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Lista 6 de Matemática As regras de L´Hospital

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UNIFESP DE OSASCO 
8
a 
 Lista de Exercícios– Prof. Rosângela 
Formas indeterminadas do tipo 0 / 0 e  /  
As regras de L´Hospital 
Teorema 1– Suponha que f e g são funções deriváveis tais que 
 
0)(lim
0


xf
xx
 e 
0)(lim
0


xg
xx
 
Então se o limite 
)´(
)´(
lim
0 xg
xf
xx
 existir e for um número real, +  ou - tem-se que 
)´(
)´(
lim
)(
)(
lim
00 xg
xf
xg
xf
xxxx 

. 
Teorema 2– Suponha que f e g são funções deriváveis tais que 
 


)(lim
0
xf
xx
 e 


)(lim
0
xg
xx
 
Então se o limite 
)´(
)´(
lim
0 xg
xf
xx
 existir e for um número real, +  ou - tem-se que 
)´(
)´(
lim
)(
)(
lim
00 xg
xf
xg
xf
xxxx 

. 
Observação – Os teoremas 1e 2 continuam válidos se substituirmos xx0 por “xx0
+” ou “xx0
-” 
ou “x+ ” ou “x-  +” 
Exercícios 
Calcule os limites 
1) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 
2) 
1
1
lim
3
1 

 x
x
x
 
3) 
1
1
lim
2
4
1 

 x
x
x
 
4) 
23
2
lim
22 

 xx
x
x
 
5) 
3
3
lim
3 

 x
x
x
 
6) 
1
1
lim
5
9
1 

 x
x
x
 
7) 
1
1
lim
3
2
1 

 x
x
x
 
8) 
3
5
1
1
lim
x
x
x 


 
9) 
3
2
1
1
lim
x
x
x 


 
10) 
3
3
1
21
lim
x
x
x 


 
11) 
3
5
1
1
lim
x
x
x 


 
12) 
105
5
lim
5 

 x
x
x
 
13) 
2
6
lim
2
2 

 x
xx
x
 
14) 
2
2
lim
33
2 

 x
x
x
 
15) 
x
xxx
x 3
74
lim
23
0


 
16) 
2
2
11
lim
2 

 x
x
x
 
17) 
2
4
11
lim
2
2 

 x
x
x
 
18) 
1
54
lim
2
2
1 

 x
xx
x
 
19) 
3
3
lim
3 

 x
x
x
 
20) 
1
1
lim
5
1 

 x
x
x
 
21) 
12
133
lim
2
23
1 

 xx
xxx
x
 
22) 
44
1632248
lim
2
234
2 

 xx
xxxx
x
 
23) 
133
1464
lim
23
234
1 

 xxx
xxxx
x
 
24) 
133
12
lim
23
2
1 

 xxx
xx
x
 
25) 
133
12
lim
23
2
1 

 xxx
xx
x
 
26) 
133
12
lim
23
2
1 

 xxx
xx
x
 
27) 
1
ln
lim
1  x
x
x
 
28) 
x
senx
x 0
lim

 
29) 
x
xsen
x
)2(
lim
0
 
30) 
x
xsen
x
)4(
lim
0
 
31) 
x
tgx
x 0
lim

 
32) 
x
xtg
x
)2(
lim
0
 
 
33) 
x
x
x
1cos
lim
0


 
34) 
x
ex
x 
lim
 
35) 
2
lim
x
ex
x 
 
36) 
3
ln
lim
x
x
x 
 
37) 
30
lim
x
xtgx
x


 
38) 
xx
x
lnlim
0
 
39) 
x
tgx
x 
lim
 
40) 
senx
e x
x
1
lim
0


 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1) -2 
2) 3 
3) 2 
4) -1 
5) 
32
1
 
6) 9/5 
7) 2/3 
8) -∞ 
9) 0 
10) -2 
11) -∞ 
12) 
2
 
13) 5 
14) 
3 43
1
 
15) 7/3 
16) -1/4 
17) -1/4 
18) 3 
19) 
32
1
 
20) 5 
21) 0 
22) 0 
23) 0 
24) +∞ 
25) -∞ 
26) -∞ 
27) 1 
28) 1 
29) 2 
30) 4 
31) 1 
32) 2 
33) 0 
34) + 
35) + 
36) 0 
37) 1/3 
38) -2 
39) 0 
40) 1

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