INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO O E INTEGRAL POR PARTES

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 1 
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Nem todas as integrais são imediatas segundo o formulário dado, porém alguns 
métodos simples ajudam a obter as primitivas das funções que não têm integração ime-
diata. 
 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
O processo consiste em substituir a variável da função integranda por outra tal 
que se recaia com algum artifício e facilidade numa das integrais imediatas. Não há uma 
regra fixa para isso. É necessário que se faça bastante exercícios até saber optar pela 
melhor substituição. 
 
Seja a expressão [ ]∫ ′⋅ dxxfxfg )()( . 
Através da substituição )(xfu = por )(xfu ′=′ ou )(xf
dx
du
′= ou ainda, 
dxxfdu )(′= , vem: 
 
[ ] ∫∫ =+==′⋅ Cuhduugdxxfxfg
duu
)()()()(
43421321
[ ] Cxfh +)( , 
admitindo que se conhece ∫ duug )( . 
 O método da substituição de variável exige a identificação de u e u’ ou u e du 
na integral dada. 
 
 
QUESTÕES RESOLVIDAS 
Questão 01 
Calcule as integrais indefinidas: 
a) ∫ + dxx 3)1( 
Resolução 
Fazendo x + 1 = u ou u = x + 1, temos: 
dudxdxdudxdu =⇒=⇒= 1 
∫∫ =+==+ C
uduudxx
4
)1(
4
33 Cx ++
4
)1( 4
 
 
b) ∫ + dxxn
1
 
Resolução 
Fazendo n + x = u ou u = n + x, temos: 
dudxdxdudxdu =⇒=⇒= 1 
=+==
+ ∫∫
Cudu
u
dx
xn
ln11 Cxn ++ln 
 
 
 
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 2 
c) ∫ + dxx 10)32( 
Resolução 
Fazendo 2x + 3 = u ou u = 2x +3, temos: 
dudxdudxdxdu
2
122 =⇒=⇒= 
∫ ∫∫ ===+ duuduudxx
101010
2
1
2
1)32( CxCuCu ++=+=+⋅
22
)32(
22112
1 111111
 
 
 
 
d) ∫
−
4)13( x
dx
 
Resolução 
Fazendo 3x − 1= u ou u = 3x − 1, temos: 
dudxdudxdxdu
3
133 =⇒=⇒= 
∫ ∫∫ =⋅=
−
=
−
du
u
dx
xx
dx
3
11
)13(
1
)13( 444 ∫ ∫ =+−⋅==
−
− Cuduudu
u 33
1
3
11
3
1 34
4 
=+−=+⋅−=+⋅−= − C
u
C
u
Cu 33
3
9
11
9
1
9
1 C
x
+
−
− 3)13(9
1
 
 
 
 
e) ∫ + dxx)1(cos 
Resolução 
Fazendo 1 + x = u ou u = 1 + x, temos: 
dudxdxdudxdu =⇒=⇒= 1 
∫∫ =+==+ cusenduudxx cos)1(cos Cxsen ++ )1( 
 
 
 
f) ∫ ⋅− dxxx 212 
Resolução 
Fazendo ux =−12 ou 12 −= xu , temos: 
dudxxdxxdu =⇒= 22 
∫ ∫∫ ==⋅=⋅− duuduudxxx 2
1
2 21 CxCuCu +−=+=+ 2
3
22
32
3
)1(
3
2
3
2
2
3 
 
 
 
 
 
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 3 
g) ∫ ⋅− dxxx 243 )1( 
Resolução 
Fazendo ux =−13 ou 13 −= xu , temos: 
dudxxdudxxdxxdu
3
133 222 =⇒=⇒= 
∫ ∫∫ ==⋅=⋅− duuduudxxx
44243
3
1
3
1)1( CxCuCu +−=+=+⋅
15
)1(
1553
1 5355
 
 
 
h) ∫ ⋅ dxxe xtg 2sec 
Resolução 
Fazendo uxtg = ou xtgu = , temos: 
dxxdu 2sec= 
∫∫ =+=⋅=⋅ Ceduedxxe
uuxtg 2sec Ce xtg + 
 
 
i) ∫ ⋅ dxxx
1)(lncos 
Resolução 
Fazendo xu ln= , temos: 
dx
x
du 1= 
∫∫ =+==⋅ Cusenduudxx
x cos
1)(lncos Cxsen +)(ln 
 
 
j) ∫ ⋅ dxxxsen cos4 
Resolução 
Fazendo xsenu = , temos: 
dxxdu cos= 
∫∫ =⋅=⋅ dxxxsendxxxsen cos)(cos 44 ∫ +=+= C
xsenCuduu
55
55
4
 
 
 
k) ∫ ⋅ dxxxtg 2sec 
Resolução 
Fazendo xtgu = , temos: 
dxxdu 2sec= 
∫∫ =+==⋅ C
uduudxxxtg
2
sec
2
2 Cxtg +
2
2
 
 
 
 
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 4 
l) ∫ dxx7cos 
Resolução 
Fazendo xu 7= , temos: 
dudxdudxdxdu
7
177 =⇒=⇒= 
∫ ∫∫ ==⋅= duuduudxx cos7
1
7
1
cos7cos CxsenCusen +=+ 7
7
1
7
1
 
 
 
m) ∫ dxx3cos 
Resolução 
Note que =⋅= xxx coscoscos 23 xxsen cos)1( 2 ⋅− . Assim: 
∫∫ =⋅−= dxxxsendxx cos)1(cos 23 ∫ ∫ ⋅− dxxxsendxx coscos 2 
∫ ∫ ∫ ⋅−= dxxxsendxxdxx coscoscos
23
 
 
Resolvendo cada uma das integrais separadamente, temos: 
∫ ∫∫ ⋅−= 44 344 2143421
III
dxxxsendxxdxx coscoscos 23 
∫ +== CxsendxxI cos 
 
∫ ⋅= dxxxsenII cos
2
, fazendo xsenu = , vem: 
dxxdu cos= 
 
∫ ⋅= dxxxsenII cos
2
∫ +=+== C
xsenCuduu
33
33
2
 
 
Daí, temos: 
∫ −= IIIdxx
3cos 
CxsenCxsendxx +++=∫ 3
cos
3
3
 
Cxsenxsendxx 2
3
cos
3
3 ++=∫ ou simplesmente 
Cxsenxsendxx ++=∫ 3
cos
3
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 5 
INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO DA FUNÇÃO INTEGRANDA EM 
FUNÇÕES MAIS SIMPLES 
 
Integrais do tipo: ∫ +
+ dx
x
x
21
1
 podem ser obtidas decompondo-se a fração 21
1
x
x
+
+
 na 
forma: 222 11
1
1
1
x
x
xx
x
+
+
+
=
+
+
. 
 
Temos então: ∫ ∫∫ +
+
+
=
+
+
222 111
1
x
dxx
x
dxdx
x
x
 onde: ∫ +=+
Cxtgarc
x
dx
21
 
e ∫ ∫ ++=+
=
+
Cx
x
dxx
x
dxx 2
22 1ln2
1
1
2
2
1
1
 
 
Portanto: Cxxtgarcdx
x
x
+++=
+
+
∫
2
2 1ln2
1
1
1
 
 
EXEMPLOS 
Calcular as integrais: 
a) ∫
−
dx
x21
4
 
Resolução 
Note que essa não é uma integral imediata. Mas, podemos observar que a fração 
21
4
x−
 pode ser escrita como soma de outras cujos denominadores são os fatores de 
1º grau de 21 x− , ou seja, )1( x+ e )1( x− . Assim: 
x
B
x
A
x +
+
−
=
− 111
4
2 , logo: 
=
+−
−++
=
− )1)(1(
)1()1(
1
4
2 xx
xBxA
x
=
+−
−++
=
+−
−++
)1)(1()1)(1( xx
BxAxBA
xx
BxBAxA
 
)1)(1(
)()(
xx
xBABA
+−
−++
= 
 
Comparando os termos, temos: 
2242
0
4
==⇒=⇒



=−
=+
BeAA
BA
BA
 
Logo: 
xxx +
+
−
=
− 1
2
1
2
1
4
2 
Então: ∫∫ =





+
+
−
=
−
dx
xx
dx
x 1
2
1
2
1
4
2 
∫∫ =+
+
−
= dx
x
dx
x 1
12
1
12 ∫∫ =+
+
−
dx
x
dx
x 1
12
1
12 
=++⋅+−⋅= Cxx 1ln21ln2 [ ] =+++−⋅ Cxx 1ln1ln2 
CxCxx +−⋅=++−⋅= 21ln2)1)(1(ln2 
 
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 6 
b) ∫ +− 652 xx
dx
 
 
Resolução 
32065 212 ==⇒=+− xexxx 
0))((0 212 =−−⇒=++ xxxxacbxax 
)3)(2()3)(2(1652 −−=−−⋅=+− xxxxxx 
3265
1
2
−
+
−
=
+− x
B
x
A
xx
 
65
1
2 +− xx )3)(2(
23
)3)(2(
)2()3(
−−
−+−
=
−−
−+−
=
xx
BBxAAx
xx
xBxA
 
=
+− 65
1
2 xx )3)(2(
23
−−
−−+
xx
BABxAx
 
=
+− 65
1
2 xx )3)(2(
)23()(
−−
−−++
xx
BAxBA
 
 
 
Comparando os termos: 
 
11
123
0
=−=⇒



=−−
=+
BeA
BA
BA
 
3265
1
2
−
+
−
=
+− x
B
x
A
xx
 ⇒ 
3
1
2
1
65
1
2
−
+
−
−
=
+− xxxx
 
 
 
Integrando os dois membros, temos: 
 
∫∫ 





−
+
−
−
=
+−
dx
xxxx
dx
3
1
2
1
652
 
∫ ∫∫
−
+
−
−
=
+−
dx
x
dx
xxx
dx
3
1
2
1
652
 
∫ ∫∫
−
+
−
−=
+−
dx
x
dx
xxx
dx
3
1
2
1
652
 
∫ +− 652 xx
dx
=+−+−−= Cxx 3ln2ln 
=
+−∫ 652 xx
dx Cxx +−−− 2ln3ln (Aplicamos propriedade de logaritmos) 
C
x
x
xx
dx
+
−
−
=
+−∫ 2
3ln
652
 
 
 
 
 
 
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 7 
c) ∫
−+
+ dx
xx
x
32
75
2 
Resolução 
13032 21
2
=−=⇒=−+ xexxx 
)1)(3()1)](3([1322 −+=−−−⋅=−+ xxxxxx 
=
−
+
+
=
−+
+
1332
75
2 x
B
x
A
xx
x
 
=
−+
++−
=
−+
++−
)1)(3(
3
)1(3(
)3()1(
xx
BBxAAx
xx
xBxA
 
 
)1)(3(
)3()(
)1)(3(
3
−+
+−++
=
−+
+−+
xx
BAxBA
xx
BABxAx
 
 
Comparando os termos: 
32
73
5
==⇒



=+−
=+
BeA
BA
BA∫∫ =





−
+
+
=
−+
+ dx
xx
dx
xx
x
1
3
3
2
32
75
2 ∫ ∫
−
+
+
dx
x
dx
x 1
13
3
12 
=
−+
+
∫ dxxx
x
32
75
2 Cxx +−⋅++⋅ 1ln33ln2 
 
d) ∫
−
−+ dx
xx
xx
4
20146
3
2
 
Resolução 
)2)(2()4(4 23 +−=−=− xxxxxxx 
224
20146
3
2
+
+
−
+=
−
−+
x
C
x
B
x
A
xx
xx
 
 
Resolvendo o sistema, encontramos: 
A = 5, B = 4 e C = −3, logo: 
2
3
2
45
4
20146
3
2
+
−
−
+=
−
−+
xxxxx
xx
 
 
=
−
−+
∫ dxxx
xx
4
20146
3
2
∫ ∫ ∫ +
−
−
+ dx
x
dx
x
dx
x 2
13
2
1415 
=
−
−+
∫ dxxx
xx
4
20146
3
2
Cxxx ++−−+ 2ln32ln4ln5 
 
 
 
 
 
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 8 
e) ∫
−
+−− dx
xx
xxx
24
23 2343
 
Resolução 
Temos que: 
=
−+
+−−
=
−
+−−
)1)(1(
23432343
2
23
24
23
xxx
xxx
xx
xxx
112 −
+
+
++
x
D
x
C
x
B
x
A
 
 
Eliminando as frações, temos: 
=+−− 2343 23 xxx )1()1()1()1( 2222 ++−+−+− xDxxCxxBxAx 
 
E que resolvendo o sistema formado, temos: 
A = 3, B = −2, C = 1 e D = −1 
 
Assim, nossa decomposição em frações parciais, fica: 
1
1
1
1232343
224
23
−
−
+
+−=
−
+−−
xxxxxx
xxx
 
 
Logo: 
∫ ∫ ∫ ∫∫
−
−
+
+−=
−
+−− dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
xxx
1
1
1
1232343
224
23
 
∫ ∫ ∫ ∫∫
−
−
+
+−=
−
+−− dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
xxx
1
1
1
112132343 224
23
 
Cxx
x
xdx
xx
xxx
+−−+++=
−
+−−
∫ )1(ln)1(ln
2ln32343 24
23
 
 
 
 
 
f) ∫
−
−++ dx
x
xxx
1
122
4
23
 
Resolução 
=
+−+
−++
=
−
−++
)1)(1)(1(
122
1
122
2
23
4
23
xxx
xxx
x
xxx
111 2 +
+
+
−
+
+ x
DCx
x
B
x
A
 
Organizando e resolvendo o sistema formado, temos: 
A = 1, B = 1, C = 0 e D = 1 
 
Portanto, nossa decomposição em frações parciais é: 
1
1
1
1
1
1
1
122
24
23
+
+
−
+
+
=
−
−++
xxxx
xxx
 
Logo: 
=
−
−++
∫ dxx
xxx
1
122
4
23
∫ ∫∫ +
+
−
+
+
dx
x
dx
x
dx
x 1
1
1
1
1
1
2 
Cxtgarcxxdx
x
xxx
++−++=
−
−++
∫ )1(ln)1(ln1
122
4
23
 
 
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 9 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Para o cálculo de integrais da forma ∫ ′⋅ dxxgxf )()( , vamos retornar, de início à regra 
de derivação do produto de duas funções: )()()()(])()( xgxfxgxfxgxf ′⋅+⋅′=′⋅ 
 
Daí, temos que: 
 
)()(])()()()( xgxfxgxfxgxf ⋅′−′⋅=′⋅ , 
 
o que integrando membro a membro, teremos: 
 
dxxgxfdxxgxf ∫∫ ′⋅=′⋅ ])()()()( ∫ ⋅′− dxxgxf )()( 
 
Como uma primitiva de ])()( ′⋅ xgxf é )()( xgxf ⋅ , vem: 
 
dxxgxfxgxfdxxgxf ∫∫ ⋅′−⋅=′⋅ )()()()()()( 
 
 Percebe-se, então, que, para o cálculo da integral do produto de duas funções, o 
que se coloca como fundamental é a escolha de qual das funções será chamada de f(x) e 
qual será chamada de g’(x), já que a esperança no uso da fórmula acima é de que a inte-
gral em que cairemos seja mais simples do que a integral pedida. 
 
Exemplo: 
Resolver ∫ dxxx cos 
 
Resolução 
Vamos considerar 






==
==
∫ ∫ dvdxxondedvdxx
e
dudxondeux
cos,cos
,
 
assim, se ∫ ∫= dvdxxcos , então vxsen = 
logo, pela fórmula dxxgxfxgxfdxxgxf ∫∫ ⋅′−⋅=′⋅ )()()()()()( , temos 
∫∫ −= duvuvdxxx cos 
∫∫ −⋅= dxxsenxsenxdxxx cos 
Cxxsenxdxxx +−−⋅=∫ )cos(cos 
Cxxsenxdxxx ++⋅=∫ coscos 
 
 
 
 
 
 
 
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 10 
EXERCÍCIOS 
 
Questão 01 
Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
a) ∫ dxx5sec2 b) ∫ dxxgcot 
c) dx
x
xx
∫
+− 563
 d) dxbax∫ − 
e) ∫ ⋅ dxxxsen cos f) ∫ + dxx
x
21
 
g) ∫ + dxx
x
41
 h) ∫ + dte
e
t
t
21
 
i) ∫
−
⋅ dx
x
xtgx
2sec1
sec
 j) ∫ dxa x5 
k) ∫ ⋅ dxea xx l) ∫
+ dx
xsen
xsenx
3
cos
 
m) ∫ dxxsec n) ∫ dxxtg 2 
o) ∫ + dxx241
1
 p) ∫ ⋅




 dx
xx 2
13
cos 
q) ∫ θθ+θ dgtg 2)cot( r) ∫
−
dx
x
xsen
cos1
 
s) dx
x
xsen
∫
−
+
cos1
1
 t) ∫ +
+ dt
te
e
t
t
2
2
 
u) ∫
⋅
dx
xx ln
1
 v) ∫
⋅+
dx
xx )1(
3
 
w) ∫ + dxxx 13 2 x) ∫
++
+ dx
xx
x
2341
)32(
 
 
Questão 02 
Calcule as integrais indefinidas: 
a) ∫ + 22 xa
dx
 b) ∫ + xsen
dxx
1
cos
 
c) ∫
⋅ xx
dx
ln
 d) ∫
−
249 x
dx
 
e) ∫
−
249 x
dxx
 f) ∫ −⋅ dxex x
2
 
g) ∫ dxe x5 h) dxxx∫ +⋅ 212 
i) ∫ + dxxx )2(cos 43 j) ∫ + dxx 12 
k) ∫
−
dx
x241
1
 
 
 
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 11 
Questão 03 
Resolver: 
a) ∫ +−
− dx
xx
x
86
12
2 b) ∫ +−
+ dx
xx
x
96
32
2 
c) ∫
−−
− dx
xx
x
124
2
2
2
 d) ∫
−−+
−−++ dx
xxx
xxxx
1243
272045
23
234
 
 
 
Questão 04 
Calcule: 
a) ∫ dxsenxx b) ∫ dxex x2 
c) ∫ + dxxe x )52( d) ∫ dxxx ln 
e) ∫ dxxln f) ∫ ⋅ dxxe x cos