Lista 1 AL 2016

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Universidade Federal de Itajuba´
1a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear I – 2016
Objetivo. Recordar e trabalhar as definic¸o˜es de espac¸o vetorial e de subespac¸o vetorial,
cap´ıtulos 1 e 2 do livro texto.
Exerc´ıcio 1. (Alyne Silva, Ana Clara Correˆa, Ana Guerra, Anderson da Silva, Bruno
Rezende, Bruno Silva, Carina Maduro, Carine Siqueira)
Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais?
(a) Os vetores (x, y) ∈ R2 tais que x2 + 3x = y2 + 3y.
(b) As func¸o˜es f ∈ C∞(R) tais que f ′′ − 2f ′ + f = 0.
Exerc´ıcio 2. (Chang Tzu, Daniele Oliveira, Flavio Maglioni, Gabriela Ribeiro, Giovana
Julia˜o, Jennifer Tome´, Josefher dos Santos, Karine Pereira)
Nos itens a seguir, E e´ um espac¸o vetorial, X,Y ⊂ E. Assinale verdadeiro ou falso e
justique sua resposta:
(a) O vetor w = (1,−1, 2) pertence ao subespac¸o gerado por u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 1).
(b) Qualquer vetor em R3 pode ser expresso como combinac¸a˜o linear dos vetores u =
(−5, 3, 2) e v = (3,−1, 3).
(c) Se X ⊂ Y enta˜o S(X) ⊂ S(Y ).
Exerc´ıcio 3. (Leonardo Lemos, Let´ıcia Carvalho, Ligia Andrade, Lilian Valeriano, Mateus
Nascimento, Mateus Santos, Patrick Conceic¸a˜o, Paula Borges)
Uma matriz quadrada B = [bij] chama–se sime´trica quando bij = bji, para todo i e para
todo j. De modo ana´logo, uma matriz quadrada C = [cij] chama–se anti–sime´trica quando
cij = −cji, para todo i e para todo j. Prove que o conjunto S das matrizes sime´tricas e
o conjunto A das matrizes anti–sime´tricas sa˜o subespac¸os vetoriais de M(n × n). Prove
ainda que M(n× n) = S ⊕ A.
Exerc´ıcio 4. (Paulo Correˆa, Pedro Rodrigues, Pedro Koichi, Pedro Lirio, Raquel Pinto,
Renan Santos, Roˆmulo Passos, Thiago Nunes)
Sejam E1 e E2 espac¸os vetoriais e considere E o produto cartesiano de E1 e E2, isto e´,
E = {v = (v1, v2) : v1 ∈ E1, v2 ∈ E2}.
Defina uma operac¸a˜o de adic¸a˜o em E e uma operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o de um elemento
de E por um nu´mero real, tais que, E munido destas operac¸o˜es seja um espac¸o vetorial.
Verifique cada um dos axiomas da definic¸a˜o de espac¸o vetorial.
Exerc´ıcio 5. (Tiago Souza, Tulio Moura, Wellington Barbosa, Wellington Silva, Yasmine
Madella)
As matrizes T = [tij] ∈ M(n × n) tais que tij = 0 para i < j sa˜o chamadas matrizes
triangulares inferiores. Prove que essas matrizes constituem um subespac¸o vetorial L ⊂
M(n× n).