Introdução Cap 4

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Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 36 
 
4 DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE 
ÚLTIMO – SOLICIAÇÕES NORMAIS 
4.1 Introdução 
 Este capítulo apresenta os métodos e considerações utilizadas para dimensionar 
elementos de concreto armado no estado limite último de acordo com os procedimentos 
estabelecidos na NBR 6118 [14]. 
4.2 Hipóteses Básicas 
 A NBR 6118 [14] estabelece hipóteses básicas para o cálculo dos elementos 
lineares sujeitos a solicitações normais nos Estados Limites Últimos. Para o 
dimensionamento das armaduras passivas são consideradas as seguintes hipóteses: 
ƒ as seções transversais se mantêm planas após a deformação (Hipótese de 
Navier); 
ƒ a deformação das barras aderentes, em tração ou compressão, é a mesma do 
concreto em seu entorno; 
ƒ as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser 
desprezadas; 
ƒ a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola 
retângulo definido na seção 3.2.7 com pico igual a cdf85,0 . Permite-se ainda a 
substituição desse diagrama pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a posição da 
linha neutra em relação ao bordo mais solicitado à compressão) com a seguinte 
tensão: 
o cdf85,0 no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha 
neutra, aumentar a partir desta para a borda comprimida; 
o cdf80,0 no caso contrário. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 37 
 
ƒ a tensão nas armaduras será obtida a partir dos diagramas tensão-deformação do 
aço. Segundo NBR 6118 [14], os valores de cálculo utilizados são os definidos 
no item 8.4.5 e 8.3.6, tanto para aços com ou sem patamar de escoamento; 
ƒ o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na 
seção transversal pertencer a um dos domínios de deformações caracterizados 
pelos pólos de ruptura definidos na Figura 18. 
 
 
 
Figura 18: Domínio de deformação. 
4.3 Domínios de Deformações 
 Os domínios de deformação definidos pela NBR 6118 [14] são mostrados na 
Figura 18. 
 O domínio 1 representa a tração não uniforme (cujo caso particular é a tração 
uniforme representada pela reta a). É caracterizado pelas retas representativas do estado 
de deformação da seção transversal passarem necessariamente pelo pólo de ruína C que 
caracteriza o alongamento máximo permitido para a armadura de tração e pelo fato de 
toda a seção de concreto estar tracionada. 
 O domínio 2 representa a flexão simples ou composta sem ruptura à compressão 
do concreto. É caracterizado pelo pólo de ruptura C e pelo fato de existirem fibras de 
concreto comprimidas. A deformação específica da fibra mais comprimida fica 
compreendida entre 0 e o limite cuε . 
 O domínio 3 representa a flexão simples (seção subarmada) ou composta com 
ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço ( yds εε ≥ ). Desta forma, 
este domínio é caracterizado pelo pólo de ruptura A, ou seja, o estado limite último é 
caracterizado pelo esmagamento do concreto e pela deformação da armadura mais 
tracionada se encontrar entre 10‰ e ydε . 
 O domínio 4 representa a flexão simples (peça superarmada) ou composta com 
ruptura à compressão do concreto (caracterizada pelo pólo de ruptura A) e aço 
tracionado sem escoamento ( yds εε ≤ ). 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 38 
 
 O domínio 4a representa a flexão composta com armaduras comprimidas. Este 
domínio é caracterizado pelo pólo de ruína A e por toda armadura estar comprimida. 
 O domínio 5, representa a compressão não uniforme (cujo caso particular é a 
compressão uniforme representada pela reta b). O encurtamento máximo do concreto 
varia de 2‰ na compressão centrada a 3,5‰, mantendo-se sempre o encurtamento de 
2‰ a uma distância de 3h/7 da borda mais comprimida. 
 Conforme SANTOS [25], a divisão dos estados limites últimos em domínios de 
deformação facilita o tratamento teórico, entretanto, do ponto de vista do 
dimensionamento, dos domínios de deformação, só é de interesse as regiões para as 
quais são válidas cada pólo de ruptura, pois é a partir do estabelecimento destes pólos 
que se estabelecem a equação de compatibilidade que caracterizam a deformação 
específica ao longo da seção transversal. Desta forma serão estabelecidas três regiões 
caracterizadas pelos três pólos de ruína. 
 
4.4 Equações de Compatibilidade 
 O princípio básico para o estabelecimento das equações de compatibilidade é o 
de que a Hipótese de Navier seja válida. Desta forma, as deformações ao longo da seção 
transversal do elemento (supostas constantes para retas paralelas à linha neutra) podem 
ser dadas por retas. 
 A equação de uma reta precisa que dois coeficientes sejam definidos. O primeiro 
é dado pela deformação no pólo de ruptura e o segundo pela posição da linha neutra (x). 
Desta forma, é necessário estabelecer três equações de compatibilidade, uma para cada 
região de deformação ou pólo de ruína. Pela hipótese de que há uma aderência perfeita 
entre concreto e armadura, as expressões aqui deduzidas servem para que se obtenha 
tanto a deformação para o concreto como para o aço a uma dada altura (posição). 
 
Figura 19: Domínio de deformação. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 39 
 
 Abaixo são apresentadas as expressões deduzidas em [25] para as equações de 
compatibilidade: 
4.4.1.1 Região I 
 O diagrama de deformações é do tipo apresentado na Figura 20, onde x é a 
posição da linha neutra medida a partir do bordo mais solicitado à compressão. O 
encurtamento na borda mais comprimida (ou superior no caso padrão) é cε e na borda 
inferior 1cε . Todas as deformações são dadas em ‰. 
 
 
Figura 20: Deformações na Região I. 
 
Por semelhança de triângulos na Figura 20 obtém-se a expressão geral da deformação: 
 
hx
dx
37
)(14
−
−=ε (16) 
 
que permite que se calcule a deformação nas duas bordas da seção, cε quando 0=d e 
1cε quando hd = : 
hx
x
c 37
14
−=ε hx
hx
c 37
)(14
1 −
−=ε (17) 
 
4.4.1.2 Região II 
Por semelhança de triângulos na Figura 21 obtém-se a expressão geral: 
 
Figura 21: Deformações na Região II. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 40 
 
 
x
dx −= 5,3ε (18) 
4.4.1.3 Região III 
 
 
Por semelhança de triângulos na Figura 22 obtém-se a expressão geral: 
 
xdh
dx
−−
−=
)(
)(10
,ε (19) 
4.5 Limites entre Domínios 
 Pode-se determinar o valor de x correspondente a cada limite entre dois 
domínios. No dimensionamento das vigas é particularmente necessário o conhecimento 
de x correspondente ao limite entre os domínios 3 e 4 (dimensionamento econômico). 
 
Limite entre domínio 2 e 3: ddx 259,0
105,3
5,3
32 =+=− 
Limite entre domínio 3 e 4:yd
dx ε+=− 5,3
5,3
43 
(20) 
 
Figura 22: Deformações na Região III. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 41 
 
4.6 Tração Simples e Tração com Pequena Excentricidade 
 O dimensionamento de um elemento estrutural, quando solicitado à tração 
simples ou a tração com pequena excentricidade, deve ser analisado pelo domínio I. 
Neste domínio, toda a seção trabalha a tração e toda seção é considerada fissurada, isto 
é, as tensões de tração no concreto são nulas. A linha neutra encontra-se fora da seção 
do elemento ( 0≤x ou hx ≥ , Figura 20). O domínio I é alcançado quando 10=sε ‰ 
na armadura mais tracionada. 
 Partindo-se da condição de equilíbrio ∑ = 0)'( sAM sendo sA a armadura mais 
tracionada, obtém-se: 
edd
ddAN ydsd −−
−=
)'(
'f 
 
e da verificação da tensão na armadura s'σ partindo-se da condição de equilíbrio 
0=∑F , obtém-se: 
s
ydsd
s A
AN
'
f
'
−=σ 
 
 
 Para o dimensionamento de sA e sA' , a situação mais econômica ocorre quando 
ydss f' == σσ . Então a partir da condição de equilíbrio ∑ = 0)'( sAM obtém-se: 
 
)'(
)'(
f dd
eddNA
yd
d
s −
−−= (21) 
 
 A armadura sA' é obtida a partir da outra condição de equilíbrio ∑ = 0)( sAM : 
 
d
x<0
h
seção 
transversal
R'sd
Rsd
sε'
resultante 
de tração
N
elemento 
solicitado à flexão
C.G.
d
A s
A's
e sε =10%o
ydε
d'
sσ'
f yd
f yd
00
L.N.
deformações diagrama de 
tensões
 
Figura 23: Distribuição das tensões e deformações no aço (domínio I). 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 42 
 
)'(f
'
dd
eNA
yd
d
s −= (22) 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 43 
 
4.7 Flexão Simples 
4.7.1 Seções Retangulares com Armadura Simples 
 A determinação dos esforços resistentes do concreto (força normal e momento 
fletor resistidos pelo concreto) é fundamental para a verificação e dimensionamento das 
seções de concreto armado. Na flexão normal de seções transversais com um eixo de 
simetria, os esforços resistentes, ficam caracterizados quando se determina a resultante 
cdR de tensões de compressão no concreto e a sua posição em relação à borda mais 
comprimida. A Figura 24 mostra a resultante cdR para dois diagramas de distribuição de 
tensões no concreto, o parábola-retângulo e o retangular. O diagrama retangular é uma 
simplificação do diagrama parábola-retânculo a fim de facilitar o cálculo. 
 
 
 Para efeito de simplificação, será adotado o diagrama retangular de distribuição 
de tensões para a dedução das expressões a serem utilizadas no dimensionamento. 
 
d
x
h
seção 
transversal
Rcd
Rsd
Rcd
Rsd
0,8x
c1ε
sε
cε =3.5%o
L.N.
deformações distribuição das tensões
diagrama 
parábola-retângulo
diagrama 
retângular
2%oMd
elemento 
solicitado à flexão
C.G.
cσ cσ 
 
Figura 24: Diagramas de distribuição das tensões e deformações no concreto. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 44 
 
 
 A seção retangular mostrada na Figura 25 com armadura simples é caracterizada 
da seguinte forma: 
ƒ a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular; 
ƒ a barras que constituem a armadura estão agrupadas junto à borda tracionada e 
podem ser imaginadas concentradas no seu centro de gravidade; 
ƒ Resultantes das tensões: 
 No concreto: xbR cdcd 8,0f85,0= 
 Na armadura: sdssd AR σ= 
ƒ Equações de equilíbrio: 
 Força: sdcd RR = ou sdscd Axb σ=f68,0 
 Momento: )4,0( xdRM cdd −= ou )4,0( xdRM sdd −= 
 
Substituindo o valor das resultantes de tensão, obtém-se: 
 
)4,0(f68,0 xdxbM cdd −= ou )4,0( xdAM sdsd −= σ (23) 
 
 O posição da linha neutra é obtida isolando-se o valor de x da equação (23), 
dada pela expressão: 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
cd
d
db
Mdx
f425,0
1125,1 2 (24) 
 
 Com o valor de x conhecido, calcula-se a área de aço ( sA ) pela expressão: 
 
)4,0( xd
MA
sd
d
s −= σ (25) 
 
Para a situação adequada de peça sub-armada tem-se, σsd = fyd. 
d
x
h
seção transversal
Rcd
Rsd
0,8x
c1ε
sε
cε =3.5%o
L.N.
deformações tensões
diagrama 
retângular
Md
elemento solicitado à flexão
C.G.
cσ 
C.G.
Rcd
Rsd
0,4x
d-0,4xz=
d-
0,
4x
 
Figura 25: Diagrama retangular de distribuição das tensões e deformações no concreto. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 45 
 
4.7.2 Seções Retangulares com Armadura Dupla 
 Quando se tem, além da armadura de tração As, outra A’s posicionada junto à 
borda oposta comprimida, diz-se que se tem seção com armadura dupla. Normalmente, 
ela é empregada para se conseguir uma seção sub-armada sem alterar as dimensões da 
seção transversal. A armadura comprimida A’s introduz uma parcela adicional na 
resultante de compressão permitindo, assim, aumentar a resistência da seção. 
 
 
ƒ Resultantes das tensões: 
 No concreto: xbR cdcd 8,0f85,0= 
 Na armadura: sdssd AR σ= e sdssd AR ''' σ= 
 
ƒ Equações de equilíbrio: 
 Força: sdcdsd RRR '+= 
 Momento: )'()4,0( ´ ddRxdRM sdcdd −+−= 
Substituindo o valor das resultantes de tensão na expressão anterior do momento Md, 
obtém-se: 
 
sdscdsds AxbA ''f68,0 σσ += 
 
)'('')4,0(f68,0 ddAxdxbM sdscdd −+−= σ 
(a) 
 
(b) 
(26) 
 
 Nas expressões (26), tem-se duas equações, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e 
A’s (pois, as tensões nas armaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor para x 
(naturalmente, menor ou igual a x34), por exemplo, x = d/2. 
 Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e A’s como se indica a 
seguir. As equações (26a) e (26b) sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte. 
 
d
x
h
seção transversal
Rcd
Rsd
0,8x
c1ε
sε
cε =3.5%o
L.N.
deformações tensões
diagrama 
retângular
Md
elemento solicitado à flexão
C.G.
cσ 
C.G.
Rcd
Rsd
0,4x
d-0,4xz=
d-
0,
4x
R'sd
sε' R'sd
d'
As
A's
 
Figura 26: Diagrama retangular de distribuição das tensões e deformações no concreto. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 46 
 
 
Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do 
momento resistente, designada por Mwd: 
 
)4,0(f68,0 xdxbM cdwd −= (27) 
 
Como σsd = fyd (peça sub-armada), tem-se a primeira parcela de armadura: 
 
)4,0(1 xd
MR wdsd −= ∴ yd
sd
s
RA
f
1
1 = (28) 
 
Assim, fica conhecidaa parcela restante do momento resistente wddd MMM −=Δ e 
também: 
)'('')'(' ddAddRM sdsdsdd −=−=Δ σ e )'()'( 22 ddAddRM sdssdd −=−=Δ σ que 
permitem determinar as áreas restantes de armadura, As2 e A’s. 
 
)'(
' 2 dd
MRR dsdsd −
Δ== ∴ 
yd
sd
s
RA
f
2
2 = (29) 
 
 O cálculo de A’s, requer a determinação da tensão σ’sd (compressão). Com x = x, 
tem-se, no domínio 3 εc = 3,5‰ e no domínio 2 εc = 10‰ x / (d – x) (por semelhança de 
triângulos). Logo, ε’s = εc (x - d’) / x, que permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε da 
armadura). 
Finalmente: 
 
sd
sd
sd
R
A
'
'
' σ= ∴ 21 sss AAA += (30) 
R'sd
As
A's
=
Rsd2
R'sd
d'
d-d'
Mwd
+
ΔMd
d
x
h
Rcd
Rsd1
L.N.
Md
c
C.G.
Rcd
Rsd
0,4x
d-0,4xz=
d-
0,
4x
 
Figura 27: Parcelas do momento resistidas pelo concreto e armadura de compressão. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 47 
 
4.7.3 Seções “T” 
 No dimensionamento de seções “T” a linha neutra (x) pode atuar nos dois casos 
mostrados na Figura 28. 
 
4.7.3.1 Linha neutra na mesa (x ≤ hf) 
 O dimensionamento é feito, inicialmente, tratando a seção como retangular, com 
largura bf e altura d. Podem ser utilizadas as formulações apresentadas na seção 4.7.1 ou 
a tabela universal. 
4.7.3.2 Linha neutra na alma (x ≥ hf) 
 Neste caso podem ocorrer duas situações: zona comprimida atinge a mesa ou a 
zona comprimida atinge a alma. 
 A zona comprimida atinge a mesa quando 0,8x ≤ hf. Neste caso a seção “T” é 
dimensionada como se fosse uma seção retangular de base bf. 
 
 
 A zona comprimida atinge a alma quando 0,8x ≥ hf. Neste caso, o 
dimensionamento da seção “T” é feito em duas etapas: cálculo da parcela de momento 
dh
As
hf
Assε
cε 
sε
cε 
L.N.
L.N.
(a) linha neutra na mesa (b) linha neutra na alma
bf bf
bw bw
 
Figura 28: Hipóteses de posicionamento da linha neutra numa seção “T”. 
bw
Rcd
Rsd
cσ 
0,8x≤hf
d-0,4x
0,4x
dh
As
hf
sε
cε 
L.N.
 
Figura 29: Zona comprimida atinge a mesa. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 48 
 
resistida pela mesa e calculo da parcela resultante de momento que será resistida pela 
alma. 
 
 O dimensionamento pode ser feito subdividindo a zona comprimida em 
retângulos. As resultantes de tensão sobre a mesa e a alma mostrados na Figura 30 
valem: 
 Resultante do concreto na aba colaborante: ff )(f85,0 hbbR wcdcfd −= 
 Resultante do concreto na alma: )8,0(f85,0 xbR wcdcwd = 
 
A parcela do momento resistida pela mesa é dada pela expressão: 
 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
2
f85,0 ffff
hdhbbM wcdd (31) 
 
A parcela do momento resistida pela alma é dada pela expressão: 
 
fdddw MMM −= (32) 
 
 A posição da linha neutra é calculada pela expressão (24), substituindo os termos 
Md por Mwd e b por bw. 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
cdw
wd
db
Mdx
f425,0
1125,1 2 
 
 Com a posição da linha neutra conhecida, calcula-se a resultante do concreto na 
alma, Rcwd. A área da armadura é obtida pela equação de equilíbrio de força, dada pela 
expressão: 
 
yd
swdsfd
s
RR
A
f
+= (33) 
 
De onde se obtém a área de aço, As, necessária para resistir ao esforço solicitante. 
dh
Asf
hf
L.N.
bw
Rcfd
Rsfd
cσ 
d-hf /2
1
2 hf
x
Asw
Rcwd
Rswd
0,4x
d-0,4x
MdwMdf
cσ 
+
bw 
Figura 30: Zona comprimida atinge a alma. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 49 
 
4.7.4 Seções Simétricas com Zona Comprimida de Forma Qualquer 
 No caso de seções de zona comprimida que apresentam forma qualquer, tais 
como as ilustradas na Figura 31, o emprego do diagrama retangular de tensão no 
concreto é mais conveniente. Dependendo da forma da seção, o dimensionamento ou a 
verificação serão feitos por tentativas ou analiticamente. 
 
4.7.5 Tabela Universal para Seções Retangulares 
 O dimensionamento de seções de concreto submetidas à flexão simples também 
pode ser feito empregando-se a tabela universal. 
4.7.5.1 Construção da tabela universal 
 A tabela universal foi construída fazendo-se variar as deformações no concreto 
cε , e no aço sε de modo a constituir os domínio de dimensionamento 2, 3 e 4. Para 
cada par de valores das deformações cε e sε , são determinados os coeficientes 
KmdKzKx ,,,, 'ξα . 
 As deformações tanto no aço como no concreto variam de acordo com o 
domínio apresentado na Tabela 8: 
 
Tabela 8: Variação das deformações × domínio. 
Domínio cε sε 
2 0 < cε ≤ 3.5o/oo sε = 10.0o/oo 
3 cε = 3.5o/oo ydε ≤ sε ≤ 10.0o/oo 
4 cε = 3.5o/oo 0 ≤ sε ≤ ydε 
 
 
Procedimento para uso da tabela universal no dimensionamento a flexão simples e 
composta com grande excentricidade 
 
 São conhecidos: dbM ydcdd ,,f,f, . Com estes valores determina-se o parâmetro 
dμ de entrada na tabela. 
 
d
x
h
Rcd
Rsd
L.N.
0,4x
d-0,4x
As
Md
0,85 fcd
d
x
h
Rcd
Rsd
L.N.
0,4x
d-0,4x
As
Md
0,80 fcd
 
Figura 31: Seções simétricas com zona comprimida de forma qualquer. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 50 
 
cd
d
fdb
M
Kmd 2= (34) 
 
Com dμ obtém-se ζ na tabela universal. A área de aço sA é dada pela expressão 
 
s
d
s dKz
M
A σ= (35) 
 
Nos domínios 2 e 3, como sε ≥ ydε , a tensão sσ é o próprio valor da tensão de 
escoamento do material yds f=σ . No domínio 4, como sε < ydε , a tensão sσ deverá ser 
calculada a partir da relação tensão × deformação dada de acordo com tipo e classe do 
aço usado. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 51 
 
Tabela 9: Tabela Universal para seções retangulares: Diagrama Parábola-Retângulo. 
Limite ε cd ε sd Limite ε cd ε sd
Aço (%o) (%o) Aço (%o) (%o)
0.002 0.020 0.993 0.20 10.00 0.222 0.385 0.840 3.50 5.59
0.007 0.040 0.986 0.42 10.00 0.225 0.390 0.838 3.50 5.47
0.014 0.060 0.979 0.64 10.00 0.227 0.395 0.836 3.50 5.36
0.019 0.070 0.976 0.75 10.00 0.229 0.400 0.834 3.50 5.25
0.025 0.080 0.972 0.87 10.00 0.232 0.405 0.832 3.50 5.14
0.031 0.090 0.969 0.99 10.00 0.234 0.410 0.829 3.50 5.04
0.037 0.100 0.965 1.11 10.00 D 0.236 0.415 0.827 3.50 4.93
0.041 0.105 0.963 1.17 10.00 O 0.239 0.420 0.825 3.50 4.83
0.044 0.110 0.961 1.24 10.00 M 0.241 0.425 0.823 3.50 4.74
0.048 0.115 0.959 1.30 10.00 Í 0.243 0.430 0.821 3.50 4.64
0.051 0.120 0.957 1.36 10.00 N 0.245 0.435 0.819 3.50 4.55
0.055 0.125 0.955 1.43 10.00 I CA 60B 0.247 0.4384 0.818 3.50 4.48
0.059 0.130 0.953 1.49 10.00 O 0.247 0.440 0.817 3.50 4.45
0.063 0.135 0.951 1.56 10.00 0.250 0.445 0.815 3.50 4.37
0.067 0.140 0.949 1.63 10.00 2a 0.252 0.450 0.813 3.50 4.28
0.071 0.145 0.947 1.70 10.00 0.254 0.455 0.8113.50 4.19
0.075 0.150 0.945 1.76 10.00 0.256 0.460 0.809 3.50 4.11
0.079 0.155 0.943 1.83 10.00 CA 50B 0.257 0.4623 0.808 3.50 4.07
0.083 0.160 0.940 1.90 10.00 0.258 0.465 0.807 3.50 4.03
0.087 0.165 0.938 1.98 10.00 0.260 0.470 0.804 3.50 3.95
0.089 0.1667 0.937 2.00 10.00 0.262 0.475 0.802 3.50 3.87
0.091 0.170 0.936 2.05 10.00 0.264 0.480 0.800 3.50 3.79
0.095 0.175 0.934 2.12 10.00 0.266 0.485 0.798 3.50 3.72
0.099 0.180 0.931 2.20 10.00 CA 40B 0.268 0.4891 0.797 3.50 3.66
0.103 0.185 0.929 2.27 10.00 0.268 0.490 0.796 3.50 3.64
0.107 0.190 0.927 2.35 10.00 D 0.270 0.495 0.794 3.50 3.57 D
0.111 0.195 0.924 2.42 10.00 O 0.272 0.500 0.792 3.50 3.50 O
0.115 0.200 0.922 2.50 10.00 M 0.274 0.505 0.790 3.50 3.43 M
0.119 0.205 0.919 2.58 10.00 Í 0.276 0.510 0.788 3.50 3.36 Í
0.123 0.210 0.917 2.66 10.00 N 0.278 0.515 0.786 3.50 3.30 N
0.126 0.215 0.914 2.74 10.00 I 0.280 0.520 0.784 3.50 3.23 I
0.130 0.220 0.912 2.82 10.00 O 0.282 0.525 0.782 3.50 3.17 O
0.134 0.225 0.909 2.90 10.00 0.284 0.530 0.780 3.50 3.10
0.138 0.230 0.907 2.99 10.00 2b 0.286 0.535 0.777 3.50 3.04 3
0.141 0.235 0.904 3.07 10.00 0.288 0.540 0.775 3.50 2.98
0.145 0.240 0.902 3.16 10.00 0.290 0.545 0.773 3.50 2.92
0.149 0.245 0.899 3.25 10.00 0.292 0.550 0.771 3.50 2.86
0.152 0.250 0.897 3.33 10.00 0.294 0.555 0.769 3.50 2.81
0.156 0.255 0.894 3.42 10.00 0.296 0.560 0.767 3.50 2.75
0.159 0.2593 0.892 3.50 10.00 0.297 0.565 0.765 3.50 2.69
0.160 0.260 0.892 3.50 9.96 0.299 0.570 0.763 3.50 2.64
0.162 0.265 0.890 3.50 9.71 0.301 0.575 0.761 3.50 2.59
0.165 0.270 0.888 3.50 9.46 0.303 0.580 0.759 3.50 2.53
0.168 0.275 0.886 3.50 9.23 0.305 0.585 0.757 3.50 2.48
0.170 0.280 0.884 3.50 9.00 0.306 0.590 0.755 3.50 2.43
0.173 0.285 0.881 3.50 8.78 0.308 0.595 0.753 3.50 2.38
0.175 0.290 0.879 3.50 8.57 0.310 0.600 0.750 3.50 2.33
0.178 0.295 0.877 3.50 8.36 0.312 0.605 0.748 3.50 2.29
0.181 0.300 0.875 3.50 8.17 D 0.313 0.610 0.746 3.50 2.24
0.183 0.305 0.873 3.50 7.98 O 0.315 0.615 0.744 3.50 2.19
0.186 0.310 0.871 3.50 7.79 M 0.317 0.620 0.742 3.50 2.15
0.188 0.315 0.869 3.50 7.61 Í 0.318 0.625 0.740 3.50 2.10
0.191 0.320 0.867 3.50 7.44 N CA 50A 0.319 0.6283 0.739 3.50 2.07
0.193 0.325 0.865 3.50 7.27 I 0.320 0.630 0.738 3.50 2.06
0.196 0.330 0.863 3.50 7.11 O 0.322 0.635 0.736 3.50 2.01
0.198 0.335 0.861 3.50 6.95 0.323 0.640 0.734 3.50 1.97
0.201 0.340 0.859 3.50 6.79 3 0.325 0.645 0.732 3.50 1.93
0.203 0.345 0.856 3.50 6.64 0.326 0.650 0.730 3.50 1.88
0.206 0.350 0.854 3.50 6.50 0.328 0.655 0.728 3.50 1.84
0.208 0.355 0.852 3.50 6.36 0.329 0.660 0.725 3.50 1.80
0.211 0.360 0.850 3.50 6.22 0.331 0.665 0.723 3.50 1.76
0.213 0.365 0.848 3.50 6.09 0.333 0.670 0.721 3.50 1.72
0.215 0.370 0.846 3.50 5.96 0.334 0.675 0.719 3.50 1.69
0.218 0.375 0.844 3.50 5.83 CA 40A 0.335 0.6788 0.718 3.50 1.66
0.220 0.380 0.842 3.50 5.71 0.336 0.680 0.717 3.50 1.65
kmd kx = x / d kz = z / d kmd kx = x / d kz = z / d
 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 52 
 
Tabela 13 (continuação): Tabela Universal para seções retangulares: Diagrama Parábola-Retângulo. 
Limite ε cd ε sd
Aço (%o) (%o)
0.337 0.685 0.715 3.50 1.61
0.339 0.690 0.713 3.50 1.57
0.340 0.695 0.711 3.50 1.54
0.341 0.700 0.709 3.50 1.50
0.343 0.705 0.707 3.50 1.46
0.344 0.710 0.705 3.50 1.43
0.346 0.715 0.703 3.50 1.40 D
0.347 0.720 0.701 3.50 1.36 O
0.348 0.725 0.698 3.50 1.33 M
CA 32 0.349 0.7254 0.698 3.50 1.32 Í
0.350 0.730 0.696 3.50 1.29 N
0.351 0.735 0.694 3.50 1.26 I
0.352 0.740 0.692 3.50 1.23 O
0.354 0.745 0.690 3.50 1.20
0.355 0.750 0.688 3.50 1.17 3
0.356 0.755 0.686 3.50 1.14
0.358 0.760 0.684 3.50 1.11
0.359 0.765 0.682 3.50 1.08
0.360 0.770 0.680 3.50 1.05
CA 25 0.361 0.7717 0.679 3.50 1.04
0.361 0.775 0.678 3.50 1.02
0.363 0.780 0.676 3.50 0.99
0.364 0.785 0.673 3.50 0.96
0.365 0.790 0.671 3.50 0.93
0.366 0.795 0.669 3.50 0.90
0.367 0.800 0.667 3.50 0.88
0.368 0.805 0.665 3.50 0.85
0.370 0.810 0.663 3.50 0.82
0.371 0.815 0.661 3.50 0.79
0.372 0.820 0.659 3.50 0.77
0.373 0.825 0.657 3.50 0.74
0.374 0.830 0.655 3.50 0.72
0.375 0.835 0.653 3.50 0.69
0.376 0.840 0.651 3.50 0.67
0.377 0.845 0.649 3.50 0.64
0.378 0.850 0.646 3.50 0.62 D
0.379 0.855 0.644 3.50 0.59 O
0.380 0.860 0.642 3.50 0.57 M
0.381 0.865 0.640 3.50 0.55 Í
0.382 0.870 0.638 3.50 0.52 N
0.383 0.875 0.636 3.50 0.50 I
0.384 0.880 0.634 3.50 0.48 O
0.385 0.885 0.632 3.50 0.45
0.386 0.890 0.630 3.50 0.43 4
0.387 0.895 0.628 3.50 0.41
0.387 0.900 0.626 3.50 0.39
0.388 0.905 0.624 3.50 0.37
0.389 0.910 0.621 3.50 0.35
0.390 0.915 0.619 3.50 0.33
0.391 0.920 0.617 3.50 0.30
0.392 0.925 0.615 3.50 0.28
0.392 0.930 0.613 3.50 0.26
0.393 0.935 0.611 3.50 0.24
0.394 0.940 0.609 3.50 0.22
0.395 0.945 0.607 3.50 0.20
0.395 0.950 0.605 3.50 0.18
0.396 0.955 0.603 3.50 0.16
0.397 0.960 0.601 3.50 0.15
0.397 0.965 0.599 3.50 0.13
0.398 0.970 0.597 3.50 0.11
0.399 0.975 0.594 3.50 0.09
0.399 0.980 0.592 3.50 0.07
0.400 0.985 0.590 3.50 0.05
0.401 0.990 0.588 3.50 0.04
0.401 0.995 0.586 3.50 0.02
0.402 1.000 0.584 3.50 0.00
kmd kx = x / d kz = z / d