MSR Exercicios2 Gabarito (2)

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MSR – Mecânica dos Solos e das Rochas 
Estado de Tensões – Resistência ao Cisalhamento 
Exercícios 
(Observação: os enunciados podem diferir ligeiramente do visto em sala de aula, mas 
os exercícios são os mesmos) 
 
1) Sendo 100 kPa e 240 kPa as tensões principais de um elemento de solo, 
determinar: 
a) As tensões que atuam num plano que determina um ângulo de 30º com o 
plano principal maior. 
b) A inclinação do plano em que a tensão normal é de 200 kPa e a tensão de 
cisalhamento nesse plano. 
c) A máxima tensão de cisalhamento, o plano em que ela ocorre e a tensão 
normal nesse plano. 
d) Os planos em que ocorre a tensão de cisalhamento de 35 kPa e as tensões 
normais nesses planos. 
Solução: 
1) Método Analítico: 
σ1 = 240 kPa 
σ3 = 100 kPa 
 
a) α = 30º 
߬ଷ଴ 2
ൌ
ߪଵ െ ߪଷ · ݏ݁݊2ߙ ՜ ߬ଷ଴ ൌ
240 െ 100
2
· ݏ݁݊ሺ2 · 30ሻ 
՜ ߬ଷ଴ ൌ 60,6 ݇ܲ ܽ
ൌ
ߪଵ ൅ ߪଷߪଷ଴ 2
൅
ߪଵ െ ߪଷ
2
· ܿ݋ݏ2ߙ ՜ ߪଷ଴ ൌ
240 ൅ 100
2
൅
240 െ 100
2
· ܿ݋ݏሺ2 · 30ሻ 
՜ ߪଷ଴ ൌ 205,0 ݇ܲܽ 
 
b) σ = 200 kPa 
ߪ ൌ
ߪଵ ൅ ߪଷ
2
൅
ߪଵ െ ߪଷ
2
· ܿ݋ݏ2ߙ ՜ 200 ൌ
240 ൅ 100
2
൅
240 െ 100
2
· ܿ݋ݏሺ2 · ߙሻ 
200 ൌ 170 ൅ 70 ݋ݏሺ2 · ߙሻ ՜ ܿ݋ݏሺ2 · ߙሻ ൌ
200 െ 170
70
· ܿ 
2 · ߙ ՜ ܽݎܿܿ݋ݏ ൬
30
70
൰ ՜ 2 · ߙ ൌ 64° 
՜ ߙ ൌ 32° 
߬ ൌ
2
240 െ 100
· ݏ݁݊ሺ2 · 32ሻ 
՜ ߬ ൌ 63,2 ݇ܲܽ 
 
c) máx ?τ = 
ൌ
ߪଵ െ ߪଷ߬௠á௫ 2
 
՜ ߬௠á௫ ൌ 70 ݇ܲܽ 
߬ ൌ
ߪଵ െ ߪଷ
2
· ݏ݁݊2ߙ ՜ 70 ൌ
240 െ 100
2
· ݏ݁݊ሺ2 · ߙሻ 
ݏ݁݊2ߙ ൌ
70
70
՜ 2 · ߙ ՜ ܽݎܿݏ݁݊ ൬
70
70
൰ ՜ 2 · ߙ ൌ 90° 
՜ ߙ ൌ 45° 
ൌ
ߪଵ ൅ ߪଷߪସହ 2
൅
ߪଵ െ ߪଷ
2
· ܿ݋ݏ2ߙ ՜ ߪସହ ൌ
240 ൅ 100
2
൅
240 െ 100
2
· ܿ݋ݏሺ2 · 45ሻ 
՜ ߪସହ ൌ 170,0 ݇ܲܽ 
 
d) τ = 35 kPa 
߬ ൌ
ߪଵ െ ߪଷ
2
· ݏ݁݊2ߙ ՜ 35 ൌ
240 െ 100
2
· ݏ݁݊ሺ2 · ߙሻ 
ݏ݁݊2ߙ ൌ
70
35
՜ 2 · ߙ ՜ ܽݎܿݏ݁݊ ൬
35
70
൰ ՜ 2 · ߙ ൌ 30°; 150° 
՜ ߙଵ ൌ 15° 
՜ ߙଵ ൌ 75° 
Para α1 = 15 kPa: 
ߪଵ ൅ ߪଷߪଵହ ൌ 2
൅
ߪଵ െ ߪଷ
2
· ܿ݋ݏ2ߙ ՜ ߪଵହ ൌ
240 ൅ 100
2
൅
240 െ 100
2
· ܿ݋ݏሺ2 · 15ሻ 
՜ ߪଷ଴ ൌ 230,6 ݇ܲܽ 
Para α1 = 75 kPa: 
ߪଵ ൅ ߪଷߪଵହ ൌ 2
൅
ߪଵ െ ߪଷ
2
· ܿ݋ݏ2ߙ ՜ ߪଵହ ൌ
240 ൅ 100
2
൅
240 െ 100
2
· ܿ݋ݏሺ2 · 75ሻ 
՜ ߪଷ଴ ൌ 109,4 ݇ܲܽ 
 
2) Método Gráfico – Círculo de Mohr: 
 
a) 
50 100 150 250 σ200
60,6
τ
30°
60° 205
 
 
b) 
50 100 150 250 σ200
63
32°
65°
τ
 
c) 
50 100 150 250 σ200
70
45°
90°
τ
170
 
 
d) 
50 100 150 250 σ200
35
15°
30°
τ
75°
150°
 
 
 
2) Para determinado ponto “P” do maciço, na fase inicial da obra (estado em 
repouso), calcule o valor (em kPa) das tensões efetivas normais e tangencial que 
atuam num plano que forma um ângulo α = 30º com o plano horizontal, sabendo 
que a tensão efetiva principal maior (σ1) e a tensão efetiva principal menor (σ3) 
são iguais a 140 kPa e 80 kPa, respectivamente. 
 
Solução: 
1) Método Analítico: 
σ1 = 140 kPa 
σ3 = 80 kPa 
 
α = 30º 
߬ଷ଴ 2
ൌ
ߪଵ െ ߪଷ · ݏ݁݊2ߙ ՜ ߬ଷ଴ ൌ
140 െ 80
2
· ݏ݁݊ሺ2 · 30ሻ 
՜ ߬ଷ଴ ൌ 26,0 ݇ܲ ܽ
ൌ
ߪଵ ൅ ߪଷߪଷ଴ 2
൅
ߪଵ െ ߪଷ
2
· ܿ݋ݏ2ߙ ՜ ߪଷ଴ ൌ
140 ൅ 80
2
൅
140 െ 80
2
· ܿ݋ݏሺ2 · 30ሻ 
՜ ߪଷ଴ ൌ 125,0 ݇ܲܽ 
 
2) Método Gráfico – Círculo de Mohr: 
 
50 100 150 σ200
τ
125
26
 
 
 
 
 
3) No plano horizontal de um elemento atuam uma tensão vertical de 400 kPa e 
uma tensão cisalhante de 100 kPa. No plano vertical, a tensão normal é de 
200 kPa e a tensão de cisalhamento é de – 100 kPa. Determinar as tensões 
principais e as tensões em um plano inclinado de 45º com a horizontal. 
Solução: 
Ponto A: (400, 100) 
Ponto B: (200, -100) 
 
50 100 150 250 σ200
τ
300 350 400 450
159 441
141
 
 
 
 
4) Para uma construção em um terreno plano, é necessário que seja realizada uma 
escavação de 4 m de profundidade em talude vertical. Os estudos geotécnicos 
determinaram que o peso específico aparente seco (γd) é de 14,35 kN/m³ e a 
umidade é de 24%, a qual não sofrerá acréscimo durante a execução da obra 
em virtude das condições de drenagem. 
Também foi realizada uma série de ensaios de cisalhamento direto para 
determinar os parâmetros de resistência (atrito e coesão), conforme tabela a 
seguir. 
Verificar se há necessidade de escoramento para essa obra, considerando que 
em obras similares costuma-se exigir fator de segurança igual a 1,5. 
 
Tensões normais – σ 
(kPa) 
Tensões cisalhantes – τ
(kPa) 
50 35 
100 56 
200 99 
 
Solução: 
Roteiro: 
a) Determinar os parâmetros c e ϕ, a partir do gráfico τ x σ 
b) Determinar γn 
c) Calcular HCR 
d) Verificar se HCR é maior ou menor que a espessura necessária vezes o fator de 
segurança. 
 
A) DETERMINAÇÃO DE c E ϕ 
0
20
40
60
80
100
120
0 50 100 150 200 250
te
ns
ão
 d
e 
ci
sa
lh
am
en
to
 ‐
τ(
kP
a)
tensão normal ‐ σ (kPa)
C
ϕ
 
 
B) E R NAÇ O DE γn 
ߛ௡
D TE MI Ã
ߛௗ ൌ 1 ൅ ݓ
՜ ߛ௡ ൌ ߛௗ ·
ሻ 
ሺ1 ൅ ݓሻ 
ߛ௡ ൌ 14,35 · ሺ1 ൅ 0,24
՜ ߛ௡ ൌ 17,79 ݇ܰ/݉³ 
 
C) DETE O DE R RMINAÇÃ HC
ܪ஼ோ ൌ
2,67 · ܿ
ߛ
·
2
ݐ݃ ቀ45 ൅
߮
ቁ 
ܪ ൌ
2,67 · 14
஼ோ 17,79
· ݐ݃ ൬45 ൅
23
2
൰ 
՜ ܪ஼ோ ൌ 3,17݉ 
 
D) R F CAÇÃO DE HCR 
ܪ஼ோ ൏ ܪ · ܨܵ ՜ 3,17 ൏ 4 · 1,5 
VE I I
Portanto, há necessidade de contenção.