Centro de Massa

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Prof. Oscar
Centro de Massa e Momento Linear
(Colisões)
Capitulo 9
O centro de massa
 Mesmo quando um corpo gira ou vibra, existe um ponto 
nesse corpo, chamado centro de massa, que se desloca da 
mesma maneira que se deslocaria uma única partícula, 
com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de 
forças que ele.
O centro de massa
Uma bola arremessada para
cima segue uma trajetória
parabólica, o centro de
massa de um taco de
beisebol lançado para cima
com um movimento de
rotação também mais os
outros pontos do taco
seguem trajetórias mais
complexas.
Sistema de partículas - Uma dimensão
 Vamos definir inicialmente a posição xcm do centro de massa 
para um sistema composto de duas partículas de massas m1 e m2 e 
que ocupam as posições x1 e x2.
 Para um sistema de N corpos dispostos ao longo de uma linha reta, 
podemos fazer uma extensão da definição anterior:
Sistema de partículas - Duas 
dimensões
 Para a definição do centro de massa de um sistema de N partículas 
distribuídas em um plano podemos, por analogia com as definições 
anteriores, considerar que:
Exemplo 1.:
1. Quais são as coordenadas do centro de massa das três partículas que
aparecem no desenho a seguir? A unidade das distâncias é o metro.
Momento Linear
 O termo Quantidade de Movimento tem um significado
único e preciso em física. A quantidade de Momento
Linear de uma partícula é um vetor , definido como Q.
Q mv
Em muitos livros o momento linear é representado pelo vetor P.
 A taxa de variação com o tempo da quantidade de
movimento de uma partícula é igual à força resultante
que atua sobre a partícula e possui a mesma direção e o
mesmo sentido dessa força.
Momento Linear 
res
dQ
F
dt

( )res
dQ d dv
F mv m ma
dt dt dt
   
A Quantidade de Movimento Linear de um 
Sistema de Partículas
 Considere agora um sistema de n partículas, cada uma com sua própria massa,
velocidade e quantidade de movimento linear. As partículas podem interagir
uma com as outras, e forças externas também podem agir sobre elas. O sistema
como um todo possui uma quantidade de movimento linear Q, que é definida
como a soma vetorial das quantidades de movimentos lineares das partículas
individuais. Assim,
1 2 3 ... nQ Q Q Q Q     
....332211 nnvmvmvmvm


Conservação da Quantidade de Movimento 
Linear
 Suponha que a força externa resultante que atua sobre um sistema 
de partículas seja nula (que o sistema seja isolado) e que não haja 
partículas saindo nem entrando no sistema (que o sistema seja 
fechado). 
0resF

0
dQ
dt

Q
= constante (sistema isolado, 
fechado). 
 Este resultado é chamado de lei de conservação da
quantidade de movimento linear. Ela também pode ser
escrita como
Conservação da Quantidade de Movimento 
Linear
i fQ Q
(sistema isolado, fechado)
(quantidade de movimento linear total em algum instante inicial ti) = 
(quantidade de movimento linear total em algum instante posterior tf ).
Exemplo 2:
2. Um vagão de 14.000kg se movimenta horizontalmente a 4m/s em
direção a um pátio de manobra. Ao passar por um silo de
alimentação, 2000kg de grão caem subitamente no interior do
vagão. Quanto tempo será gasto pelo vagão para percorrer uma
distância de 500m a partir do silo em direção ao pátio? Admita que
os grãos caiam na direção vertical e que a leve desaceleração
devida ao atrito por rolamento ou a resistência do ar seja
desprezível.
Exemplo 3:
3. Uma urna de votação com massa m=6.0 kg desliza com
velocidade v=4,0 m/s em um piso sem atrito no sentido
positivo de um eixo x. Repentinamente ela explode em dois
pedaços. Um pedaço, de massa 4kg se desloca no sentido
positivo do eixo x com velocidade 2 m/s. Qual a velocidade do
segundo pedaço, de massa 2kg?
COLISÕES
 Uma colisão é um evento
solado no qual dois ou mais
corpos (os corpos que
colidem) exercem uns sobre
os outros forças
relativamente elevadas por
um tempo relativamente
curto.
O que é uma Colisão?
 Devemos ser capazes de distinguir instantes que estão 
antes, durante e depois de uma colisão.
Impulso e Quantidade de Movimento Linear
d Q
F
dt

Q
F
t



( )dQ F t dt Q F t  
Impulso e Quantidade de Movimento Linear
( )
f f
i i
Q t
Q t
dQ F t dt  Q F t  
( )
f
i
t
t
I F t dt 
Definição Impulso
medI F t 
Impulso e Quantidade de Movimento Linear
Exemplo 4:
4. Com um golpe de caratê, você
pode quebrar um bloco de concreto.
Considere que sua mão possua uma
massa de 0,70kg e se mova a 5,0m/s
quando atinge o bloco, e pára a
6mm do ponto de contato. (a) Qual
é o impulso que o bloco exerce
sobre a sua mão? (b) Qual é o tempo
aproximado de colisão e a força
média que o bloco exerce sobre sua
mão?
Exemplo 5:
5. Um carro equipado com um boneco (80kg) instrumentado para
testes de impacto colide com uma parede rígida a 25m/s. estime a
força que o cinto de segurança exerce sobre o boneco durante o
impacto. Admita que o carro e o boneco tenham se movimentado
1m após a parte frontal ser completamente destruída.
Exemplo 6:
6. Uma bola de beisebol de 150 g, lançada com uma velocidade de
40 m/s é rebatida para o arremessador na mesma direção em que
chegou com uma velocidade de 60m/s. Qual a intensidade da força
média que o bastão exerce sobre a bola se o bastão estiver em
contato com a bola por 5,0 ms?
Exemplo 7:
7. Uma bola de 1,2 kg cai na vertical sobre um piso, acertando-o
com uma velocidade de 25m/s. Ela ressalta com uma velocidade
inicial de 10m/s. (a) Que impulsão atua sobre a bola durante o
contato? (b) Se a bola estiver em contato com o piso por 0,020 s,
qual a intensidade da força média que a bola exerce sobre o piso.
Exemplo 8:
8. É bem sabido que balas e outros
objetos disparados no Super-Homem
simplesmente voltam ao bater no seu
peito (Fig.). Suponha que um gângster
dê uma rajada no peito do Super-
Homem com balas de 3 g a uma taxa de
100 balas/mim e que a velocidade de
cada bala seja de 500 m/s. Suponha
também que as balas voltem na mesma
direção sem mudar de velocidade. Qual
a intensidade da força media que o fluxo
de balas exerce sobre o peito do Super-
Homem?
Quantidade de Movimento e Energia Cinética 
em Colisões
 Colisão Elástica
 Colisão Inelástica
Quantidade de movimento Linear
 Em um sistema isolado e fechado, contendo uma colisão, a
quantidade de movimento linear de cada corpo que colide
pode variar, mas a quantidade de movimento linear total Q
do sistema não pode variar, seja a colisão elástica ou
inelástica.
Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Unidimensional
1 2 1 2i i f fQ Q Q Q  
(conservação da quantidade de movimento linear).
ffii vmvmvmvm 22112211 
Colisão Completamente Inelástica
1 1 20i f fQ Q Q  
Vmmvm i )( 2111 
VmVmvm i 2111 
.1
21
1
iv
mm
m
V


Juntos após
a colisão
9. Um projétil de 10g de massa atinge um pêndulo balístico de 2kg de massa.
O centro de massa do pêndulo eleva-se de uma altura de 12cm.
Considerando-se que o projétil permaneça embutido no pêndulo, calcule
a velocidade inicial do projétil.
Exemplo 9:
10. Você repete a proeza do exemplo anterior, mas agora com uma caixa
vazia como alvo. O projétil atinge a caixa e a atravessa completamente.
Um sensor a laser indica que o projétil emergiu com metade de sua
velocidade inicial. Sabendo disso, você corretamente revela até que altura
o alvo oscilou. Que altura é essa?
Exemplo 10:
Exemplo 11:
11.Um carro de 2000kg, movendo-se a 25m/s, colide com outro
carro de 1500kg inicialmente em repouso. Se a colisão é perfeitamente
inelástica, determine (a) a velocidade de cada um dos carros após a
colisão e (b) a razão entre a energia cinética final do sistema e sua
energia cinética inicial.
Colisões Elásticas em Uma Dimensão
(Alvo em Repouso)
 (energia cinética total antes da colisão) = (energia cinética total depois da
colisão)
 Em uma colisão elástica, a energia cinética de cada corpo que colide pode
variar, mas a energia cinética total do sistema não pode variar.
 (quantidade de movimento linear)
Colisões Elásticas em Uma Dimensão
(Alvo em Repouso)
ffi vmvmvm 221111 
2
22
2
11
2
11
2
1
2
1
2
1
ffi vmvmvm 
(energia cinética) 
reescrevemos
ffi vmvvm 22111 )( 
.))(( 22211111 ffifi vmvvvvm 
 Após dividirmos uma equação pela outra e um pouco de 
álgebra obtemos:
Colisões Elásticas em Uma Dimensão
(Alvo em Repouso)
if v
mm
mm
v 1
21
21
1



.1
21
1
2
2
if v
mm
m
v


Colisão elástica em duas dimensões
 Vamos considerar uma partícula de massa m1 e velocidade v1 se 
deslocando em direção de uma outra partícula de massa m2
que se encontra em repouso.
Exemplo 12:
12. Os dois blocos da figura a seguir deslizam sem atrito. 
a) Qual a velocidade do bloco de m1 = 1,6kg após a colisão?
b) A colisão é elástica?
13. Uma bola de aço de 0,5kg de massa é presa a uma corda, de
70cm de comprimento e fixa na outra ponta, e é liberada quando a
corda está na posição horizontal. No ponto mais baixo de sua
trajetória, a bola atinge um bloco de aço de 2,5kg inicialmente em
repouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica. a)
Encontre a velocidade da bola imediatamente após a colisão.
Exemplo 13:
b) Encontre a velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
14. Uma bola de 300g com uma velocidade v = 6m/s atinge uma parede a uma
ângulo θ = 300 e, então, ricocheteia com mesmo ângulo e velocidade de
mesmo módulo. Ela fica em contato com a parede por 10ms .
a) Qual foi o impulso sobre a bola?
b) Qual a força média exercida pela
bola sobre a parede?
Exemplo 14:
Exemplo 15:
 Você está dirigindo um carro de 1200kg, viajando para o leste em um
cruzamento quando um outro veículo de 3000kg, viajando para o norte,
atravessa o cruzamento e bate em seu carro(veja figura). Seu carro e outro
permanecem grudados após a colisão. Verifique se seu carro estava acima da
velocidade permitida que é 80km/h, sabendo que não houve marcas de freada,
e o caminhão ficou com o velocímetro preso na indicação de 50km/h, e que os
dois deslizam a 590 ao norte do leste ?
 Um corpo de massa m1, com rapidez inicial de 20m/s, sofre uma colisão não
frontal com um segundo corpo, de massa m2. O segundo corpo está
inicialmente em repouso. Depois da colisão, o primeiro corpo está se movendo
a 15m/s, a um ângulo de 250 com a orientação de sua velocidade inicial. Qual é
o ângulo de afastamento do segundo corpo?
Exemplo 16: