1ª Lista de exercícios propostos

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UNIVAG – CENTRO UNIVERSITÁRIO 
GPA: CIÊNCIAS AGRÁRIAS, BIOLÓGICAS E ENGENHARIAS 
Cursos: ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
 Professor: LUCIANO PEDROSO 
 
 
 
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
(Conteúdos: Aula 2 e complemento da Aula 2) 
 
1. Dados os vetores ⃗ = 2 – 3 , = – e ⃗⃗ = –2 + , determinar 
a) 2 ⃗ – 
b) – ⃗ + 2 ⃗⃗ 
c) 
 
 
 ⃗ – 2 – ⃗⃗ 
2. Dados os pontos A(3, –4) e B( –1, 1) e o vetor = (–2, 3), calcular 
a) (B – A) + 2 
b) (A – B) – 
c) B + 2(B – A) 
3. Considere as seguintes afirmações, onde os vetores ⃗ , e ⃗⃗ não são nulos: 
I) Se ⃗ = , então | ⃗ | = | |. 
II) Se | ⃗ | = | |, então ⃗ = . 
III) Se o vetor ⃗ é paralelo ao vetor , então ⃗ = . 
IV) Se ⃗ = , então o vetor ⃗ é paralelo ao vetor . 
V) Se ⃗⃗ = ⃗ + , então | ⃗⃗ | = | ⃗ | + | |. 
Qual(is) afirmação(ões) está(ão) correta(s)? 
4. Suponha que, a partir da origem, você tenha percorrido uma distância de quatro unidades 
ao longo do eixo x no sentido positivo e então uma distância de três unidades para baixo. 
Quais as coordenadas de sua posição atual? 
5. Qual dos pontos está mais próximo do plano xz: P(6, 2, 3), Q(–5, –1, 4) ou R(0, 3, 8)? Qual 
ponto pertence ao plano yz? 
6. Mostre que o triângulo com vértices em P(–2, 4, 0), Q(1, 2, –1) e R(–1, 1, 2) é um triângulo 
equilátero. 
7. Determine se os pontos estão alinhados. 
a) A(5, 1, 3), B(7, 9, –1), C(1, –15, 11) 
b) K(0, 3, –4), L(1, 2, –2), M(3, 0, 1) 
8. Quais das seguintes grandezas são vetoriais ou escalares? 
Explique. 
a) O custo de um bilhete de cinema. 
b) A corrente de um rio. 
c) O caminho inicial do voo entre Cuiabá e Goiânia. 
d) A população mundial. 
 
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9. Indique os vetores iguais no paralelogramo mostrado. 
 
 
 
 
 
10. Copie os vetores na figura e use-os para desenhar os seguintes vetores. 
a) ⃗ + 
b) ⃗ 
c) + ⃗⃗ 
d) ⃗⃗ + + ⃗ 
 
11. Determine o vetor com representação dada pelo segmento de reta orientado ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
Desenhe ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e o equivalente com início na origem . 
a) A(2, 3), B( 2, 1) 
b) A(0, 3, 1), B(2, 3, 1) 
12. Determine a soma dos vetores ⃗ = (3, 1) e = ( 2, 4) e ilustre geometricamente. 
13. Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor dado. 
a) ⃗ = (9, 5) 
b) = 8 + 4 ⃗ 
14. Se está no primeiro quadrante e faz um ângulo de 
 
 
 com o eixo x-positivo e | |= 4, ache 
as componentes de . 
15. Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não fazem sentido? Explique. 
a) ( ⃗ ) 
b) ( ⃗ ) 
c) | |( ⃗ ) 
d) ( ⃗ ) 
e) ⃗ 
f) | | ( ⃗ ) 
16. Determine ⃗ 
a) = (4, 1), ⃗ = (3, ) 
b) = (5, , 2), ⃗ = (3, 1, 10) 
c) = 2 + 3 ⃗ , ⃗ = 5 + 9 ⃗ 
d) | |= 12, | ⃗ |= 15, o ângulo entre e ⃗ é 
 
 
 
17. Determine o ângulo entre os vetores. (Estabeleça inicialmente uma expressão exata e 
depois aproxime o valor até o grau exato mais próximo) 
a) = (3, 4), ⃗ = (5, 12) 
A B 
C D 
E 
 ⃗ 
 ⃗⃗ 
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b) = (1, 2, 3), ⃗ = (4, 0, 1) 
c) = + ⃗ , ⃗ = + 2 3 ⃗ 
18. Determine, aproximando o valor até o grau mais próximo, os três ângulos do triângulo 
cujos vértices são dados. 
A(1, 0), B(3, 6), C( 1, 4) 
19. Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois. 
a) = ( 5, 3, 7), ⃗ = (6, 8, 2) 
b) = (4, 6), ⃗ = ( 3, 2) 
c) = + 2 + 5 ⃗ , ⃗ = 3 + 4 ⃗ 
20. Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor. (Forneça o ângulo diretor 
até o grau mais próximo) 
a) ⃗ = (3, 4, 5) 
b) = 2 + 3 6 ⃗ 
21. Determine o vetor projeção de ⃗ sobre , onde = (3, 4) e ⃗ = (5, 0). 
22. Sabendo que os vetores = (2, 1, –1) forma ângulo de 60 com o vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗ determinado 
pelos pontos A(3, 1, –2) e B(4, 0, m), calcular m. 
23. Determine o produto vetorial x ⃗ e verifique que ele é ortogonal a e ⃗ . 
a) = (1, 2, 0) e ⃗ = (0, 3, 1) 
b) = 2 + ⃗ , ⃗ = 2 ⃗ 
24. Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, –1, 1) e C(4, 
1, –2). 
25. Calcule | ⃗ x |e determine se ⃗ x tem o sentido de entrar na página ou o contrário. 
 
 
 
 
26. Se = (1, 2, 1) e ⃗ = (0, 1, 3), calcule x ⃗ e ⃗ x . 
27. Determine a área do paralelogramo com vértices em A(–2, 1), B(0, 4), C(4, 2) e D(2, –1). 
 
 
 
 
 
 
| ⃗ |= 6 
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