massa é posta em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-a 0,5 m para cima. Determine a equação horária da posição do movimento descrito pelo sistema, considerando que a resistência provocada pelo meio seja de N.
Uma bola com peso de 60 N está suspensa por uma mola, distendida 0,6 m além do seu comprimento natural. Põe-se a bola em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-a 0,15 m acima da posição de equilíbrio. Desprezando-se a resistência do ar, determine:
Uma expressão para a posição da bola no instante t
A posição da bola em 
Uma massa de 1/8 kg está presa a uma mola com constante elástica k = 16 N/m. A massa é deslocada 1/2 m para a direita do ponto de equilíbrio e recebe uma velocidade também para a direita de m/s. Desconsiderando qualquer tipo de resistência, determine a equação do movimento da massa.
Respostas
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
a) 
3) 
4)
5)
6) 
Equações lineares de 2ª ordem e o método dos coeficientes a determinar
	g(x)
	Forma da solução particular yp
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Exemplo 5 
Achar uma solução particular de e, em seguida, determinar a sua solução geral
Exemplo 6
Determinar uma solução particular de 
Exemplo 7 
Achar a solução particular de 
Exemplo 8
Resolva a equação diferencial 
Exemplo 9 – Duplicação de soluções
Encontre uma solução particular para 
Exercícios
	Resolva as equações diferenciais dadas abaixo
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas
 
Respostas
7)
a) 
b) 
c) 
 8) 
a) 
b) 
c) 
4