Noções de Trigonometria

Prévia do material em texto

0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TÓPICOS DE REVISÃO 
 MATEMÁTICA II 
 NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA 
 
 Prof. Rogério Rodrigues 
 
1 
I) INTRODUÇÃO : 
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da 
matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos 
ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente 
as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os 
cálculos baseados nelas. A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, 
tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas 
ciências naturais. O estudo da trigonometria tem suas origens nos primórdios das 
civilizações, particularmente naas aplicações arqutetônicas. Ainda hoje, os profissionais 
ligados à construção civíl usam conceitos de trigonometria nos processos mais 
elementares. Exemplo disso é o cálculo do caimento dos telhados: quando se diz, por 
exemplo, que um telhado tem um caimento de 10%, é omesmo que dizer que o ângulo 
desse telhado com a horizontal é tal que sua tangente é 0,1. Veja figura abaixo. 
 P 
 Q α R 
 tg α = ������ ������������ �	
������ = 
�
� = 0,1 = 10% 
 
II) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO : 
 Um triângulo é dito retângulo quando possui um ângulo reto (90o). Nesse caso, tem-se: 
 
 A 
 
 
 
 α 
 B C 
 
 
 
► Hipotenusa : lado oposto ao ângulo reto (AC) 
► Catetos: lados que formam o ângulo reto (AB e BC) 
 
Em relação a um dos ângulos agudos (�� ou ��), tem –se um cateto oposto e um cateto 
adjacente . Por exemplo, em relação ao ângulo �� , de medida α , tem-se: 
 
► Cateto oposto : AB 
► Cateto adjacente: BC 
 
2 
Com isto, são definidas as seguintes razões ou relações trigonométricas: 
 
II.1) Seno de um ângulo agudo : 
 
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa do 
triângulo. Em relação à figura anterior, temos: 
 
 sen α = 
��
�� (equação 1) 
 
II.2) Cosseno de um ângulo agudo : 
 
É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa do 
triângulo. Em relação à figura anterior, temos: 
 
 cos α = 
��
�� (equação 2) 
 
 
 
II.3) Tangente de um ângulo agudo : 
 
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida do cateto adjacente do 
triângulo. Em relação à figura anterior, temos: 
 
 tg α = ���� (equação 3) 
 
III) PROPRIEDADES E RELAÇÕES SECUNDÁRIAS: 
 
 
 A 
 
 β 
 
 α 
 B C 
 
Considere-se a figura acima. De acordo com as definições anteriores, temos: 
 
1o) sen ββββ = ���� (equação 4) 
2o) cos ββββ = ���� (equação 5) 
 
3 
3o) tg ββββ = ���� (equação 6) 
 
III.1) Propriedades: 
a) Os ângulos de medidas α e β do triângulo ABC da figura anterior são complementares, 
ou seja, somam 90o. 
 α + ββββ = 90o ⇒⇒⇒⇒ α e ββββ são complementares 
b) Comparando as equações 1 e 5, 2 e 4, 3 e 6, verificamos que: Se dois ângulos de 
medidas α e ββββ são complementares, então: 
sen α = cos ββββ e cos α = sen ββββ 
 
 tg α = ��� ββββ 
 
III.2) Relações secundárias : 
a) Dividindo-se, membro a membro, as equações 1 e 2, tem-se ��� ���� � = ���� . ���� = ���� que 
é igual a tg α , ou seja, 
 tg α = �� !"#� ! 
b) Elevando-se ao quadrado as equações 1 e 2 e somando-se as equações 
resultantes, tem-se 
sen
2
 α = 
$��%&
$��%& 
 ⇒ sen
2
 α + cos2 α = 
$��%& ' $��%&
$��%& = 
$��%&
$��%& = 1 
cos
2
 α = 
$��%&
$��%& 
 
 sen2 α + cos2 α = 1 
 
 
4 
III.3) Valores notáveis : 
 MEDIDA 
 SENO COSSENO TANGENTE GRAU RAD 
 30 
 pipipipi / 6 
�( √*( √** 
 45 
 pipipipi / 4 √(( √(( 1 
 60 
 pipipipi / 3 √*( 
�( √* 
 90 
 pipipipi / 2 1 0 Não é definido 
Exercicios resolvidos : 
1) No triângulo ABC, tem-se AB = 8 cm, AC = 12 cm e BÂC = 30o. Calcule a área do 
triângulo ABC. 
Resolução: 
 B 
 8 
 h 30o 
 C A 
 12 
1o) Traçando-se a altura h, tem-se, à direita um triângulo retângulo de hipotenusa AB. 
Então, 
 sen 30o = ������ ������+,�����-�� = 
+
. . Consultando-se a tabela acima. temos sen 30o = +.=/0 ⇒ 
⇒2h= 8 ⇒ h= 4 cm. 
 
2o)Como a área do triângulo é o semi-produto da base e da altura, tem-se: 
S∆ = 12.4/2 = 24 cm2. 
 
2) Num triângulo retângulo os ângulos agudos têm medidas m e n, tais que cos m = √12 . 
Calcule 
a) sen m e tg m. 
b) sen n, cosn e tg n. 
 
 
 
5 
Resolução: 
1o) como sen2m + co2m = 1, tem-se sen2m + 3√12 4
0
 = 1⇒ sen2m = 1 - 1/5 = 
/1
/5 ⇒ sen m = 
= ±6/1/5 ; mas como m é ângulo agudo, sen m = 6/1/5 ⇒ sen m = √�*7 . Daí, tem-se o valor 
de tg m = ��� 8��� 8= √
/1
2 .
7
√* = 
√�*
√* , que racionalizado é tg m = 
√*9* . 
 
2o) Como m e n são complementares, tem-se: 
 ►sen n = cos m = 
√12 
 
►cos n = sen m = 
√�*
7 
► tg n = 1/tg m = √*9�* 
 
IV) O CICLO TRIGONOMÉTRICO : 
O triângulo é o modelo primitivo para o estudo trigonométrico, mas é limitado 
a ângulos menores do que 90o (ângulos agudos). Vamos, a partir de agora, 
adotar um modelo geométrico que permita trabalhar com qualquer medida de 
ângulo: a circunferência orientada, que chamaremos de Ciclo trigonométrico. 
Suas propriedades são registradas a seguir. 
 
 
6 
1o) Circunferência de raio unitário associada ao plano cartesiano de tal modo 
que seu centro é a origem do plano cartesiano e sua origem (0o) é o ponto A. 
Então, a partir do ponto A, marca-se qualquer arco AP, associado a um ângulo 
central AÔP. Exemplo da figura: arco AP = 30o. 
2o) Cada arco da circunferência trigonométrica pode ser marcado no sentido 
anti-horário (POSITIVO) ou horário (NEGATIVO). Todo arco cuja medida é 
precedida do sinal + é marcado, a partir do ponto A, no sentido anti-horário e, 
do mesmo modo, todo arco de medida precedida do sinal – é marcado, a partir 
do ponto A, no sentido horário. 
3o) Todo ponto da circunferência trigonométrica equivale a um arco e vice-
versa. As coordenadas de cada ponto são cartesianas do tipo (xP , yP) em que xP 
é o cosseno do arco associado ao ponto e yP é o seno do mesmo arco; veja a 
justificativa a seguir:a) O ponto P assinala o arco AP associado ao ângulo central PÔA = α . No triângulo 
POxP , temos sen α = cateto oposto/hipotenusa = yP/OP; como o raio da circunferência é 
unitário, sen α = yP . No mesmo triângulo, cos α = cateto adjacente/hipotenusa = xP/OP; 
cos α = xP . Então as coordenadas do ponto P são dadas por P(cos α , sen α) . Como 
exemplo, se α = 30o , temos P(cos 30o , sen 30o) ou P( √10 , �( ). 
 
b) O eixo das tangentes é paralelo ao eixo das ordenadas (eixo y) e tangencia a 
circunferência em sua origem; sua orientação é a mesma do eixo y: positivo para cima e 
negativo para baixo. A tangente de um arco é determinada pelo prolongamento do raio na 
 
7 
extremidade do arco. Observe, como exemplo, o arco AP associado ao ângulo central 
PÔA = α : prolongando-se o raio OP, encontra-se o ponto B no eixo das tangentes. No 
triângulo AOB, tem-se tg α = cateto oposto/cateto adjacente = AB/AO, como AO = raio= 
=1, tem-se tg α = AB . do mesmo modo, o arco AQ, do 2o quadrante, tem sua tangente 
determinada pelo prolongamento do raio QO, determinando-se o ponto C; então, a 
tangente do ângulo central associado ao arco AQ é – (AC). Pode-se montar o seguinte 
quadro de sinais: 
 
QUADRANTE INTERVALO DO CICLO sen cos tg EM GRAUS EM RAD. 
 1o 0 < α < 90 
 0 < α < pi/2 + + + 
 2o 90 < α < 180 
 pi/2 < α < pi + - - 
 3o 180 < α < 270 
 pi < α < 3pi/2 - - + 
 4o 270 < α < 360 3pi/2< α < 2pi - + - 
 
c) Todo ponto associado a um arco negativo tem sua versão positiva e vice-versa. Se um 
arco tem medida indicada por – α , ele, no sentido positivo, será 360o – α : 
 
 
É o caso , por exemplo, dos pares -30o e 330o, -110o e 250o, - 2pi/5 e 8pi/5, .... 
 
d) Como a circunferência trigonométrica é cíclica, cada ponto determina infinitos arcos, 
dependendo do número de voltas completas que se percorre, sempre passando por cada 
ponto. Por exemplo, saindo-se do 0o, passa-se pelo ponto P, que determina um arco de 
300, determinando-se os arcos 
 ► 30o = 0 voltas + 30o = 0. 360o + 30o = 0. 2pi + pi/6 rad = pi/6 rad 
 ► 390o = 1 volta + 30o = 1. 360o + 30o = 1. 2pi + pi/6 rad = 13pi/6 rad 
 ► 750o = 2 voltas + 30o = 2. 360o + 30o = 2. 2pi + pi/6 rad = 25pi/6 rad 
 ► 1110o = 3 voltas + 30o = 3. 360o + 30o = 3. 2pi + pi/6 rad = 37pi/6 rad 
 
 
8 
Todos esses arcos são chamados de arcos côngruos, pelo fato de se posicionarem no 
mesmo ponto do ciclo; 30o ou pi/6 é chamado de menor determinação desses arcos. De um 
modo geral, se a menor determinação de um ponto no ciclo corresponde a um arco de 
medida α , sua expressão geral será 
 
 {x∈∈∈∈R/ x = α + 360o. k} ou {x∈∈∈∈R/ x = α + 2kpi} 
 
Para o caso do nosso exemplo, teremos 
 
 {x∈∈∈∈R/ x = 30o + 360o. k} ou {x∈∈∈∈R/ x = pipipipi/6 + 2kpi} 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Observando os pontos assinalados na circunferência trigonométrica a seguir, faça o que 
de pede: (OBS: são de mesma medida os arcos AB, BC, CD, DE, ..., KL e LA) 
 
 
 
a) Qual é a medida de cada arco citado no enunciado? 
b) Dê , em graus e em radianos, a medida dos arcos AB,AC, AD, AE, AF, AG, AH, AI, 
AJ, AK, AL e AA. 
c) Dê as coordenadas cartesianas dos pontos A, B, C, ..., K e L. 
d) Observando as coordenadas determinadas no item anterior, agrupe os pontos cujas 
coordenadas correspondentes tem o mesmo módulo. 
e) Dê, em graus e em radianos, a expressão geral dos arcos associados aos pontos C, E, G 
e I. 
 
9 
 
Resolução: 
a) como os pontos dividem a circunferência em 12 partes iguais, temos AB=BC=CD= 
=DE = ......= 360o/12 = 30o ou pi/6 radianos. 
 
b) Como todos os arcos são múltiplos de 30o, temos: 
 
Arco AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL AA 
Graus 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o 360o 
rad 
 pi/6 pi/3 pi/2 4pi/3 5pi/6 
 pi 7pi/6 4pi/3 3pi/2 5pi/3 11pi/6 2pi 
 
c) ►A(cos 0o, sen 0o) ⇒⇒⇒⇒ A(1 , 0) 
 ►B(cos 30o, sen 30o) ⇒ B(√3/2 , 1/2) 
 ►C(cos 60o, sen 60o) ⇒ C(1/2 , √3/2) 
 ►D (cos 90o, sen 90o) ⇒⇒⇒⇒ D(0 , 1) 
 ►E(cos 120o, sen 120o) ⇒ E(-1/2 , √3/2 ) 
 ►F(cos 150o, sen 150o) ⇒ F(- √3/2 , 1/2) 
 ►G(cos 180o, sen 180o) ⇒⇒⇒⇒ G(-1 , 0) 
 ►H(cos 210o, sen 210o) ⇒ H(- √3/2 , -1/2) 
 ►I(cos 240o, sen 240o) ⇒ I(-1/2 , ;√3/2) 
 ►J(cos 270o, sen 270o) ⇒⇒⇒⇒ J(0 , -1) 
 ►K(cos 300o, sen 300o) ⇒ K(1/2 ,- √3/2) 
 ►L(cos 330o, sen 330o) ⇒ L( √3/2 , -1/2) 
 
 OBS: Os pontos marcados em negrito são os limites dos quadrantes. 
 
d) ► Os pontos B, F, H e L têm abscissas de módulo √3/2 . 
 ► Os pontos C, E, I e K têm abscissas de módulo 1/2. 
 ► Os pontos B, F, H e L têm ordenadas de módulo 1/2 
 ► Os pontos C, E, I e K têm ordenadas de módulo √3/2 
 
OBS: Em cada quadrante tem um arco cujo módulo do seno ou do cosseno é o mesmo 
número. 
 
e) ► Ponto C ; {x∈R/ x = 60o + 360o. k} ou {x∈R/ x = pi/3 + 2kpi} 
 
 ►Ponto E ; {x∈R/ x = 120o + 360o. k} ou {x∈R/ x =2pi/3 + 2kpi} 
 
 ►Ponto G ; {x∈R/ x = 180o + 360o. k} ou {x∈R/ x = pi + 2kpi} 
 
 ►Ponto I ; {x∈R/ x = 240o + 360o. k} ou {x∈R/ x =4pi/3 + 2kpi} 
 
 
10 
2) Resolva a equação 
1 
a) 2cos 2 x – 3 cos x = - 1 no intervalo [o , 2pi]. 
b) sen3 x cos x – senx cos x = 0 em ]-∞ , ∞[. 
 
Resolução : 
 
a) Fazendo cos x = y, temos 2y2 – 3y + 1 = 0⇒ ∆= 9 – 8 = 1⇒ y = 1 </2 ⇒ 
y1 = 1 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = 0 ou x = 2pi 
 
y2 = 
/
0 ⇒ cos x = 
/
0 ⇒ x = 
=
1 ou x = 
>=
1 
 
 S = {0 , =1 , 
>=
1 , 2pi} 
 
b) Evidenciando senx cos x , tem-se senx cos x(sen2 x – 1) = 0. Então, deve-se ter 
1o) sen x = 0 ⇒ pontos equivalentes a 0 e pi ⇒ < ?@ ou 
2o) cos x = 0 ⇒ pontos equivalentes a =0 e 1=0 ⇒ < (2k + 1) =0 ou 
3o) sen2 x – 1= 0 ⇒ sen x = < 1 ⇒ pontos equivalentes a =0 e 1=0 . 
 
 S = { x∈R/ x = ?π/2 , k∈Z} 
 
V) REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE : 
 
 O exercício resolvido número 1 da página 8 mostrou que os valores de seno e cosseno 
vão se repetindo em módulo de acordo com cada quadrante e se limitam ao intervalo de -1 
a 1, ou seja -1 D EFG H D 1 e -1 D IJE H D 1 . Vamos associar os pontos 
correspondentes aos valores de seno e cosseno de mesmo módulo, como fizemos no 
exercício aqui citado, de um modo mais genérico e formal. 
 
V.1) Arcos de medida α do 2o quadrante: 
 
 
 
11 
Na figura, temos arco AB = α ⇒ arco BD = arco AC = 180o – α para que os pontos B e C 
sejam simétricos em relação ao eixo y. Neste caso, temos: 
 
 sen α = sen (180o – α) 
 
 cos α = - cos (180o – α) 
 
Dividindo-se membro a membro uma equação pela outra, concluímos que 
 
 tg α = - tg (180o – α) 
 
Exemplos: 
a) sen 135o = sen 45o = √2/2 
b) cos 150o = - cos 30o = - √3/2 
c) tg 120o = - tg 60o = - √3 
 
 
V.2) Arcos de medida α do 3o quadrante: 
 
 
 
Na figura, o arco AB mede α ⇒ arco CB = arco AD = α – 180o e temos: 
 
 sen α = - sen (α – 180o) 
 
 cos α = - cos(α – 180o) 
 
Dividindo-se membro a membro uma equação pela outra, concluímos que 
 
 tg α = tg (α – 180o) 
 
 
 
12 
Exemplos: 
a) sen 225o = - sen 45o = - √2/2 
b) cos 210o = - cos 30o = - √3/2 
c) tg 240o = tg 60o = √3 
 
V.3) Arcos de medida α do 4oquadrante: 
 
 
 
Na figura, o arco AB mede α ⇒ arco AC = arco BA = 360o – α para que os pontos B e C 
sejam simétricos em relação ao eixo x. Neste caso, temos: 
 
 
 sen α = - sen (360o - α) 
 
 cos α = cos(360o - α) 
 
 
Dividindo-se membro a membro uma equação pela outra, concluímos que 
 
 tg α = - tg(360o - α) 
 
Exemplos: 
a) sen 300o = - sen 60o = - √3/2 
b) cos 315o = cos 45o = √2/2 
c) tg 330o = - tg 30o = - √3 /3 
 
 
Exercício resolvido: 
 
Determine os valores trigonométricos indicados em cada caso a seguir: 
 
13 
a) sen 840o b) cos 930o c) tg 1.035o d) sen (-30o) e) cos (-120o) f) tg (-1.110o) 
g) cos K=5 h) tg (-
//=
1 ) i) sen 
L=
2 j) cos 3.735o k) tg (- 7.230o) 
 
Resolução : 
 
a) sen 840o = sen [2.(360o) + 120o] = sen 120o = sen 60o = √10 
b) cos 930o = cos [2.(360o) + 210o] = cos 210o = - cos 30o = - √10 
c) tg 1.035o = tg [2.(360o) +315o] = tg 315o = - tg 45o = - 1 
d) sen (-30o) = sen(360o-30o)= sen 330o= - sen 30o= - /0 
e) cos (-120o)= cos(360o - 120o)= cos 240o = - cos 60o= - /0 
f) tg (-1.110o) = tg [-3.(360o) - 30o] = tg( -30o) = tg 330o = - tg 30 o= - √11 
g) cos K=5 = - cos(K=5 ; π% M ; IJE =5 = - √11 
h) tg (-//=1 )= tg(-2pi - 
>=
1 )= tg(->=1 ) = tg =1 M √3 
i) sen L=2 = sen (2pi +
π
2 )=sen π2 = √00 
j) cos 3.735o = cos[10.(360o) + 135o] = cos 135o= - cos 45o = - √00 
k) tg (- 7.230o)= tg[-20.(360o)- 30o] = tg (-30o) = tg 330o= - tg 30o = - √11 
 
 
VI) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS : 
 
VI.1) FUNÇÃO SENO: 
 
É a função real que associa cada número real x a sen x, ou seja, f(x) = sen x. Seu gráfico, 
abaixo, mostra sua periodicidade, ou seja, o intervalo de x em que f(x) se repete; seu 
período é p = 2pi. 
 
 
 
O dominio de f(x) = sen x é R e seu conjunto imagem é o intervalo real [-1 , 1]. 
 
14 
 
VI.2) FUNÇÃO COSSENO: 
 
É a função real que associa cada número real x a cos x, ou seja, f(x) = cos x. Seu gráfico, 
abaixo, mostra sua periodicidade, ou seja, o intervalo de x em que f(x) se repete; seu 
período é p = 2pi. 
 
 
 
 
 
O dominio de f(x) = cos x é R e seu conjunto imagem é o intervalo real [-1 , 1]. 
 
 
VI.3) FUNÇÃO TANGENTE: 
 
É a função real que associa cada número real x a tg x, ou seja, f(x) = tg x. Seu gráfico, 
abaixo, mostra sua periodicidade, ou seja, o intervalo de x em que f(x) se repete; seu 
período é p = pi. Observe que a função não é definida para os arcos =0 e 1=0 ( e seus 
cônguos). 
 
 
 
 
O dominio de f(x) = tg x é D = {x∈R / x ≠ =0 + kpi , k∈Z}. 
 
 
 
15 
 
VII) RELAÇÕES SECUNDÁRIAS – IDENTIDADES: 
 
Ainda são definidas as seguintes relações, envolvendo as funções básicas: 
 
VII.1) Cotangente: 
 
É o inverso da tangente, ou seja, cotg x = �NO P M "#� P�� P x ≠ kpipipipi, k∈Z 
 
VII.2) Secante: 
 
É o inverso do cosseno, ou seja, sec x = �"#� P x ≠ Q( + kpipipipi , k∈∈∈∈Z 
 
 
VII.3) Cossecante: 
 
É o inverso do seno, ou seja, cossec x = ��� P x ≠ kpipipipi, k∈Z 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Um arco de medida α , π0 < α < pi , é tal que sen α = 
0
1 . Calcule cotg α, sec α e 
cossec α. 
 
Resolução : 
1o) cos2 α = 1 – $ 01 )2 ⇒ cos2 α = >L ⇒ cos α = < √>1 ; como α é do 2o quadrante, tem-
se cos α = - 
√R
* . 
 
2o) Então, cotg α = - √>1 . 10 ⇒ cotg α = - √R( , sec α = - 0√> ⇒ sec α = - (√RR e 
cossec α = 
*
( . 
 
2) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: 
 
a) sec2 x – tg2 x = 1, para x ≠ =0 + kpi , k∈Z 
b) cossec2 x – cotg2 x = 1, para x ≠ kpi , k∈Z 
c) cos x .tg x . cossec x = 1, para x ≠ S=0 , k∈Z 
 
 
16 
Resolução : 
 
a) sec2 x – tg2 x = /���& T - 
���& T
���& T = / U ���& T���& T = ���& T���& T = 1 
 
b) cossec2 x – cotg2 x = /���& T - 
���& T
���& T = / U ���& T���& T = ���& T���& T = 1 
 
c) cos x .tg x . cossec x = cos x . ��� T��� T .
�
��� P = 1 
 
VIII) FÓRMULAS DA ADIÇÃO DE ARCOS : 
VIII.1) COSSENO DA SOMA DE ARCOS: 
Observe a figura abaixo. Nessa figura, estão representados, no ciclo trigonométrico, os 
pontos P, Q e R, associados, respectivamente, aos arcos de medidas α, α + β e -β. 
 
No plano cartesiano xOy, as coordenadas desses pontos são P(cos α, sen α), Q(cos (α + β), 
sen (α + β)) e R(cos β, -sen β). Sabe-se que, como os arcos OQ e PR têm a mesma 
medida, as cordas OQ e PR também são congruentes. Usando a fórmula da distância entre 
dois pontos, tem-se 
OQ = PR ⇒ [1 – cos (α + β)]2 + [0 - sen (α + β)]2 = (cos α - cos β)2 + (sen α + sen β)2. 
Então, 1 - 2 cos (α + β) + cos2 (α + β) + sen2 (α + β) = cos2 α - 2 cos α cos β + cos2 β + 
+ sen2 α + 2 sen α sen β) + sen2 β ⇒ cos2 (α + β)+ sen2 (α + β) – (sen2 α + cos2 α) – 
- (cos2 β + sen2 β) + 1 – 2cos (α + β) + 2 cos α cos β - 2 sen α sen β) = 0 ⇒ 1 – 1 - 1 + 
 
17 
+ 1 – 2cos (α + β) + 2 cos α cos β - 2 sen α sen β ⇒ 2cos (α + β) = - 2 sen α sen β + 
+ 2 cos α cos β . Então, 
 cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β 
 
VIII.2) COSSENO DA DIFERENÇA DE ARCOS: 
cos (α - β) = cos [α + (- β)] = cos α . cos (-β) - sen α . sen (- β) = cos α . cos β + 
+ sen α . sen β 
 cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β 
 
VIII3) SENO DA SOMA DE ARCOS: 
sen (α + β) = cos [ =0 ; $V W X%Y = cos [ $=0 ; V% – XY = cos $=0 ; V% IJE X W 
+ sen$=0 ; V% EFG X = sen α . IJE X + cos V . EFG X. 
 
 sen (α + ββββ) = sen α . "#� \ + �� \. cos ! 
 
VIII4) SENO DA DIFERENÇA DE ARCOS: 
sen (α - β) = sen[α +(-β)] = sen α . cos(-β) + sen (-β). cos α = sen α . cos β - sen β. cos α 
e 
 sen (α - ββββ) = sen α . "#� \ - �� \. cos ! 
 
IX) SENO E COSSENO DO ARCO DUPLO: 
IX.1) SENO DO ARCO DUPLO: 
sen 2α = sen (α + α) = sen α . cos α + sen α. cos α = 2 sen α. cos α. Então, tem-se 
 sen 2α = sen (α + α) = sen α . cos α + sen α. cos α = 2 sen α. cos α 
 
18 
 
 sen 2α = 2 cde α. cos f 
 
IX.2) COSSENO DO ARCO DUPLO: 
cos 2α = cos (α + α) = cos α cos α – sen α sen α = cos2 α – sen2 α. Então, tem-se 
 
 cos 2α = cos2 α – sen2 α 
 
Exercícios resolvidos : 
1) Calcule o valor da expressão y = 2sen 75o – 3cos 150 . 
Resolução : 
1o) sen 75o = sen(45o+ 30o) = sen45ocos 30o + sen30ocos 45o = √00 √
1
0 + 
/
0 √00 = √5 ' √02 
2o) cos 15o = oos(45o - 30o) = cos45ocos 30o + sen 45osen 30o = √00 √
1
0 + 
/
0 √00 = √5 ' √02 
3o) y = - (√5 ' √02 % 
2) O triângulo AEO da figura tem AE = √15 cm, EO = 8 cm, AÊO = 2α e sen α = 1/4. 
Calcule a área do triângulo AEO. 
 
 A 
 
 √15 cm 
 h 
 α 2α 
 O E 
 8 cm 
 
Resolução : 
1o) Se sen α = 1/4, então cos2 α = 1 – (1/4)2 ⇒ cos α = √15/4 ⇒ sen 2 α = 2 sen α cos α = 
= 2,(1/4).(√15/4) = √15/8 . Traçando-se a altura h do triângulo, tem-se h/√15 = √15/8 , 
Então, 8h = 15 e h = 15/8 cm. 
 
2o) A área do triângulo será S∆ = (1/2)(8).(15/8) = 15/2 cm2. 
 
19 
X) RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS: 
 
X.1) Lei dos senos: 
 
A figura a seguir apresenta o triângulo ABC, inscrito na circunferência de centro 0 e raio 
R, e suas três alturas h1, h2 e h3 . 
 
 
 
1o) Considerando a altura h1 , temos sen jk= h1 / AB ⇒ h1 = (AB) sen �l e sen ��= h1 / AC 
⇒ h1 = (AC) sen �l . Então, (AB) sen �l M (AC) sen �l ⇒ AB/ sen �l = AC/ sen �l (Eq. 1) 
 
2o) Considerando a altura h2 , temos sen jk= h2 / BC ⇒ h2 = (BC) sen �l e sen ��= h2 / AC 
⇒ h2 = (AC) sen �l . Então, (BC) sen �l M (AC) sen �l ⇒ BC/ sen �l = AC/ sen �l (Eq. 2) 
 
3o) Considerando a altura h3 , temos sen ��= h3 / BC ⇒ h3 = (BC) sen �l e sen ��= h3 / AB 
⇒ h3 = (AB) sen �l . Então, (BC) sen �l M (AB) sen �l ⇒ BC/ sen �l = AB/ sen �l (Eq. 3) 
 
4o) Traçando-se o triângulo ABS, passando pelo centro O da circunferência, temos que o 
referido triângulo é retângulo em B. Por outro lado, os ângulos Am lB e A� l B têm a 
mesma medida, pois são inscrito na mesma circunferência, determinando o mesmo arco. 
Então, temos sen nl = sen �l = AB/AS ou sen �l = AB/2R ⇒ AB/ sen �l M (o (Eq. 4) 
 
De Eq. 1, Eq. 2, Eq. 3 e Eq. 4 , concluímos: 
 
 
 AB/ sen �l M BC/ cde �l M rs/ cde �l M (o 
 
Chamado de Lei dos senos ou Teorema dos senos. 
 
 
 
20 
X.2) Lei dos cossenos: 
 
 
 
 
A figura acima apresenta o triângulo ABC dividido, pela altura h, em dois triângulos 
retângulos. Então, temos: 
1o) b2 = x2 + h2 (Eq. 1) 
2o) c2 = h2 + a2 – 2ax + x2 = x2 + h2 + a2 – 2ax (Eq. 2) 
3o) cos α = x/b ⇒ x = bcos α (Eq. 3) 
 
Substituindo-se as equações 1 e 3 na equação 2, tem-se: c2 = a2 + b2 – 2abcos α 
 
No triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois 
lados menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. 
 
Então, temos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos γ 
 
 b2 = a2 + c2 – 2ac cos β 
 
 c2 = a2 + b2 – 2abcos α 
 
(Lei dos cossenos ou Teorema dos cossenos) 
 
Questões Propostas : 
 
1) (CEFET – MG) - Sendo t IJE0 H EFG HV. EFG H V t M tEFG H 0;1 2IJE Ht, então para todo x ≠ 
 
≠ pi/4 + kpi/2 , k∈Z , o valor de α é 
 
a) tg 2 x b) sec 2 x c) cos 2 x d) sen 2 x e) 2.sen x 
 
 
 
21 
 
2) (CEFET – MG) – O gráfico da função f(x) = ��� T|��� T| , para x∈ [0, 2pi] , x ≠ pi/2 e x ≠ 
≠ 3pi/2 , está melhor representado na alternativa 
 
 
 
3) (CEFET – MG) – Considere O gráfico da função f. 
 
 
 
 
22 
A função representada é definida por 
 
a) f(x) =1 + 2sen ( x - pi/4) 
 
b) f(x) =1 - 2sen ( x - pi/4) 
 
c) f(x) =1 + 2sen ( x + pi/4) 
 
d) f(x) =1 - 2sen ( x + pi/4) 
 
e) f(x) =1 + 2sen ( 2x - pi/4) 
 
4) (CEFET – MG) – A expressão ���& T U ��� & T������& T U ���& T é equivalente a 
 
a) 1 
 
b) cotg2 x 
 
c) cossec2 x 
 
d) sec2 x 
 
e) tg2 x 
 
5) (CEFET – MG) – Dados os números reais a e b, com pi/2 ≤ α < β ≤ pi , é FALSO 
afirmar que 
 
a) tg a < tg b 
 
b) cos a > cos b 
 
c) sen a > sen b 
 
d) sec a > sec b 
 
e) cossec a < cossec b 
 
 
6) (CEFET – MG) – Um menino mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m de 
comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de 10 m, 
formando com a horizontal um ângulo de 300. A pipa atinge o solo ficando com a linha 
esticada, conforme a figura. 
 
 
23 
 
 
 
Desprezando-se a altura da criança, a distância final entre ela e a pipa, em metros, é igual a 
 
a) 90 
 
b) 45√3 
 
c) 50√3 
 
d) 10√3 + 60 
 
e) 10√3 + 78 
 
7) (CEFET – MG) - O conjunto solução da equação sec x . cossec x = sec x + 2 tg x, no 
intervalo [0, 2pi], é 
 
a) {pi/3 , 5pi/3} 
 
b) {pi/6 , 5pi/6} 
 
c) {pi/6 , 5pi/6 , 3pi/2} 
 
d) {pi/3 , 5pi/3 , 3pi/2} 
 
e) {pi/6 , pi/3 , 5pi/6 , 5pi/3} 
 
8) (CEFET – MG) - Sabe–se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120°, e 
os outros dois, x e y , são tais que ��� T��� w = 
/ ' √10 . A diferença y – x , em graus, é 
 
a) 5 b) 15 c) 20 
 
d) 25 e) 30 
 
 
 
24 
9) (CEFET – MG) - A expressão ���& T U ���& T/ U �xy T é equivalente a 
a) – cos2x 
 
b) – cos4x 
 
c) cos2x 
 
d) cos4x 
 
e) sec2x 
 
10) (CEFET – MG) - Os valores de x no intervalo [0, 2pi] que satisfazem a equação |IJE H| - 2sen2 x + 1 = 0 são 
 
a) 0, pi, 2pi 
 
b) pi/3, 2pi/3 , 4pi/3, 5pi/3 
 
c) pi/6, 5pi/6 , 7pi/6, 11pi/6 
 
d) pi/6, 5pi/6, pi, 7pi/6, 11pi/6 
 
e) pi/3, 2pi/3 , pi, 4pi/3, 5pi/3 
 
11) (CEFET – MG) - Os valores de x no intervalo [0, 2pi] que satisfazem a inequação 
2sen 2 x ≥ sen x são 
 
a) pi/6 ≤ x ≤ 5pi/6 
 
b) pi/3 ≤ x ≤ 2pi/3 
 
c) 5pi/6 ≤ x ≤ 2pi 
 
d) pi/3 ≤ x ≤ 2pi/3 ou pi ≤ x ≤ 2pi 
 
e) pi/6 ≤ x ≤ 5pi/6 ou pi ≤ x ≤ 2pi 
 
12) (CEFET – MG) – Sendo x , y ∈ [0, pi/2] e z 0 1 1IJE H EFG H 0EFG { IJE { ;1z = 0, a relação entre 
x e y é 
 
a) x + y = 0 b) x + y = pi/2 c) x – y = pi/2 d) 2x – y = pi e) 2x + y = pi 
 
25 
13) (CEFET – MG) – Um topógrafo vai medir a altura de uma montanha e para tal toma 
como referência o ponto P, no pico. A partir de um ponto A no solo, calcula a medida do 
ângulo α que o segmento AP forma com a horizontal local e, afastando-se 1 km até o 
ponto B, mede o ângulo β de BP com a horizontal. O valor da altura, em km, será expresso 
por 
 
a) 1|} V – |} β 
 
b) / ' �x � .�x β�x � – �x β 
 
c) / U �x � .�x β�x � ' �x β 
 
d) �x � ' �x β�x � .�x β 
 
e) �x � .�x β�x � U �x β 
 
14) (CEFET – MG) – Seja y = m.sen x.cos x. Se o menor valor que y assume é – 2, então, 
m é igual a 
 
a) 2 
 
b) 3 
 
c) 4 
 
d) 5 
 
e) 6 
 
15) (CEFET – MG) – Considerando-se 0 < x < 2π , os valores de x que satisfazem 
a equação cos 2x = √10 são 
 
a) {pi/12 , 11pi/12 , 13pi/12 , 23pi/12} b) {pi/3 , 2pi/3, 4pi/3 , 5pi/3} 
 
c) {0, 2pi/3, 4pi/3} d) {pi/12 , 2pi/3} 
 
e) {pi/12 , 5pi/3} 
 
 
26 
16) (FUVEST–SP) - O conjunto de todas as soluções reais da inequação |IJE H| > /0 
no intervalo [0, 2pi] é 
 
a) ]pi/3 , 2pi/3[ ∪ ]4pi/3 , 5pi/3[ 
 
b) ]pi/6 , 5pi/6[ ∪ ]7pi/6 , 11pi/6[ 
 
c) [0 , pi/3[ ∪ ]5pi/3 , 2pi[ 
 
d) [0 , pi/6[ ∪ ]5pi/6 , 7pi/6 [ ∪ ]11pi/6 , 2pi[ 
 
e) [0 , pi/3[ ∪ ]2pi/3 , 4pi/3 [ ∪ ]5pi/3 , 2pi[ 
 
17) (UFOP – MG) - Resolva a equação trigonométrica sen (x + π2% + sen (x - π2%= √00 . 
 
18) (UFOP – MG) - Considere a função f (x)= sen (w x), representada no gráfico: 
 
 
 
Podemos afirmar que o valor da soma f(1/6) + f(1/4) + f(1/2) é 
 
a) 1 ' √00 
 
b) √1' √00 
 
c) ///0 
 
d) //~/0 
 
19) (UFOP – MG) - Nos triângulos a seguir, o ângulo  é reto. A medida do segmento CB 
é 20 cm, a do segmento BD é 11cm e a do segmento DA é 5cm. Determine o valor de tg β 
(Sugestão: Utilize a identidade tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1- tg α . tg β)) 
 
2720) (UFOP – MG) – Considere a matriz M =  0 0 2EFG 5H EFG H 3IJE 5H IJE H 4€ , com x∈ [0, 2pi]. 
Então, resolva a equação det M = 0. 
 
21) (UFOP – MG) – Resolva a equação trigonométrica: 1− 4cos2x = 0 , x∈ [0, 2pi]. 
 
22) (UFOP – MG) – Encontre a solução do sistema  |} H ‚ 0EFG 2H ƒ 0„ . 
 
23) (UFV – MG) - Seja f a função definida por f (x) = sen x, x ≥ 0 . Num mesmo sistema 
de coordenadas, considere os pontos A(pi/6 ,0), B(pi/2 ,0), C e D, em que C e D estão sobre 
o gráfico de f, cujas abscissas são, respectivamente, pi/2 e pi/6. Unindo-se esses pontos 
obtém-se o quadrilátero ABCD , cuja área vale 
 
a) pi/4 
 
b) pi/2 
 
c) pi/5 
 
d) pi/3 
 
24) (UFV – MG) – Considere f : R →→→→ R uma função real definida por 
 
f(x) = det …IJE H 2 1EFG H 1 20 ;EFG H IJE H† . O gráfico que melhor representa a função f é 
 
 
 
 
 
 
28 
 
25) (UFV – MG) – Sejam f e g funções definidas no intervalo (-pi/4 , pi/4), por f(x) = 
= tg 2x e g(x) = / U 0��� 1T0 ' ��� 1T . 
 
a) Calcule f(pi/8) + g(-pi/6). 
b) Determine as soluções da equação g(x) = 0 . 
 
26) (UNICAMP – SP) - Considere a equação trigonométrica sen2 ‡ – 2 cos2 ‡ + 
 + 
/
0 sen 2‡ M 0. 
a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de ‡ para os quais cos ‡ = 0. 
b) Encontre todos os valores de cos ‡ que são soluções da equação. 
 
27) (UFSJ – MG) – Um veículo percorre uma estrada reta com uma inclinação de 15o. Se 
o ponto de chegada situa-se 150(√6 - √2 ) metros mais alto que o ponto de partida, a 
distância em metros percorrida pelo veículo é 
 
a) 600 c) 500√3 
 
b) 500√2 d) 500 
 
29 
28) (UFSJ – MG) – O valor numérico da soma 1 + cos 5o + cos 10o + cos 15o + cos 20o + 
cos 25o + ... cos 170o + cos 175o é 
 
a) 1 
 
b) 0 
 
c) -34 
 
d) 630cos 5o 
 
29) (UFSJ – MG) – Se E = ���&� ' ��� & ‰ ' ��� & Š���&� ' ��� & ‰ ' ��� & Š em que α, β e θ são as respectivas 
medidas dos ângulos internos de um triângulo Retângulo, então E2 é igual a 
 
a) 1/4 
 
b) (cotg 2 α + cotg 2 β + cotg 2 θ)2 
 
c) 1 
 
d) (cossec 2 α + cossec 2 β + cossec 2 θ)2 
 
30) (UFSJ – MG) – Considere a seguinte soma : arctg /1 + arctg
/
0 + artg1. Utilizando-
se, se desejar, das informações do gráfico a seguir, é correto afirmar que um 
valor provável, em radianos, para a soma indicada é igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 3pi/4 
b) 5pi/12 
c) 7pi/12 
d) pi/2 
 
30