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CAPÍTULO 1 
GRANDEZAS ELÉTRICAS BÁSICAS 
 
 
 
 
1.1 CONDUTORES E ISOLANTES 
 A estrutura íntima dos materiais é um ramo da Física que ainda não está 
completamente estudado. No entanto, grande parte dos fenômenos elétricos e 
eletromagnéticos pode ser explicada usando-se um modelo bastante simples, conhecido 
como o átomo de Rutherford. 
O modelo de 
Rutherford, também chamado 
planetário é visto na Figura 
1.1; propõe que qualquer 
átomo possui um núcleo – 
composto por cargas positivas 
(prótons) e neutras (nêutrons) 
– em torno do qual circulam 
cargas negativas (elétrons) em 
órbitas bem definidas. 
Para o estudo de 
Eletricidade importam apenas 
os elétrons que ocupam a 
camada mais distante do 
núcleo. São as propriedades 
desses elétrons que ditarão as 
características elétricas do 
material. Assim, se os elétrons 
da camada mais externa 
estiverem frouxamente ligados 
ao núcleo, eles poderão “fugir” do átomo, tornando-se elétrons livres, capazes de se 
movimentar aleatoriamente através do material. Na maior parte dos casos práticos, são 
esses elétrons livres que participam dos processos elétricos como portadores de corrente. 
Materiais condutores são aqueles que possuem grande quantidade de elétrons-livres: 
mesmo pequenas quantidades de energia são suficientes para desalojá-los de seus átomos. 
Materiais desta categoria, que inclui a maioria dos metais, são adequados para a confecção 
de fios, fusíveis, contatos, etc. 
Nos materiais isolantes, mesmo os elétrons mais externos estão fortemente ligados 
ao núcleo, de forma que só podem ser libertados pela aplicação de grandes quantidades de 
energia. Isso os tornando adequados para a confecção de dispositivos de isolação 
(dielétricos): borrachas, cerâmicas e poliestireno são alguns desses materiais. 
 No linguajar dos eletricistas, o termo condutor costuma ser aplicado aos fios e 
cabos, elementos usados na transmissão e distribuição de energia elétrica. Os fios são 
condutores maciços e rígidos; cabos são condutores formados por dois ou mais fios, 
geralmente trançados, o que lhes confere maior flexibilidade. 
Figura 1.1 - Átomo de Rutherford. 
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2 
 
1.2 CORRENTE ELÉTRICA 
 A corrente elétrica (simbolizada por i) consiste no movimento de cargas elétricas 
em um sentido predominante. Este 
movimento sempre é devido à existência 
de uma tensão (V. Seção 1.3) e seu 
sentido depende do tipo de carga elétrica 
que está em movimento. 
 Como se viu na seção anterior, 
nos condutores metálicos as cargas 
disponíveis são negativas (elétrons-
livres), de modo que o seu deslocamento 
coincide com o chamado sentido 
eletrônico da corrente. No entanto, 
historicamente os conceitos da Física 
foram criados a partir de cargas positivas; 
chama-se sentido convencional àquele do 
deslocamento dessas cargas positivas. A 
Figura 1.2 mostra a diferença entre essas 
duas convenções; neste trabalho adotou-se 
o sentido convencional para a corrente. 
 
 Além do sentido, a corrente também é caracterizada por um módulo ou intensidade
1
, 
que considera a variação da carga q que passa pelo condutor durante o intervalo de tempo t. 
Assim, o módulo é dado por 
 
t
q
i 
 (1.1) 
e tem como unidade o Ampère (símbolo A). São bastante comuns os submúltiplos 
miliampère (mA) = 10
-3
 A e 
 microampère (A) = 10-6 A 
 Quando o módulo e o sentido da corrente em um condutor não variam com o tempo, 
como o caso mostrado no gráfico da Figura 1.3a, está-se tratando de corrente contínua 
(CC); equipamentos alimentados por pilhas ou baterias operam com correntes desse tipo. 
Se o módulo e o sentido variam no tempo de forma a serem descritos por uma função 
senoidal, como mostrado na Figura 1.3b, diz-se tratar de corrente alternada (CA)
2
. 
 Quando a corrente elétrica passa por um corpo, um ou mais dos seguintes efeitos 
podem ser observados: 
 Produção de calor, resultante dos choques entre as cargas portadoras de corrente com 
partículas do material condutor. Este efeito fundamenta a ação de inúmeros aparelhos, 
como chuveiros e aquecedores elétricos, relés e fusíveis; 
 
1
 Alguns eletricistas usam o termo amperagem. 
2
 É oportuno lembrar que na língua inglesa usam-se os termos DC (de direct current) e AC (de alternated 
current) para corrente contínua e corrente alternada, respectivamente. 
Figura 1.2 – Sentidos convencional e 
eletrônico da corrente em um condutor. 
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3 
 
 Geração de luz: por vezes o calor gerado pela corrente é tão elevado que leva o 
condutor à incandescência, produzindo luz no espectro visível. É o caso das lâmpadas 
incandescentes e mistas. 
 Criação de um campo magnético em torno do condutor, fenômeno que fundamenta o 
funcionamento dos motores elétricos; 
 Interferência em atividades dos seres vivos, cuja manifestação mais evidente é o choque 
elétrico; os eletrocardiógrafos, as cercas eletrificadas e desfibriladores também são 
baseados nesse efeito; 
 Reações químicas, como aquelas utilizadas como princípio em eletrólise e cromagem de 
metais 
 
 
(a) (b) 
Figura 1.3 - Formas de onda de corrente: (a) contínua; (b) alternada. 
 
 
 
1.3 TENSÃO ELÉTRICA 
A tensão elétrica é uma espécie de “força” que desloca as cargas elétricas em um 
circuito fechado; portanto, a corrente elétrica sempre é um resultado da aplicação de tensão. 
Diferença de potencial (d.d.p.), força eletromotriz (f.e.m.) e voltagem são outros termos 
usados para designar tensão. 
A tensão (u) fornece energia  uma carga q do circuito, de forma que seu módulo é 
dado por 
q
u


 (1.2) 
Sua unidade é o Volt (símbolo V), mas os seguintes múltiplos e submúltiplos aparecem 
com freqüência: 
 quilovolt (kV) = 10
3
 V e 
 milivolt (mV) = 10
-3
 V 
 Quando aplicada aos terminais de um dispositivo, a tensão altera o equilíbrio das 
cargas: um destes terminais ficará com falta de elétrons - e, portanto, positivamente 
carregado - enquanto o outro terá excesso de elétrons, ficando carregado com carga 
negativa. Chama-se a isto de polaridade da tensão, que é representada por um par de sinais 
+ e – (Figura 1.4). 
 
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4 
 
 
Figura 1.4 - Polaridade da tensão 
 
 
De acordo com seu comportamento em relação ao tempo, as tensões podem ser 
classificadas em dois tipos: 
 contínua (CC): quando mantém constantes seu módulo e sua polaridade. Uma pilha 
e a bateria de um automóvel são exemplos de tais fontes. 
 alternada (CA): quando é do tipo senoidal, como aquela fornecida pelas tomadas 
residenciais. 
 
 
 
1.4 POTÊNCIA E ENERGIA 
 O conceito de energia é intuitivo. Em Eletrotécnica, diz-se que é uma grandeza 
capaz de alterar o comportamento das cargas elétricas de um circuito. Sua unidade no SI é o 
joule (símbolo J), cujo uso em aplicações elétricas geralmente produz números muito 
grandes, de modo que usualmente trabalha-se com uma unidade “derivada”, chamada 
quilowat-hora (kWh) = 3.600 J 
A potência é uma grandeza que revela como se comporta a energia  associada a um 
corpo em relação ao tempo
3
. Assim 
t
p


 (1.3) 
 No Sistema Internacional, a unidade de potência é o Watt (símbolo W), sendo 
corriqueira, ainda, a utilização dos seguintes múltiplos e submúltiplos: 
 megawatt (MW) = 10
6 
W 
 quilowatt (kW) = 10
3
 W 
 miliwatt (mW) = 10
-3 
W. 
 
 Quando se trata de potência
mecânica, geralmente associada a motores elétricos, 
costuma-se utilizar as seguintes unidades: 
 cavalo-vapor (cv) = 736 W 
 horse-power (hp) = 745,7 W. 
 
3
 Costuma-se dizer que a potência mede a velocidade com que a energia de um sistema é transformada. 
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5 
 
 No caso de aplicações elétricas, e levando-se em consideração as Equações 1.1 e 
1.2, pode-se reescrever a Equação 1.3 como se segue: 
 
t
q
qt
p 




 
 p = u.i (1.4) 
que é a chamada potência instantânea, pois depende dos valores de tensão e corrente a cada 
instante. 
 Quando se lida com tarifação de energia elétrica, é comum chamar-se demanda à 
potência exigida por um equipamento e consumo à energia requerida pelo mesmo. 
 Como em qualquer sistema físico, existem nos circuitos elétricos elementos que 
fornecem energia e outros que a absorvem, armazenando-a ou transformando-a em outro 
tipo de energia. Por convenção, a potência absorvida por um elemento tem sinal positivo e 
acontece quando o sentido da corrente é tal que entra pelo pólo positivo da tensão no 
elemento; se, ao contrário, a corrente entra pelo pólo negativo da tensão, a potência 
associada ao elemento é negativo, isto é, ele estará fornecendo potência. 
 
 
 
1.5 RENDIMENTO 
O rendimento () é a relação entre as potências de saída (Ps) e de entrada (Pe) de um 
circuito ou equipamento, isto é 
e
s
P
P

 (1.5) 
 Esta grandeza adimensional exprime a eficiência de um equipamento ou circuito, pois 
a diferença entre essas potências corresponde às perdas que ocorrem dentro do equipamento 
ou ao longo de sua alimentação. Muitas vezes, o rendimento é expresso em termos 
percentuais (%) relativamente à potência de entrada. 
O significado dessas potências e das perdas é mostrado na Figura 1.5, no que se 
chama balanço de potências. Conforme a Lei da Conservação de Energia, este balanço 
sempre deve ser igual a zero, isto é 
Pe = Ps + perdas 
 
 
Figura 1.5 – Balanço de potências 
num equipamento elétrico. 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
CIRCUITOS ELÉTRICOS: LEIS FUNDAMENTAIS E 
CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
 
 
2.1 TERMINOLOGIA EMPREGADA 
 Um circuito elétrico resulta da interligação de elementos de forma a orientar o fluxo 
de energia para obter um efeito específico (como limitar a corrente em um dispositivo ou 
ligar um equipamento elétrico). Na Fig. 2.1a é mostrado um circuito que envolve uma 
lâmpada e um motor elétrico de CC; este circuito real pode ser representado através de um 
esquema, mostrado na Figura 2.1b. 
 
 
(a) (b) 
Figura 2.1 – Circuito elétrico: (a) visão real; (b) esquema representativo. 
 
A seguir, são definidos alguns termos usados na análise de circuitos elétricos: 
 Nó: ponto de conexão entre dois ou mais elementos que compõe um circuito; na Figura 
2.1, os pontos a e b são nós que conectam três elementos cada um (chamados nós 
efetivos), enquanto que os pontos m e n são nós que conectam dois elementos (nós 
aparentes). 
 Ramo: trecho do circuito compreendido entre dois nós efetivos. No circuito da Figura 
2.1b há três ramos, todos delimitados pelos nós efetivos a e b: um com a fonte de 12 V, 
o segundo com o interruptor Ch 1 e a lâmpada L e o último com a chave Ch 2 e o motor 
M. 
 Laço: qualquer percurso fechado de um circuito. Existem três laços no circuito da 
Figura 2.1b: um externo (contendo a fonte, a chave Ch 2 e o motor) e dois internos (o 
primeiro com a fonte, o interruptor Ch 1 e a lâmpada e o outro com os dois 
interruptores, a lâmpada e o motor). 
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 Malha é um percurso fechado (laço) que não tem qualquer internamente; é o caso dos 
dois percursos internos do circuito da Figura 2.1(b). 
A Figura 2.2 mostra um circuito hipotético contendo seis elementos. Apesar de seus 
seis pontos de conexão (a, b, c, d, e e f), este circuito tem somente quatro nós: os pontos b e 
e estão ligados entre si, sem que haja qualquer elemento entre eles, configurando um único 
nó; o mesmo se dá com os pontos d e f. Assim, os nós desse circuito são a, b, c e d, sendo a 
e c nós aparentes. 
É costume expressarem-se as tensões através da chamada notação de subíndice 
duplo, na qual se podem substituir os sinais + e – indicativos da polaridade por um 
subíndice que explicita os dois nós entre os quais se está verificando a tensão: a primeira 
letra (ou número) representa o nó com polaridade positiva. Por exemplo, na Figura 2.2 se 
uab = 10 V, o nó a é o polo positivo da tensão; porém se ucd = - 8 V, então o polo positivo 
está posicionado no nó d. 
 
 Figura 2.2 – Circuito hipotético. 
 
 
 
2.2 LEIS DE KIRCHOFF 
 O estudo de Eletrotécnica está fortemente ancorado em duas leis enunciadas pelo 
alemão Georg Kirchoff, há mais de três séculos atrás: 
a) Lei das Correntes (LCK) 
Em um circuito elétrico, a soma algébrica das correntes de qualquer nó é igual à 
zero, a qualquer instante de tempo. 
Se adotarmos um sinal para as correntes que chegam ao nó e o sinal oposto para as 
correntes que dele saem, a Lei das Correntes de Kirchoff pode ser dada por uma soma 
algébrica, isto é: 
0i
NÓ

 (2.1) 
 Por exemplo, no circuito da Figura 2.2, a LCK aplicada ao nó b resulta em: 
i1 - i2 - i3 - i4 = 0. 
 
 
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9 
 
b) Lei das Tensões (LTK) 
A soma algébrica das tensões ao longo de um laço de circuito é igual a zero, a 
qualquer instante de tempo. 
Matematicamente esta lei pode ser expressa pela equação 
0uLAÇO 
 (2.2) 
Para aplicar essa lei a um laço, escolhe-se um sentido para o percurso (horário ou 
anti-horário); ao se "entrar" num elemento por seu pólo positivo, soma-se a tensão sobre o 
mesmo, caso contrário subtrai-se esta tensão. Exemplificando, se for tomado o laço 
esquerdo do circuito da Figura 2.2 e a escolha do sentido do percurso for horária, a LTK 
ficará: 
uab + ubc + ucd – uad = 0. 
 
 
 
2.3 ASSOCIAÇÃO DE ELEMENTOS 
Os elementos de um circuito elétrico são interligados de forma a produzir algum 
resultado que se deseje. Esta interligação ou associação de elementos pode dar-se de duas 
maneiras: em série ou em paralelo. 
 
2.3.1 Em Série 
 Dois ou mais elementos estão associados em série quando a são percorridos pela 
mesma corrente; portanto, os elementos que compõe a associação série formam um único 
ramo. 
Os elementos E1, E2 e E3 mostrados na Figura 2.3a estão associados em série, 
sendo a corrente i comum a todos eles. Observe-se que as tensões sobre os elementos 
podem diferir entre si, mas, de acordo com a LTK: 
uad = uab + ubc + ucd. 
Um dos aspectos importantes da associação série é que a retirada ou avaria de um 
dos elementos interrompe o funcionamento de todo o ramo. Assim, faz-se esse tipo de 
associação quando se deseja controlar, proteger ou limitar a corrente em um dispositivo. 
Por exemplo, na Figura 2.3b, o disjuntor (dispositivo de proteção), o amperímetro (aparelho 
de medida de corrente) e a chave (dispositivo de controle) estão ligados em série com o 
motor M em uma rede de 220 V CA. 
 
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10 
 
 
Figura 2.3 – Associação de elementos em série: (a) associação genérica; (b) exemplo de 
associação série. 
 
2.3.2 Em Paralelo 
 Dois ou mais elementos estão associados em paralelo quando estão submetidos à 
mesma tensão. Portanto, numa associação paralela,
todos os elementos componentes estão 
ligados a um mesmo par de nós do circuito. 
 Na Figura 2.4a, os elementos E1, E2 e E3 estão associados em paralelo, todos eles 
submetidos à mesma tensão uab. As correntes nos elementos não serão necessariamente 
iguais entre si e a aplicação da LCK ao nó a resulta na equação 
i = i1 + i2 + i3. 
 
 
Figura 2.4 – Associação de elementos em paralelo: (a) associação genérica; (b) exemplo de 
instalação residencial. 
 
 Usa-se a associação em paralelo para interligar os equipamentos nas instalações 
elétricas residenciais e industriais (Figura 2.4b), já que possibilita a alimentação de todos 
eles com a tensão da rede elétrica, além de permitir a inserir (ligar) ou retirar (desligar) uma 
carga sem interferir no funcionamento das demais. 
 
CAPÍTULO 3 
ELEMENTOS DOS CIRCUITOS 
 
 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
 Um circuito elétrico pode ser composto de vários dispositivos, como 
interruptores, motores e lâmpadas, interligados por condutores (fios ou cabos). 
Para facilitar os processos de análise, muitas vezes convém trabalhar com 
modelos físicos desses dispositivos. Tais modelos são construídos a partir de quatro 
elementos básicos, também chamados ideais: resistores, indutores, capacitores e fontes 
de alimentação. 
 
 
 
3.2 RESISTORES 
 A resistência é a grandeza que quantifica o grau de oposição que um corpo 
oferece à passagem de corrente elétrica. Resistores são elementos especialmente 
construídos para apresentarem resistência
1
. 
Algumas das aplicações dos resistores são a limitação da corrente elétrica e a 
produção de calor; lâmpadas incandescentes também aproveitam a resistência de seu 
filamento para a produção de luz. Porém o fenômeno da resistência pode ser utilizado 
por dispositivos que operam com outras grandezas físicas, como esforços mecânicos ou 
temperatura (Figura 3.1). 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
(d) (e) 
Figura 3.1 – Exemplos de resistores comerciais: (a) de carbono; (b) de fio, para 
aquecimento; (c) termistor (resistor controlado por temperatura); (d) célula de carga 
(resistor controlado por esforço mecânico); (e) LDR (resistor controlado por luz). 
 
 
1
 Resistor é o elemento físico (substantivo) e resistência é a sua qualidade (adjetivo). No entanto, é 
comum chamar o resistor de resistência. 
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12 
 
 Os resistores podem ser fixos ou variáveis; estes, muitas vezes chamados de 
potenciômetros, podem ter sua resistência alterada mediante o giro de um eixo ou 
deslizando-se um contato. Os símbolos de resistores são mostrados na Figura 3.2. 
 
 
Figura 3.2 - Tipos de resistores e 
simbologia: (a) fixo; (b) variável 
(potenciômetro). (a) (b) 
 
 Se uma tensão u é aplicada a um corpo, por este circulará uma corrente i. A 
resistência desse corpo é dada pela relação conhecida como Lei de Ohm: 
i
u
R
 (3.1) 
e sua unidade é o ohm (símbolo ). Resistores comerciais atingem facilmente a casa 
dos quilohms (k = 10
3
) ou megohms (M = 10
6
). 
 Denomina-se condutância (G) ao inverso da resistência, isto é 
R
1
G
 (3.2) 
cuja unidade é o Siemen (S)
2
. 
A resistência de um corpo depende de suas dimensões físicas e do material com 
que é confeccionado. Se l é o comprimento do corpo (no sentido do deslocamento da 
corrente) e A é área de seção reta, sua resistência é dada por 
A
R

 (3.3) 
onde é a chamada resistividade do material. No SI a resistividade é dada em ohm × 
metro ( .m), porém uma unidade mais prática é o ohm × milímetro quadrado/metro 
( .mm
2
/m). A Tabela 3.1 mostra a resistividade de alguns materiais usados em 
Eletrotécnica. 
A temperatura também exerce influência sobre o valor da resistência: nos 
condutores metálicos a resistência é diretamente proporcional à temperatura; porém em 
certos materiais, como o carbono, esta variação se dá de forma indireta. O coeficiente de 
temperatura é a grandeza que relaciona a resistência e a temperatura: se Rref é a 
resistência de um corpo à temperatura de referência ref (usualmente 20 
o
C), para outra 
temperatura , a resistência desse corpo será 
](1[RR refref
 (3.4) 
No SI a unidade do coeficiente de temperatura é o grau Celsius inverso (1/
o
C = 
o
C
-1
) e a 
Tabela 3.1 mostra o valor de para alguns materiais usados em Eletrotécnica. 
 
 
2
 Esta unidade também é conhecida por mho, que é a grafia inversa de ohm, tendo como símbolo o ohm 
invertido (Ʊ ). 
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13 
 
Tabela 3.1 – Valores de resistividade e coeficiente de temperatura de alguns materiais 
usados em Eletrotécnica 
Material 
Resistividade 
 ( .mm
2
/m) 
Coeficiente de temperatura 
 (
o
C
-1
) 
Aço 0,0971 11 10
-6
 
Alumínio 0,0265 0,0039 
Borracha 1 10
19
 - 
Carbono (grafite) 35,00 -0,0005 
Cobre 0,0172 0,0039 
Constanta
1
 0,4900 10
-5
 
Germânio 4,6 10
5
 -0,05 
Manganina
2
 0,4820 2 10
-6 
Nicromo
3
 1,500 0,0004 
Silício 6,4 10
8
 -0,07 
1
Liga com 55% de Cu e 45% Ni 
2
Liga com 86% de Cu, 12% de Mn e 2% de Ni 
3
Liga com 61% de Ni, 23% de Cr e 16% de Mo 
 
A potência associada a resistores pode ser determinada conjugando-se as 
equações 1.4 e 3.1: 
2Rip i).i.R(i.up
 (3.5) 
ou, alternativamente, 
R
u
p 
R
u
ui.up
2 (3.6) 
 Se uma corrente i (ou uma tensão u) é aplicada a um resistor R durante um 
intervalo de tempo t, a energia associada ao elemento é 
t
R
u
tRi
2
2
 (3.7) 
 
Associação de resistores 
 
 Em série 
Na Figura 3.3a vê-se uma associação série de três resistores, o que significa que 
a corrente i é comum a todos. Se u1, u2 e u3 forem as tensões sobre os resistores R1, R2 e 
R3, respectivamente, e uT for a tensão na entrada da associação, a LTK impõe: 
uT = u1 + u2 + u3. 
Usando a Lei de Ohm (Equação 3.1) 
uT = R1.i + R2.i + R3.i = (R1 + R2 + R3).i 
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14 
 
 
 
Figura 3.3 – Associação de resistores em série: (a) associação de três resistores em 
série; (b) resistor equivalente. 
 
O resistor equivalente Req (Figura 3.3b) é aquele que produzirá a mesma corrente 
i se lhe for aplicada a mesma tensão uT. Neste caso 
uT = Req.i 
 Comparando as duas equações 
Req = R1 + R2 + R3 
 Generalizando, pode-se dizer que para uma associação de n resistores em série, a 
resistência equivalente é dada pela soma das n resistências: 
n
1i
neq RR
 (3.8) 
 
 Em Paralelo 
Se três resistores R1, R2 e R3 estão associados em paralelo (Figura 3.4a), 
alimentados por uma tensão comum u, a corrente sobre cada um deles será, 
respectivamente, i1, i2 e i3. Pela LCK, conjugada com a Lei de Ohm, a corrente total da 
associação será: 
321321
321T
R
1
R
1
R
1
 u
R
u
R
u
R
u
iiii
 
Para o resistor equivalente Req (Figura 3.4b), vale a equação 
eq
T
R
u
i
 
logo, comparando as duas expressões: 
321eq R
1
R
1
R
1
R
1
 
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15 
 
 
Figura 3.4 – Associação de resistores em paralelo: (a) associação de três resistores em 
paralelo; (b) resistor equivalente. 
 
 Para n resistores em paralelo, a resistência equivalente pode ser encontrada 
através da expressão: 
n
1i ieq R
1
R
1
 (3.9) 
 
 
3.3 CAPACITORES
Capacitores são elementos compostos por duas superfícies condutoras, chamadas 
armaduras, isoladas uma da outra por um dielétrico. Na Figura 3.5 vê-se o símbolo 
genérico de capacitores (fixos e variáveis). 
 
 
Figura 3.5 – Símbolo de capacitor: (a) fixo; 
(b) variável ou ajustável. 
 
 Quando um capacitor é submetido a uma tensão u, certa quantidade de cargas 
elétricas negativas (-q) é armazenada em uma das armaduras; para atender ao equilíbrio 
eletrostático, a outra armadura ficará carregada positivamente com carga +q, de mesmo 
módulo. A carga em cada uma dessas armaduras dependerá da tensão aplicada, segundo 
a equação 
q = Cu (3.10) 
onde C é uma constante de proporcionalidade denominada capacitância, tendo por 
unidade o Farad (F). Em termos práticos, essa unidade é muito grande, de forma que a 
ordem de grandeza dos capacitores comerciais é 
 microfarad ( F) = 10
-6 
F 
 nanofarad (nF) = 10
-9 
F ou 
 picofarad (pF) = 10
-12 
F. 
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16 
 
 Se a tensão nos terminais de um capacitor sofrer variação, haverá alteração da 
carga acumulada nas armaduras; neste caso, a movimentação das cargas se constituirá 
em corrente. De fato, derivando a Equação 3.8 em relação ao tempo 
)Cu(
dt
d
dt
dq
 
De acordo com a Equação 1.1, o termo mais à esquerda representa a corrente i 
no capacitor, logo 
dt
du
Ci
 (3.11) 
A análise desta equação deixa claro que só haverá corrente num capacitor se a 
tensão em seus terminais variar. No caso de tensões constantes, a corrente será sempre 
zero, seja qual for o módulo; diz-se, assim, que um capacitor se comporta como um 
circuito aberto quando submetido a CC
3
. 
A energia armazenada no campo elétrico de um capacitor de capacitância C é 
dada por 
du.u.Cdt.
dt
du
C.udt.i.udt.p
 
2Cu
2
1
 (3.12) 
A capacitância é uma grandeza que depende, fundamentalmente, das dimensões 
das armaduras, da distância entre elas e do dielétrico usado. 
A Tabela 3.2 relaciona alguns dielétricos e sua constante dielétrica ( ), grandeza 
adimensional que indica quantas vezes a capacitância de um capacitor usando tal 
dielétrico seria maior que a de outro, idêntico, porém usando o vácuo como dielétrico. 
 
Tabela 3.2 – Constante dielétrica de alguns dielétricos usados em capacitores. 
Material 
Constante dielétrica 
( ) 
Material 
Constante dielétrica 
( ) 
vácuo 1 papel parafinado 2,5 
água destilada 80 plástico 3 
ar (1 atm) 1,0006 polistireno 2,5 - 2,6 
ar (100 atm) 1,0548 pyrex 5,1 
mica 3 - 7 silício fundido 3,8 
óleo 4 teflon 2 
papel 4 - 6 titanatos 50 - 10000 
 
Os capacitores comerciais podem ter denominação de acordo com a forma de 
suas armaduras (placas planas, tubulares, etc.) e/ou conforme o dielétrico utilizado 
(mica, poliestireno, etc.). A Figura 3.6 mostra alguns capacitores comercialmente 
disponíveis. 
 
 
 
3
 Esta afirmativa só é válida quando o circuito no qual está inserido o capacitor tiver atingido o chamado 
regime permanente (v. Seção 4.2). 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
17 
 
(a) (b) (c) 
 (d) (e) (f) 
Figura 3.6 – Capacitores comerciais: (a) eletrolítico; (b) poliéster metalizado; (c) 
tântalo; (d) "disco", com dielétrico cerâmico; (e) variável, com dielétrico de ar; (f) 
capacitor ajustável ou trimmer. 
 
 
 
Associação de capacitores 
 
 Em série 
A Figura 3.7a mostra três capacitores C1, C2 e C3 associados em série, sendo u1, 
u2 e u3 a tensão sobre cada um deles, respectivamente. Aplicando a LTK, conjugada 
com a expressão inversa da Equação 3.11, a tensão uT nos terminais da associação será: 
dt.i
C
1
C
1
C
1
 dt.i
C
1
dt.i
C
1
dt.i
C
1
uuuu
321321
321T
 
 
Figura 3.7 – Associação de capacitores em série: (a) associação de 3 capacitores em 
série; (b) capacitor equivalente. 
 
Para o capacitor equivalente Ceq mostrado na Figura 3.7b a equação será 
dt.i
C
1
u
eq
T
 
logo, comparando as duas últimas expressões: 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
18 
 
321eq C
1
C
1
C
1
C
1
 
 Generalizando, o capacitor equivalente de uma associação série de n capacitores 
é 
n
1i ieq C
1
C
1
 (3.13) 
 
 
 Em paralelo 
Numa associação paralela de capacitores, como a da Figura 3.8a, a aplicação da 
LCK assegura que: 
dt
du
CCC
dt
du
C
dt
du
C
dt
du
Ciiii 321321321T
 
Para o circuito do capacitor equivalente Ceq mostrado na Figura 3.8b 
dt
du
Ci eqT
 
de onde se conclui que 
Ceq = C1 + C2 + C3 
 Para uma associação de n capacitores em paralelo 
n
1i
ieq CC
 (3.14) 
 
Figura 3.8 – Associação de capacitores em paralelo: (a) associação de 3 capacitores em 
paralelo; (b) capacitor equivalente. 
 
 
 
3.4 INDUTORES 
 No entorno de um condutor percorrido por corrente um campo magnético é 
criado (Figura 3.9a); se este condutor é enrolado em forma de bobina (Figura 3.9b), este 
campo é reforçado. Os campos magnéticos são representados por linhas, e o número de 
linhas por unidade de área é denominado fluxo magnético ( ). 
 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
19 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 3.9 - Campo magnético criado por corrente: (a) em um condutor retilíneo; (b) em 
uma bobina. 
 
 
É importante observar que o fluxo é diretamente proporcional ao módulo da 
corrente. No caso de um enrolamento com N espiras, o fluxo total é 
N = Li (3.15) 
onde L é uma constante de proporcionalidade chamada indutância, cuja unidade no SI é 
o Henry (H). Indutores são elementos que se caracterizam por apresentar indutância; na 
Figura 3.10 são mostrados o símbolo destes elementos e alguns exemplos de indutores 
disponíveis no comércio. 
 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 (d) 
Figura 3.10 – Indutores: (a) símbolo; (b) para 
montagem em circuito impresso; (c) com núcleo 
de ar; (d) com núcleo de ferrite (choke). 
 
 
Em meados do século XIX, Faraday demonstrou a interação existente entre 
variações do campo magnético e a geração de tensão. Segundo a lei que leva seu nome, 
se o fluxo magnético total em uma bobina varia com o tempo, entre seus terminais será 
induzida uma tensão (u) proporcional à taxa da variação do fluxo com o tempo, isto é 
dt
)N(d
u
 (3.16) 
Conjugando as Equações 3.15 e 3.16 
 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
20 
 
dt
di
Lu
 (3.17) 
 É importante observar que só há tensão nos terminais de um indutor se a 
corrente que o percorre variar com o tempo. Se o condutor for percorrido por corrente 
contínua, sua tensão será nula: por isso se diz que os indutores se comportam como 
curto-circuito em CC
4
. 
 Os indutores referidos no parágrafo anterior são elementos ideais; na prática, há 
que se considerar a resistividade do condutor com o qual se faz o enrolamento. Fique 
claro que, a menos que se diga em contrário, os indutores referidos neste texto 
sãoconsiderados ideais. 
 A energia que está armazenada no campo magnético de um indutor é dada por: 
di.i.Ldt.i.
dt
di
Ldt.i.udt.p
 
2Li
2
1
 (3.18) 
 
Associação de indutores 
 
 Em série 
A Figura 3.11a mostra três indutores L1, L2 e L3 associados em série, sendo u1, 
u2 e u3 a tensão sobre cada um deles, respectivamente. Aplicando a LTK, conjugada 
com a Equação 3.17, a tensão uT nos terminais da associação
será: 
dt
di
)LLL(
dt
di
L
dt
di
L
dt
di
Luuuu 321321321T
 
 
Figura 3.11 – Associação de indutores em série: (a) associação de 3 indutores em 
paralelo; (b) indutor equivalente. 
 
Para o indutor equivalente Leq mostrado na Figura 3.11b a equação será 
dt
di
Lu eqT
 
 
4
 Como no caso dos capacitores, esta afirmativa é válida quando o circuito no qual está inserido o indutor 
tiver atingido o chamado regime permanente (V. Seção 4.2). 
 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
21 
 
logo, comparando as duas últimas expressões: 
Leq = L1 + L2 + L3 
 Então, dada uma associação de n indutores em série: 
n
1i
ieq LL
 (3.19) 
 
 Em paralelo 
Numa associação paralela de indutores, como a da Figura 3.12a, a aplicação da LCK 
assegura que: 
dt.u
L
1
L
1
L
1
dt.u
L
1
dt.u
L
1
dt.u
L
1
iiii
321321
321T
 
Para o circuito do indutor equivalente Leq mostrado na Figura 3.12b 
dt.u
L
1
i
eq
T
 
de onde se conclui que 
321eq L
1
L
1
L
1
L
1
 
 
Figura 3.12 – Associação de indutores em paralelo: (a) associação de 3 indutores em 
paralelo; (b) indutor equivalente. 
 Generalizando, o indutor equivalente de uma associação série de n indutores é 
n
1i ieq L
1
L
1
 (3.20) 
 
 
 
3.5 FONTES 
 Fontes são elementos cuja função é alimentar os circuitos, isto é, fornecer-lhes a 
energia necessária para seu funcionamento. Caracterizam-se por apresentar entre seus 
terminais de saída uma tensão, muitas vezes chamada de força eletromotriz (f.e.m.), que 
pode ser contínua ou alternada. Assim, as fontes podem ser classificadas em: 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
22 
 
 fontes de CC, que fornecem uma tensão constante, como as pilhas e baterias 
automotivas; 
 fontes de CA, em cuja saída tem-se uma tensão senoidal, como nos alternadores. 
Os símbolos usados para os dois tipos de fontes são mostrados na Figura 3.13. 
 
Figura 3.13 – Símbolos de fontes: (a) de CC fixa; (b) de CC variável; (c) de CA. 
 
Quando uma carga é conectada à saída da fonte haverá circulação de corrente, cuja 
intensidade dependerá das exigências da carga (Figura 3.14a). Uma fonte de tensão 
ideal é aquela cuja tensão de saída (u) independe da corrente (i) fornecida à carga; sua 
característica V A é, portanto, uma reta paralela ao eixo das abscissas, como mostra a 
linha tracejada na Figura 3.14b. 
 
Figura 3.14 – Fontes: (a) modelo de uma fonte alimentando uma carga; (b) característica 
V A de fonte ideal e real. 
 
Na prática, as fontes reais se comportam como ideais dentro de certo intervalo: à 
medida que a carga exija correntes mais altas, a tensão nos terminais da fonte começa a 
decrescer (Figura 3.14b, em linha cheia). 
 
 A tensão nominal é aquela fornecida pela fonte quando a corrente em seus 
terminais é zero, ou seja, quando não há carga conectada à fonte (diz-se que os 
terminais da fonte estão em aberto). Então, na característica V×A da Figura 3.14b, 
quando i = 0 
u = En (3.21) 
onde En é a tensão nominal da fonte. Embora se esteja usando um exemplo de CC, o 
raciocínio vale também para as fontes de CA. 
 
 
 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
23 
 
Associação de fontes 
 
• Em série 
Fontes podem ser associadas em série a fim de aumentar multiplicar a tensão. Só há 
sentido em tal associação se as fontes forem iguais entre si; se isto não ocorrer, há o 
risco de um dos elementos drenar energia de outros. 
Na associação de fontes em série deve-se observar a polaridade de cada uma delas e 
ligar-se o pólo positivo de uma com o negativo da seguinte. Nesse caso, se houver n 
fontes iguais, cada qual com tensão nominal En, a tensão nos terminais da associação 
será 
uT = nEn (3.22) 
• Em paralelo 
 O requisito básico para a ligação de fontes em paralelo é que todos os elementos 
tenham a mesma tensão nominal
5
. 
Aparentemente não há vantagem neste tipo de associação, já que a tensão na 
saída é igual à de qualquer dos elementos. Porém há que se lembrar que a tensão nos 
terminais de saída de uma única fonte diminui, à medida que maiores correntes lhe são 
solicitadas; assim, se forem ligadas n fontes em paralelo, a corrente fornecida por cada 
uma será 
n
i
i T
 (3.23) 
onde iT é a corrente total solicitada pela carga que está sendo alimentada, e a tensão na 
saída da associação estará mais próxima à tensão nominal das fontes. 
 
 
 
3.6 ELEMENTOS ESPÚRIOS 
 Por vezes, os efeitos de resistência, indutância ou capacitância aparecem onde 
não são desejados e por mais que o projetista do circuito se esforce, não consegue 
eliminá-los completamente; nesses casos, os elementos são chamados espúrios. 
 É o caso de um fio condutor em uma instalação: sua resistência própria (dada 
pela Equação 2.3) é perniciosa, pois desperdiça energia quando o condutor é percorrido 
por corrente elétrica. O caso de uma linha de transmissão é muito mais complexo, pois 
além da resistência intrínseca dos condutores, devem ser considerados os efeitos 
indutivos (devido à proximidade dos fios entre si) e capacitivos (proximidade dos fios 
entre si e com a terra). 
 
 
5
 No caso de associação de fontes CA (como transformadores) outros requisitos deverão ser atendidos, 
como se verá na Seção 8.7. 
CAPÍTULO 4 
CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 Em termos práticos, a utilização de corrente contínua não é tão ampla quanto à 
da corrente alternada (V. Seção 5.1); porém é interessante iniciar o estudo de análise 
com circuitos elétricos alimentados por CC, de vez que se elimina, neste caso, a 
variação temporal das grandezas. 
O trabalho com grandezas constantes elimina boa parte das complicações 
matemáticas, produzindo equações mais simples de resolver e de entender. Os métodos 
usados em CC poderão ser depois aplicados aos circuitos de CA com algumas 
adaptações. 
 
 
 
4.2 TRANSITÓRIO E REGIME PERMANENTE 
 Sempre que existirem indutores e/ou capacitores em um circuito, seu 
comportamento (resposta completa) pode ser dividido em duas etapas: o transitório e o 
regime permanente. Durante o transitório, as tensões e correntes no circuito se 
"acomodam" até atingirem a estabilidade, quando se diz que o regime permanente foi 
alcançado. Isto é válido para qualquer tipo de alimentação (CC ou CA). 
 A duração do transitório depende dos elementos que compõe o circuito e de seus 
valores, porém na maioria das situações práticas dificilmente ultrapassa alguns poucos 
segundos; já o regime permanente tem duração ilimitada, só sendo interrompido se o 
circuito for alterado de alguma forma (como o acionamento de um interruptor ou a 
inserção de um novo elemento no circuito). 
A Figura 4.1 mostra dois exemplos de resposta completa, ressaltando os 
intervalos de tempo correspondentes ao transitório e ao regime permanente. No primeiro 
caso (Figura 4.1a), trata-se da tensão u de descarga de um capacitor e a resposta em 
regime é igual a zero; no outro exemplo, que mostra a corrente i na partida de um motor 
de indução, a resposta em regime é diferente de zero (Figura 4.1b). 
 
 
(a) (b) 
Figura 4.1 – Exemplos de resposta completa: (a) decarga de um capacitor; (b) corrente 
de um motor de indução. 
 
 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
26 
 
No Capítulo 3 se dizia que indutores e capacitores comportavam-se
respectivamente como curto-circuitos e circuitos abertos, quando submetidos à CC. Isto 
é verdadeiro para o regime permanente, pois enquanto durar o transitório, esses 
elementos atuarão no circuito. 
Neste capítulo, pressupõe-se que os circuitos CC estejam ligados a tempo 
suficiente para atingir o regime permanente. Dessa forma, os indutores e capacitores não 
exercerão efeito, e os únicos elementos atuantes serão os resistores e as fontes. 
 
 
 
4.3 CIRCUITO SÉRIE 
 Neste tipo de circuito todos os elementos estão associados em série, de modo 
que são percorridos pela mesma corrente. 
 
Exemplo 4.1 – Uma aquecedor resistivo de 1,5kW é alimentado por um gerador CC de 
220V (Figura 4.2a). A distância entre carga e fonte é 50m e a ligação é 
feita através de cabos de cobre com bitola igual a 1,5mm
2
. Determinar: 
(a) a tensão associada à carga; (b) a queda de tensão nos condutores; (c) 
o rendimento do sistema. 
 
 
Figura 4.2 – Exemplo 4.1: (a) elementos reais; (b) circuito equivalente. 
 
Solução: 
 O circuito equivalente é mostrado na Figura 4.2b, onde o gerador é representado 
por uma fonte CC com tensão E = 220V, os fios (condutores) são substituídos por suas 
resistências, calculadas através da Equação 3.3 
 57,0
5,1
50
0172,0fR
 
e a carga (aquecedor) é substituída por sua potência nominal, calculada a partir da 
Equação 3.6: 
 27,32
1500
220
R
2
c
 
A resistência equivalente (Req) desta associação série (Equação 3.8) é 
Req = 2Rf + Rc = 33,41  
A corrente é dada pela Lei de Ohm (Equação 3.1) 
A
R
E
I
eq
 58,6
 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
27 
 
 Então: 
(a) A tensão na carga é: Uc = RcI = 212,47 V 
(b) A queda de tensão em cada um dos condutores é: Uf = RfI = 3,77 V, portanto a 
queda de tensão total é 2Uf = 7,54 V. 
(c) Potência fornecida pelo gerador (Equação 1.7): Pg = EI = 1447,6 W 
Potência consumida pela carga (Equação 3.5): Pc = RcI
2
 = 1397,17 W 
O rendimento do sistema é 
100
P
P
g
c 
 = 96,52% 
 
 
 
4.4 CIRCUITO PARALELO 
 Neste tipo de circuito, todos os elementos estão associados em paralelo; 
portanto, estão submetidos à mesma tensão. 
 
Exemplo 4.2 – Numa rede de 220V CC estão associadas em paralelo as seguintes 
cargas resistivas (Figura 4.3a): 
• 1 chuveiro elétrico de 4,5 kW/220 V 
• 1 aquecedor resistivo de 2,5 kW/220 V 
• 12 lâmpadas incandescentes de 150 W/220 V (cada) 
Dimensionar o fusível para proteção dessas cargas. 
 
 
 
Figura 4.3 – Exemplo 4.2: (a) diagrama das ligações; (b) circuito equivalente. 
 
Solução: 
 Pode-se calcular a resistência nominal de cada componente do circuito pela 
Equação 3.6: 
• Chuveiro: 
 76,10
4500
220
R
2
c
 
• Aquecedor: 
 36,19
2500
220
R
2
a
 
• Lâmpada (individual): 
 67,322
150
220
R
2
i
 
Como são 12 lâmpadas em paralelo, a resistência equivalente será (Equação 
3.9): 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
28 
 
 89,26R
12
1
R il
 
O cálculo individual das correntes é feito pela Lei de Ohm (Equação 3.1): 
• Chuveiro: 
A 45,20
76,10
220
Ic 
 
• Aquecedor: 
A 36,11
36,19
220
Ia 
 
• Lâmpadas (conjunto): 
A 18,8
89,26
220
I l 
 
e a corrente total é: IT = Ic + Ia + Il = 40 A. 
 Então a corrente nominal do fusível é 40 A. 
 
 
 
4.5 CIRCUITOS MISTOS 
 Estão incluídos nesta classificação aqueles circuitos que possuem alguns 
elementos associados em série e/ou em paralelo. A análise deste tipo de circuitos requer 
um processo paciente de associações série/paralelo. 
 
Exemplo 4.3 – A Figura 4.4a mostra a alimentação de duas cargas resistivas por uma 
fonte de 150 V CC. Sabendo que os cabos que fazem as conexões são de 
cobre, com bitola igual a 10 mm
2
, determinar a potência consumida por 
cada uma das cargas. 
 
 
Figura 4.4 – Exemplo 4.3. 
 
 
Solução: 
Cálculo da resistência dos condutores: 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
29 
 
• Trecho fonte-carga 1: são 2 condutores, equivalendo a 2 resistências em série 
Equação 3.3  
 17,0
10
50
0168,02R a
 
• Trecho carga 1 - carga 2: mesma situação do trecho anterior 
Equação 3.3  
 34,0
10
100
0168,02R b
 
Cálculo da resistência das cargas resistivas 
• Carga 1: Equação 3.6 
 5,4
5000
150
R
2
1
 
• Carga 12: Equação 3.6 
 34,3
7500
150
R
2
1
 
O circuito equivalente é mostrado na Figura 4.4b, no qual as resistências Rb e Rx 
estão associadas em série, resultando, conforme a Equação 3.8: 
Rx = Rb + Rx = 3,34 
Agora, conforme se vê no circuito da Figura 4.4c, os resistores Rx e R1 resultam 
associados em paralelo, de onde se tem, de acordo com a Equação 3.9: 
 92,1R 
R
1
R
1
R
1
y
1xy
 
Resulta então que Ry e Ra ficam em série, conforme mostra a Figura 4.4d, 
obtendo-se um resistor equivalente 
Req = Ra + Ry = 2,09  
No circuito final da Figura 4.4e obtém-se, pela aplicação da Lei de Ohm 
(Equação 3.1): 
A 87,71
R
150
I
eq

 
Levando este valor para a Figura 4.4d, pela mesma Lei de Ohm: 
V 78,137IRU yBD 
 
A potência na carga 1 pode ser calculada através da Equação 3.6 
kW 22,4
R
U
P
1
2
BD
1 
 
Entrando com o valor de UBD no circuito da Figura 4.4c se determina pela Lei de 
Ohm 
A 25,41
R
U
I
x
BD
2 
 
e pode-se calcular a potência dissipada pela carga 2 através da Equação 3.5 
kW 11,5IRP 2222 
 
Observe-se que a potência consumida por cada uma das cargas é menor que a 
respectiva tensão nominal. Isso se deve à queda de tensão ao longo dos condutores que 
ligam a fonte às cargas, devida à resistividade destes condutores. 
 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
30 
 
 
CAPÍTULO 5 
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
 
 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
De uma maneira geral, nas instalações elétricas existe a predominância dos 
equipamentos alimentados por corrente alternada. Existem fortes motivos para que isto 
aconteça: 
 a geração de grandes quantidades de energia é mais econômica em CA do que em 
CC; de fato todas as grandes usinas produzem tensões CA, ficando as fontes de 
CC para aplicações especiais ou que envolvam a necessidade de portabilidade; 
 pela mesma razão antes exposta, a CA – ao contrário da CC - é encontrada em 
qualquer instalação elétrica residencial, comercial ou industrial; 
 a transformação de CA em CC (retificação) é simples, barata e eficiente; a 
transformação inversa (CC em CA, chamada inversão) já é mais complexa e tem 
maior custo; 
 os motores alimentados por CA são mais baratos e são usados na grande maioria 
das aplicações de força-motriz; 
 a alimentação em CA permite o uso de transformadores, com os quais se podem 
alterar níveis de tensão ou corrente para quaisquer valores. 
Via de regra, o uso de CC está restrito a operações específicas (como a 
eletrólise), à alimentação de motores de CC ou a situações onde a portabilidade da fonte 
é exigida (como no caso de veículos automotrizes ou aeronaves). 
 Porém o uso de CA traz um problema que inexiste em CC: o surgimento dos 
fenômenos da indutância e da capacitância espúrias, os quais podem produzir perdas 
significativas em algumas situações, como nas linhas de transmissão de energia. 
 
 
 
5.2 FUNÇÕES SINUSOIDAIS 
 As grandezas CA são funções cíclicas, isto é suas formas de onda se repetem 
periodicamente. Denomina-se período (T) ao
tempo que a função demora para repetir 
um ciclo e freqüência (f) ao número de ciclos repetidos ao longo de um período. Então 
T
1
f 
 (5.1) 
O período é expresso em segundos (s), enquanto a freqüência é medida em Hertz (Hz). 
Como as senóides completam um ângulo igual a 2π radianos (360o) em um período, a 
velocidade angular é dada por 
f2
T
2



 (5.2) 
 A Figura 5.1a mostra uma senóide gerada a partir da rotação de um vetor cuja 
origem coincide com a de um sistema de eixos coordenados xy. A cada ângulo descrito 
pelo vetor, relativamente ao eixo x, há uma correspondente projeção sobre o eixo y, de 
maneira que se tem, na curva a direita, pontos com coordenadas (x;y). 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
 
32 
 
 Na Figura 5.1b, o vetor “parte” com um ângulo inicial θ e a curva resultante 
assemelha-se à função seno original “puxada” para a esquerda. Na comparação entre a 
função gerada pelo vetor e a senóide original (tracejada na figura) diz-se que a primeira 
está adiantada de θ em relação à segunda, eis que eventos semelhantes (por exemplo, o 
instante em que cada uma delas atinge o valor de pico) acontecem antes com ela. 
 
 
Figura 5.1 – Geração de funções sinusoidais a partir de vetores: (a) função seno 
original; (b) função seno adiantada de θ graus em relação à original. 
 
 
Grandezas de CA, como as mostradas na Figura 5.1, são chamadas funções 
sinusoidais, pois têm formas de onda semelhantes a senóides; são perfeitamente 
descritas pela equação 
)tsen(A)t( f
 (5.3) 
onde: 
A = amplitude, também chamado valor de pico, que corresponde ao maior valor 
alcançado pela função ao londo do período; sua unidade é a mesma da 
grandeza representada (V, A ou W); 
 = velocidade angular, dada em radianos por segundo (rad/s), que expressa a 
velocidade com que os ciclos se repetem; 
 = ângulo de fase (dado em graus decimais, o), o qual determina o 
deslocamento da forma de onda em relação à função seno "original". 
 Os instrumentos de medida de correntes e tensões CA usualmente 
trabalham com o chamado valor eficaz (ou rms) dessas funções. Para funções 
(a) 
(b) 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
 
33 
 
sinusoidais, o valor eficaz é calculado aplicando-se a Equação A1.3 (Apêndice 1) à 
Equação 5.3, resultando daí um valor fixo e igual a 
 Valor eficaz = 
2
A
 (5.4) 
tendo as mesmas unidades da função original. 
 
Exemplo 5.1 – O gráfico da Figura 5.2 mostra a tensão u e a corrente i associadas a 
uma carga. Determinar: (a) a freqüência de cada uma das grandezas; (b) 
o valor eficaz de cada uma delas; (b) o ângulo de defasagem da corrente 
em relação à tensão. 
 Figura 5.2 – Exemplo 5.1 
 
Solução 
(a) Na escala de tempo (eixo horizontal) da Figura 5.2, cada quadrícula corresponde 
a 0,5 s. Não se pode ver o período completo de qualquer das funções, porém ½ 
período (de qualquer delas) equivale a 6 quadrículas, logo 
T = 2  6  0,5 = 6 s 
e a freqüência (Equação 5.1) é 
kHz 67,166
106
1
f
6




 
(b) No eixo das ordenadas, cada divisão equivale a 5 unidades (V ou A), logo a 
tensão de pico é Up = 20 V e a corrente de pico é Ip = 12,5 A. Os valores 
eficazes são dados pela Equação 5.4: 
V 14,14
2
20
Uef 
 e 
A 84,8
2
5,12
Ief 
. 
(c) Os ângulos podem ser contados no eixo horizontal. Lembrando que um ciclo da 
senóide vale 360
o
, vê-se que ½ ciclo (180
o
) corresponde a 6 divisões verticais, 
portanto cada uma delas vale 180
o
/6 = 30
o
. Se forem tomados dois eventos 
semelhantes - por exemplo, o instante correspondente ao valor de pico - vê-se na 
Figura 5.2 que a corrente atinge seu pico 2 divisões após a tensão; portanto, a 
corrente está atrasada de 60
o
 em relação à tensão. 
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34 
 
5.3 OS ELEMENTOS BÁSICOS SUBMETIDOS A CA 
 É importante entender o que acontece com os elementos básicos (V. Capítulo 3) 
quando submetidos à excitações CA. 
 Resistores não sofrem outra influência que não a de sua própria resistência, isto 
é, a oposição à passagem de corrente. Nestes elementos, a corrente e a tensão sempre 
estão em fase (Figura 5.2a) 
Porém indutores e capacitores “sentem” a variação temporal da corrente e a 
defasam em relação à tensão: capacitores adiantam a corrente em 90
o
, enquanto que 
indutores a atrasam pelo mesmo ângulo (Figuras 5.2b e c). Este comportamento deve-se 
à própria natureza desses elementos, cujo funcionamento exige o fornecimento de 
energia para formação de campos elétricos ou magnéticos, sem a realização de trabalho 
útil . 
 
 (a) 
 (b) 
 (c) 
 
Figura 5.3 – Formas de onda de tensão U e corrente I, em CA, para os elementos 
básicos dos circuitos: (a) resistores; (b) capacitores; (c) indutores. 
Devido a esta “reação” de capacitores e indutores à passagem de CA, estes 
elementos são ditos reativos e caracterizados por uma reatância, medida em ohms (Ω): 
• reatância capacitiva: 
fC2
1
C
1
XC




 (5.5) 
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35 
 
• reatância indutiva: 
fL2LXL 
 (5.6) 
 
Conforme visto na Seção 3.1, os equipamentos e dispositivos práticos podem ser 
analisados a partir de modelos que incorporam resistores, indutores e capacitores. 
Quando excitados por CA esses equipamentos produzem dois efeitos: 
a) causam oposição à passagem das correntes, por causa de sua resistência; 
b) produzem defasagem da corrente em relação à tensão, em razão de sua reatância. 
Como não existem indutores ou capacitores ideais, na prática o ângulo de defasagem 
da corrente em relação à tensão (chamado ) sempre será menor que 90o, em atraso 
(cargas indutivas) ou em avanço(cargas capacitivas). 
 A impedância de um dispositivo é uma grandeza que agrega esses dois aspectos, 
incorporando a resistência R e a reatância X. Diz-se que esses "ingredientes" da 
impedância estão "em quadratura", isto é dispostos em ângulo reto, de modo que a 
impedância pode ser representada por um triângulo retângulo desenhado para cima 
(cargas indutivas) ou para baixo (cargas capacitivas), conforme mostra a Figura 5.4. 
 
 
 
 
Figura 5.4 – Representação de impedância: (a) carga com característica indutiva; (b) 
carga com característica capacitiva. 
 
 A impedância de uma carga é caracterizada por dois parâmetros: 
 módulo, dado por 
 22 XRZ  (5.7) 
expresso em ohms (); representa a relação entre os valores eficazes da tensão 
(Uef) e da corrente (Ief), isto é 
ef
ef
I
U
|Z| 
 (5.8) 
 ângulo, calculado pela expressão 
R
X
tan 1
 (5.9) 
sendo dado em graus decimais (
o
); representa a defasagem entre a tensão u e a 
corrente i no elemento, ou seja 
  = âng u – âng i (5.10) 
e será positivo no caso de carga com característica indutiva; se a carga tiver 
característica capacitiva o ângulo será negativo. 
 
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36 
 
 Nas situações práticas, a maioria das cargas tem característica indutiva: é o caso 
de motores de indução, aparelhos de solda elétrica, reatores de lâmpadas fluorescentes e 
muitas outras. As cargas com característica capacitiva são mais raras, como o caso de 
motores síncronos sobre-excitados, mas o uso de capacitores de refasamento em 
instalações industriais é muito comum, já que compensam o atraso das outras cargas 
(indutivas) promovendo o avanço da corrente em relação à tensão (V. Seção 5.5). 
 
 
 
5.4 POTÊNCIA EM
CA 
Quando uma carga é alimentada pela tensão alternada 
tsenUu p 
 
onde Up é sua amplitude, a corrente que circula será dada por 
)t(senII p 
 
sendo Ip a corrente de pico. 
 A potência instantânea p, calculada através da Equação 1.4 é 
)t2(sen
2
IU
cos
2
IU
uip
pppp

 (5.11) 
e resulta numa curva semelhante à mostrada na Figura 5.5. 
 
 
Figura 5.5 – Curvas de tensão (u), corrente (i) e potência instantânea (p) em uma carga. 
 
 O significado desta curva é importante: mostra que a carga absorve a potência 
fornecida pela fonte de alimentação (a potência positiva, indicada pelo sinal + na Figura 
5.5) durante certo intervalo de tempo; a seguir, parte dessa potência é fornecida pela 
carga, ou seja, é devolvida a fonte (potência negativa, representada pelas porções da 
curva com sinal – na Figura 5.5). A potência fornecida pela fonte é “usada” pela carga 
de duas formas distintas: 
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37 
 
 uma parte é transformada em trabalho útil (como o aquecimento de um resistor 
ou a rotação de um motor) 
 outra parte é utilizada para a formação de campos elétricos e/ou magnéticos 
relacionados aos elementos reativos da carga; como não é transformada em 
trabalho útil, é devolvida à fonte (intervalo – na Figura 5.3). 
 
A potência média P, calculada através da Equação A1.2 (V.; Apêndice 1) é dada 
pela integral da Equação 5.11 e resulta em 
 
 cosUIP
 (5.12) 
onde U e I são valores eficazes de tensão e de corrente, respectivamente. Esta é a 
potência ativa (também chamada real), capaz de realizar trabalho útil; sua unidade é o 
Watt (W). A energia relativa a esta potência é registrada nos medidores de energia (em 
kWh) existentes nas instalações e constitui-se na base para o cálculo da “conta de luz” 
paga mensalmente. 
 A potência reativa (Q) – aquela usada apenas para a formação de campos 
elétricos ou magnéticos nos elementos reativos – é dada por 
 
 UIsenQ
 (5.13) 
e sua unidade é o Volt-Ampère reativo (VAr). 
 Denomina-se potência aparente (S) àquela que engloba as duas anteriores; como 
essas se aplicam a elementos em quadratura (R e X), seu valor não é simplesmente a 
soma algébrica de P e Q. Assim, 
 
22 QPS 
 (5.14) 
tendo por unidade o Volt-Ampère (VA). Então 
 
)sen(cos)UI()UIsen()cosUI(S 22222 
 
 S = UI (5.15) 
A potência aparente é usada para especificações de fontes (transformadores e 
geradores), pois permite determinar a corrente máxima para determinada tensão de 
fornecimento. 
As expressões 5.12 até 5.14 lembram relações trigonométricas de triângulo 
retângulo. De fato, se P e Q forem tomados como catetos, S será a hipotenusa. A Figura 
5.6 mostra como seriam os triângulos de potências de uma carga com característica, 
respectivamente, indutiva, capacitiva e puramente resistiva. 
 
 
Figura 5.6 – Triângulo de potências de carga: (a) indutiva; (b) capacitiva; (c) resistiva. 
 Pode-se entender melhor o significado de cada potência examinando o esquema 
mostrado na Figura 5.7. A fonte fornece às cargas a potência aparente S; uma parte 
desta é transformada em potência ativa P (como o calor gerado por um aquecedor 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
 
38 
 
elétrico ou o conjugado desenvolvido por um motor assíncrono) e a outra, 
correspondente à potência reativa Q, é utilizada na formação de campos magnéticos 
(cargas indutivas) ou elétricos (cargas capacitivas). Como não é transformada em 
energia consumida, esta potência reativa é devolvida à fonte durante o restante do 
ciclo
1
. A potência aparente S corresponde a soma “vetorial” de P e Q (Equação 5.14). 
 Vê-se que uma parcela de potência (P) é efetivamente utilizada e a outra (Q) fica 
“viajando” da fonte (transformador) para a carga (motor) e vice-versa. A energia reativa 
não é registrada nos medidores comuns de kWh, de modo que não aparece nas “contas 
de luz” – a menos que as concessionária de energia elétrica utilizem um medidor 
específico para tal. 
 
Figura 5.7 – Fluxo de potência entre fonte e cargas. 
 
 Numa instalação elétrica podem-se encontrar cargas de diversas características: 
indutivas, capacitivas ou puramente resistivas. No caso de n cargas operando 
simultaneamente, as potências ativa e reativa totais são dadas por 
 nT PP
 (5.16) 
e 
  ncniT QQQ
 (5.17) 
onde Pn é a potência ativa de cada uma das cargas e Qni e Qnc significam, 
respectivamente, as potências reativas das cargas indutivas e capacitivas que compõe a 
instalação. 
 É importante notar, mais uma vez, que a potência aparente total não pode ser 
obtida pela soma das potências aparentes individuais. Ela deve ser calculada usando-se 
a Equação 5.14. 
 
 
 
1
 Transporte este raciocínio para a curva de potência da Figura 5.5. 
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39 
 
5.5 O FATOR DE POTÊNCIA 
 O fator de potência (FP) de uma carga é igual ao cosseno do ângulo de 
defasagem () entre a tensão e a corrente associadas a esta carga. Assim 
 
 cosFP
 (5.18) 
sendo uma grandeza adimensional, com valor entre 0 e 1. Considerando as Equações 
5.12 e 5.15 acha-se 
 
S
P
FP 
 (5.19) 
Pode-se interpretar o FP como sendo um rendimento: o percentual de potência 
aparente S que é transformado em potência ativa P. Então, quanto menor for o FP, 
maior será a quantidade de energia reativa Q que fica circulando entre a carga e a fonte, 
sem produzir trabalho útil. Por este motivo, a legislação estabelece que uma instalação 
com FP inferior ao de referência
2
 deve ser sobre taxada. 
 Cargas com características indutivas têm FP em atraso (porque a corrente está 
atrasada em relação à tensão) e compreendem a maior parte dos equipamentos usados 
em instalações, como motores assíncronos, reatores de lâmpadas de descarga e 
aparelhos de solda elétrica; cargas capacitivas, como motores síncronos sobre-excitados 
e bancos de capacitores, têm FP em avanço, porém não são encontradas com a mesma 
freqüência que as indutivas. Por fim, as cargas puramente resistivas (como aquecedores 
resistivos, lâmpadas incandescentes e chuveiros elétricos) têm FP unitário. 
 Alguns fatores que causam baixos fatores de potência em instalações elétricas 
são: 
• motores de indução operando a vazio (sem carga acoplada ao eixo); 
• motores com potência nominal muito superior à necessária para o acionamento 
da carga; 
• transformadores operando a vazio ou com pouca carga; 
• fornos a arco ou de indução magnética; 
• máquinas de solda elétrica; 
• reatores de lâmpadas de descarga (fluorescentes, vapor de sódio, etc.) com baixo 
FP; 
• níveis de tensão superior à nominal, provocando um aumento da potência 
reativa. 
Entre as conseqüências de baixos valores de FP das instalações podem-se citar: 
• acréscimo nas contas de energia elétrica; 
• correntes mais elevadas, já que, para uma potência nominal P e tensão de 
alimentação U fixadas, a corrente é inversamente proporcional ao FP (Equação 
5.12); 
• necessidade de condutores com bitolas maiores; 
• aumento das perdas elétricas nos condutores por efeito Joule; 
• necessidade de dispositivos de manobra e proteção com maior capacidade; 
• quedas e flutuação de tensão nos circuitos de distribuição; 
• superdimensionamento ou limitação da capacidade de transformadores de 
alimentação; 
• maiores riscos de acidentes. 
 
 
 
2
 Atualmente, no Brasil este valor de referência é igual a 0,92. 
ELETROTÉCNICA
– Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
 
40 
 
 
Exemplo 5.2 – Uma instalação alimentada por 220 V possui as seguintes cargas 
monofásicas: 
1. Iluminação fluorescente: 1 kW, FP = 0,5 em atraso; 
2. Serra: 3,0 cv, rendimento de 80% e FP = 0,85 em atraso; 
3. Bobinadeira: 5,0 cv, rendimento igual a 82% e FP = 0,90 em 
atraso 
4. Estufa: 2,0 kW, FP = 1. 
Um engenheiro fez o levantamento dos períodos de funcionamento 
dos equipamentos em uma típica manhã de operação. Além de 
constatar que esses equipamentos funcionam sempre a plena carga, 
obteve os resultados mostrados no Quadro 1 seguinte 
 
Quadro 1 – Horário de funcionamento das cargas do Exemplo 5.3 
Carga 08:00-09:00 09:00-10:00 10:00-11:00 11:00-12:00 12:00-13:00 
1     
2     
3    
4  
 
Pergunta-se: 
(a) se estiverem disponíveis transformadores de 5, 7,5, 10 e 15 kVA, 
dimensionar o mais adequado para alimentar a instalação? 
(b) qual o consumo da instalação nesse período? 
(c) qual a maior corrente solicitada à rede de alimentação no período? 
 
Solução 
 Cálculo das potências individuais, anotadas no Quadro 2: 
 Cálculo de P → no caso de motores: 
1000
736P
P cvkW



 
 Cálculo de S → Equação 5.19: 
FP
P
S 
 
 Cálculo de Q → Equação 5.14: 
22 PSQ 
 
 
Quadro 2 – Potências das cargas individuais do Exemplo 5.3 
Carga P (kW) S (kVA) Q (kVAr)* FP* 
1 1,00 2,00 1,73 ind 0,50 ind 
2 2,76 3,25 1,71 ind 0,85 ind 
3 4,49 4,99 2,17 ind 0,90 ind 
4 2,00 2,00 0,00 1,00 
* ind indica característica indutiva (em atraso) 
 
 As potências demandadas em cada horário do turno são dadas no Quadro 3: 
Cálculo de Ph (Equação 5.16): 
 ih PP
 
Cálculo de Qh (Equação 5.17): 
 ih QQ
 
 Cálculo de Sh Equação 5.14): 2
h
2
hh QPS 
 
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41 
 
 Cálculo do FPh (Equação 5.19): 
h
h
h
S
P
FP 
 
 Cálculo da corrente (Equação 5.15): 
220
1000S
U
1000S
I hhh




 
 
Quadro 3 – Potências das cargas do Exemplo 5.3 por turno 
Turno Ph (kW) Qh (kVAr)* Sh (kVA) FPh* Ih (A) 
08:00 – 09:00 3,76 3,44 ind 5,10 0,74 ind 23,17 
09:00 – 10:00 5,49 3,91 ind 6,74 0,81 ind 30,62 
10:00 – 11:00 8,25 5,62 ind 9,98 0,83 ind 45,36 
11:00 – 12:00 5,76 3,44 ind 6,71 0,86 ind 30,50 
12:00 – 13:00 7,25 3,88 ind 8,22 0,88 ind 37,38 
* ind indica característica indutiva (em atraso). 
 
(a) O transformador deve ter potência (kVA) suficiente para alimentar as cargas na 
situação de maior exigência que é o período das 10:00-11:00h, quando S = 9,98 
kVA. Assim, a escolha seria o transformador de 10 kVA. 
(b) Consumo = 
  tPh
. Como todos os intervalos são de 1 h: 
Consumo = 3,761 + 5,491 + 8,251 + 5,761 + 7,251 = 30,50 kWh. 
(c) A maior corrente solicitada é 45,36 A (turno 10:00–11:00 h). 
 
 O fator de potência depende das características e da forma de utilização de uma 
carga. É um dado fornecido pelo fabricante do equipamento e não pode ser alterado 
diretamente pelo usuário; no entanto, considerando que a maioria das cargas 
encontradas é de natureza indutiva, podem ser usados bancos de capacitores para 
corrigir o FP de uma carga individual ou de toda uma instalação. 
 Estes bancos, especificados em kVAr, são conectados em paralelo com as cargas 
e praticamente não promovem o aumento da potência ativa da instalação. Seu 
dimensionamento pode ser feito utilizando-se a Tabela 5.1, da seguinte forma: 
1. Achar a linha correspondente ao FP original; 
2. Achar a coluna equivalente ao FP que se deseja; 
3. Determinar o valor de K, obtido no cruzamento da linha correspondente ao FP 
existente com a coluna relativa ao FP desejado; 
4. Multiplicar este valor pela potência ativa P na instalação para obter a potência 
do banco de capacitores. 
 
Exemplo 5.3 – Determinar os kVAr capacitivos necessários para corrigir o pior FP do 
Exemplo 5.2. 
Solução 
Pior FP = 0,74 (turno 08:00-09:00 h). Entrando com este valor como FP inicial e 0,92 
como FP final na Tabela 5.1 encontra-se k = 0,483. De acordo com as instruções da 
Seção 5.5: Qc = k  Ph = 0,483  3,83 = 1,85 kVAr capacitivos. 
 
ELETROTÉCNICA – Vol. 1 Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow 
 
42 
 
 
Tabela 5.1 – Correção do fator de potência 
Fator de potência final (FPf) 
F
a
to
r 
d
e
 p
o
tê
n
c
ia
 i
n
ic
ia
l 
(F
p
i)
 
 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 
0,50 1,112 1,139 1,165 1,192 1,220 1,248 1,276 1,306 1,337 1,369 1,403 1,440 1,481 1,529 1,590 1,732 
0,51 1,067 1,093 1,120 1,147 1,174 1,202 1,231 1,261 1,291 1,324 1,358 1,395 1,436 1,484 1,544 1,687 
0,52 1,023 1,049 1,076 1,103 1,130 1,158 1,187 1,217 1,247 1,280 1,314 1,351 1,392 1,440 1,500 1,643 
0,53 0,980 1,007 1,033 1,060 1,088 1,116 1,144 1,174 1,205 1,237 1,271 1,308 1,349 1,397 1,458 1,600 
0,54 0,939 0,965 0,992 1,019 1,046 1,074 1,103 1,133 1,163 1,196 1,230 1,267 1,308 1,356 1,416 1,559 
0,55 0,899 0,925 0,952 0,979 1,006 1,034 1,063 1,092 1,123 1,156 1,190 1,227 1,268 1,315 1,376 1,518 
0,56 0,860 0,886 0,913 0,940 0,967 0,995 1,024 1,053 1,084 1,116 1,151 1,188 1,229 1,276 1,337 1,479 
0,57 0,822 0,848 0,875 0,902 0,929 0,957 0,986 1,015 1,046 1,079 1,113 1,150 1,191 1,238 1,299 1,441 
0,58 0,785 0,811 0,838 0,865 0,892 0,920 0,949 0,979 1,009 1,042 1,076 1,113 1,154 1,201 1,262 1,405 
0,59 0,749 0,775 0,802 0,829 0,856 0,884 0,913 0,942 0,973 1,006 1,040 1,077 1,118 1,165 1,226 1,368 
0,60 0,714 0,740 0,767 0,794 0,821 0,849 0,878 0,907 0,938 0,970 1,005 1,042 1,083 1,130 1,191 1,333 
0,61 0,679 0,706 0,732 0,759 0,787 0,815 0,843 0,873 0,904 0,936 0,970 1,007 1,048 1,096 1,157 1,299 
0,62 0,646 0,672 0,699 0,726 0,753 0,781 0,810 0,839 0,870 0,903 0,937 0,974 1,015 1,062 1,123 1,265 
0,63 0,613 0,639 0,666 0,693 0,720 0,748 0,777 0,807 0,837 0,870 0,904 0,941 0,982 1,030 1,090 1,233 
0,64 0,581 0,607 0,634 0,661 0,688 0,716 0,745 0,775 0,805 0,838 0,872 0,909 0,950 0,998 1,058 1,201 
0,65 0,549 0,576 0,602 0,629 0,657 0,685 0,714 0,743 0,774 0,806 0,840 0,877 0,919 0,966 1,027 1,169 
0,66 0,519 0,545 0,572 0,599 0,626 0,654 0,683 0,712 0,743 0,775 0,810 0,847 0,888 0,935 0,996 1,138 
0,67 0,488 0,515 0,541 0,568 0,596 0,624 0,652 0,682 0,713 0,745 0,779 0,816 0,857 0,905 0,966 1,108 
0,68 0,459 0,485 0,512 0,539 0,566 0,594 0,623 0,652 0,683 0,715 0,750 0,787 0,828 0,875 0,936 1,078 
0,69 0,429 0,456 0,482 0,509 0,537 0,565 0,593 0,623 0,654 0,686 0,720 0,757 0,798 0,846 0,907 1,049 
0,70 0,400 0,427 0,453 0,480 0,508 0,536 0,565 0,594 0,625 0,657 0,692 0,729 0,770 0,817 0,878 1,020 
0,71 0,372 0,398 0,425 0,452 0,480 0,508 0,536 0,566 0,597 0,629 0,663 0,700 0,741 0,789 0,849 0,992 
0,72 0,344 0,370 0,397 0,424 0,452 0,480 0,508 0,538 0,569 0,601 0,635 0,672 0,713 0,761 0,821 0,964 
0,73 0,316 0,343 0,370 0,396 0,424 0,452 0,481 0,510 0,541 0,573 0,608 0,645 0,686 0,733 0,794 0,936 
0,74 0,289 0,316 0,342 0,369 0,397 0,425 0,453 0,483 0,514 0,546 0,580 0,617 0,658 0,706 0,766 0,909 
0,75 0,262 0,289 0,315 0,342 0,370 0,398 0,426 0,456 0,487 0,519 0,553 0,590 0,631 0,679 0,739 0,882 
0,76 0,235 0,262 0,288 0,315 0,343 0,371 0,400 0,429 0,460 0,492 0,526 0,563 0,605 0,652 0,713 0,855 
0,77 0,209 0,235 0,262 0,289 0,316 0,344 0,373 0,403 0,433 0,466 0,500 0,537 0,578 0,626 0,686 0,829 
0,78 0,183 0,209 0,236 0,263 0,290 0,318 0,347 0,376 0,407 0,439 0,474 0,511 0,552 0,599 0,660 0,802 
0,79 0,156 0,183 0,209 0,236 0,264 0,292 0,320 0,350 0,381 0,413 0,447 0,484 0,525 0,573 0,634 0,776 
0,80 0,130 0,157 0,183 0,210 0,238 0,266 0,294 0,324 0,355 0,387 0,421 0,458 0,499 0,547 0,608 0,750 
0,81 0,104 0,131 0,157
0,184 0,212 0,240 0,268 0,298 0,329 0,361 0,395 0,432 0,473 0,521 0,581 0,724 
0,82 0,078 0,105 0,131 0,158 0,186 0,214 0,242 0,272 0,303 0,335 0,369 0,406 0,447 0,495 0,556 0,698 
0,83 0,052 0,079 0,105 0,132 0,160 0,188 0,216 0,246 0,277 0,309 0,343 0,380 0,421 0,469 0,530 0,672 
0,84 0,026 0,053 0,079 0,106 0,134 0,162 0,190 0,220 0,251 0,283 0,317 0,354 0,395 0,443 0,503 0,646 
0,85 - 0,026 0,053 0,080 0,107 0,135 0,164 0,194 0,225 0,257 0,291 0,328 0,369 0,417 0,477 0,620 
0,86 - - 0,027 0,054 0,081 0,109 0,138 0,167 0,198 0,230 0,265 0,302 0,343 0,390 0,451 0,593 
0,87 - - - 0,027 0,054 0,082 0,111 0,141 0,172 0,204 0,238 0,275 0,316 0,364 0,424 0,567 
0,88 - - - - 0,027 0,055 0,084 0,114 0,145 0,177 0,211 0,248 0,289 0,337 0,397 0,540 
0,89 - - - - - 0,028 0,057 0,086 0,117 0,149 0,184 0,221 0,262 0,309 0,370 0,512 
0,90 - - - - - - 0,029 0,058 0,089 0,121 0,156 0,193 0,234 0,281 0,342 0,484 
0,91 - - - - - - - 0,030 0,060 0,093 0,127 0,164 0,205 0,253 0,313 0,456 
0,92 - - - - - - - - 0,031 0,063 0,097 0,134 0,175 0,223 0,284 0,426 
0,93 - - - - - - - - - 0,032 0,067 0,104 0,145 0,192 0,253 0,395 
0,94 - - - - - - - - - - 0,034 0,071 0,112 0,160 0,220 0,363 
0,95 - - - - - - - - - - - 0,037 0,078 0,126 0,186 0,329 
0,96 - - - - - - - - - - - - 0,041 0,089 0,149 0,292 
0,97 - - - - - - - - - - - - - 0,048 0,108 0,251 
0,98 - - - - - - - - - - - - - - 0,061 0,203 
0,99 - - - - - - - - - - - - - - - 0,142 
1,00 - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
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43 
 
5.6 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 Sistemas trifásicos são largamente usados na geração, transmissão e distribuição 
de energia elétrica. Algumas das vantagens desses sistemas, quando comparados aos 
monofásicos, são: 
 possibilidade de obtenção de duas tensões diferentes na mesma rede ou fonte; 
além disso, os circuitos monofásicos podem ser alimentados pelas fases do 
sistema trifásico; 
 as máquinas trifásicas têm quase 50% a mais de potência que as monofásicas de 
mesmo peso e volume; 
 o conjugado dos motores trifásicos é mais constante que o das máquinas 
monofásicas; 
 para transmitir a mesma potência, as redes trifásicas usam condutores de menor 
bitola que as monofásicas; 
 redes trifásicas criam campos magnéticos giratórios, utilizados pelos motores de 
indução trifásicos, que são os mais baratos e robustos de todos os motores 
elétricos. 
5.6.1 Fontes Trifásicas 
Uma fonte trifásica consiste em três fontes de CA com tensões de mesmo módulo, 
porém defasadas de 120
o
 (Figura 5.8 a e b); dos terminais R, S e T são “puxados” 
condutores, que são chamadas fases, podem ser interligadas de duas maneiras: 
 
 
Figura 5.8 - Fontes trifásicas: (a) representação das fases da fonte; (b) defasagem entre 
as tensões; (c) ligação em Y; (d) ligação em . 
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44 
 
a) Em estrela (Y) 
Para isto, ligam-se os terminais R’, S’ e T’ (Figura 5.8c); o ponto da conexão 
comum é chamado neutro (N). 
Neste caso, denomina-se tensão de fase (UF) à tensão entre os terminais de cada 
fase e o neutro; chama-se tensão de linha (UL) à tensão entre duas fases. 
Demonstra-se que, na conexão em Y 
FL U3U 
 (5.20) 
Então, as redes elétricas são especificadas através de suas tensões de linha e de fase, 
sempre relacionadas por 
3
. As redes mais comuns são 380 V/220 V e 220 V/127 V
3
. 
 
 
b) Em triângulo () 
Esta configuração é obtida conectando-se R’- S, S’- T e T’- R (Figura 5.7d); 
neste caso, não existe neutro, de forma que as tensões de linha e de fase são iguais 
FL UU 
 (5.21) 
 
Uma característica das fontes trifásicas é a seqüência de fases, que indica a 
ordem com que as tensões aparecem no gráfico da Figura 5.7b (RST ou RTS). A 
inversão da seqüência de fase pode causar alguns efeitos como a inversão do sentido de 
rotação de um motor de indução ou a alteração de níveis de tensão/corrente em certos 
sistemas trifásicos. 
 
 
5.6.2 Cargas Trifásicas Equilibradas 
Cargas trifásicas são aquelas ligadas à fontes trifásicas e, tal como estas, são 
constituídas por três fases, cada qual com uma impedância de fase Zf; quando essas 
impedâncias são idênticas diz-se que a carga é equilibrada. Neste curso, a menos que se 
diga o contrário, todas as cargas trifásicas são equilibradas; é importante lembrar que 
as equações que serão mostradas a seguir referem-se somente a este tipo de carga. 
 
Deve-se lembrar que as cargas são ligadas a fontes trifásicas, logo as relações 
vistas na Seção 5.6.1 continuam válidas. Esta conexão entre carga e fonte fará com que 
circulem dois tipos de corrente: a de fase (IF), que percorre cada fase da carga e a de 
linha (IL), que percorre os condutores que fazem a conexão da carga è fonte. 
Assim como as fontes, uma carga trifásica pode ser ligada de 2 maneiras: 
 
a) Em estrela (Y) 
Esta ligação é mostrada na Figura 5.9a. Considerando que: 
FL U3U 
 
é fácil constatar que neste tipo de ligação 
FL II 
 (5.22) 
 
3
 É costume dizer que a tensão de fase de uma rede é 110V, quando na verdade é 127V. 
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45 
 
 No caso de cargas equilibradas, as correntes de linha serão iguais entre si (porém 
defasadas de 120
o
 umas das outras), o mesmo acontecendo com as correntes de fase. 
Nesse caso, a corrente no neutro (IN) será nula, portanto não há necessidade de 
usar-se o neutro em cargas trifásicas equilibradas. 
 
 Na Figura 5.9(b) mostra-se a ligação de uma carga em Y à rede trifásica. A 
conexão do neutro é mostrada em linha tracejada para ressaltar que é desnecessária. 
 Cada fase da carga terá a mesma potência (dada pela Equação 5.12), logo a 
potência ativa total é 
 cosIU3P FF
 (5.23) 
Porém considerando-se as Equações 5.20 e 5.22, pode-se explicitar a potência ativa 
por meio dos valores de linha 
 cosIU3P LL
 (5.24) 
 Considerando a Equação 5.12, deduz-se que a potência aparente em uma carga 
trifásica é dada por 
LLFF IU3IU3S 
 (5.25) 
 A potência reativa pode ser calculada através da Equação 5.14. 
 
 
Figura 5.9 - Carga trifásica equilibrada em Y: (a) indicação das correntes de linha, 
fase e neutro; (b) conexão à rede trifásica. 
 
 
b) Em triângulo () 
A ligação é vista na Figura 5.10a. Nesse caso, em relação às tensões já se sabe 
que 
FL UU 
 
porém no tocante às correntes, demonstra-se que 
FL I3I 
 (5.26) 
Pelo mesmo raciocínio desenvolvido para o caso de cargas em Y, conclui-se que 
as equações 5.23, 5.24 e 2.25 são válidas também para as cargas em . Na Figura 5.10b 
é mostrada a conexão de uma carga em  a uma rede trifásica. 
 
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46 
 
 
 
Figura 5.10 - Carga trifásica equilibrada em : (a) indicação das correntes de linha e de 
fase; (b) conexão à rede trifásica. 
 
 
5.6.3 Cargas Trifásicas Desequilibradas 
 Todos os equipamentos trifásicos são equilibrados; porém a conexão de 
dispositivos mono e/ou trifásicos, distribuídos pelas fases de uma fonte trifásica, 
representa uma carga desequilibrada (Figura 5.11) 
 
 
 
Figura 5.11 - Representação esquemática de cargas mono e trifásicas ligadas a uma 
linha trifásica, representando uma carga desequilibrada. 
 
 A análise de cargas desequilibradas pode apresentar dificuldades só resolvidas 
pela aplicação de métodos mais avançados, fora do objetivo deste curso. Porém é 
importante ressaltar, mais uma vez, que as equações anteriormente vistas podem não