Torção em Eixos: Resistência dos Materiais II

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Resistência dos Materiais II
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Capítulo 2
Torção
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Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo 
longitudinal.
Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo 
permanecerão inalterados.
2.1 – Revisão
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• Torque aplicado ao eixo produz tensões de 
cisalhamento nas faces perpendiculares ao 
eixo.
• A existência de componentes de 
cisalhamento axial é demonstrada, 
considerando um eixo formado por tiras 
axiais separadas.
• As tiras deslizam umas em relação as 
outras quando torques iguais e opostos são 
aplicados às extremidades do eixo.
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• A experiência mostra que o ângulo de
torção da barra é proporcional ao torque
aplicado e ao comprimento da barra.
L
T




• Quando submetido à torção, cada seção
transversal de um eixo circular permanece
plana e indeformada.
• Seções transversais para barras circulares
cheias ou vazadas permanecem planas e
indeformadas, porque a barra circular é
axissimétrica.
• Seções transversais de barras não circulares 
são distorcidos quando submetidas à torção.
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Ip: momento polar de inércia da área da seção.
  
max
 e 
p p
Tr T
I I
ρ: distância radial da linha central do eixo
T: torque interno resultante que age na seção 
τ: tensão de cisalhamento (máxima na 
superfície externa)
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Ângulo de torção:
p
TL
I G
 
G : módulo de elasticidade ao cisalhamento
L: comprimento do eixo
ϕ: ângulo de torção (rad)
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Se a carga de torção ou a seção transversal da 
barra ou o material muda ao longo do 
comprimento, o ângulo de rotação é 
encontrado como a soma de rotações de cada 
segmento.
i i
i pi i
T L
I G
 
Convenção de sinais
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O eixo de seção circular BC é vazado com
diâmetros interno e externo de 90 mm e 120
mm, respectivamente. Os eixos de seção
circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d.
Para o carregamento mostrado na figura,
determine: (a) as tensões de cisalhamento
máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d
necessário para os eixos AB e CD, se a tensão
de cisalhamento admissível nesses eixos for de
65 MPa.
Exemplo 1 -
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Cortar seções ao longo das barras AB e BC e realizar análise de 
equilíbrio estático para encontrar cargas de torque.
-
 
CDAB
ABx
TT
TM


mkN6
mkN60    
mkN20
mkN14mkN60


BC
BCx
T
TM
-
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(a)Aplicar fórmulas de torção 
elástica para encontrar tensões 
mínima e máxima na barra BC.
     444 42 1
6 4
0,060 0,045
2 2
13,92 10 m
pI r r
 

     
 
  2
max 2 6 4
20 kN m 0,060m
86.2MPa
13,92 10 m
BC
p
T r
I  

   

  1
min 1 6 4
min
20 kN m 0,045m
13,92 10 m
64,7MPa
BC
p
T r
I 



  


max
min
86,2MPa
64,7MPa




(b)Dada a tensão de cisalhamento 
admissível e torque aplicado, inverte-
se a fórmula de torção elástica e 
encontra-se o diâmetro necessário.
max 4 3
2 2
3
6kN m
 65
38,9 10 m
p
Tr Tr MPa
I r r
r
 



  
 
2 77,8mmd r 
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Dadas as dimensões da barra e do torque aplicado 
(solicitação), gostaríamos de encontrar as reações 
de torque em A e B. A partir de uma análise de 
corpo livre da barra,
estaticamente 
indeterminado
 (1)A BT T T 
EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE:
Dividindo o eixo em dois componentes que devem 
ter deslocamentos rotacionais compatíveis,
  

    

0
 (2)
A AC B CB
AB AC CB
p p
AC
B A
CB
T L T L
I G I G
LT T
L
2.2 – Eixos Estaticamente Indeterminados
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Teremos um sistema:
A B
AC
B A
CB
T T T
L
T T
L
 


 



CB
A
AC
B
L
T T
Ll
L
T T
Ll


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1)O eixo maciço de aço mostrado abaixo tem diâmetro de 20mm. Se for 
submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B.
Respostas: TA=-345Nm e TB=645Nm
Exercício de fixação
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2)Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Ip é 
constante. Resposta: 16,3MPa
Exercício de fixação
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3) O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 0,5in 
e CB, com diâmetro de 1in. Se estiver preso em suas extremidades A e B e 
for submetido a um torque de 500lb.ft, determine a tensão de cisalhamento 
máxima no eixo. Gaço=10,8(10
3)ksi. Resposta: τmax=29,3ksi
Exercício de fixação
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O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido a um 
núcleo de latão. Se um torque de T=250Nm for aplicado em sua 
extremidade, como se distribuem as tensões de cisalhamento ao longo da 
linha radial de sua área de seção transversal? 
GAÇO=80GPa
GLAT=36GPa
2.3- Estruturas heterogêneas quanto 
aos materiais
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250 (1)Aço LATT T Nm 
A reação na parede é representada pelas quantidades desconhecidas de 
torque às quais resistem o aço e o latão. O equilíbrio exige:
Compatibilidade:Exige-se que o ângulo de torção na 
extremidade A sejam o mesmo para o aço e 
para o latão, visto que eles estão unidos.
Aplicando a relação carga-deslocamento, temos:
AÇO LAT   
/ pTL I G 
AÇO LAT
pAÇO AÇO pLAT LAT
T L T L
I G I G

        
4 3 24 4 3 2 /2 10 36 10 //2 20 10 80 10 /
AÇO LATT Tmm N mmmm mm N mm        
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33,33 (2)AÇO LATT T
Resolvendo o sistema: 
Pela fórmula da torção:
Observe a descontinuidade da tensão de cisalhamento na interface latão-
aço. Isso era de se esperar, já que os materiais têm módulos de rigidez 
diferentes. 
242,72
7,28
AÇO
LAT
T Nm
T Nm


 
 
  
3
4
7,28 10 10
4,63
/2 10
LAT máx
Nmm mm MPamm  
 
 
     
3
4 4
242,72 10 20
20,6
/2 20 10
AÇO máx
Nmm mm MPamm mm    
 
 
     
3
4 4
242,72 10 10
10,3
/2 20 10
AÇO mín
Nmm mm MPamm mm    
max
p
Tr
I
 
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4)O eixo é feito de um tubo de aço com núcleo de latão. Se estiver preso a 
um dos apoio rígido, determine o ângulo de torção que ocorre em sua 
extremidade. GAÇO=75GPa e GLAT=37GPa
Respostas:
Exercício de fixação
0,00617rad 
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5)Uma barra de aço sólida de diâmetro 1,2in está circundada por um tubo de
diâmetro externo igual a 1,8in e diâmetro interno igual a 1,4in. Tanto a barra
como o tubo estão fixados rigidamente na extremidade A e unidos de forma
bem segura na extremidade B. A barra composta, que tem 20in de
comprimento, é torcida por um torque T=4400lb.in agindo na placa da
extremidade. Determine as tensões de cisalhamento máximas na barra e no
tubo e o ângulo de torção em graus da placa, assumindo que o módulo de
elasticidade do aço é G=11,6x106psi. Respostas:
Exercício de fixação
0,507  
3,08 4,62barra tuboksi ksi  
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2.4 – Eixos maciços não circulares
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A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com 
seção transversal não circular são:
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A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com 
seção transversal retangular são:
a/b c1 c2
1,0 0,208 0,1406
1,2 0,219 0,1661
1,5 0,231 0,1958
2,0 0,246 0,229
2,5 0,258 0,249
3,0 0,267 0,263
4,0 0,282 0,281
5,0 0,291 0,291
10,0 0,312 0,312
max 2
1
3
2
 
T
c ab
TL
c ab G




a→maior lado
b→menor lado
a
b
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O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um
triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à
extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa
e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad.
Gal = 26 GPa.
Exemplo 2-
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O torque interno resultante em qualquer seção transversal ao longo da linha 
central do eixo também é T.
  
 
adm 3 2 3 3
3
adm 4
4 4 3al
2
20 20
; 56 179200 Nmm=179,2Nm 
40
46 1,2 1046
; 0,02rad 24120 24,12
40 26 10
24,12 Nm
T N T Ta mm mm
T mmTL T Nmm NmNa G mm mmT


   
    
 
  
Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção.
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6)O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica. 
Se for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine a tensão 
de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC. 
Respostas:
Exercício de fixação
   BC ACmáx máx0,955 1,592MPa MPa  
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7)Determinar o maior torque T que pode ser aplicado a cada uma das duas 
barras de alumínio mostradas, e o correspondente ângulo de torção em B, 
sabendo-se que G=26GPa e . 
Respostas:
Exercício de fixação
) 2,25 =0,816°
) 1,77 =0,901°
a T kNm
b T kNm




adm 50MPa 
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A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é
Para o ângulo de torção,
mtA
T
2
méd 
τméd = tensão de cisalhamento média
T = torque interno resultante na seção 
transversal
t = espessura do tubo
Am = área média contida no contorno da 
linha central
 t
ds
GA
TL
m
24

2.5 – Tubos de parede fina com 
seções transversais fechadas
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Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão 
de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque 
de 85 Nm. Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento.
Considere Gal = 26 GPa.
Exemplo 3-
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O torque interno no ponto A é T = 85 Nm.
 
  
3
méd 2
méd
85 10
2 2 10 2.500
1,7 
m
NmmT
tA mm mm
MPa


 

Para tensão de cisalhamento média:
22 mm 500.250 mA
A área sombreada é .
   
    
    ds
ds
t
ds
GA
TL
m
14
32
33
2
mm 10196,0
101026500.24
105,11085
4

Para ângulo de torção,
A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno 
do tubo. Assim,
    
 
4
3
0,196 10 4 50
3,92 10 rad 






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8)O tubo da figura é construído em bronze e tem a seção transversal na 
forma e dimensões indicadas. Se está sujeito aos dois torques como 
mostrado, determine o valor da tensão tangencial nos pontos A e B, e o 
ângulo de torção do extremo C em relação ao suporte fixo E. Considerar 
G=38GPa. Respostas:
Exercício de fixação
A B1,75 , 2,92 e =0,00626rad MPa MPa  
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9)Um torque de 1,2kNm é aplicado a uma barra vazada de alumínio, que 
tem a seção mostrada na figura. Determinar a tensão de cisalhamento da 
barra. Respostas:
Exercício de fixação
44,4MPa 
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10)O tubo é feito de plástico, tem 5mm de espessura e as dimensões
médias são mostradas na figura. Determine a tensão de cisalhamento
média nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque de T=500Nm.
Respostas:
Exercício de fixação
9,6MPa