Prova 1 GA Gabarito

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Universidade Federal do Maranha˜o
Coordenac¸a˜o de Cieˆncia & Tecnologia
Gabarito da Terceira Avaliac¸a˜o
16 ⋅ 01 ⋅ 2014
Disciplina1: CD e GA T1 Professor: MARCOS NASCIMENTO AZEVEDO
Aluno(a): Matr´ıcula: −
Questa˜o 1 (20 pontos) Se (#«e 1, #«e 2, #«e 3) e´ uma base, podemos dizer que (#«e 3 − #«e 1, #«e 1 − #«e 2, #«e 2 − #«e 3)
tambe´m e´ uma base? Justifique.
Soluc¸a˜o. Sejam
#«
f 1 = #«e 3 − #«e 1, #«f 2 = #«e 1 − #«e 2 e #«f 3 = #«e 2 − #«e 3. Se E = (#«e 1, #«e 2, #«e 3) enta˜o
#«
f 1 = (−1,0,1)E, #«f 2 = (1,−1,0)E e #«f 3 = (0,1,−1)E. Como
det
⎛⎜⎝
−1 0 1
1 −1 0
0 1 −1
⎞⎟⎠ = 0,
o conjunto (#«e 3 − #«e 1, #«e 1 − #«e 2, #«e 2 − #«e 3) e´ linearmente dependente e portanto, na˜o e´ base.
Questa˜o 2 (20 pontos) Calcular o valor de α para que a a´rea do paralelogramo determinado por
#«u = (α,−3,1) e #«v = (1,−2,2) seja igual a √26.
Soluc¸a˜o. Veja que #«u ∧ #«v = det⎛⎜⎝
#«
i
#«
j
#«
k
α −3 1
1 −2 2
⎞⎟⎠ = (−4,1 − 2α,3 − 2α), de onde segue-se
que ∥#«u ∧ #«v ∥2 = 2(13 − 8a + 4α2). Como #«u e #«v sa˜o linearmente independentes, a a´rea do
paralelogramo definido por estes vetores e´ igual a ∥#«u ∧ #«v ∥ e portanto, 2(13−8α+4α2) = 26,
isto e´, 8α(α − 2) = 0. Logo, α = 0 ou α = 2.
1Ca´lculo Diferencial e Geometria Anal´ıtica
Questa˜o 3 (20 pontos) Encontrar uma equac¸a˜o da elipse com focos nos ve´rtices da hipe´rbole
y 2
4
− x2
5
=
1 e ve´rtices nos focos dessa hipe´rbole.
Soluc¸a˜o. Os ve´rtices da hipe´rbole sa˜o os pontos A1(0,−2) e A2(0,2) (veja a figura). Como
a = 2 e b = √5 temos c = √a2 + b2 = 3, de modo que os focos sa˜o os pontos F1(0,−3) e
F2(0,3). As ass´ıntotas sa˜o as retas y = ±2x/√5.
No caso da elipse, o semieixo maior esta´ no eixo Oy e os focos sa˜o os pontos A1 e A2. Os
ve´rtices sa˜o os pontos F1 e F2 e, os semieixos maior e menor medem, respectivamente, 3
e
√
5. A equac¸a˜o reduzida dessa elipse e´:
x2
5
+ y 2
9
= 1.
2
Questa˜o 4 (20 pontos) Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi ∶ x + y + z = 0 e que
forma um aˆngulo de 45 graus com o plano pi1 ∶ x − y = 0.
Soluc¸a˜o. Note que #«n = (1,1,1) e #«n 1 = (1,−1,0) sa˜o vetores normais aos planos pi e pi1,
respectivamente. Seja #«v = (a, b, c) um vetor diretor unita´rio da reta nas condic¸o˜es do
problema. Como #«v e´ paralelo ao plano pi temos #«v ⋅ #«n = 0. Por outro lado, se o aˆngulo
entre essa reta e o plano pi1 e´ 45 graus enta˜o ∣#«n 1 ⋅ #«v ∣ = ∥#«n 1∥ ⋅∥#«v ∥ cos 45○. Das duas u´ltimas
equac¸o˜es obtemos
a + b + c = 0 e ∣a − b∣ = 1 (1)
Suponha que a ≥ b. Enta˜o, de (1), a = b + 1 e c = −2b − 1. Como a2 + b2 + c2 = 1 obtemos:
(b + 1)2 + b2 + (2b + 1)2 = 1⇒ 6b2 + 6b + 1 = 0⇒ b = 1
6
(−3 ±√3)
Tomando-se b = √3−3
6
encontramos a = √3+3
6
e c = −√3
3
. Com essa escolha o vetor #«v =(√3+3
6
,
√
3−3
6
,−√3
3
) satisfaz as condic¸o˜es do problema.
Questa˜o 5 (20 pontos) Identifique e represente graficamente a superf´ıcie expressa pela equac¸a˜o
z2 = x2 + y 2 − 1.
Soluc¸a˜o. Fazendo-se z = k constante, obtemos x2 + y 2 = 1 + k2 que e´ a equac¸a˜o de uma
circunfereˆncia no plano z = k . No plano x = k , com k2 ≠ 1, temos a equac¸a˜o de uma
hipe´rbole equila´tera:
z2
k2 − 1 − y 2k2 − 1 = 1. Se k = 1 ou k = −1 enta˜o z2 − y 2 = 0 representa
um par de retas que se cortam em (k,0,0). O mesmo ocorre se fizermos y = k . Podemos,
assim, concluir que essa superf´ıcie e´ um hiperbolo´ide uma folha.
3