Trabalho CDII Integrais final

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EUDES APARECIDO ROLA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Atividades computacionais utilizando o software wxMaxima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINOP 
2015
EUDES APARECIDO ROLA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Atividades computacionais utilizando o software wxMaxima 
 
 
 
Trabalho apresentado à Disciplina de Cálculo Diferencial E Integral II do Curso de Engenharia Elétrica – UNEMAT, Campus Universitário de Sinop para a obtenção de nota na disciplina. 
 
 
Professora: 
Drª. Vera Lúcia Vieira de Camargo 
 
 
 
 
 
 
 
SINOP 
2015
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA ELETRICA 
INTRODUÇÃO 
 O ideal de se criar uma ferramenta que ajudasse na solução de cálculos extensos e complicados existe desde os primórdios da sociedade. A primeira dessas ferramentas da qual se tem registros é o Ábaco, que é utilizada até hoje, principalmente na educação de crianças. Com a evolução e o avanço no conhecimento, surgiu então o computador, à apenas algumas décadas. Um dos primeiros e mais famosos computadores é o ENIAC (Eletrical Numerical Integrator and Calculator), criado em 1946, com a principal função de realizar cálculos para fins militares, sendo até 1000 vezes mais rápida que qualquer máquina da época. Desde o ENIAC, a tecnologia avançou muito e hoje temos essas máquinas de cálculo milhares de vezes mais poderosas que cabem na palma da mão, embora a verdadeira função para qual surgiram tais maquinas tenha pouco uso atualmente. Este trabalho resgata a verdadeira funcionalidade para a quais foram criados os computadores, utilizando do software wxMaxima para visualizar gráficos, derivar, integrar e otimizar funções matemáticas. O wxMaxima é uma interface gráfica multi-plataforma, baseado em wxWidgets, para o Maxima, um sistema de computacional simbólico. O wxMaxima disponibiliza um acesso às funções do Maxima através de menus e diálogos. O Maxima é um sistema de computação algébrica baseado em uma versão de 1982 do Macsyma. Ele é escrito em Common Lisp e funciona em todas as plataformas POSIX, tais como Mac OS X, Unix, BSD, e GNU/Linux bem como no Microsoft Windows. Trata-se de um software livre cuja licença é a GNU General Public License. Baseado em um núcleo que utiliza a linguagem Common Lisp, o Maxima pode ser acessado por outros programas e ser estendido. Ele usa o Gnuplot para realizar as plotagens. Estas características aumentam as possibilidades de resolução de problemas com o programa, tornando-o uma ferramenta muito poderosa para tais aplicações. O Maxima é semelhante ao Matlab e ao Mathematica, possuindo um sistema de álgebra computacional completo especializado em operações simbólicas e oferecendo também recursos numéricos tais como integral, diferencial, sistemas de equações lineares, vetores, matrizes e aritmética de precisão arbitrária. O desenvolvimento desse trabalho se dá exclusivamente através da utilização do software wxMaxima para desenvolver as atividades propostas. A estrutura desse trabalho se dá de uma forma onde se tentou ser mais simples possível, visando principalmente mostrar de forma clara e limpa os comandos introduzidos no software e os resultados obtidos, organizando as questões propostas em tópicos e subtópicos, buscando melhor organização da estrutura no decorrer do trabalho. 
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DESENVOLVIMENTO 
 
Questão 1 - Traçar gráficos e curvas de nível das funções dadas 
a) Função: ݖ = ݏ݁݊( Gráfico: 
 Comando: plot3d(sin(x*y),[x,-%pi,%pi],[y,-%pi,%pi], [xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 0.5]); Curvas de nível: 
 Comando: contour_plot(sin(x*y),[x,-%pi,%pi],[y,-%pi,%pi]); 
 
b) Função: ݖ = ݏ݁݊(ݔ − ݕ Gráfico: 
 Comando: plot3d(sin(x-y),[x,-%pi,%pi],[y,-%pi,%pi],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 0.5]); 
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Curvas de nível: Comando: contour_plot(sin(x-y),[x,-%pi,%pi],[y,-%pi,%pi]); 
c) Função: ݖ = (1 − ݔଶ)(1 − ݕଶ) Gráfico: 
 Comando: plot3d((1-x^2)*(1-y^2),[x,-2,2],[y,-2,2],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 5]); Curvas de nível: Comando: contour_plot((1-x^2)*(1-y^2),[x,-2,2],[y,-2,2]); 
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d) Função: ݖ = ݁௫ ܿ݋ݏݕ Gráfico: 
 Comando: plot3d(%e^x*cos(y),[x,-2,2],[y,-%pi,%pi],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 2]); Curvas de nível: 
 Comando: contour_plot(%e^x*cos(y),[x,-2,2],[y,-%pi,%pi]); 
e) Função: ݖ = ݏ݁݊(ݔ) − ݏ݁݊(ݕ) Gráfico: 
 Comando: plot3d(sin(x)-sin(y),[x,-%pi,%pi],[y,-%pi,%pi],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 1]); 
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Curvas de nível: Comando: contour_plot(sin(x)-sin(y),[x,-%pi,%pi],[y,-%pi,%pi]); 
f) Função: ݖ = ୶ି୷ଵା௫మା௬మ Gráfico: 
 Comando: plot3d((x-y)/(1+x^2+y^2),[x,-2,2],[y,-2,2],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 0.5]); Curvas de nível: Comando: contour_plot((x-y)/(1+x^2+y^2),[x,-2,2],[y,-2,2]); 
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Questão 2 - Interpretar os gráficos e curvas de nível das funções dadas 
݂(ݔ, ݕ) = ௦௘௡൫௫మା௬మ൯௫మା௬మ Gráfico: Comando: plot3d(sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2),[x,-%pi,%pi],[y,-%pi,%pi],[xtics,1],[ytics,1],[ztics,0.5]); 
݂(ݔ, ݕ) = ௫మି௬మ௫మା௬మ Gráfico: 
 Comando: plot3d((x^2-y^2)/(x^2+y^2),[x,-2,2],[y,-2,2],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 0.5]) 
a) A partir dos gráficos produzidos, pode-se facilmente deduzir que somente a 
função ݂(ݔ, ݕ) = ௦௘௡൫௫మା௬మ൯௫మା௬మ possui limite quando (ݔ, ݕ) → (0,0) mesmo não sendo definida no ponto, nota-se nas proximidades de (0,0) que a mesma é continua e não possui pontos de inflexão sendo que, de qualquer lado que se aproxime de (0,0) a ݂(ݔ, ݕ) tende a 1. 
b) Como lim(௫,௬)→(଴,଴) ௦௘௡൫௫
మା௬మ൯
௫మା௬మ = 1 mesmo não sendo definida no ponto (0,0) a 
função ݃(ݔ, ݕ) ൝௦௘௡൫௫
మା௬మ൯
௫మା௬మ ݏ݁ (ݔ, ݕ) ് (0,0)1 ݏ݁ (ݔ, ݕ) = (0,0) através da condição 1 ݏ݁ (ݔ, ݕ) = (0,0) 
preenche o ponto onde ௦௘௡൫௫మା௬మ൯௫మା௬మ não é definida, sendo assim ݃(ݔ, ݕ) é continua em (0,0). 
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Questão 3 - Gráficos de funções paramétricas 
a) Função: ൫ݔ(ݐ), ݕ(ݐ)൯ = (ݏ݁݊(2ݐ), cos(ݐ)), 0 ≤ ݐ ≤ 2ߨ Gráfico: Comando: plot2d([parametric, sin(2*t), cos(t)], [t,0,2*%pi], [yx_ratio,1]); 
b) Função: ൫ݔ(ݐ), ݕ(ݐ)൯ = (2(ߠ − ݏ݁݊ߠ),2(ߠ − ܿ݋ݏߠ)), 0 ≤ ߠ ≤ 6ߨ Gráfico: Comando: plot2d([parametric, (2*(t-sin(t))), (2*(1-cos(t)))], [t,0,6*%pi], [yx_ratio,1]); 
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c) Função: ൫ݔ(ݐ), ݕ(ݐ)൯ = (ܽ + cos(ݐ) , ܽ ݐ݃(ݐ) + ݏ݁݊( ), 0 ≤ ߠ ≤ 3ߨ Comando: 
with_slider_draw(a, makelist(i,i,-10,10), 
 /* aqui define-se a variavel e a variacao */ 
 /* o restante define os parametros do draw */ 
 pic_width = 600, pic_height = 600, 
 xrange = [-5,5], yrange = [-5,5], 
 xtics = 1,ytics = 1, 
 color = red, grid = true, 
 /* aqui define-se funcao */ 
 parametric(a+cos(u),a*tan(u)+sin(u),u,0,3*%pi) 
); 
 Gráficos: 
 
 
Para a = 1 Para a = -1 
Para a = 0Para a =-0.5 Para a =0.5 
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Questão 4 - Derivadas das funções dadas 
a) ݂(ݔ) = √1 + 2ݔ + ݔଷర 
 ݂′ 
Comando: diff((1+2*x+x^3)^(1/4),x,1); Resultado (2+3*x^2)/(4*(1+2*x+x^3)^(3/4)) 2 + 3ݔଶ
2(1 + 2ݔ + ݔଷ)ଷ ସ⁄  ݂′′ 
Comando: diff((1+2*x+x^3)^(1/4),x,2); Resultado (3*x)/(2*(1+2*x+x^3)^(3/4))-(3*(2+3*x^2)^2)/(16*(1+2*x+x^3)^(7/4)) 
3ݔ
2(1 + 2ݔ + ݔଷ)ଷ ସ⁄ −
3(2 + 3ݔଶ)ଶ
16(1 + 2ݔ + ݔଷ)଻ ସ⁄ b) ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ݔ ln(ݔݕଶݔଷ) 
 డ௙డ௫ 
Comando: diff(x*log(x*y^2*z^3),x); Resultado: log(x*y^2*z^3)+1 
ln(ݔݕଶݖଷ) + 1 
 డ௙డ௬ 
Comando: diff(x*log(x*y^2*z^3),y); Resultado: (2*x)/y 2ݔ
ݕ 
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 డ௙డ௭ 
Comando: diff(x*log(x*y^2*z^3),z); Resultado: (3*x)/z 3ݔ
ݖ c) ݂(ݔ, ݕ) = 3ݔହݕସ + ݔଷݕଶ  ௫݂௫ 
Comando: diff((3*x^5*y^4+x^3*y^2),x,2); Resultado: 60*x^3*y^4+6*x*y^2 60ݔଷݕସ + 6ݔݕଶ 
 డయ௙డమ௫డ௬ 
Comando: diff((3*x^5*y^4+x^3*y^2),x,2,y,1); Resultado: 240*x^3*y^3+12*x*y 240ݔଷݕଷ + 12ݔݕ Questão 5 - Equação da reta tangente Equação do paraboloide: ݖ = 6 − ݔ − ݔଶ − 2ݕଶ Encontrando a equação da parábola gerada pela intersecção do paraboloide com o plano ݔ = 1: ݖ = ݂(ݔ, ݕ) → ݂(1, ݕ) = 6 − 1 − 1ଶ − 2ݕଶ → ݂(1, ݕ) = 4 − 2ݕଶ Derivando ݂(1, ݕ) em relação à ݕ: Comando: diff(4-2*y^2,y) ; Resultado: -4*y ݂′(1, ݕ) = −4ݕ 
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Aplicando (1,2) em ݂′ para se encontrar o coeficiente de inclinação ݉ da reta tangente: ݂ᇱ(1,2) = −4 ∗ 2 ݂ᇱ(1,2) = −8 ݉ = ݂ᇱ(1,2) ݉ = −8 Montando a equação da reta tangente: (ݖ − ݖ଴) = ݉(ݕ − ݕ଴) Substituindo ݖ଴ = −4 e ݕ଴ = 2 na equação da reta tangente: (ݖ + 4) = −8(ݕ − 2) ݖ = −8ݕ + 16 − 4 ݖ = −8ݕ + 12 Equação paramétrica da reta tangente à parábola gerada pela intersecção do plano ݔ = 1 com o paraboloide ݖ = 6 − ݔ − ݔଶ − 2ݕଶ no ponto (1,2): 
ቄݖ = −8ݕ + 12ݔ = 1 Gráfico 2d: Comando: plot2d([4-2*y^2,-8*y+12],[y,-3,3],[y,-10,6],[x,-3,3],grid2d,[axes, solid], [yx_ratio,1]); Gráfico 3d: Comando: draw3d( xrange = [-1,3], yrange = [0,4], zrange = [-8,12], explicit(6-x-x^2-2*y^2,x,-1,3,y,0,4), color=red, enhanced3d = false, explicit(-8*y+12 ,x,0.999,1.001,y,0,4)); 
-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-5
 0
 5
 10
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Questão 6 - Máximos e mínimos a) ݂(ݔ, ݕ) = 10 − ݔଶݕଶ + 2ݔݕଶ + 4ݔଶ − 8ݔ i) Gráfico e curvas de nível 
 Comando: plot3d(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,[x,-4,4],[y,-4,4],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 50]); Comando: contour_plot(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,[x,-4,4],[y,-4,4],[xtics, 1],[ytics, 1]); ii) Pontos críticos Para se encontrar os pontos críticos pega-se as derivadas de primeira ordem em relação a x e a y e iguala-se a 0: 
 
௫݂ Comando: diff(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,x); Resultado: -2*x*y^2+2*y^2+8*x-8 
௬݂ Comando: diff(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,y); Resultado: 4*x*y-2*x^2*y Pontos críticos: Comando: solve([-2*x*y^2+2*y^2+8*x-8=0,4*x*y-2*x^2*y=0]); Resultado: [[y=-2,x=0],[y=2,x=0],[y=0,x=1],[y=-2,x=2],[y=2,x=2]] Pontos (x,y): (0,-2) , (0,2) , (1,0) , (2,-2) , (2,2) 
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iii) Gráfico e curvas de nível na vizinhança dos pontos críticos Comando: plot3d(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,[x,-3,5],[y,-4,4],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 50]); 
 Comando: contour_plot(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,[x,-3,5],[y,-4,4],[xtics, 1],[ytics, 1]); iv) Matriz hessiana Para se construir a matriz hessiana e então descobrir se os pontos críticos encontrados são pontos de máximo local, mínimo local ou ponto de sela, precisamos calcular antes as derivadas de segunda ordem, como feito abaixo. 
௫݂௫ Comando: diff(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,x,2); Resultado: 8-2*y^2 
௬݂௬ Comando: diff(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,y,2); Resultado: 4*x-2*x^2 
௫݂௬ Comando: diff(diff(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,x),y); Resultado: 4*y-4*x*y 
 Matriz hessiana: ൥݂ݔݔ ݂ݔݕ݂ݔݕ ݂ݕݕ൩ 
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Substituindo, temos: ܣ = ൤ 8 − 2ݕଶ 4ݕ − 4ݔݕ4ݕ − 4ݔݕ 4ݔ − 2ݔଶ൨ Calculando Det A, temos: (4ݔ − 2ݔଶ)(8 − 2ݕଶ) − (4ݕ − 4ݔݕ)ଶ Definindo Det A como uma função de x e y temos: ܦ݁ݐܣ(ݔ, ݕ) = (4ݔ − 2ݔଶ)(8 − 2ݕଶ) − (4ݕ − 4ݔݕ)ଶ Comando: 
fxx(x,y):=8-2*y^2;/* definindo a fxx */; 
fyy(x,y):=4*x-2*x^2;/* definindo a fyy */; 
fxy(x,y):=4*y-4*x*y;/* definindo a fxy */; 
/* definindo os valores da matriz hessiana */; 
a [1, 1] : fxx(x,y); 
a [1, 2] : fxy(x,y); 
a [2, 1] : fxy(x,y); 
a [2, 2] : fyy(x,y); 
/* Montando a matriz hessiana */ 
genmatrix (a, 2, 2); 
/* Calculando o determinante da matriz hessiana */ 
determinant(genmatrix (a, 2, 2)); 
/* Definindo a função Det(x,y) */ 
detA(x,y):=((4*x-2*x^2)*(8-2*y^2)-(4*y-4*x*y)^2); Agora com o determinante da matriz hessiana em função de x e y, basta aplicarmos os pontos críticos, seguindo o critério de classificação onde: Se ܦ݁ݐ ܣ(ܽ, ܾ) < 0, (ܽ, ܾ) é ponto de sela; Se ܦ݁ݐ ܣ(ܽ, ܾ) = 0, nada podemos afirmar sobre (ܽ, ܾ); 
Se ܦ݁ݐ ܣ(ܽ, ܾ) > 0, precisamos realizar outro teste em ௫݂௫(ݔ, ݕ) para tal que: Se ௫݂௫(ܽ, ܾ) > 0, então (ܽ, ܾ) é ponto de mínimo; Se ௫݂௫(ܽ, ܾ) < 0, então (ܽ, ܾ) é ponto de máximo; Comando: 
if detA(a,b)<0 /* define o ponto crítico */ 
 then "Ponto de sela" 
else 
 if fxx(1,0)<0 
 then "Ponto de máximo" 
else 
"Ponto de Mínimo"; Com o código acima, basta substituir (ܽ, ܾ) com as coordenadas de cada ponto crítico. Por final obtemos a seguinte tabela: 
Ponto ࡰࢋ࢚ ࡭(ࢇ, ࢈) ࢌ࢞࢞(࢞, ࢟) Conclusão (0,-2) -64 * Ponto de sela 
(0,2) -64 * Ponto de sela 
(1,0) 16 8 Ponto de Mínimo 
(2,-2) -64 * Ponto de sela 
(2,2) -64 * Ponto de sela 
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v) Otimização pelo teorema de Lagrange A otimização segundo o teorema de Lagrange consiste em encontrar valores de máximo e mínimo locais de uma função dada como ݂(ݔ, ݕ) restrita a uma função ݃(ݔ, ݕ) = ݇ através da solução de um sistema de igualdades montado com a derivada de primeira ordem de ݂(ݔ, ݕ) igualado derivada de primeira ordem de ݃(ݔ, ݕ) multiplicada por uma variável lambda, conhecida como multiplicador de Lagrange, e a função que restringe. 
ቐ ௫݂
(ݔ, ݕ) = ߣ݃௫(ݔ, ݕ)
௬݂(ݔ, ݕ) = ߣ݃௬(ݔ, ݕ)݃(ݔ, ݕ) = ݇ Através da solução desse sistema, podemos encontrar os pontos críticos de ݂(ݔ, ݕ) e valores de lambda. Função a ser encontrados os pontos de máximo e mínimo: ݂(ݔ, ݕ) = 10 − ݔଶݕଶ + 2ݔݕଶ + 4ݔଶ − 8ݔ Função de restrição: 
݃(ݔ, ݕ) = ݔଶ + (ݕ − 5)ଶ = 14 Derivadas de primeira ordem: 
௫݂(ݔ, ݕ) = −2ݔݕଶ + 2ݕଶ + 8ݔ − 8 ௬݂(ݔ, ݕ) = 4ݔݕ − 2ݔଶݕ ݃௫(ݔ, ݕ) = 2ݔ ݃௬(ݔ, ݕ) = 2ݕ − 10 Sistema: 
൞
−2ݔݕ2+2ݕ2 + 8ݔ − 8 = ߣ(2ݔ)
4ݔݕ − 2ݔ2ݕ = ߣ(2ݕ − 10)
ݔ2 + (ݕ − 5)2 = 14
 
Solução do sistema: Para se resolver esse sistema, utilizou-se o comando solve do wxMaxima. 
Comando: solve([-2*x*y^2+2*y^2+8*x-8=l*(2*x),4*x*y-2*x^2*y=l*(2*(y-5)),x^2+(y-5)^2=1/4]); 
Resultado: [l=-25183/378,y=16661/3271,x=-1947/3964],[l=16852/681,y=11997/2329,x=2649/5558] … 
Logo: ቂቀߣ = − 25183378 , ݔ = − 19473964 , ݕ = 166613271 ቁ , ቀߣ = 16852681 , ݔ = 26495558 , ݕ = 119972329 ቁቃ Como só nos interessa o conjunto solução de números reais, vamos pegar apenas os valores acima. Pontos def(x,y) restrita: 
݂ ቀ− 19473964 , 166613271 ቁ = − 2833006694279765168123483467536 = −16.8507494363618 
݂ ቀ26495558 , 119972329 ቁ = 4417152285028975167562203154724 = 26.36126884145976 
Então temos que ቀ− 19473964 , 166613271 ቁ é ponto de mínimo e ቀଶ଺ସଽହହହ଼ , ଵଵଽଽ଻ଶଷଶଽ ቁ é ponto de máximo de ݂(ݔ, ݕ) sujeita a ݃(ݔ, ݕ) = ݇ . 
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b) ݃(ݔ, ݕ) = ݔଶݕଶ − 2ݔଶݕ − 4ݕଶ + 8ݕ + 2 i) Gráfico e curvas de nível 
 Comando: plot3d(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,[x,-4,4],[y,-4,4],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 50]); 
 Comando: contour_plot(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,[x,-4,4],[y,-4,4],[xtics, 1],[ytics, 1]); ii) Pontos críticos Para se encontrar os pontos críticos pega-se as derivadas de primeira ordem em relação a x e a y e iguala-se a 0: 
 
௫݂ Comando: diff(x^2*y^2-2*x^2*y-4*y^2+8*y+2,x); Resultado: 2*x*y^2-4*x*y 
௬݂ Comando: diff(x^2*y^2-2*x^2*y-4*y^2+8*y+2,y); Resultado: 2*x^2*y-8*y-2*x^2+8 
 Pontos críticos: Comando: solve([2*x*y^2-4*x*y=0,2*x^2*y-8*y-2*x^2+8=0]); Resultado: [[y=1,x=0],[y=0,x=-2],[y=2,x=-2],[y=0,x=2],[y=2,x=2]] Pontos (x,y): (0,1) , (-2,0) , (-2,2) , (2,0) , (2,2) 
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iii) Gráfico e curvas de nível na vizinhança dos pontos críticos 
 Comando: plot3d(x^2*y^2-2*x^2*y-4*y^2+8*y+2,[x,-4,4],[y,-3,5],[xtics, 1],[ytics, 1],[ztics, 50]); 
 Comando: contour_plot(x^2*y^2-2*x^2*y-4*y^2+8*y+2,[x,-4,4],[y,-3,5],[xtics, 1],[ytics, 1]); iv) Matriz hessiana Para se construir a matriz hessiana e então descobrir se os pontos críticos encontrados são pontos de máximo local, mínimo local ou ponto de sela, precisamos calcular antes as derivadas de segunda ordem, como feito abaixo. 
௫݂௫ Comando: diff(x^2*y^2-2*x^2*y-4*y^2+8*y+2,x,2); Resultado: 2*y^2-4*y 
௬݂௬ Comando: diff(10-x^2*y^2+2*x*y^2+4*x^2-8*x,y,2); Resultado: 2*x^2-8 
௫݂௬ Comando: diff(diff(x^2*y^2-2*x^2*y-4*y^2+8*y+2,x),y); Resultado: 4*x*y-4*x 
 Matriz hessiana: ൥݂ݔݔ ݂ݔݕ݂ݔݕ ݂ݕݕ൩ 
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Substituindo, temos: ܤ = ൤2ݕଶ − 4ݕ 4ݔݕ − 4ݔ4ݔݕ − 4ݔ 2ݔଶ − 8 ൨ Calculando Det B, temos: (2ݕଶ − 4ݕ)(2ݔଶ − 8) − (4ݔݕ − 4ݔ)ଶ Definindo Det B como uma função de x e y temos: ܦ݁ݐܤ(ݔ, ݕ) = (2ݕଶ − 4ݕ)(2ݔଶ − 8) − (4ݔݕ − 4ݔ)ଶ Comando: 
fxx(x,y):=2*y^2-4*y;/* definindo a fxx */; 
fyy(x,y):=2*x^2-8;/* definindo a fyy */; 
fxy(x,y):=4*x*y-4*x;/* definindo a fxy */; 
/* definindo os valores da matriz hessiana */; 
a [1, 1] : fxx(x,y); 
a [1, 2] : fxy(x,y); 
a [2, 1] : fxy(x,y); 
a [2, 2] : fyy(x,y); 
/* Montando a matriz hessiana */ 
genmatrix (a, 2, 2); 
/* Calculando o determinante da matriz hessiana */ 
determinant(genmatrix (a, 2, 2)); 
/* Definindo a função Det(x,y) */ 
detB(x,y):=((2*y^2-4*y)*(2*x^2-8)-(4*x*y-4*x)^2); Agora com o determinante da matriz hessiana em função de x e y, basta aplicarmos os pontos críticos, seguindo o critério de classificação onde: Se ܦ݁ݐ ܤ(ܽ, ܾ) < 0, (ܽ, ܾ) é ponto de sela; Se ܦ݁ݐ ܤ(ܽ, ܾ) = 0, nada podemos afirmar sobre (ܽ, ܾ); 
Se ܦ݁ݐ ܤ(ܽ, ܾ) > 0, precisamos realizar outro teste em ௫݂௫(ݔ, ݕ) para tal que: Se ௫݂௫(ܽ, ܾ) > 0, então (ܽ, ܾ) é ponto de mínimo; Se ௫݂௫(ܽ, ܾ) < 0, então (ܽ, ܾ) é ponto de máximo; Comando: 
if detB(a,b)<0 /* define o ponto crítico */ 
 then "Ponto de sela" 
else 
 if fxx(1,0)<0 
 then "Ponto de máximo" 
else 
"Ponto de Mínimo"; Com o código acima, basta substituir (ܽ, ܾ) com as coordenadas de cada ponto crítico. Por final obtemos a seguinte tabela: 
Ponto ࡰࢋ࢚ ࡮(ࢇ, ࢈) ࢌ࢞࢞(࢞, ࢟) Conclusão (0,1) 16 -2 Ponto de máximo 
(-2,0) -64 * Ponto de sela 
(-2,2) -64 * Ponto de sela 
(2,0) -64 * Ponto de sela 
(2,2) -64 * Ponto de sela 
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v) Otimização pelo teorema de Lagrange A otimização segundo o teorema de Lagrange consiste em encontrar valores de máximo e mínimo locais de uma função dada como ݂(ݔ, ݕ) restrita a uma função ݃(ݔ, ݕ) = ݇ através da solução de um sistema de igualdades montado com a derivada de primeira ordem de ݂(ݔ, ݕ) igualado derivada de primeira ordem de ݃(ݔ, ݕ) multiplicada por uma variável lambda, conhecida como multiplicador de Lagrange, e a função que restringe. 
ቐ ௫݂
(ݔ, ݕ) = ߣ݃௫(ݔ, ݕ)
௬݂(ݔ, ݕ) = ߣ݃௬(ݔ, ݕ)݃(ݔ, ݕ) = ݇ Através da solução desse sistema, podemos encontrar os pontos críticos de ݂(ݔ, ݕ) e valores de lambda. Função a ser encontrados os pontos de máximo e mínimo: ݂(ݔ, ݕ) = ݔଶݕଶ − 2ݔଶy − 4ݕଶ + 8y + 2 Função de restrição: 
݃(ݔ, ݕ) = ݔଶ + (ݕ − 5)ଶ = 14 Derivadas de primeira ordem: 
௫݂(ݔ, ݕ) = 2ݔݕଶ − 4ݔݕ ௬݂(ݔ, ݕ) = 2ݔଶݕ − 8ݕ − 2ݔଶ + 8 ݃௫(ݔ, ݕ) = 2ݔ ݃௬(ݔ, ݕ) = 2ݕ − 10 Sistema: 
൞
2ݔݕ2 − 4ݔݕ = ߣ(2ݔ)
2ݔ2ݕ − 8ݕ − 2ݔ2 + 8 = ߣ(2ݕ − 10)
ݔ2 + (ݕ − 5)2 = 14
 
Solução do sistema: Para se resolver esse sistema, utilizou-se o comando solve do wxMaxima. 
Comando: solve([2*x*y^2-4*x*y=l*(2*x),2*x^2*y-8*y-2*x^2+8=l*(2*y-10),x^2+(y-5)^2=1/4]); 
Resultado: [l=-36,y=11/2,x=0],[l=28,y=9/2,x=0]… 
Logo: ቂቀߣ = −36, ݔ = 0, ݕ = 112 ቁ , ቀߣ = 28, ݔ = 0, ݕ = 92ቁቃ Como só nos interessa o conjunto solução de números reais, vamos pegar apenas os valores acima. Pontos de ݂(ݔ, ݕ) restrita: 
݂ ቀ0, 112 ቁ = −75 
݂ ቀ0, 92ቁ = −43 
Então temos que ቀ0, 112 ቁ é ponto de mínimo e ቀ0, ଽଶቁ é ponto de máximo de ݂(ݔ, ݕ) sujeita a ݃(ݔ, ݕ) = ݇. 
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Questão 7 - Campo gradiente e curvas de nível O gráfico foi gerado pelo software wxMaxima, com os vetores gradientes na cor azul e as curvas de nível da função ݂(ݔ, ݕ) = ݔଶ − ݕଶ na cor vermelha. 
 Comando: ploteq ((x^2-y^2) ,[ x , y ] ,[x , -4 ,4] ,[ y , -4 ,4] ,[ vectors ,"blue"]); Observando a imagem acima podemos notar claramente em que sentido a função cresce mais rapidamente, uma vez que essa é a definição de vetor gradiente, ser ortogonal a curva de nível da função e indicar o sentido de maior crescimento em um determinado ponto. Ao se obter o oposto do vetor gradiente, temos também o sentido de maior decrescimento da função dada. A função ݂(ݔ, ݕ) = ݔଶ − ݕଶ é uma função continua em toda sua imagem, essa função também é conhecida principalmente por seu nome genérico dado como “Sela de cavalo”, uma vez que seu formato lembra tal objeto. Como mostra a imagem ao lado. 
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Questão 8 - Calculo de integrais Para calcular as integrais abaixo, utilizou-se exclusivamente o software wxMaxima. 
a) ׬ ݔଷݏ݁݊(2ݔସ)݀ݔ Comando: integrate(x^3*sin(2*x^4),x); Resultado: -cos(2*x^4)/8 −cos(2ݔସ)
8 
b) ׬ ׬ ݔଶݏ݁݊(ݕ)గ଴ଵ଴ ݀ݔ ݀ݕ Comando: integrate(integrate(x^2*sin(y),x,0,%pi),y,0,1); Resultado: (%pi^3*(1-cos(1)))/3 ߨଷ(1 − cos(1))
3 
c) ׬ ׬ ׬ ݖ݁௬√ଵି௭మ଴ଵ଴ଷ଴ ݀ݔ ݀ݖ ݀ݕ Comando: integrate(integrate(integrate((z*%e^y),x,0,sqrt(1-z^2)),z,0,1),y,0,3); Resultado: (%e^3-1)/3 ݁ଷ − 1
3 
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CONCLUSÃO 
 Atualmente contamos com muitas ferramentas para facilitar a execução de diversos serviços, antes realizados manualmente, com a matemática não é diferente. ontando com diversos softwares de cálculo e plotagem de gráficos, softwares que podem ser executados em computadores, celulares, calculadoras programáveis, etc. De fato, o surgimento dos computadores ajudoue muito o avanço tecnológico contemporâneo, tendo cumprido sua função primordial que era servir como uma ferramenta e atualmente vêm sendo desenvolvendo muito mais que isso, sendo utilizados inclusive para lazer e entretenimento Como esse trabalho foi desenvolvido somente utilizando o wxMaxima, pode-se notar ainda algumas limitações, principalmente na plotagem de gráficos, porem são limitações mínimas, se comparadas com o que se tinha a 10 ou 20 anos atrás, e que sem dúvida alguma serão superadas em um futuro muito próximo. 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 Stewart, James, Cálculo. Vol. 2,Editora Thomson, 7ª edição, 2013. Manual do Maxima 5.35.0. Disponível em: <http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima.htm/>. Acesso em 04 nov. 2015.