resolução tópicos de física PARTE II – DINÂMICA Tópico 5

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205Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
1 E.R. No instante t
0
 = 0, uma pedra é abandonada (velocidade 
inicial nula) de um ponto situado nas proximidades da superfície da 
Terra a uma altura h.
t0 = 0
h
Superfície da Terra
Desprezando a inf luência do ar e sendo g o módulo do vetor campo 
gravitacional, determine:
a) o intervalo de tempo decorrido desde o abandono da pedra até 
seu impacto com o solo, ou seja, o tempo de queda (t
q
);
b) o módulo da velocidade com que a pedra atinge o solo, isto é, sua 
velocidade de impacto (v
i
).
Resolução:
Adotando a origem dos espaços na posição de abandono da pedra e 
orientando a trajetória para baixo, temos α = g.
Em t
0
 = 0: s
0
 = 0
e v = v
0
 = 0
Em t = t
q
: s = h
e v = v
i
 
t0 = 0
h
t = tq 
s 
v0 = 0 O 
a) A função horária do espaço é adequada para resolver este item, 
pois ela relaciona espaço com tempo:
s = s
0
 + v
0 
t + α
2
 t2 ⇒ h = 0 + 0t
q
 + 
g
2
 t2
q
 ⇒ t
q
 = 2h
g
 Observe que o tempo de queda não depende da massa do cor-
po abandonado, o que está de acordo com a 1a propriedade do 
estudo do movimento vertical.
b) De acordo com a equação de Torricelli, temos:
v2 = v2
0 
 + 2α (s – s
0
)
v2
i
 = 02 + 2g (h – 0)
v
i
 = 2gh
 Observe que a velocidade v
i
 com que a pedra chega ao chão tam-
bém não depende de sua massa.
2 Um corpo cai de uma altura igual a 245 m em relação ao solo. 
Considerando g = 10 m/s2 e supondo ausente a atmosfera, determine:
a) o tempo de duração da queda;
b) o módulo da velocidade do corpo imediatamente antes de se cho-
car com o solo.
Resolução:
Sugestão: Quando o corpo é abandonado ou lançado verticalmente 
para baixo, orientar a trajetória para baixo.
Quando o corpo é lançado verticalmente para cima, orientar a traje-
tória para cima.
a) h = 
g t2
q
2
 ⇒ 245 = 
10 t2
q
2
 ⇒ t
q
 = 7 s 
b) v2 = 2 g h = 2 · 10 · 245 = 4 900 ⇒ v = 70 m/s
ou: v = g t
g
 = 10 · 7 ⇒ v = 70 m/s
Respostas: a) 7 s; b) 70 m/s
3 Uma pedra abandonada na Lua, de um ponto situado a 80 m de 
altura, demora 10 s para atingir a superfície desse satélite. Determine:
a) o módulo do vetor campo gravitacional nas proximidades da su-
perfície lunar;
b) o intervalo de tempo que uma pedra, com o dobro da massa da 
primeira, demoraria para cair da mesma altura.
Resolução:
a) h = 
g t2
q
2
 ⇒ 80 = 
g · 102
2
 ⇒ g = 1,6 m/s2 
b) 10 s, pois, na queda livre, a aceleração independe da massa do cor-
po que cai.
Respostas: a) 1,6 m/s2; b) 10 s
4 Um objeto cai verticalmente, passando por um nível horizontal 
a 1,0 m/s e depois por outro nível horizontal a 9,0 m/s. Qual a distância 
entre os dois níveis citados? Adote g = 10 m/s2.
Resolução:
v2
2
 = v2
1
 + 2 g Δs ⇒ 9,02 = 1,02 + 2 · 10 · Δs ⇒ Δs = 4,0 m 
Resposta: 4,0 m
5 (USF-SP) Um objeto, abandonado do repouso em queda livre, 
de uma altura h, num local onde a aceleração da gravidade tem mó-
dulo igual a g, atinge o ponto médio da trajetória com velocidade de 
módulo igual a:
a) h
g
. c) g h. e) g h.
b) 
g
h
. d) 
g
h
.
Resolução:
v2 = 2 g h
2
 ⇒ v = g h
Resposta: c
6 (Vunesp-SP) Um experimento simples, realizado com a partici-
pação de duas pessoas, permite medir o tempo de reação de um indi-
víduo. Para isso, uma delas segura uma régua de madeira, de 1 m de 
comprimento, por uma de suas extremidades, mantendo-a pendente 
na direção vertical. Em seguida, pede que o colega coloque os dedos 
Tópico 5
206 PARTE II – DINÂMICA
em torno da régua, sem tocá-la, próximos da 
marca correspondente a 50 cm, e o instrui para 
agarrá-la tão logo perceba que foi solta. Deter-
mine, a partir da aceleração da gravidade (g) e 
da distância (d) percorrida pela régua na queda, 
o tempo de reação dessa pessoa.
Resolução:
O tempo de reação é igual ao tempo que a régua 
leva para percorrer a distância d. Sendo Δs = d, 
v
0
 = 0 e α = g, temos:
Δs = v
0 
t + α
2
 t2 ⇒ d = 
g
2
 t2 ⇒ t =
 
2d
g
Resposta:
 
2d
g
7 Considere um tubo disposto verticalmente, no qual se realizou o 
vácuo. Um dispositivo faz uma bolinha metálica ser abandonada dentro 
do tubo, em sua extremidade superior. Sabendo que esse experimento 
é realizado na superfície da Terra, podemos af irmar que a bolinha:
a) não cai, porque não existe gravidade no vácuo;
b) cai em movimento retilíneo e uniforme;
c) cai com uma aceleração tanto maior quanto mais intenso for o seu 
peso;
d) cai com a mesma aceleração com que cairia nas vizinhanças da Lua;
e) cai com aceleração de módulo aproximadamente igual a 9,8 m/s2, 
independentemente da intensidade de seu peso.
Resposta: e
8 E.R. Um corpo é arremessado verticalmente para cima a partir da 
superfície da Terra, com velocidade v
0
 em t
0
 = 0. Desprezando a inf luên-
cia do ar e sendo g o módulo da aceleração da gravidade, determine:
a) o intervalo de tempo decorrido desde t
0
 = 0 até a pedra atingir sua 
altura máxima, isto é, o tempo de subida (t
s
);
b) o intervalo de tempo durante o qual a pedra volta do ponto de altu-
ra máxima até a superfície da Terra, ou seja, o tempo de queda (t
q
);
c) a altura máxima (h
máx
) atingida pela pedra em relação ao ponto de 
lançamento.
Resolução:
Nesse caso, adotando a origem dos espaços no ponto de lançamento 
e orientando a trajetória para cima, temos α = –g. 
t0 = 0
hmáxt = ts 
sv = 0
0
Em t
0
 = 0: s
0
 = 0 e v = v
0
Em t = t
s
: s = h
máx
 e v = 0
a) Usando a função horária da velocidade escalar, temos:
v = v
0
 + α t ⇒ 0 = v
0
 – g t
s
t
s
 = 
v
0
g
b) O tempo de queda (t
q
) é igual ao tempo de subida.
 Assim:
t
q
 = 
v
0
g
c) Usando a equação de Torricelli, temos:
v2 = v2
0
 + 2α (s – s
0
)
02 = v2
0
 + 2(–g) (h
máx
 – 0)
h
máx
 = 
v2
0
2g
 Observe que o tempo de subida, o tempo de queda e a altura má-
xima são independentes da massa do corpo.
9 Um parafuso é jogado verticalmente para cima com velocidade 
de módulo 20 m/s. Desprezando a inf luência do ar e sendo g = 10 m/s2, 
determine:
a) o intervalo de tempo decorrido até o parafuso retornar ao ponto de 
lançamento;
b) a altura máxima atingida pelo parafuso em relação ao ponto de 
lançamento.
Resolução:
a) v = v
0
 – g t ⇒ 0 = 20 – 10 t
s
 ⇒ t
s
 = t
g
 = 2 s; T = t
s
 + t
g 
⇒ T = 4 s
b) v2 = v2
0
 – 2 g Δs ⇒ 02 = 202 – 20 h
máx
 ⇒ hmáx = 20 m 
Respostas: a) 4 s; b) 20 m
10 Um astronauta em solo lunar lança uma pedra verticalmente 
para cima no instante t
0
 = 0, com velocidade inicial de módulo 32 m/s 
(g = 1,6 m/s2).
a) Em que instante a pedra atinge o ponto de altura máxima?
b) Qual a altura máxima atingida?
Resolução:
a) v = v
0
 – g t ⇒ 0 = 32 – 1,6 t
s
 ⇒ T
s
 = 20 s
b) v2 = v2
0
 – 2 g Δs ⇒ 02 = 322 – 3,2 h
máx
 ⇒ h
máx
 = 320 m
Respostas: a) 20 s; b) 320 m
11 De um mesmo local da superfície da Lua, são lançadas vertical-
mente para cima, com a mesma velocidade inicial, duas pedras A e B, 
de massas respectivamente iguais a 10 g e 500 g. Compare:
a) as alturas máximas atingidas pelas pedras A e B;
b) os tempos que elas demoram para retornar ao local do lança-
mento.
Respostas: a) Iguais; b) Iguais
207Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
12 Uma esfera de chumbo é lançada verticalmente para cima e 
retorna ao ponto de partida 8,0 s após o lançamento. Considerando 
desprezíveis as inf luências do ar e usando g igual a 10 m/s2, calcule:
a) o módulo da velocidade de lançamento;
b) a altura máxima atingida pela esfera em relação ao ponto de partida.
Resolução:
a) v = v
0– g t
 0 = v
0
 – 10 · 4,0 ⇒ v0 = 40 m/s
b) v2 = v2
0
 – 2 g Δs
 02 = 402 – 2 · 10 · h
máx
 ⇒ hmáx = 80 m
Respostas: a) 40 m/s; b) 80 m
13 (UFPE) A partir da altura de 7,0 m, atira-se uma pequena bola 
de chumbo verticalmente para baixo, com velocidade de módulo 
2,0 m/s. Despreze a resistência do ar e calcule o valor, em m/s, da velo-
cidade da bola ao atingir o solo (g = 10 m/s2).
Resolução:
v2 = v2
0
 + 2 g Δs ⇒ v2 = 2,02 + 2 · 10 · 7,0 ⇒ v = 12 m/s
Resposta: 12
14 Um senhor, levando uma maleta em uma das mãos, entra em 
um elevador no último andar de um edifício. Durante a descida, ele 
solta a maleta e verif ica que ela não cai em relação ao seu corpo. Nessa 
situação, o que se pode concluir sobre o movimento do elevador em 
relação ao solo?
Resolução:
Em relação ao solo, a maleta cai com aceleração de módulo g. Como o 
corpo da pessoa e a maleta permanecem lado a lado, concluímos que, 
em relação ao solo, a pessoa e o elevador também têm aceleração de 
módulo g (queda livre).
Resposta: O elevador está em queda livre.
15 Uma partícula é abandonada a partir do repouso, de um ponto 
situado a 270 m acima do solo. Divida essa altura em três partes tais 
que sejam percorridas em intervalos de tempo iguais.
Resolução:
Usando o gráf ico v × t:
V 
Δt Δt Δt 0 
A2 
A1 
A3 
t 
A
1
 + A
2
 + A
3
 = 270
A
1
 + 3 A
1
 + 5 A
1
 = 270 ⇒ 9 A
1
 = 270 ⇒ A
1
 = 30 m
Portanto:
A
1
 = 30 m A
2
 = 3 A
1
 = 90 m A
3
 = 5 A
1
 = 150 m
Evidentemente, a questão também pode ser resolvida pelas equações 
do movimento.
Respostas: 30 m, 90 m e 150 m
16 E.R. Um corpo com velocidade inicial nula cai no vácuo du-
rante 10 s. Sendo g = 10 m/s2, determine a distância percorrida pelo 
corpo:
a) durante os últimos 4 segundos de queda;
b) durante o 5o segundo de queda.
Resolução:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (s)
5º segundo Últimos
4 segundos
-
a) Os últimos 4 segundos iniciam-se em t
1
 = 6 s e terminam em 
t
2
 = 10 s. Calculemos as velocidades escalares em t
1
 = 6 s e em 
t
2
 = 10 s, considerando a trajetória do corpo orientada para baixo 
(α = g):
v = v
0
 + α t
v = 10t
 Em t
1
 = 6 s, temos: v
1
 = 10 · 6 ⇒ v
1
 = 60 m/s
 Em t
2
 = 10 s, temos: v
2
 = 10 · 10 ⇒ v
2
 = 100 m/s
 Aplicando a equação de Torricelli entre t
1
 e t
2
, vem:
v2
2
 = v2
1
 + 2α Δs
1002 = 602 + 2 · 10 · Δs
Δs = 320 m
b) O 5o segundo inicia-se em t’
1
 = 4 s e termina em t’
2
 = 5 s.
 Em t’
1
 = 4 s, temos: v’
1
 = 10 t’
1
 = 10 · 4 ⇒ v’
1
 = 40 m/s
 Em t’
2
 = 5 s, temos: v’
2
 = 10 t’
2
 = 10 · 5 ⇒ v’
2
 = 50 m/s
 Aplicando a equação de Torricelli, vem:
v’2
2
 = v’2
1
 + 2α Δs’
502 = 402 + 2 · 10 · Δs’
Δs’ = 45 m
17 Suponha que um corpo caia livremente de um ponto a 490 m 
acima do solo. Determine seu deslocamento durante o último segun-
do de sua queda, considerando g = 9,8 m/s2.
Resolução:
 
 • h = 
g t2
2 ⇒ 490 = 
9,8 t2
q
2 ⇒ tq = 10 s
 • v = 9,8 t vg = 9,8 · 9
 v
10
 = 9,8 · 10
 • v2
10
 = v2
g
 + 2 g Δs
208 PARTE II – DINÂMICA
 9,82 · 100 = 9,82 · 81 + 2 · 9,8 · Δs
 9,8 · 100 = 9,8 · 81 + 2 Δs ⇒ 9,8 (100 – 81) = 2 Δs ⇒ Δs = 93 m
Resposta: 93 m
18 Em um dia chuvoso, surgiu uma goteira no teto de uma fábri-
ca. Gotas de água começaram a cair periodicamente, com velocidade 
inicial nula. Sendo H a altura do teto e sabendo que a primeira gota 
formada toca o solo no instante em que a terceira está se despren-
dendo, desenhe as gotas nesse instante, indicando as distâncias en-
tre elas.
Resolução:
Se a segunda gota percorreu uma distância x durante um tempo t, a 
primeira percorreu x + 3x durante um tempo 2t:
x + 3x = H ⇒ x = H4
Resposta: 
H
4
3H
4
3ª
2ª
1ª
19 (UFSCar-SP) Uma pedra cai de uma altura h e os últimos 196 m 
são percorridos em 4,0 s. Desprezando a resistência do ar e fazendo 
g = 10 m/s2, calcule h.
Resolução:
10 T
0 T t (s)
v =
 10
t
v (m/s)
últimos 4 s
T – 4
10 (T – 4)
Δs
Δs = “área” ⇒ 196 = (10 T) + [10 (T – 4)]
2
 · 4
T = 6,9 s
h = “área” de 0 a T = T 10 T2 = 
6,9 · 69
2
h = 238 m
Resposta: 238 m
20 Um corpo é arremessado verticalmente para cima com velo-
cidade inicial de módulo 100 m/s. Desprezando a inf luência do ar e 
supondo g = 10 m/s2, determine:
a) a altura máxima atingida pelo corpo em relação ao ponto de lança-
mento;
b) a velocidade escalar do corpo ao passar pelo ponto situado a 255 m 
acima do ponto de lançamento.
Resolução:
a) v2 = v2
0
 – 2g Δs ⇒ 02 = 1002 – 20 h
máx
 ⇒ h
máx
 = 500 m
b) v2 = 1002 – 20 · 255 ⇒ v = ± 70 m/s
Respostas: a) 500 m; b) 70m/s ou –70 m/s
21 Uma bolinha de chumbo é lançada verticalmente para cima, rea-
lizando uma ascensão praticamente livre, de duração maior que 2 s. 
Considerando g = 9,8 m/s2:
a) Qual é a distância percorrida pela bolinha durante o último segun-
do da subida?
b) A resposta do item a depende do módulo da velocidade de lança-
mento?
c) A distância percorrida no último segundo de queda, no retorno ao 
ponto de partida, depende do módulo da velocidade de lançamento?
Resolução:
a) Durante a subida, o módulo da velocidade diminui 9,8 m/s em cada 
segundo. Então, como a velocidade é igual a zero no f inal da su-
bida, 1 s antes de parar ela vale 9,8 m/s, independentemente do 
módulo da velocidade de lançamento:
9,8 
1 s 
v (m/s) 
t (s) 
“área” = Δs 
0 
Δs = 1 · 9,82 ⇒ Δs = 4,9 m
b) Não.
c) Sim. A distância percorrida no último segundo de queda é igual à 
percorrida no primeiro segundo de ascensão, que será tanto maior 
quanto maior for o módulo da velocidade de lançamento.
Respostas: a) 4,9 m; b) Não; c) Sim
22 Da superfície de um astro, uma pedra foi lançada verticalmente 
para cima. Sua posição em relação à superfície variou com o tempo, 
de acordo com o gráf ico seguinte, que é praticamente um arco de 
parábola:
0
24
s (m) 
t (s) 2,0
209Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
Calcule:
a) o módulo v
0
 da velocidade de lançamento da pedra;
b) a intensidade g do campo gravitacional na superfície desse astro.
Resolução:
De t
0
 = 0 a t = 2,0 s, temos:
a) v
m
 = ΔsΔt = 
v
0
 + v
2
2
 ⇒ 24
2,0
 = 
v
0 + 0
2
 ⇒ v0 = 24 m/s
b) v
2
= v
0
 + αt ⇒ 0 = 24 + α · 2,0 ⇒ α = –12 m/s2 ⇒ g = 12 m/s2
Respostas: a) 24 m/s; b) 12 m/s2
23 Um objeto é atirado verticalmente para baixo com velocidade 
igual a 20 m/s, de um ponto situado a 300 m do solo. Desprezando 
qualquer inf luência do ar e supondo g = 10 m/s2, determine, ao f inal 
do 5o segundo de movimento:
a) a velocidade escalar do objeto;
b) a sua altura relativa ao solo.
Resolução:
a) v = v
0
 + g t ⇒ v
5
 = 20 + 10 · 5 ⇒ v5 = 70 m/s
b) Δs = v
0
 t + 
g t2
2
 = 20 · 5 + 5 · 52 ⇒ Δs = 225m
 h = 300 – 225 ⇒ h = 75 m
Respostas: a) 70 m/s; b) 75 m
24 (Mack-SP) Os pontos A e B, da mesma vertical, estão respectiva-
mente a 320 cm e 180 cm de altura de uma esteira rolante. No mesmo 
instante, de cada um desses pontos, abandona-se do repouso uma pe-
dra. Essas pedras atingem pontos da esteira que distam 16 cm entre si. 
A velocidade escalar da esteira é constante igual a:
a) 90 cm/s. b) 85 cm/s. c) 80 cm/s. d) 60 cm/s. e) 40 cm/s.
180 cm
320 cm
A
B
Esteira
Adote g = 10 m/s2 e despreze o efeito do ar.
Resolução:
 • Tempo de queda: t
q
 = 
2h
g
 • Intervalo de tempo entre as duas quedas:
 Δt = 2 · 3,210 – 
2 · 1,8
10 ⇒ 0,8 – 0,6 ⇒ Δt = 0,2 s
 • Para a esteira:
 v = ΔsΔt = 
16
0,2
 ⇒ v = 80 cm/sResposta: c
25 (Olimpíada Brasleira de Física) Uma pessoa está na sacada de um 
prédio e joga uma pedra verticalmente para cima com velocidade inicial 
de módulo v
0
. Depois, ela joga uma segunda pedra, só que agora verti-
calmente para baixo, com o mesmo módulo de velocidade v
0
. Despre-
zando-se a resistência do ar, podemos af irmar que, em relação à situação 
em que elas estão chegando ao chão, a pedra jogada para cima terá:
a) a mesma aceleração que a jogada para baixo, mas velocidade maior 
em módulo.
b) a mesma aceleração que a jogada para baixo, mas velocidade me-
nor em módulo.
c) a mesma aceleração e velocidade que a jogada para baixo.
d) a mesma velocidade que a jogada para baixo, mas uma aceleração 
maior em módulo.
e) a mesma velocidade que a jogada para baixo, mas aceleração me-
nor em módulo.
Resolução:
• A aceleração é igual a g para as duas pedras.
• Ao retornar à sacada, a primeira pedra terá velocidade de módulo v
0
.
Resposta: c
26 De uma janela de um edifício, a 60,0 m de altura, uma pedra A é 
lançada verticalmente para cima com velocidade escalar de 19,6 m/s, 
no instante t
0
 = 0 em que se inicia a contagem do tempo. Decorridos 
3,0 s, uma outra pedra B é abandonada do mesmo local. Desprezando 
a inf luência do ar e considerando g = 9,8 m/s2, determine:
a) o instante em que a pedra A passa pela pedra B;
b) a que altura, relativa ao solo, A passa por B.
Resolução:
s = s
0
 + v
0
 t + α
2
 t2
s
A
 = 60 + 19,6 t – 4,9 t2
s
B
 = 60 – 4,9 (t – 3)2
t0 = 0 A B 
s (m) 
60 m 
0 
a) s
A
 = s
B
:
 60 + 19,6 t – 4,9 t2 = 60 – 4,9 (t – 3)2
t = 4,5 s
b) s
B
 = 60 – 4,9 (4,5 – 3)2
s
B
 = s
A
 = 49 m
Respostas: a) 4,5 s; b) 49 m
210 PARTE II – DINÂMICA
27 E.R. Um balão sobe verticalmente com velocidade escalar 
constante de módulo 5,0 m/s. Quando sua altura em relação ao solo 
é de 30 m, um garoto abandona do balão um pequeno pacote, que 
f ica sob a ação exclusiva do campo gravitacional terrestre, cuja inten-
sidade é de 10 m/s2. Determine:
a) a altura máxima que o pacote alcança em relação ao solo;
b) o intervalo de tempo gasto pelo pacote para chegar ao solo, a 
contar do instante em que foi abandonado;
c) o módulo da velocidade escalar de impacto do pacote contra o solo.
Resolução:
a) Quando o garoto abandona o pacote, este está subindo vertical-
mente a 5,0 m/s em relação ao solo. Por isso, em relação ao solo, o 
pacote ainda sobe um pouco, antes de descer.
t0 = 0
Solo
sv0 = 5,0 m/s
O
30 m 
 Adotando a origem dos espaços no solo e orientando a trajetória 
para cima, temos, para o pacote:
s
0
 = 30 m, v
0
 = 5,0 m/s e α = –g = –10 m/s2
 Usando a equação de Torricelli:
v2 = v2
0
 + 2α (s – s
0
)
v2 = 25 – 20(s – 30) (I)
 Quando o pacote atinge a altura máxima, temos:
v = 0 e s = h
máx
 Substituindo em (I), vem:
0 = 25 – 20(h
máx
 – 30)
h
máx
 = 31,25 m
b) Usando a função horária do espaço, temos:
s = s
0
 + v
0 
t + α
2
 t2
s = 30 + 5t – 5t2 (II)
 Ao chegar ao solo:
s = 0 e t = t
c
 Substituindo em (II), vem:
0 = 30 + 5t
c
 – 5t2
c
t
c
 = 3,0 s
c) Usando a função horária da velocidade, temos:
v = v
0
 + α t
v = 5 – 10t (III)
 Ao chegar ao solo:
v = v
c
 e t = t
c
 = 3,0 s
 Substituindo em (III), vem:
v
c
 = 5 – 10 · 3 ⇒ v
c
 = –25 m/s
|v
c
| = 25 m/s
28 (IME-RJ) Uma pedra cai de um balão, que sobe com velocidade 
constante de 10 m/s. Se a pedra demora 10 s para atingir o solo, a que 
altura estava o balão no instante em que se iniciou a queda da pedra? 
(g = 10 m/s2) 
Resolução:
t0 = 0
v0 = 10 m/s
t = 10 s
s
H
0
s = s
0
 + v
0
 t – 
g t2
2
0 = H + 10 · 10 – 10 · 10
2
2
 H = 400 m
Resposta: 400 m
29 De um helicóptero descendo verticalmente a 6 m/s é abandona-
da uma esfera de aço, que de mora 2 s para chegar ao solo. Consideran-
do livre a queda da esfera, calcule a altura de onde ela foi abandonada 
(g = 10 m/s2).
Resolução:
Δs = v
0
 t + 
g t2
2
h = 6 · 2 + 10 · 2
2
2
 ⇒ h = 32 m
Resposta: 32 m
30 Do teto de um elevador de 2,45 m de altura interna, subindo 
em movimento uniforme, desprende-se um parafuso. Considerando 
g = 10 m/s2, calcule:
a) o intervalo de tempo decorrido desde o instante em que o parafuso 
se desprendeu até o instante em que atinge o piso do elevador;
b) o deslocamento do elevador durante o intervalo de tempo a que 
se refere o item anterior, supondo que sua velocidade escalar seja 
igual a 2 m/s.
Resolução:
a) s = s
0
 + v t
 s
piso
 = v t
 s = s
0
 + v
0
 t + α
2
 t
2
 s
par
 = 2,45 + v t – 5 t2
 s
par
 = s
piso
 2,45 + v t – 5 t2 = v t
t = 0,7 s
211Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
2,45 m
2,45
t0 = 0
v0 = v
t0 = 0
s (m)
V
Parafuso
Piso 0
b) s
piso
 = v t = 2 · 0,7
s
piso
 = 1,4 m
Nota:
• O elevador é um referencial inercial, já que está em movimento retilíneo 
e uniforme em relação ao solo. Considerando um referencial no ele-
vador, o parafuso realiza uma queda livre a partir do repouso, de uma 
altura h = 2,45 m.
 Então: t
q
 = 2 h
g
 = 2 · 2,45
10
 ⇒ t
q
 = 0,7 s
 que é a resposta do item a. 
Respostas: a) 0,7 s; b) 1,4 m
31 Uma laranja foi lançada obliquamente nas proximidades do 
solo, movendo-se da esquerda para a direita. Desprezando inf luências 
do ar, indique a alternativa em que estão corretamente representadas 
a velocidade da laranja (v ) e a força resultante (F ) que nela atua na 
posição assinalada, após o lançamento:
a) e)c)
vv
F F
F
v = 0
d)b)
F
v F v
Resolução:
 • A única força atuante após o lançamento é o peso.
 • v tem direção tangente à trajetória e o sentido do movimento.
Resposta: e
32 Uma esfera de chumbo é lançada obliquamente com velocida-
de v
0
, inclinada de θ em relação à horizontal. Desprezando a inf luência 
do ar e considerando o movimento da esfera, após o lançamento e an-
tes de colidir com o solo, analise as seguintes af irmações:
(01) A única força atuante na esfera é o seu peso.
(02) Na horizontal, o movimento é uniforme, com velocidade de mó-
dulo v
0
 · cos θ.
(04) Na vertical, o movimento é uniformemente variado, com veloci-
dade inicial e aceleração de módulos respectivamente iguais a 
v
0
 · sen θ e g (aceleração da gravidade).
(08) No ponto de altura máxima, a velocidade da esfera é nula.
(16) A trajetória da esfera é um arco de circunferência.
(32) No ponto de altura máxima, a velocidade da esfera tem módulo 
mínimo, igual a v
0
 · cos θ.
(64) No ponto de altura máxima, a aceleração da esfera é nula.
Dê como resposta a soma dos números associados às af irmações 
corretas.
Resolução:
Estão corretas as af irmações 01, 02, 04 e 32.
Resposta: 39
33 (UFV-MG) Um telejornal reproduziu o gol de um famoso jogador 
de futebol, assinalando, ao lado da trajetória, a velocidade instantânea 
da bola.
40 km/h
75 km/h
105 km/h
0 km/h
As velocidades atribuídas à bola estão:
a) erradas, pois somente é possível atribuir à bola uma única velocidade, 
correspondente ao percurso total e não a cada ponto da trajetória.
b) erradas, pois a velocidade nula da bola ocorre no ponto mais alto 
de sua trajetória.
c) erradas, pois sua velocidade máxima ocorre no instante em que ela 
abandona o pé do jogador.
d) corretas, desde que a gravação da partida de futebol não seja anali-
sada em “câmera lenta”, o que compromete as medidas de tempo.
e) corretas, pois a bola parte do repouso e deve percorrer certa distân-
cia até alcançar a velocidade máxima.Resposta: c
34 E.R. Um corpo é lançado obliquamente com velocidade
v
0
 de módulo 50 m/s, sob um ângulo de lançamento θ (sen θ = 0,6; 
cos θ = 0,8), conforme indica a f igura:
hmáx
0
y
A
x
θ
v
v0
Calcule, considerando g = 10 m/s2 e desprezando a inf luência do ar:
a) a intensidade da velocidade v do corpo ao passar pelo vértice do 
arco de parábola;
b) o tempo de subida;
c) a altura máxima (h
máx
);
d) o alcance horizontal (A).
Resolução:
a) A velocidade no ponto mais alto da trajetória é igual à componen-
te horizontal da velocidade inicial:
v = v
0x
 
v = v
0
 · cos θ = 50 · 0,8 ⇒ v = 40 m/s
b) O tempo de subida é dado por:
t
s
 = 
v
0
 · sen θ
g
 = 
50 · 0,6
10
 ⇒ t
s
 = 3 s
212 PARTE II – DINÂMICA
c) A altura máxima é dada por:
h
máx
 = 
v2
0
 · sen2 θ
2g
 = 
502 · 0,62
20
 ⇒ hmáx = 45 m
d) O alcance horizontal é calculado pela expressão:
A = 
v2
0
 
g
 · 2sen θ · cos θ
A = 50
2
10
 · 2 · 0,6 · 0,8 ⇒ A = 240 m
35 Em um campo de futebol, uma bola foi chutada no instante 
t
0
 = 0, adquirindo uma velocidade inicial v
0
. As componentes dessa 
velocidade na horizontal e na vertical valem v
0x
 = 24 m/s e v
0y
 = 18 m/s 
respectivamente.
A 
0 
t0 = 0 
H 
y 
x 
v0 v0y
v0x
Desprezando a resistência do ar e considerando g = 10 m/s2, calcule:
a) a velocidade da bola no ponto mais alto de sua trajetória;
b) o instante t
s
 em que a bola passa pelo ponto mais alto de sua tra-
jetória;
c) a altura máxima H;
d) o alcance horizontal A.
Resolução:
a) v = v
0x
 = 24 m/s
b) v
y
 = v
0y
 – g t ⇒ 0 = 18 – 10 t
s
 ⇒ t
s
 = 1,8 s
c) v2
y
 = v2
0 y
 – 2 g Δy ⇒ 02 = 182 – 20 H ⇒ H = 16,2 m
d) Δx = v
0x
 t ⇒ A = v
0x
 · 2 t
s
 = 24 · 3,6 ⇒ A = 86,4 m
Respostas: a) 24 m/s; b) 1,8 s; c) 16,2 m; d) 86,4 m
36 Um canhão dispara projéteis com velocidade de módulo 300 m/s, 
estando situado em amplo terreno plano e horizontal. Sendo g = 10 m/s2 e 
desprezando inf luências do ar no movimento dos projéteis, determine 
a região desse terreno onde, certamente, eles não cairão.
Resolução:
A
máx
 = 
v2
0
 
g
 · 1 = 300
2
10
 ⇒ A
máx
 = 9 000 m = 9 km
Resposta: Fora do círculo de 9 km de raio e centro no ponto de 
lançamento.
37 Da superfície da Terra, dá-se um tiro de canhão com ângulo de 
tiro θ
0
 (ascendente) e velocidade v
0
 (na boca do canhão). Despreze os 
efeitos do ar. É incorreto af irmar que:
a) a velocidade do projétil varia de ponto a ponto da trajetória, mas 
tem componente horizontal invariável.
b) na Lua, com o mesmo θ
0
 e a mesma v
0
, o alcance horizontal seria maior.
c) aumentando-se θ
0
 (de 0 a 90°), a f lecha da trajetória (altura máxima) 
aumenta.
d) entre a boca do canhão e o vértice da trajetória, qualquer plano hori-
zontal é atravessado duas vezes com velocidades de módulos iguais.
e) o alcance horizontal depende da massa do projétil.
Resolução:
a) Correta.
b) Correta. A = 
v2
0
 
g
 sen 2θ: g menor ⇒ A maior.
c) Correta. h
máx
 = 
v2
0
 sen2 θ
0
2g
: sen θ
0
 maior ⇒ h
máx
 maior.
d) Correta. A componente v
0x
 é igual nas duas posições e a componen-
te v
0y
 tem o módulo nas duas posições.
e) Incorreta.
Resposta: e
38 Um sapo, colocado em cima de um muro, salta no instante 
t
0
 = 0 e chega ao ponto P do solo, como representa a f igura.
3,2 m 
P
y
x
t0 = 0
0
2,4 m 
3,6 m 
Desprezando a inf luência do ar e considerando g igual a 10 m/s2, 
calcule:
a) o módulo da componente vertical da velocidade inicial do sapo;
b) o instante t em que ele atinge o solo;
c) o módulo da componente horizontal da velocidade do sapo.
Resolução:
a) No ponto de altura máxima: y = 3,2 m e v
y
 = 0:
 v2
y
 = v2
0y
 – 2 g (y – y
0
) ⇒ 02 = v2
0y
 – 20 (3,2 – 2,4) ⇒ v0y
 = 4,0 m/s
b) No solo, y = 0:
 y = y
0
 + v
0y
 t – g t
2
2
 ⇒ 0 = 2,4 + 4 t – 5 t2 ⇒ t = 1,2 s
c) Na horizontal: x = x
0
 + v
x
 t
 3,6 = v
x
 · 1,2 ⇒ v
x
 = 3,0 m/s
Respostas: a) 4,0 m/s; b) 1,2 s; c) 3,0 m/s
39 (Puccamp-SP) Um projétil é lançado segundo um ângulo de 
30° com a horizontal, com uma velocidade de 200 m/s. Supondo a 
aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando a resistência 
do ar, calcule o intervalo de tempo entre as passagens do projétil pe-
los pontos de altura 480 m acima do ponto de lançamento. (Dados:
sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87.)
Resolução:
30º
480
v0y
v0x
v0
t1 t2
0
t0 = 0
y (m)
x
213Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
 • y
0
 = 0
 • v
0y
 = v
0
 sen 30º = 200 · 1
2
 ⇒ v
0y
 = 100 m/s
 • y = y
0
 + v
0y
 t – g t
2
2
 ⇒ 480 = 100 t – 5 t2 ⇒ t
1
 = 8 s e t
2
 = 12 s
 • Δt = t
2
 – t
1
 ⇒ Δt = 4 s
Resposta: 4 s
40 Um trem de brinquedo, movendo-se com velocidade constante 
sobre trilhos retilíneos e horizontais, vai passar pelo túnel AB.
A B
Uma mola comprimida e disposta verticalmente lança para cima uma 
bola de aço, que sai pela chaminé do trem quando esta está prestes a 
entrar no túnel. Sabendo que a inf luência do ar nesse experimento é 
desprezível e que o alcance horizontal da bola é ligeiramente maior 
que o comprimento AB do túnel (a bola não colide com o túnel), anali-
se as seguintes af irmações:
01. A trajetória da bola em relação aos trilhos é parabólica.
02. A trajetória da bola em relação ao trem é retilínea e vertical.
04. A velocidade vetorial inicial da bola, em relação aos trilhos, é 
vertical.
08. No ponto de altura máxima, a velocidade da bola é nula em rela-
ção aos trilhos.
16. No ponto de altura máxima, a velocidade da bola é nula em rela-
ção ao trem, mas, em relação aos trilhos, é igual à do trem.
32. Quando o trem está saindo do túnel, a bola cai em sua chaminé.
64. O valor aproximado do comprimento AB do túnel pode ser cal-
culado multiplicando-se a velocidade v do trem pelo tempo T 
durante o qual a bola esteve em movimento livre.
Dê como resposta a soma dos números associados às af irmações 
corretas.
Resolução:
São corretas as af irmações 01, 02, 16, 32 e 64.
Resposta: 115
41 No instante t
0
 = 0, uma pedra A, de massa M, foi abandonada a 
partir do repouso, de uma altura h = 80 m. Nesse mesmo instante, uma 
pedra B, de massa 2M, foi lançada horizontalmente com velocidade 
v
0B
 = 30 m/s, a partir da mesma altura h = 80 m.
A B
t
h = 80 m h = 80 m
t0 = 0 t0 = 0
Chão plano e horizontal d
v0A = 0
v0B = 30 m/s
Desprezando inf luências do ar e considerando g = 10 m/s2:
a) calcule o instante t em que a pedra A chega ao chão;
b) calcule a distância d percorrida pela pedra B, na horizontal, até che-
gar ao chão;
c) calcule o módulo da velocidade da pedra A imediatamente antes 
de tocar o chão;
d) determine os módulos das componentes horizontal (v
x
) e vertical (v
y
) 
da velocidade da pedra B imediatamente antes de ela tocar o chão.
Resolução:
a) Δs = g t
2
2
 ⇒ 80 = 5 t2 ⇒ t = 4 s 
b) Δx = v
0B
 t ⇒ d = 30 · 4 ⇒ d = 120 m
c) v = g t ⇒ v = 10 · 4 ⇒ v = 40 m/s
d) v
x
 = v
0B
 ⇒ vx = 30 m/s
 v
y
 = v ⇒ vy = 40 m/s
Respostas: a) 4 s; b) 120 m; c) 40 m/s; d) 30 m/s e 40 m/s, 
respectivamente.
42 De uma mesma altura h e no mesmo instante t
0
 = 0, uma 
bola A é abandonada a partir do repouso e outra bola, B, é lançada 
horizontalmente.
Solo
hh
A B
As bolas A e B atingem o solo nos instantes t
A
 e t
B
, com velocidades 
de módulos v
A
 e v
B
 respectivamente. Desprezando inf luências do ar, é 
correto af irmar que:
a) t
A
 = t
Be v
A
 = v
B
. d) t
A
 = t
B
 e v
B
 > v
A
. 
b) t
B
 > t
A
 e v
B
 > v
A
. e) t
A
 = t
B
 e v
B
 < v
A
.
c) t
B
 > t
A
 e v
B
 = v
A
.
Resposta: d
43 (Vunesp-SP) Duas pequenas esferas idênticas, 1 e 2, são lança-
das do parapeito de uma janela, perpendicularmente à parede, com 
velocidades horizontais v
1
 e v
2
, com v
2
 > v
1
, como mostra a f igura, e 
caem sob a ação da gravidade.
Parede
1
2
Parapeito
Solo
(v2 > v1)
v2
v1
A esfera 1 atinge o solo num ponto situado à distância x
1
 da parede, t
1
 
segundos depois de abandonar o parapeito, e a esfera 2, num ponto 
situado à distância x
2
 da parede, t
2
 segundos depois de abandonar o 
parapeito. Desprezando a resistência oferecida pelo ar e considerando 
o solo plano e horizontal, podemos af irmar que:
a) x
1
 = x
2
 e t
1
 = t
2
. d) x
1
 > x
2
 e t
1
 < t
2
.
b) x
1
 < x
2
 e t
1
 < t
2
. e) x
1
 < x
2
 e t
1
 = t
2
.
c) x
1
 = x
2
 e t
1
 > t
2
.
Resposta: e
214 PARTE II – DINÂMICA
44 (Cesgranrio-RJ) A f igura mostra as fotograf ias estroboscópicas 
dos movimentos de duas bolas. A velocidade inicial da primeira é nula 
(no ponto P) e a segunda tem velocidade inicial paralela ao eixo x (no 
ponto Q). A frequência do estroboscópio é desconhecida.
y
x
QP
0
Qual (quais) das seguintes af irmações pode(m) ser verif icada(s) por 
uma simples análise das fotograf ias?
 I. A aceleração de cada bola é paralela ao eixo y.
 II. As duas bolas caem com acelerações iguais.
 III. As bolas têm massas iguais.
a) I somente. 
b) I e III somente. 
c) II e III somente.
d) I, II e III.
e) I e II somente.
Resolução:
Pela análise das fotograf ias:
• percebemos que as velocidades das duas bolas só variam na direção 
do eixo y; portanto, a aceleração vetorial de cada bola é paralela a 
esse eixo (como sabemos, a aceleração é g ).
• percebemos que os movimentos das bolas são idênticos na direção 
do eixo y; portanto, suas acelerações são iguais.
• nada podemos concluir a respeito das massas das bolas (como sa-
bemos, as massas das bolas não inf luem nas características desses 
movimentos, desde que livres).
Resposta: e
45 A f igura representa a fotograf ia estroboscópica de uma bola 
lançada horizontalmente nas proximidades da Terra:
Sendo a = 1 m e c = 4 m, calcule b e d.
a
b
c d
Resolução:
• Movimento uniforme na horizontal: d = c = 4 m
• Queda livre na vertical: b = 3 a ⇒ b = 3 m
Respostas: b = 3 m; d = 4 m
46 Um avião que voa em linha reta, paralelamente ao solo, suposto 
plano e horizontal, tem velocidade constante de módulo 80 m/s. Em de-
terminado instante, uma escotilha é aberta e larga-se uma bomba, que 
desce ao solo. Despreze a resistência do ar. Considerando g = 10 m/s2 e 
assumindo para a altura do avião o valor 2,0 · 103 m, determine:
a) a distância percorrida pela bomba, na horizontal, desde o instante 
em que foi solta até o instante em que chegou ao solo;
b) a distância entre o avião e a bomba no instante em que esta toca o 
solo;
c) as formas das trajetórias da bomba em relação ao avião e em rela-
ção ao solo.
Resolução:
0
x
2,0 · 103
t0 = 0 v0 = 80 m/s
y (m)
d
t = tq
a) • Δy = g t
2
2
 ⇒ 2,0 · 103 = 5 t2
q
 ⇒ t
q
 = 20 s
 • d = v
0
 t
q
 = 80 · 20 ⇒ d = 1,6 · 103 m
b) Como o avião e a bomba estão na mesma vertical, a distância entre 
eles é igual a 2,0 · 103 m.
c) Segmento de reta vertical e arco de parábola, respectivamente.
Respostas: a) 1,6 · 103 m; b) 2,0 · 103 m; c) Em relação ao avião, 
segmento de reta vertical. Em relação ao solo, arco de parábola.
47 Uma pequena esfera de chumbo rola sobre uma mesa de
80 cm de altura, caindo dela como indica a f igura. Admita que o mó-
dulo da aceleração da gravidade no local seja de 10 m/s2 e despreze a 
resistência do ar.
1,20 m 
Calcule a velocidade da esfera:
a) ao abandonar a mesa; b) ao se chocar com o chão.
Resolução:
a) • h = 0,80 m
 • h = 
g t2
q
2
 ⇒ 0,80 = 5 t2
q
 ⇒ t
q
 = 0,40 s
 • Δx = v
0
 t ⇒ 1,20 = v
0
 · 0,40 ⇒ v
0
 = 3,0 m/s
b) • v
x
 = v
0
 = 3,0 m/s
 • v
y
 = g t
q
 = 10 · 0,40 ⇒ v
y
 = 4,0 m/s
 • v2 = v2
x
 + v2
y
 ⇒ v = 5,0 m/s
Respostas: a) 3,0 m/s; b) 5,0 m/s
215Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
48 Um projétil é lançado obliquamente na condição de máximo 
alcance horizontal. Compare esse alcance com a máxima altura atingida 
em relação ao nível do ponto de lançamento. Despreze a inf luência do ar.
Resolução:
 • A
máx
 = 
v2
0
 
g
 · 1 = 
v2
0
 
g
 • h
máx
 = 
v2
0
 · sen2 θ
2g
 = 
v2
0
 
2
2
 
2
2g 
 = 
v2
0
 
4g
Portanto: Amáx = 4 hmáx 
Resposta: O alcance horizontal é o quádruplo da altura máxima.
49 (UFPE) Dois bocais de mangueiras de jardim, A e B, estão f ixos 
ao solo. O bocal A é perpendicular ao solo e o outro está inclinado de 
60° em relação à direção de A. Correntes de água jorram dos dois bo-
cais com velocidades de módulos idênticos. Qual a razão entre as altu-
ras máximas de elevação da água?
Resolução:
θ = 30º
60º
A B
A: h
máxA
 = 
v2
0
 
2g
B: h
máxB
 = 
v2
0
 sen2 θ
2g
 = 
v2
0
 
1
2
 
2
2g 
 = 1
 
4
 h
máxA
h
máxA
 
h
máxB
 = 4
Resposta: 
h
máxA
 
h
máxB
 = 4
50 (UFV-MG) A f igura abaixo mostra três trajetórias de uma bola de 
futebol que é chutada de um mesmo ponto.
a b c
Sejam “t” o tempo de permanência da bola no ar, “V
v
” a componente 
vertical da velocidade inicial da bola e “V
h
” a componente horizontal 
da velocidade inicial. Em relação a essas três grandezas físicas e consi-
derando as três trajetórias a, b e c anteriores, livres da resistência do ar, 
pode-se concluir que:
a) t
a
 < t
b
 < t
c
, V
va
 = V
vb
 = V
vc
, V
ha
 = V
hb
 = V
hc
.
b) t
a
 = t
b
 = t
c
, V
va
 < V
vb
 < V
vc
, V
ha
 < V
hb
 = V
hc
.
c) t
a
 = t
b
 = t
c
, V
va
 = V
vb
 = V
vc
, V
ha
 < V
hb
 < V
hc
.
d) t
a
 = t
b
 = t
c
, V
va
 = V
vb
 = V
vc
, V
ha
 > V
hb
 > V
hc
.
e) t
a
 < t
b
 < t
c
, V
va
 < V
vb
 < V
vc
, V
ha
 = V
hb
 > V
hc
.
Resolução:
h
máx
 = 
v2
0 y
2 g
 : como h
máx
 é igual nas três situações, então v
0y
 também é.
t
s
 = 
v
0 y
g
 : como v
0y
 é igual nas três situações, então os tempos de 
subida e os tempos totais também são.
Quanto maior for o deslocamento horizontal no mesmo intervalo de 
tempo, maior será a intensidade da componente horizontal da velo-
cidade.
Resposta: c
51 E.R. No instante t
0
 = 0, um projétil é atirado para cima com 
ângulo de 45° em relação à horizontal, com velocidade de mó-
dulo 80 2 m/s. Desprezando a inf luência do ar e considerando 
g = 10 m/s2, determine:
a) o(s) instante(s) em que o projétil encontra-se a 140 metros acima 
do plano horizontal de lançamento;
b) o módulo da velocidade do projétil no instante t = 2 s.
Resolução:
Adotemos o sistema de eixos representado na f igura a seguir:
0
y
xv0x
v0y
θ
v0
Temos:
v
0
 = 80 2 m/s
x
0
 = 0, y
0
 = 0
θ = 45°
g = 10 m/s2
v
0x
 = v
0
 · cos θ = 80 2 · 2
2
 ⇒ v
0x
 = 80 m/s
v
0y
 = v
0
 · sen θ = 80 2 · 2
2
 ⇒ v
0y
 = 80 m/s
a) No eixo y, podemos escrever:
y = y
0
 + v
0y
 t – 
g
2 t
2
y = 80t – 5t2Queremos saber quando y vale 140 m:
140 = 80t – 5t2 ⇒ t2 – 16t + 28 = 0
 Assim, obtemos:
t
1
 = 2 s (durante a subida)
e
t
2
 = 14 s (durante a descida)
b) Em qualquer instante do movimento, a velocidade segundo o 
eixo x é igual a v
0x
:
v
x
 = v
0x
 = 80 m/s
216 PARTE II – DINÂMICA
Segundo o eixo y, a velocidade varia com o tempo, de acordo 
com a função:
v
y
 = v
0y
 – g t
v
y
 = 80 – 10t
 Para t = 2 s:
v
y
 = 80 – 10 · 2 ⇒ v
y
 = 60 m/s
t = 2 s 
vy
vx
v
 Aplicando o Teorema de Pitágoras, vem:
v2 = v2
x
 + v2
y
 = 802 + 602 = 10 000
v = 100 m/s
52 Um jogador de futebol, após driblar o goleiro, encontra-se no 
ponto J indicado na f igura e chuta em direção ao meio do gol, como 
sugere a linha tracejada, com a meta completamente desguarnecida. 
Use g = 10 m/s2; sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87.
J
8,7 m
Sabendo que a bola, ao ser chutada, sai com velocidade de 20 m/s, 
formando 30° com o gramado, e que a altura da trave é de 2,44 m, 
diga, justif icando com cálculos, se o gol aconteceu ou não. Despreze 
a inf luência do ar.
Resolução:
y (m)
x (m)v0x
v0
0 8,7
30º
v0y
• v
0x
 = v
0
 cos 30º = 20 · 0,87 ⇒ v
0x
 = 17,4 m/s
 v
0y
 = v
0
 sen 30º = 20 · 0,50 ⇒ v
0y
 = 10 m/s
• Calculemos o instante em que a bola passa por x = 8,7 m:
 x = x
0
 + v
x
 t
 8,7 = 0 + 17,4 · t ⇒ t = 0,50 s
• Calculemos a ordenada y da bola nesse mesmo instante:
 y = y
0
 + v
0y
 t – 
g
2
 t2 
 y = 0 + 10 · 0,50 – 10
2
 · 0,502 ⇒ y = 3,75 m
Como 3,75 m é maior que a altura da trave, o gol não aconteceu.
Resposta: Não aconteceu.
53 (Uf la-MG) Uma pessoa caminha numa trajetória retilínea e hori-
zontal a uma velocidade constante de módulo 0,80 m/s. Ela arremessa 
para cima, regularmente, uma bolinha e torna a pegá-la na mesma 
altura do lançamento anterior. A cada arremesso, a bolinha atinge a 
altura de 1,25 m (considere g = 10,0 m/s2). Quantos metros a pessoa 
caminhou até concluir 10 arremessos?
a) 7,0 m. c) 8,0 m. e) 8,5 m.
b) 7,5 m. d) 8,3 m.
Resolução:
Em cada arremesso, temos, em relação ao solo:
y
xvx = 0,80 m/s
A
v0y
vy = 0
hmáx = 1,25 m t = Tt = 0
0
t = ts
• v2
y
 = v2
0y
 – 2 g Δy
 02 = v2
0y
 – 20,0 · 1,25 ⇒ v
0y
 = 5,0 m/s
• v
y
 = v
0y 
 – g t
 0 = 5,0 – 10,0 t
s
 ⇒ t
s
 = 0,50 s ⇒ T = 1,0 s
• Δx = v
x 
t
 A = v
x
 T = 0,80 · 1,0 ⇒ A = 0,80 m
 Em 10 arremessos:
 Δx = 10 A = 10 · 0,80 ⇒ Δx = 8,0 m
Resposta: c
54 O canhão da f igura dispara um projétil com velocidade inicial de 
módulo igual a v
0
, atingindo um alvo estacionário situado em P:
45°
240 m 
200 m 
P
v0
Desprezando a inf luência do ar e supondo g = 10 m/s2:
a) calcule v
0
;
b) diga se, ao atingir o alvo, o projétil está em movimento ascendente 
ou descendente.
Resolução:
a) Temos:
x = v
0
 cos 45° t ⇒ x = 
v
0
 2
2
 t (I)
y = y
0
 + v
0y
 t – 
g
2
 t2 ⇒ y = v
0
 sen 45° t – 5 t2
y = 
v
0
 2
2
 · t – 5 t2 (II)
Ao atingir o alvo, temos, no mesmo instante, x = 240 m e y = 200 m.
217Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
Em (I):
240 = 
v
0
 2
2
 · t ⇒ t = 480
v
0
 2
Em (II):
200 = 
v
0
 2
2
 480
v
0
 2
 – 5 
480
v
0
 2
2
200 = 240 – 5 480
2
2 v2
0
 ⇒ 5 480
2
2 v2
0
 = 40
v2
0
 = 480
2
16
 ⇒ v
0
 = 480
4
 ⇒ v0 = 120 m/s
b) Ao atingir o alvo:
t = 480
v
0
 2
 = 480
120 2
 ⇒ t = 4
2
 s
v
y
 = v
0y
 – g t = v
0
 2
2
 – 10 t
v
y
 = 120 2
2
 – 10 4
2
 ⇒ v
y
 = 40 2 m/s
Como v
y
 > 0, o movimento é ascendente.
Respostas: a) 120 m/s; b) Ascendente
55 E.R. Um avião em movimento retilíneo e uniforme, com velo-
cidade de módulo v
A
, mantém-se a uma altura H em relação ao solo, 
plano e horizontal:
vA
vp
θ
Solo
H
No solo, existe um canhão que dispara com a f inalidade de atingir 
o avião exatamente quando ambos se situam na mesma vertical. A 
velocidade de lançamento do projétil tem módulo v
P
 e o ângulo de 
lançamento é θ. Desprezando inf luências do ar e as dimensões do 
canhão e do avião, estabeleça as condições para que o projétil atinja 
o alvo. Considere g o módulo da aceleração da gravidade no local.
Resolução:
A primeira condição que devemos impor é a igualdade entre os mó-
dulos da velocidade do avião e da componente horizontal da veloci-
dade do projétil:
v
A
 = v
p
 · cos θ
Isso signif ica que, para o projétil atingir o avião nas condições do 
problema, é necessário que ambos se movam com a mesma rapidez 
segundo a horizontal. Isso, entretanto, não basta, pois é possível que 
o projétil f ique sempre abaixo do avião. Por isso, devemos impor 
também que a altura máxima do projétil (H
P
) seja maior que a altura 
do voo (H) ou igual a ela:
H
P
 � H ⇒ 
v2
P
 · sen2 θ
2g
 � H
Como 0 < θ < 90°:
v
p
 � 
2g H
sen θ
56 (FEI-SP) Um objeto voa numa trajetória retilínea, com velocidade 
v = 200 m/s, numa altura H = 1 500 m em relação ao solo. Quando o 
objeto passa exatamente na vertical de uma peça de artilharia, essa dis-
para um projétil, num ângulo de 60° com a horizontal. O projétil atinge o 
objeto decorrido o intervalo de tempo Δt. Adote g = 10 m/s2 e calcule:
a) a velocidade de lançamento do projétil;
b) o menor intervalo de tempo Δt em que o projétil atinge o objeto.
Resolução:
60º
1 500
v0y
v
v0x
v0
te
0
t0 = 0
t0 = 0
y (m)
x
a) v
0x
 = v
0
 cos 60º = v ⇒ v
0 
· 1
2
 = 200 ⇒ v
0
 = 400 m/s
b) y = y
0
 + v
0Y 
t – 
g t2
2
 ⇒ 1 500 = 400 3
2
 t
e 
– 5 t2
e 
⇒ t
emenor 
= 4,6 s
 Δtmenor = 4,6 s
Respostas: a) 400 m/s; b) 4,6 s
57 (Unicamp-SP) Um carro, a uma velocidade constante de 
18 km/h, está percorrendo um trecho de rua retilíneo. Devido a um 
problema mecânico, pinga óleo do motor à razão de 6 gotas por minu-
to. Qual a distância entre os pingos de óleo que o carro deixa na rua?
Resolução:
18 km/h = 5 m/s
6 gotas
60 s
 ⇒ 1 gota a cada 10 s
Δx = v
x
 t = 5 · 10 ⇒ Δx = 50 m
Resposta: 50 m
58 E.R. Uma esteira transportadora lança minério horizontal-
mente com velocidade v
0
. Considere desprezível a inf luência do ar e 
adote g = 10 m/s2.
18 m 2,0 m
H = 3,2 m 
v0
a) Determine o intervalo das intensidades de v
0
 para que o minério 
caia dentro da carroceria do caminhão.
b) Se o desnível H fosse maior, o intervalo citado no item anterior 
aumentaria, diminuiria ou permaneceria o mesmo?
218 PARTE II – DINÂMICA
Resolução:
a) O tempo de queda do minério é dado por:
t
q
 = 2H
g
 = 2 · 3,2
10
 ⇒ t
q
 = 0,8 s
 A distância d percorrida pelo minério, na horizontal, durante a 
queda, é igual a v
0
 t
q
:
d = v
0
 t
q
 = v
0
 · 0,8
 Devemos ter:
2,0 m < d < 20 m ⇒ 2,0 < v
0
 · 0,8 < 20
 Dividindo por 0,8 todos os termos da última expressão, obtemos:
2,5 m/s < v
0
 < 25 m/s
b) Temos que:
2,0 < d < 20
 em que d = v
0
 t
q
 = v
0
 2H
g
 
 Então:
2,0 < v
0
 2H
g
 < 20
 Multiplicando todos os termos por 
g
2H
, vem:
2,0 
g
2H
 < v
0
 < 20 
g
2H
 Então, a “largura” do intervalo é igual a 18 
g
2H
.
 Portanto, se H fosse maior, o intervalo diminuiria.
59 Na situação esquematizada, a esteira lança horizontalmente as 
caixas, que devem ir diretamente para a vala.
4,8 m 
2,4 m 
3,2 m 
Vala
Considerando g = 10 m/s2 e desprezando inf luências do ar, determi-
ne o intervalo dos valores v dasvelocidades com que as caixas devem 
ser lançadas.
Resolução:
• Tempo para uma caixa cair 3,2 m, na vertical:
 t
q
 = 2 h
g
 = 2 · 3,2
10
 ⇒ t
q
 = 0,80 s
• Decorrido esse tempo, o deslocamento horizontal da caixa deve ser 
menor que 4,8 m e maior que 2,4 m:
 Δx = v t
q
 = v · 0,80
 2,4 < v · 0,80 < 4,8 ⇒ 3,0 m/s < v < 6,0 m/s
Resposta: 3,0 m/s < v < 6,0 m/s
60 (UFV-MG) Um avião de carga voa a uma altitude h igual a 320 m, 
à velocidade de 100 m/s. Ele deixa cair um pacote que deve atingir um 
barco se deslocando a 20 m/s na mesma direção e sentido do avião. A 
que distância horizontal x, atrás do barco, o avião deverá abandonar o 
pacote? Considere g = 10 m/s2 e despreze inf luências do ar no movi-
mento do pacote.
h
x
Resolução:
Tempo de queda do pacote:
t
q
 = 2 h
g
 = 2 · 320
10
 ⇒ t
q
 = 8 s
Considerando-se os movimentos na horizontal e tomando-se um refe-
rencial no barco, a velocidade do pacote é constante, de módulo igual a 
80 m/s (100 m/s – 20 m/s):
Pacote Barcov = 80 m/s
x
v = xΔt ⇒ 80 = 
x
8
 ⇒ x = 640 m
Resposta: 640 m
61 (Olimpíada Brasileira de Física) Dois rapazes brincam de tênis na 
praia. Um deles dá uma raquetada na bola a 2,45 m de altura e esta sai 
horizontalmente com velocidade de 72 km/h. Qual deve ser a veloci-
dade mínima do outro rapaz, situado inicialmente 20,3 m à frente do 
primeiro, para que consiga aparar a bola antes que ela bata na areia? 
(Adote g = 10 m/s2.)
Resolução:
v0 = 20 m/s
2,45
0
d 20,3 – d
x (m)
y (m)
219Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
• y = 
g t2
2
 ⇒ 2,45 = 5 t2
q 
⇒ t
q 
= 0,70 s
• Δx = v
0
 t
 d = v
0
 t
q
 = 20 · 0,70 ⇒ d = 14 m
• v = 20,3 – 14
0,70
 ⇒ v = 9,0 m/s
Resposta: 9,0 m/s
62 De uma nave estacionária, a 24 m de altura em relação ao solo 
plano e horizontal de um planeta K, uma esfera metálica é lançada 
horizontalmente com ve-
locidade v
0
. Sabe-se que 
a atmosfera do planeta 
praticamente não inf lui no 
movimento da esfera. As 
coordenadas x e y da esfe-
ra são lidas no sistema de 
referência representado na 
f igura ao lado e variam com 
o tempo t conforme os gráf icos:
0
x (m)
t (s)
40
2 0 t (s)2
Arco de
parábola
y (m)
24
a) Calcule os módulos da velocidade inicial da esfera e da aceleração 
da gravidade na superfície do planeta K.
b) Represente a trajetória da esfera no sistema de referência dado.
Resolução:
a) Do gráf ico x × t:
v
0
 = v
x
 = ΔxΔt = 
40
2
 ⇒ v0 = 20 m/s
 Do gráf ico y × t:
t
q
 = 2 h
g
 ⇒ 2 = 2 · 24
g
 ⇒ g = 12 m/s2
b) y = 0 ⇒ t = 2 s ⇒ x = 40 m
y (m)
24
40 x (m)
Arco de
parábola
0
Respostas: a) 20 m/s e 12 m/s2
 b) y (m)
x (m)
24
0 40
Arco de
parábola
63 (Fuvest-SP) A f igura abaixo representa as velocidades em fun-
ção do tempo de dois corpos que executam movimentos verticais. O 
do corpo A, de massa M, é descrito por uma linha azul; o do corpo B, 
de massa 3M, por uma linha vermelha. Em um dos intervalos de tempo 
listados abaixo, ambos estão sob a ação exclusiva de um campo gravi-
tacional constante. Tal intervalo é:
a) de 0 a T
1
. d) de T
3
 a T
4
.
b) de T
1
 a T
2
. e) de T
4
 a T
5
.
c) de T
2
 a T
3
.
A
B
T1 T2 T3 T4
v
TT5
Resolução:
Sob a ação exclusiva do campo gravitacional, os dois corpos têm a 
mesma aceleração de módulo g, independentemente de suas massas. 
Então, o intervalo de tempo pedido é aquele em que dois gráf icos são 
segmentos de reta inclinados, paralelos entre si.
Resposta: b
64 Um bloco de chumbo cai do topo de uma torre. Considerando 
desprezível a inf luência do ar e sendo g a intensidade do campo gra-
vitacional, calcule a distância percorrida pelo bloco durante o enésimo 
segundo de queda livre.
Resolução:
v = v
0
 + g t ⇒ v = g t
v
n – 1
 = g (n – 1)
v
n
 = g n
t0 = 0 
v0 = 0 
t = n – 1 
t = n 
s 
d 
• v2
n
 = v2
n – 1
 + 2 g d
 g2 n2 = g2 (n – 1)2 +2 g d
 g n2 = g n2 – 2 g n + g + 2 d
d = 
g (2 n – 1)
2 
Resposta: d = 
g (2 n – 1)
2 
0
y (m)
x (m)
t0 = 0
24
v0
220 PARTE II – DINÂMICA
65 De um telhado caem gotas de chuva separadas por intervalos 
de tempo iguais entre si. No instante em que a quinta gota se despren-
de, a primeira toca o solo. Qual a distância que separa as duas últimas 
gotas consecutivas, nesse instante, se a altura do telhado é de 16 m? 
Não considere a resistência do ar e adote g = 10 m/s2.
Resolução:
Tempo de queda da primeira gota:
t
q
 = 2 h
g
 = 2 · 16
10
t
q
 = 3,2 s
16 m
5ª
4ª
3ª
2ª
d
1ª
Seja T o intervalo de tempo decorrido entre os desprendimentos de 
gotas consecutivas. Temos, então:
t
q
 = 4 T ⇒ T = 3,2
4
d = 
g
2
 T2 = 10
2
 
3,2
16
 ⇒ d = 1 m
Resposta: 1 m
66 (UFC-CE) Um chuveiro, situado a uma altura de 1,8 m do solo, 
indevidamente fechado, deixa cair pingos de água a uma razão cons-
tante de 4 pingos/segundo. No instante em que um dado pingo toca o 
solo, o número de pingos, atrás dele, que já estão a caminho é (valor da 
aceleração da gravidade: g = 10 m/s2):
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
Resolução:
Tempo de queda de um pingo:
t
q
 = 2 h
g
 = 2 · 1,8
10
 ⇒ t
q
 = 0,6 s
Entre as saídas de dois pingos sucessivos, o tempo decorrido é de 1
4
 s, 
ou 0,25 s. Então, em 0,6 s apenas dois outros pingos já se desprende-
ram do chuveiro.
Resposta: c
67 (FGV-SP) Uma pedra cai em um poço e o observador ouve o som 
da pedra no fundo após 9 s. Admitindo uma aceleração de gravidade 
igual a 10 m/s2 e a velocidade do som de 320 m/s, qual a profundidade 
do poço? Despreze a resistência do ar.
Resolução:
Seja H a profundidade do poço.
Tempo de queda da pedra:
t
q
 = 2 H
g
 = 2 H
10
 = H
5
Tempo para o som propagar-se do fundo do poço até o observador:
Δs = v t ⇒ H = 320 t
s
 ⇒ t
s
 = H
320
t
q
 + t
s
 = 9 ⇒ H
5
 + H
320
 = 9 ⇒ H = 320 m
Resposta: 320 m
68 No instante t
0
 = 0, uma esfera de aço (A) é abandonada do topo 
de uma torre muito alta. Após um intervalo de tempo T, uma outra 
esfera de aço (B) é abandonada do mesmo ponto. Sendo g a intensi-
dade do campo gravitacional e supondo desprezível a inf luência do ar, 
represente graf icamente a distância d entre as esferas em função do 
tempo enquanto estiverem em queda livre.
Resolução:
De t
0
 = 0 a t = T: s
A
 = 
g
2
 t2 e s
B
 = 0
d = s
A
 – s
B
 = 
g
2
 t2
A partir de t = T:
s
A
 = 
g
2
 t2 e s
B
 = 
g
2
 (t – T)2
d 
t T 0 
g 
2 
 
T
2 
d = s
A
 – s
B
 = 
g
2
 t2 – 
g
2
 t2 – g t T + 
g T2
2
 ⇒
⇒ d = g T t – 
g T2
2
Resposta: 
d 
t 0 T 
T2
g 
2 
69 Um balão B sobe verticalmente em movimento uniforme a 
2 m/s. No instante (t = 0) em que ele se encontra a 20 m do solo, um 
projétil P é lançado também verticalmente para cima, partindo do solo 
com velocidade v
0
, como mostra a f igura. Desprezando inf luências do 
ar no movimento do projétil, determine v
0
 para que ele alcance o ba-
lão. Considere g = 10 m/s2.
O
t = 0
t = 0
P
B
Solo
s (m)
20
v0
O
s 
t0 = 0 AA
221Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
Resolução:
s
B
 = 20 + 2 t
s
p
 = v
0
 t – 5 t2
s
p
 = s
B
:
20 + 2 t
e
 = v
0
 t
e
 – 5 t2
e
5 t2
e
 + (2 – v
0
) t
e
 + 20 = 0
Δ = (2 – v
0
)2 – 400 � 0
(v
0
 – 2)2 � 400
Como v
0
 � 2 m/s
v
0
 – 2 �20 ⇒ v0 � 22 m/s
Resposta: 22 m/s
70 No instante t
0
 = 0, duas bolinhas de chumbo, A e B, são lan-
çadas verticalmente de um mesmo local situado a uma certa altura 
do solo, com velocidades iniciais de mesmo módulo v
0
: A é lançada 
para cima e B, para baixo. Desprezando a inf luência do ar e sendo 
g a intensidade do campo gravitacional, determine a distância d 
entre as bolinhas em função do tempo t, antes que alguma delas 
toque o solo.
Solo
A 
B 
v0 
v0 
Resolução:
s = s
0
 + v
0
 t + α
2
 t2
s
A
 = v
0
 t – 
g
2
 t2
s
B
 = –v
0
 t – 
g
2
 t2
d = s
A
 – s
B
 = 2 v
0
 t
Resposta: 2 v
0
 t
71 Um projétil é lançado obliquamente com velocidade v
0
 e passa 
pelo ponto de altura máxima com velocidade v . Desprezando a in-
f luência do ar, indique a alternativa em que está mais bem representa-
do o vetor (v – v
0
):
a) d)
c)
b)
e)
Resolução:
v
v0
v
v0
Δv = v – v0
Δv
Lembremos que a componente horizontal de v
0
 é igual a v .
Resposta: c
72 (UFMG) Um cano de irrigação, enterrado no solo, ejeta água a 
uma taxa de 15 litros por minuto com uma velocidade de 10 m/s. A 
saída do cano é apontada para cima fazendo um ângulo de 30° com 
o solo, como mostra a f igura. Despreze a resistência do ar e considere 
g = 10 m/s2, sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,87.
30°
Calcule quantos litros de água estarão no ar na situação em que o jato 
d’água é contínuo do cano ao solo.
Resolução:
O intervalo de tempo decorrido desde quando a água sai do cano até 
o instante em que retorna ao solo é dado por:
T = 
2 v
0
 sen θ
g 
 = 
2 · 10 · 
1
2
10 
 ⇒ T = 1 s
15 litros → 60 s
 x → 1 s
x = 0,25 litro
Resposta: 0,25 litro
73 No instante t
1
, uma pessoa parada na plataforma de uma es-
tação ferroviária joga uma maçã verticalmente para cima, com velo-
cidade inicial de módulo igual a 10 m/s, agarrando-a em seguida, no 
instante t
2
, na mesma altura da qual foi lançada. Enquanto a maçã rea-
lizou esse movimento de sobe-e-desce, um trem passou pela estação 
em movimento retilíneo e uniforme, a 30 m/s. Considerando g igual a 
10 m/s2 e desprezando inf luências do ar, determine, em relação a um 
passageiro sentado no trem, o módulo do deslocamento vetorial da 
maçã entre os instantes t
1
 e t
2
.
Resolução:
Tempo de duração do sobe-e-desce:
T = 2 t
s
 = 2 
v
0
g
 ⇒ T = 2 · 10
10
 ⇒ T = 2 s
Em relação ao passageiro, a maçã realizou um lançamento oblíquo, em 
que v
x
 = 30 m/s e:
|d | = A = vx T = 30 · 2
|d | = 60 m
Resposta: 60 m
A
O
s
v0
v0
B
222 PARTE II – DINÂMICA
74 (UFRN) O experimento ilustrado na f igura a seguir é realizado 
na superfície da Terra. Nesse experimento, uma pessoa lança uma pe-
quena esfera no mesmo instante em que um objeto que estava preso 
no teto é liberado e cai livremente. A esfera, lançada com velocidade 
v
0
, atinge o objeto após um tempo t
g
. Se repetirmos, agora, esse mes-
mo experimento num ambiente hipotético, onde a aceleração local da 
gravidade é nula, o tempo de colisão entre a esfera e o objeto será t
0
.
Esfera sendo
lançada
Objeto
d
h
Ilustração do 
movimento de uma 
esfera lançada por 
um instrumento 
rudimentar 
(zarabatana).
Considerando desprezível a resistência do ar nesses experimentos, 
pode-se af irmar que:
a) t
0
 = t
g
 = d
v
0
. b) t
0
 = t
g
 = h
v
0
. c) t
0
 > t
g
 = d
v
0
. d) t
0
 > t
g
 = h
v
0
.
Resolução:
θ 
d 
D 
v0 
t = 0 
t = tg 
Primeiro experimento:
Δx = v
x
 t ⇒ D = v
0
 cos θ t
g
d cos θ = v
0
 cos θ t
g
 ⇒ tg = 
d
v
0
Segundo experimento:
v
0
 = d
t
0
 ⇒ t
0
 = d
v
0
Resposta: a
75 (Fuvest-SP) Estamos no ano de 2095 e a “interplanetariamen-
te” famosa F iFA (Federação Interplanetária de Futebol Amador) está 
organizando o Campeonato Interplanetário de Futebol, a se realizar 
em MARTE no ano 2100. F icou estabelecido que o comprimento do 
campo deve corresponder à distância do chute de máximo alcan-
ce conseguido por um bom jogador. Na TERRA, essa distância vale 
L 
T
 = 100 m. Suponha que o jogo seja realizado em uma atmosfera 
semelhante à da TERRA e que, como na TERRA, possamos desprezar 
os efeitos do ar e ainda que a máxima velocidade que um bom jo-
gador consegue imprimir à bola seja igual à na TERRA. Suponha que 
M
M
/M
T
 = 0,1 e R
M
/R
T
 = 0,5, em que M
M
 e R
M
 são a massa e o raio de MAR-
TE e M
T
 e R
T
 são a massa e o raio da TERRA.
a) Determine a razão g
M
/g
T
 entre os valores da aceleração da gravida-
de em MARTE e na TERRA.
b) Determine o valor aproximado L
M
, em metros, do comprimento do 
campo em MARTE.
c) Determine o valor aproximado do tempo t
M
, em segundos, gasto 
pela bola, em um chute de máximo alcance, para atravessar o cam-
po em MARTE. (Adote g
T
 = 10 m/s2.)
Resolução:
a) 
g
M
g
T
 = 
G M
M
R 2
M
G M
T
R 2
T
 = 
M
M
M
T
 
R
T
R
M
2
 = 0,1 1
0,5
 
2
g
M
g
T
 = 0,4
b) A = 
v2
0
g
 sen 2θ (A
máx
 ⇒ sen 2θ = sen 90° = 1)
L
T
 = 
v2
0
g
T
L
M
 = 
v2
0
g
M
 ⇒ 
L
M
L
T
 = 
g
T
g
M
 ⇒ 
L
M
100
 = 1
0,4
L
M
 = 250 m
c) O tempo total no lançamento oblíquo é dado por:
 T = 
2 v
0
 sen θ
g 
L
T
 = 
v2
0
g
T
 ⇒ 100 = 
v2
0
10
 ⇒ v
0
 = 10 10 m/s
t
M
 = 
2 v
0
 sen 45°
g
M
 
 = 
2 v
0
 sen 45°
0,4 g
T
 
 = 
2 · 10 10 
2
2
0,4 10 
t
M
 = 5 5 s
t
M
 = 11 s
Respostas: a) 0,4; b) 250 m; c) 11 s
76 (Mack-SP) Da aresta superior do tampo retangular de uma mesa 
de 80 cm de altura, um pequeno corpo é disparado obliquamente, 
com velocidade inicial de módulo 5,00 m/s, conforme mostra a f igura 
abaixo. O tampo da mesa é paralelo ao solo e o plano da trajetória des-
crita, perpendicular a ele.
80 cm 
d 
α 
Figura sem escala 
v0 
223Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
Sabendo que o corpo tangencia a aresta oposta, podemos af irmar que 
a distância d é de:
a) 0,60 m. b) 0,80 m. c) 1,20 m. d) 1,60 m. e) 3,20 m.
Despreze a resistência do ar e considere:
sen α = 0,60; cos α = 0,80; g = 10 m/s2.
Resolução:
t0 = 0 
V0 
0 x 
y 
A 
d 
α 
0,80 m t = T 
V
0X
 = V
0
 cos α = 5,00 · 0,80 ⇒ V0X
 = 4,0 m/s
V
0Y
 = V
0
 sen α = 5,00 · 0,60 ⇒ V0Y
 = 3,0 m/s
A = 
V2
0
g
 2 sen α cos α = 
5,002
10
 · 2 · 0,60 · 0,80 ⇒ A = 2,4 m
y = y
0
 + V
0
Y
 t – 
g t2
2 ⇒ 0 = 0,80 + 3,0 T – 5,0 T
2 ⇒ T = 0,80 s
x = x
0
 + V
0X
 t ⇒ A + d = V
0X
 T
2,4 + d = 4,0 · 0,80
d = 0,80 m
Resposta: b
77 (Faap-SP) As trajetórias dos animais saltadores são, normal-
mente, parabólicas. A f igura mostra o salto de uma rã representado 
em um sistema de coordenadas cartesianas. O alcance do salto é de
4 metros e a altura máxima atingida é de 1 metro. (Adote g = 10 m/s2.)
1
4 x
y
A partir desses dados, pode-se concluir que a trajetória da rã tem 
equação:
a) y = 0,25x2 + x. c) y = –0,25x2 – x. e) y = –2x2 + 8x.
b) y = –0,25x2 + x. d) y = –x2 + 4x. 
Resolução:
A = 
2 V
X
 V
0Y
g
 = 4 ⇒ V
X
 V
0Y
 = 20
h
máx
 = 
V2
0Y
2 g
 = 1 ⇒ V2
0Y
 = 20
 ⇒ V
0Y
 = V
X
 e V2
X
 = 20
x = V
X
 t ⇒ t = xV
X
y = V
0y
 t – 5 t2 = 
V
0Y
V
X
 x – 5
V2
X
 x2Como V
0Y
 = V
X
 e V2
X
 = 20: y = x – 0,25 x2 (SI)
Nota:
• Outra opção seria testar as alternativas b, c, d, e e, buscando aquela para 
a qual x = 2 ⇒ y = 1m e x = 4 m ⇒ y = 0
Resposta: b
78 (Unicamp-SP) Uma bola de tênis rebatida numa das extremi-
dades da quadra descreve a trajetória representada na f igura abaixo, 
atingindo o chão na outra extremidade da quadra. O comprimento da 
quadra é de 24 m. (Adote g = 10 m/s2.)
125,0
62,5
0,0A
lt
u
ra
 (
cm
)
0 4 8 12 16 20 24
rede
Distância (m)
a) Calcule o tempo de voo da bola, antes de atingir o chão. Desconsi-
dere a resistência do ar nesse caso.
b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima?
c) Quando a bola é rebatida com efeito, aparece uma força F
E
, vertical, 
de cima para baixo e igual a 3 vezes o peso da bola. Qual será a velo-
cidade horizontal da bola, rebatida com efeito, para uma trajetória 
idêntica à da f igura?
Resolução:
a) • De x = 8 m a x = 24 m, temos:
 t
q
 = 2 Hg
Como V
X
 é constante, seu valor é o mesmo de x = 0 a x = 8 m e 
de x = 8 m a x = 24 m:
 8 – 0t
S
 = 24 – 8t
q
 ⇒ t
S
 = 
t
q
2
 • t
voo
 = t
q
 + t
S
 = t
q
 + 
t
q
2 = 
3
2 tq ⇒ tvoo = 
3
2 
2 H
g (I)
 t
voo
 = 32 
2 · 1,25
10
t
voo
 = 0,75 s
b) De x = 0 a x = 24 m, por exemplo, temos:
V
X
 = Δx
t
voo
 = 24 m – 0
3
4 s
 ⇒ V
X
 = 32 m/s
c) • Passamos a ter uma gravidade aparente g
ap
 = 4 · g.
 De (I):
 t’
voo
 = 32 
2 H
4 g = 
1
2 tvoo = 
1
2 · 
3
4 ⇒ t’voo = 
3
8 s
 • De x = 0 a x = 24 m:
 
V’
X
 = Δxt’
voo
 = 24
3
8
 ⇒ V’X = 64 m/s
Respostas: a) 0,75 s; b) 32 m/s; c) 64 m/s
224 PARTE II – DINÂMICA
79 Um avião de bombardeio voa horizontalmente em linha reta, à 
altura H, com velocidade v . Para atingir o alvo indicado na f igura, uma 
bomba é solta a partir do repouso em relação ao avião. Desprezando a 
inf luência do ar no movimento da bomba, determine o ângulo θθ, sen-
do g a intensidade do campo gravitacional.
H 
Alvo 
Trajetória 
parabólica 
Linha de 
visada 
θ 
Solo 
v
Resolução:
d 
H 
v 
θ 
t
q
 = 2 Hg ⇒ d = v 
2 H
g
tg θ = dH = 
v 2 Hg
H
 ⇒ tg θ = v 2g H
Resposta: tg θ = v 2g H
80 (Unifesp-SP) É comum vermos, durante uma partida de voleibol, 
a bola tomar repentinamente trajetórias inesperadas logo depois que 
o jogador efetua um saque. A bola pode cair antes do esperado, assim 
como pode ter sua trajetória prolongada, um efeito inesperado para a 
baixa velocidade com que a bola se locomove. Quando uma bola se 
desloca no ar com uma velocidade v, girando com velocidade angular 
ω em torno de um eixo que passa pelo seu centro, ela f ica sujeita a uma 
força F
Magnus
 = k · v · ω. Essa força é perpendicular à trajetória e ao eixo 
de rotação da bola, e o seu sentido depende do sentido da rotação da 
bola, como ilustrado na f igura. O parâmetro k é uma constante que 
depende das características da bola e da densidade do ar.
FMagnus
FMagnus
ωω
v v
Ar Ar
Esse fenômeno é conhecido como efeito Magnus. Represente a ace-
leração da gravidade por g e despreze a força de resistência do ar ao 
movimento de translação da bola.
a) Considere o caso em que o saque é efetuado na direção horizontal 
e de uma altura maior que a altura do jogador. A bola de massa M 
segue por uma trajetória retilínea e horizontal com uma velocidade 
constante v, atravessando toda a extensão da quadra. Quais devem 
ser o sentido e a velocidade angular de rotação ω a serem impres-
sos na bola no momento do saque?
b) Considere o caso em que o saque é efetuado na direção horizontal, 
de uma altura h, com a mesma velocidade inicial v, mas sem impri-
mir rotação na bola. Calcule o alcance horizontal D da bola.
Resolução:
a) 
FMagnus 
P 
v MRU 
ωω
 F
Magnus
 = P ⇒ k v ω = M g
ω = 
M g
k v
(sentido indicado na f igura: anti-horário)
b)
0 
t = 0 
v 
x 
h 
y 
D 
t = tq 
 h = 
g t2
q
2 ⇒ tq = 
2 h
g
D = v t
q
 ⇒ D = v 
2 h
g
Respostas: a) 
M g
k v no sentido anti-horário; b) v 
2 h
g 
81 Uma bola rola do alto de uma escada com velocidade horizontal 
de módulo v
0
 = 4 m/s. Cada degrau tem 50 cm de largura e 50 cm de 
altura.
Desprezando a inf luência do ar, determine que degrau a bola tocará 
primeiro.
45°
1º degrau
g = 10 m/s2 50 cm50 cm
v0
225Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
Resolução:
Arco de parábola 
y = x 
45° x 
y 
Equação da parábola:
x = 4 t ⇒ t = x4
y = 5 t2
y = 5 x
2
16
Interseção da parábola com a reta y = x:
x = 5 x
2
16 ⇒ x = 0 e x = 3,2 m
Portanto, a bola tocará primeiro o sétimo degrau.
Resposta: o sétimo degrau
82 (FCC) Se um pequeno furo for feito na parede vertical de um re-
servatório que contenha um líquido ideal (sem viscosidade), um f ilete 
de líquido escoará pelo furo e sua velocidade inicial terá intensidade 
v = 2g h .
H
h
F G
v
Considere o movimento do f luido como o de um projétil lançado no 
vácuo, desde o furo, com velocidade v . Se desejarmos que o f ilete inci-
da em um ponto G o mais afastado possível de F, a que profundidade 
h o furo deverá ser feito?
Resolução:
H – h
V
d
d = v 2 (H – h)
g
 = 2 g h 2 (H – h)
g
 = 2 H h – h2
Precisamos do valor de h que torna máxima a função H h – h2:
h = – b
2 a
 = – H
2 (–1)
 ⇒ h = H2
Resposta: h = H2
83 (Aman-RJ) Um pequeno balde contendo água é preso a um leve 
e inextensível f io de comprimento L, tal que L = 0,50 m, sendo af ixado 
a uma altura (H) de 1,0 m do solo (S), como mostra a f igura. À medi-
da que o balde gira numa circunferência horizontal com velocidade 
constante, gotas de água que dele vazam atingem o solo formando um 
círculo de raio R. Considerando 10 m/s2 o módulo da aceleração devida 
à gravidade e θ = 60°, o valor de R será, em metros:
L
H
R
S
θ
a) 17
5
. b) 11
4
. c) 1
3
. d) 21
4
. e) 4
5
.
Resolução:
• 
T 
L 
v 
P 
r 
Fcp 
θ 
θ 
θ 
• r = L sen θ (I)
 tg θ = 
F
cp
P
 ⇒ tg θ = 
m v2
r
m g ⇒ v
2 = r g tg θ
 v2 = L sen θ g tg θ (II)
• 
Gota 
v 
h 
d 
• h = H – L · cos θ
• d = v 2 hg = v · 
2 (H – L cos θ)
g
 d2 = 2 v
2
g (H – L cos θ) (III)
 Substituindo (II) em (III), temos:
 d2 = 
2 L sen θ g tg θ
g · (H – L cos θ)
 d2 = 2 L sen θ tg θ (H – L cos θ) (IV)
226 PARTE II – DINÂMICA
• Olhando de cima:
r R 
d 
 R = r2 + d2
 De (I) e (IV):
 R = L2 sen2 θ + 2 L sen θ tg θ (H – L cos θ)
 R = 1
2
2
 3
4
 + 2 · 1
2
 · 3 
2
 3 · 1,0 – 1
2
 · 1
2
R = 21
4
 m
Resposta: d
84 Uma bolinha A encontra-se em movimento circular e uniforme 
de frequência igual a 30 rpm, num plano horizontal. Uma outra bolinha 
B é abandonada a partir do repouso, de uma altura H, num instante em 
que A e B estão na mesma vertical.
H 
A 
B 
Desprezando a inf luência do ar e considerando g = 10 m/s2, determine 
os valores de H para que a bolinha B acerte a bolinha A.
Resolução:
A frequência de A é f = 30 rpm = 0,5 Hz. Para que B acerte A, o tempo 
de queda de B, t
q
, deve ser igual a n T, em que T é o período de A e 
n = 1, 2, 3, ...
t
q
 = n T
2 · H
g = n T ⇒ H = 
n2 g T2
2
T = 1
f
 = 10,5 ⇒ T = 2 s
H = n
2 10 · 22
2
 ⇒ H = n2 (20 m) (n = 1, 2, 3, ...)
Resposta: n2 · (20 m), em que n = 1, 2, 3, ...85 (Olimpíada Brasileira de Física) Uma bolinha de aço, abandonada 
a 1,0 m de altura de um piso muito duro, realiza um movimento periódi-
co de subida e descida, por tempo indeterminado, se desconsiderarmos 
as perdas de energia mecânica na resistência do ar e nas colisões com 
o solo. De que altura deve-se abandonar, simultaneamente com a pri-
meira, uma segunda bolinha para que a sua terceira colisão com o solo 
coincida com a quinta colisão da primeira bolinha? (Adote g = 10 m/s2.)
Resolução:
Colisões da primeira bolinha:
h1
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 
Colisões da segunda bolinha:
h2
1ª 2ª 3ª
Como o tempo de queda 2 hg é igual ao de subida:
Δt
primeira bolinha
 = 9 2 h1
g
 
 ⇒ 9 2 · 1,0
g
 = 5 2 h2
g
 ⇒ h2 = 3,24 m
Δt
primeira bolinha
 = 5 2 h2
g
 
Resposta: 3,24 m
86 O que se pode af irmar a respeito da trajetória de um ponto 
material, sabendo-se que a resultante das forças que atuam nele é 
constante?
Resolução:
a) Se a força resultante é constante e nula, o ponto material está em 
repouso ou em movimento retilíneo e uniforme. Nesse caso, a tra-
jetória é puntiforme ou retilínea.
b) Se a força resultante é constante e não-nula:
 – a trajetória é retilínea se o ponto material partiu do repouso ou já 
se movia na direção da força resultante quando ela passou a existir. 
É o que ocorre, por exemplo, nos movimentos verticais livres, próxi-
mos ao solo.
 – a trajetória é parabólica se o ponto material já se movia em uma 
direção diferente da direção da força resultante quando ela passou 
a existir. É o que ocorre, por exemplo, nos movimentos livres não-
-verticais, próximos ao solo.
Resposta: A trajetória é um ponto, um segmento de reta ou um arco 
de parábola.
87 Um projétil é lançado obliquamente de um terreno plano e ho-
rizontal, com velocidade inicial de módulo igual a 30 m/s, atingindo 
uma altura máxima de 25 m. Despreze as inf luências do ar e considere 
g = 10 m/s2.
a) Calcule o módulo da mínima velocidade atingida pelo projétil du-
rante seu movimento livre.
b) Uma circunferência tem o mesmo raio de curvatura em qualquer 
um de seus pontos. Uma parábola, entretanto, tem raio de curvatu-
ra variável. Calcule o raio de curvatura da trajetória do projétil, no 
ponto de altura máxima.
227Tópico 5 – Movimentos em campo gravitacional uniforme
Resolução:
a) A velocidade tem módulo mínimo no ponto de altura máxima, local 
em que ela possui apenas a componente horizontal v
x
:
 h
máx
 = 
v2
0Y
2 g
 ⇒ 25 = 
v2
0Y
20
 ⇒ v2
0Y
 = 500
 v2
0
 = v2
0X
 + v2
0Y
 302 = v2
0X
 + 500
 v
0X
 = v
X
 = 20 m/s
v
mín
 = 20 m/s
b) No ponto de altura máxima, temos:
vmín
g
r
 a
cp
 = g ⇒ 
v2
mín
r
 = g ⇒ 20
2
r
 = 10
r = 40 m
Respostas: a) 20 m/s; b) 40 m
88 Uma bolinha de aço é lançada de um ponto P de uma rampa 
inclinada de α em relação à horizontal, com velocidade inicial v
0 
, que 
forma um ângulo θ com a horizontal. Calcule a distância do ponto P ao 
ponto Q, onde a bolinha colide com a rampa. Despreze inf luências do 
ar e considere 
g = 10 m/s2, 
v
0
 = 12 m/s, 
α = 30° e 
No triângulo destacado, temos:
tg α = 
y
Q
x
Q
 ⇒ y
Q
 = x
Q
 tg α = x
Q
 · 3
3
 (4)
(4) em (3):
x
Q
 · 3
3
 = 3 · x
Q
 – 
5x2
Q
36 ⇒ xQ = 
24 3
5
 m
No mesmo triângulo:
cos α = 
x
Q
PQ ⇒ PQ = 
x
Q
cos α
 = 
24 3
5
3
2
PQ = 9,6 m
Resposta: 9,6 m
89 Um corpo de massa m é lançado obliquamente de uma superfície 
plana e horizontal, com velocidade inicial v
0 
, inclinada de θ em relação à 
horizontal. Suponha que, além do peso, atue no corpo uma (única) outra 
força F , horizontal e constante, no sentido da componente horizontal 
de v
0
. Sendo g o campo gravitacional, mostre que o alcance horizon-
tal (A) desse corpo é dado por 
v2
0
 
g
 · sen 2θ 1 + F tg θ
m g
.
Resolução:
A x
y
P
t = T
0
θt0 = 0
v0
F
Na vertical: 
y
0
 = 0
v
0X
 = v
0
 sen θ
α
Y
 = –g
T = 
2 · v
0
 sen θ
g
Na horizontal: 
x
0
 = 0
v
0X
 = v
0
 cos θ
α
X
 = Fm
x = x
0
 + v
0X
 t + 
α
x
2 t
2 ⇒ x = v
0
 cos θ · t + F2m t
2
Em t = T, temos x = A:
A = v
0
 cos θ 
2 v
0
 sen θ
g + 
F
2 m 
4 v2
0
 sen2 θ
g2
A = 
v2
0
g 2 sen θ cos θ + 
2 F v2
0
m g 
sen θ sen θ
g
 cos θ
cos θ
A = 
v2
0
g 2 sen θ cos θ 1 + 
F tg θ
m g
A = 
v2
0
g sen 2θ 1 + 
F tg θ
m g
Resposta: Ver demonstração.
v0y 
v0x 
v0 
Q 
Rampa 
P 
θ 
α 
v0
θ = 60°.
Resolução:
yQ
y
Q
Rampa 
P
v0
xQ x0
x = x
0
 + v
0x
 t ⇒ x = v
0
 cos θ t =
= 12 · 12 t ⇒ x = 6 t ⇒ t = 
x
6
 (1)
y = y
0
 + v
0y
 t – 
g
2
 t
2
 ⇒ y = v
0
 sen θ t – g
2
 t
2 
⇒
⇒ y = 12 · 3
4
 t – 5 t2 ⇒ y = 6 3 t – 5 t2 (2)
(1) em (2):
y = 6 3 · x
6
 – 5 · x
6
2 
⇒ y = 3 x – 5x
2
36
 (3)
228 PARTE II – DINÂMICA
90 O alcance horizontal D de um projétil é o dobro da altura máxi-
ma H atingida por ele, num movimento livre de duração total igual a 
4,0 s. Adotando g = 10 m/s2, calcule:
H
D
θ
Arco de
parábola
a) o ângulo θ de lançamento;
b) o módulo da velocidade inicial;
c) a altura máxima H.
Resolução:
a) • H = 
v2
0y
2g ⇒ H 
v2
0 
sen2 θ
2g
 
 • D = 
v2
0
g 2 sen θ cos θ
 • D = 2 H ⇒ 
v2
0
g 2 sen θ cos θ = 2 
v2
0 
sen2 θ
2g
 ⇒ tg θ = 2
 
θ = arc tg 2
b) • tg θ = 2 ⇒ sen θ
cos θ = 2 ⇒ sen θ = 2 cos θ
 sen2 θ + cos2 θ = 1
 (2cos θ)2 + cos2 θ = 1 ⇒ 5 cos2 θ = 1 ⇒ 
 ⇒ cos θ = 55 , sen θ = 
2 5
5
 • t
s
 = 
v
0y
g = 
v
0 
sen θ
g
 ⇒ 2,0 = 
v
0
 · 
 
2 5
5
10 
⇒ v
0
 = 10 5 m/s
c) H = 
v2
0 
sen2 θ
2g
 = 
(10 5 )2 · 2 55
2
20 
⇒ H = 20 m
Respostas: a) θ = arc tg 2; b) 10 5 m/s (� 22 m/s); c) 20 m
91 Do alto de um forte, um canhão lança uma bala com velocidade 
inicial v
0 
, inclinada de θ em relação à horizontal. 
A
ÁguaO
h
y
t0 = 0
t = T
θ
x
v0
Desprezando inf luências do ar e sendo g a intensidade do campo gra-
vitacional:
a) determine, em função de v
0
, g e h, o ângulo θ
M
 para que o alcance 
horizontal A seja máximo;
b) calcule o ângulo θ
M
 considerando v
0
 = 100 m/s, g = 10 m/s2 e 
h = 200 m. 
Resolução:
a) • x = v
0
 cos θ t ⇒ A = v
0
 cos θ T ⇒ T = A
v
0
 cos θ
 • y = h + v
0
 sen θ T – g t
2
2
 
 0 = h + v
0
 sen θ T – g
2
 T2
 0 = h + v
0
 sen θ · A
v
0
 cos θ – 
g
2
 · A
2
v2
0
 cos2 θ 
 0 = h + A tg θ – g A
2
2 v2
0
 sec2 θ
 0 = h + A tg θ – g A
2
2 v2
0
 (1 + tg2 θ)
 0 = h + A tg θ – g A
2
2 v2
0
 – g A
2
2 v2
0
 · tg2 θ
 
g A2
2 v2
0
a
 · tg2 θ – A
b
 tg θ + g A
2
2 v2
0
 – h
c
 = 0 (l)
 Na equação (1):
 Δ = A2 – 4 g A
2
2 v2
0
 · g A
2
2 v2
0
 – h = A2 – 
g2 A4
v4
0
 + 
2g A2 h
v2
0
 Δ = A2 1 – 
g2 A2
v4
0
 + 
2g h
v2
0
 Para existir tg θ real: Δ � 0
 A2 1 – 
g2 A2
v4
0
 + 
2g h
v2
0
2
 
� 0 ⇒ 1 – 
g2 A2
v4
0
 + 
2g h
v2
0
 � 0
 
g2 A2
v4
0
 
� 1 + 
2g h
v2
0
 
⇒ 
g2 A2
v4
0
 
� 
v2
0
 + 2g h
v2
0
 A � 
v
0
g
 
v2
0 
+ 2g h ⇒ Amáx = 
v
0
g 
v2
0 
+ 2g h
 Sabe-se que A
máx
 corresponde à igualdade