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MSR – Mecânica dos Solos e das Rochas Estado de Tensões – Resistência ao Cisalhamento Exercícios (Observação: os enunciados podem diferir ligeiramente do visto em sala de aula, mas os exercícios são os mesmos) 1) Sendo 100 kPa e 240 kPa as tensões principais de um elemento de solo, determinar: a) As tensões que atuam num plano que determina um ângulo de 30º com o plano principal maior. b) A inclinação do plano em que a tensão normal é de 200 kPa e a tensão de cisalhamento nesse plano. c) A máxima tensão de cisalhamento, o plano em que ela ocorre e a tensão normal nesse plano. d) Os planos em que ocorre a tensão de cisalhamento de 35 kPa e as tensões normais nesses planos. Solução: 1) Método Analítico: σ1 = 240 kPa σ3 = 100 kPa a) α = 30º ߬ଷ 2 ൌ ߪଵ െ ߪଷ · ݏ݁݊2ߙ ՜ ߬ଷ ൌ 240 െ 100 2 · ݏ݁݊ሺ2 · 30ሻ ՜ ߬ଷ ൌ 60,6 ݇ܲ ܽ ൌ ߪଵ ߪଷߪଷ 2 ߪଵ െ ߪଷ 2 · ܿݏ2ߙ ՜ ߪଷ ൌ 240 100 2 240 െ 100 2 · ܿݏሺ2 · 30ሻ ՜ ߪଷ ൌ 205,0 ݇ܲܽ b) σ = 200 kPa ߪ ൌ ߪଵ ߪଷ 2 ߪଵ െ ߪଷ 2 · ܿݏ2ߙ ՜ 200 ൌ 240 100 2 240 െ 100 2 · ܿݏሺ2 · ߙሻ 200 ൌ 170 70 ݏሺ2 · ߙሻ ՜ ܿݏሺ2 · ߙሻ ൌ 200 െ 170 70 · ܿ 2 · ߙ ՜ ܽݎܿܿݏ ൬ 30 70 ൰ ՜ 2 · ߙ ൌ 64° ՜ ߙ ൌ 32° ߬ ൌ 2 240 െ 100 · ݏ݁݊ሺ2 · 32ሻ ՜ ߬ ൌ 63,2 ݇ܲܽ c) máx ?τ = ൌ ߪଵ െ ߪଷ߬á௫ 2 ՜ ߬á௫ ൌ 70 ݇ܲܽ ߬ ൌ ߪଵ െ ߪଷ 2 · ݏ݁݊2ߙ ՜ 70 ൌ 240 െ 100 2 · ݏ݁݊ሺ2 · ߙሻ ݏ݁݊2ߙ ൌ 70 70 ՜ 2 · ߙ ՜ ܽݎܿݏ݁݊ ൬ 70 70 ൰ ՜ 2 · ߙ ൌ 90° ՜ ߙ ൌ 45° ൌ ߪଵ ߪଷߪସହ 2 ߪଵ െ ߪଷ 2 · ܿݏ2ߙ ՜ ߪସହ ൌ 240 100 2 240 െ 100 2 · ܿݏሺ2 · 45ሻ ՜ ߪସହ ൌ 170,0 ݇ܲܽ d) τ = 35 kPa ߬ ൌ ߪଵ െ ߪଷ 2 · ݏ݁݊2ߙ ՜ 35 ൌ 240 െ 100 2 · ݏ݁݊ሺ2 · ߙሻ ݏ݁݊2ߙ ൌ 70 35 ՜ 2 · ߙ ՜ ܽݎܿݏ݁݊ ൬ 35 70 ൰ ՜ 2 · ߙ ൌ 30°; 150° ՜ ߙଵ ൌ 15° ՜ ߙଵ ൌ 75° Para α1 = 15 kPa: ߪଵ ߪଷߪଵହ ൌ 2 ߪଵ െ ߪଷ 2 · ܿݏ2ߙ ՜ ߪଵହ ൌ 240 100 2 240 െ 100 2 · ܿݏሺ2 · 15ሻ ՜ ߪଷ ൌ 230,6 ݇ܲܽ Para α1 = 75 kPa: ߪଵ ߪଷߪଵହ ൌ 2 ߪଵ െ ߪଷ 2 · ܿݏ2ߙ ՜ ߪଵହ ൌ 240 100 2 240 െ 100 2 · ܿݏሺ2 · 75ሻ ՜ ߪଷ ൌ 109,4 ݇ܲܽ 2) Método Gráfico – Círculo de Mohr: a) 50 100 150 250 σ200 60,6 τ 30° 60° 205 b) 50 100 150 250 σ200 63 32° 65° τ c) 50 100 150 250 σ200 70 45° 90° τ 170 d) 50 100 150 250 σ200 35 15° 30° τ 75° 150° 2) Para determinado ponto “P” do maciço, na fase inicial da obra (estado em repouso), calcule o valor (em kPa) das tensões efetivas normais e tangencial que atuam num plano que forma um ângulo α = 30º com o plano horizontal, sabendo que a tensão efetiva principal maior (σ1) e a tensão efetiva principal menor (σ3) são iguais a 140 kPa e 80 kPa, respectivamente. Solução: 1) Método Analítico: σ1 = 140 kPa σ3 = 80 kPa α = 30º ߬ଷ 2 ൌ ߪଵ െ ߪଷ · ݏ݁݊2ߙ ՜ ߬ଷ ൌ 140 െ 80 2 · ݏ݁݊ሺ2 · 30ሻ ՜ ߬ଷ ൌ 26,0 ݇ܲ ܽ ൌ ߪଵ ߪଷߪଷ 2 ߪଵ െ ߪଷ 2 · ܿݏ2ߙ ՜ ߪଷ ൌ 140 80 2 140 െ 80 2 · ܿݏሺ2 · 30ሻ ՜ ߪଷ ൌ 125,0 ݇ܲܽ 2) Método Gráfico – Círculo de Mohr: 50 100 150 σ200 τ 125 26 3) No plano horizontal de um elemento atuam uma tensão vertical de 400 kPa e uma tensão cisalhante de 100 kPa. No plano vertical, a tensão normal é de 200 kPa e a tensão de cisalhamento é de – 100 kPa. Determinar as tensões principais e as tensões em um plano inclinado de 45º com a horizontal. Solução: Ponto A: (400, 100) Ponto B: (200, -100) 50 100 150 250 σ200 τ 300 350 400 450 159 441 141 4) Para uma construção em um terreno plano, é necessário que seja realizada uma escavação de 4 m de profundidade em talude vertical. Os estudos geotécnicos determinaram que o peso específico aparente seco (γd) é de 14,35 kN/m³ e a umidade é de 24%, a qual não sofrerá acréscimo durante a execução da obra em virtude das condições de drenagem. Também foi realizada uma série de ensaios de cisalhamento direto para determinar os parâmetros de resistência (atrito e coesão), conforme tabela a seguir. Verificar se há necessidade de escoramento para essa obra, considerando que em obras similares costuma-se exigir fator de segurança igual a 1,5. Tensões normais – σ (kPa) Tensões cisalhantes – τ (kPa) 50 35 100 56 200 99 Solução: Roteiro: a) Determinar os parâmetros c e ϕ, a partir do gráfico τ x σ b) Determinar γn c) Calcular HCR d) Verificar se HCR é maior ou menor que a espessura necessária vezes o fator de segurança. A) DETERMINAÇÃO DE c E ϕ 0 20 40 60 80 100 120 0 50 100 150 200 250 te ns ão d e ci sa lh am en to ‐ τ( kP a) tensão normal ‐ σ (kPa) C ϕ B) E R NAÇ O DE γn ߛ D TE MI Ã ߛௗ ൌ 1 ݓ ՜ ߛ ൌ ߛௗ · ሻ ሺ1 ݓሻ ߛ ൌ 14,35 · ሺ1 0,24 ՜ ߛ ൌ 17,79 ݇ܰ/݉³ C) DETE O DE R RMINAÇÃ HC ܪோ ൌ 2,67 · ܿ ߛ · 2 ݐ݃ ቀ45 ߮ ቁ ܪ ൌ 2,67 · 14 ோ 17,79 · ݐ݃ ൬45 23 2 ൰ ՜ ܪோ ൌ 3,17݉ D) R F CAÇÃO DE HCR ܪோ ൏ ܪ · ܨܵ ՜ 3,17 ൏ 4 · 1,5 VE I I Portanto, há necessidade de contenção.
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