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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II 
 
 
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br , 
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação 
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que 
sejam resolvidos tais problemas. 
 
1 
 
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II 
 
 
Fonte: http://www.migmeg.com.br/ 
 
MÓDULO II 
 
 
Estudaremos neste módulo geometria espacial e volume dos 
principais sólidos geométricos. Mas antes de começar a aula, segue 
uma dica interessante de um link sobre a História da Geometria 
Espacial: 
http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespacial.htm . 
 
UM BOM ESTUDO PARA TODOS NÓS... 
 
___________________________________________________________ 
 
 
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2 
 
GEOMETRIA ESPACIAL E VOLUME DOS PRINCIPAIS 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
 
PRISMAS: são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e 
congruentes (chamadas bases) e as demais faces em forma de 
paralelogramos (chamadas faces laterais). 
 
 
 
 
Objeto Prisma reto Prisma oblíquo 
Arestas laterais têm a mesma medida têm a mesma medida 
Arestas laterais são perpendiculares 
ao plano da base 
são oblíquas 
ao plano da base 
Faces laterais são retangulares não são retangulares 
 
 
 
Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo 
 
Bases são regiões 
poligonais congruentes 
 
A altura é a distância 
entre as bases 
 
Arestas laterais são 
paralelas com as 
mesmas medidas 
 
Faces laterais são 
paralelogramos 
 
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3 
 
Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela: 
 
 
 
 
 
 
triangular quadrada pentagonal hexágonal 
 
 
 
Área da Superfície de um Prisma 
 
- Superfície lateral: formada pelas faces laterais 
- Área lateral: área da superfície lateral (Sl) 
- Superfície Total: é formada pelas bases e pelas faces laterais 
- Área total é a área da superfície total (St) 
 
Exemplos: Dado um prisma reto de base hexagonal (hexágono regular), 
cuja altura é h = 3 m e cujo raio do círculo que circunscreve a base é R = 
2m, calcular a área total desse prisma. 
 
 
 
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4 
 
 
 Prisma Planificado 
 
 
 
 
- Cálculo da base (Sb) 
 
A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em seis 
triângulos eqüiláteros, de lado igual ao raio da circunferência. 
 
S triângulo = 
2 3 4 3 3
4 4
a
= = m 2 
Sb = 6 ⋅ S triângulo = 6 ⋅ 3 m 2 
 
 
 
 
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5 
- Cálculo da área lateral (Sl) 
 
Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos. 
 
S
retângulo = 2 3 m 2 
 
 
 
Como temos 6 retângulos, vem: 
 
Sl = 6 ⋅ S
retângulo 
Sl = 6 ⋅ 2 3 
Sl = 12 3 m 2 
 
- Cálculo da área total (St) 
 
St = Sl+2Sb 
St = 12 3 + 2 ⋅ 6 3 
St = 24 3 m 2 
 
Fazendo 3 ≃ 1,7, temos: 
St = 24 ⋅ 1,7 = 40,8m 2 
 
Resposta: A área total do prisma é de 40,8m 2 . 
 
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6 
Considerações: 
 
Um paliteiro e uma barra de sabão são exemplos de objetos de uso 
comum de forma prismática; 
- Se todas as faces são quadrados, o prisma é um cubo; 
- Se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo. 
Em qualquer paralelepípedo as faces são paralelas duas a duas. 
 
Num prisma temos os seguintes elementos: 
 
- bases (polígonos) 
- faces (paralelogramos) 
- arestas das bases (lados das bases) 
- arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases) 
- vértices (pontos de encontro das arestas) 
- altura (distância entre os planos das bases). 
 
 
 
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7 
Volume de um prisma 
 
Sendo B
−
 a área da base e h
−
 a medida da altura de um prisma, o volume 
V
−
 desse prisma é dado por: 
 
 
Seja você também a diferença, 
mas não deixe de sonhar nunca, 
mostre para as outras pessoas que você é especial, 
e verá no futuro, muitos iguais a você 
fazendo um volume de exemplos para o mundo. 
Seja a diferença nesta vida! 
 
 
Fonte: http://paginas.terra.com.br/arte/sonhosepoemas/reflexao/c_reflexao.htm 
 
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8 
 
 
Fonte: http://paginas.terra.com.br/arte/sonhosepoemas/reflexao/cartao215.htm 
 
Exercícios: 
 
1) Um calendário de madeira tem a forma e as dimensões da figura 
abaixo. Quantos cm 2 de madeira foram usados para fazer o 
calendário? (use: 3 ≃ 1,7) 
 
 
 
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9 
Sb = 
2 3
4
a
 r = 6cm h = 12cm 
Sb = 
26 3
4
 
Sb = 9 3 cm 2 
 
S
retângulo = b ⋅ h 
S
retângulo = 6⋅ 12 
S
retângulo = 72cm 2 
 
Como temos 3 retângulos 
 
Sl = 3 ⋅ S
retângulo 
Sl = 3 ⋅ 72 
Sl = 216cm 2 
 
St = Sl + 2Sb 
St = 216+2 ⋅ 9 3 
St = 216+18 3 
St = 216+30,6 
St = 246,6cm 2 de madeira. 
 
2) Calcular o volume de um prisma triangular no qual a resta da base 
mede 4cm e a altura mede 10 3 cm. 
 
Resolução: 
- Cálculo da área da base 
A base é um triângulo eqüilátero de lado a = 4cm; logo: 
 
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10 
B = 
2 3
4
a
 
B = 16 3
4
 
B = 4 3 cm 2 
 
- Cálculo do volume 
 
V = B ⋅ h 
V = ( 4 3 cm 2 ) ⋅ (10 3 cm) 
V = 120cm 3 
 
Resposta: O volume do prisma é de 120cm 3 . 
 
3) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base 
do prisma mede 4cm. Determine a sua área lateral. 
 
Resolução: 
 
S
retângulo = b ⋅ h 
S
retângulo = 20 ⋅ 4 
S
retângulo = 80cm 2 
 
Como o prisma é pentagonal (5 lados) 
 
Sl = 5 ⋅ S
retângulo 
Sl = 5 ⋅ 80 
Sl = 400cm 2 
 
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11 
Resposta: A área lateral do prisma pentagonal é de 400cm 2 . 
 
4) Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em 
forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é 
de 20cm e que o lado do polígono da base mede 16cm. Calcule a área 
do papelão necessária para se construir essa embalagem. Admita que 
se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado para 
que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa 
(use: 1,73). 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 Prisma hexagonal regular 
 
h = 20cm 
a = 16cm 
 
- Cálculo da área da base (Sb) 
A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triângulos 
eqüiláteros cujos lados medem 16cm. 
 
S triângulo = 
2 3
4
a
 
S = 
216 3
4
 
S = 110,72cm 2 
 
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12 
Logo, Sb = 6 ⋅ S triângulo 
 Sb = 6 ⋅ 110,72 
 Sb = 664,32cm 2 
 
- Cálculo da área lateral (Sl) 
Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos. 
 
S
retângulo = b ⋅ h 
S = 16 ⋅ 20 
S = 320cm 2 → é a superfície de um triângulo, como é hexagonal 
 
Sl = 6 ⋅ S
retângulo 
Sl = 6 ⋅ 320 
Sl = 1920cm 2 
 
- Cálculo da área total (St) 
 
St = Sl+2Sb 
St = 1920+2 ⋅ 664,32 
St = 3248,64cm 2 
 
Devemos usar, conforme o enunciado do problema, 25% a mais de 
papelão do que o calculado: 
 
 área = St+25% ⋅ St 
 área = 1St+0,25St 
 área = 1,25 ⋅ St 
 área = 1,25 ⋅ 3248,64 
 área = 4060,8cm 2 
 
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Resposta: A área do papelão para fabricar uma caixa é igual a 
4060,8cm 2 . 
Paralelepípedo Retângulo e Cubo 
 - Paralelepípedo Retângulo 
 
O paralelepípedo retângulo tem as seis faces retangulares e são inúmeros 
os objetos que têm sua forma: um tijolo, uma caixa de sapatos, uma caixa 
de fósforos, um livro... 
 
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura: 
 
 
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro 
arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são 
paralelas. 
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14 
 
 db = diagonal base 
 dp = diagonal paralelepípedo 
Diagonal = d = 2 2 2a b c+ + 
 
Área Total = St = 2( )ab ac bc+ + 
 
Volume = V = a ⋅ b ⋅ c 
 Usando: 
 a = comprimento 
 b = largura 
 c = altura 
 
Exercícios 
 
1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de 
dimensões 5cm, 4cm e 3cm. 
Resolução: 
 d = 2 2 2a b c+ + 
 d = 2 2 25 4 3+ + 
 d = 25 16 9+ + 
 d = 50 
 d = 5 2 cm 
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15 
 
Resposta: A medida da diagonal é 5 2 cm. 
 
2) Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10m de largura e 14m 
de comprimento. O revestimento será feito com uma mistura de areia e 
cimento de 3cm de espessura. Qual é o volume da mistura utilizado 
nesse revestimento? 
Resolução: 
 
V = a ⋅ b ⋅ c 
V = 14 ⋅ 10 ⋅ 0,03 
V = 4,20m 3 
 
Resposta: O volume da mistura é de 4,20m 3 . 
 
- Cubo 
 
O cubo tem as seis faces quadrados e um objeto típico é o dado. 
 
 
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16 
 
 dc = diagonal cubo 
 db = diagonal base 
 
Diagonal = d = a 3 
 
Área total = St = 6 ⋅ a 2 
 
Volume = V = a 3 
 
Exercícios 
 
1) Calcular a medida da diagonal de um cubo de aresta 5cm: 
 
d = a 3 
d = 5 3 cm 
 
2) Qual é o volume de um cubo de 5cm de aresta? 
 
 V = a 3 
 V = 5 3 
 V = 125cm 3 
 
3) Num cubo de aresta 10cm, qual é a área total? 
 
St = 6 ⋅ a 2 
St = 6 ⋅ 10 2 
St = 600cm 2 
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Cilindro 
 
Cilindro reto ou de revolução é o sólido obtido quando giramos, em 
torno de uma reta, uma região retangular. 
Um exemplotípico é o brinquedo chamado reco-reco. 
 
Área da base (Sb) → é a área do círculo de raio r
−
 
 
Sb = pi ⋅ 2r 
 
Área lateral (Sl) → Sl = 2pi rh 
 
Área total (St) → St = 2pi ( )r h r+ 
 
Volume (V) → o volume do cilindro é igual a área da base multiplicado 
pela altura. 
 V = Sb ⋅ h ou V = pi 2r h 
 
 
 
 
 
 
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18 
 
Exercícios 
 
1) Calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular reto, cujo 
raio da base mede 6cm e a altura mede 5cm. 
 
Solução: 
 
Sl = ? Sb = pi 2r Sl = 2pi r h St = Sl+2Sb 
St = ? Sb = pi ⋅ 6 2 Sl = 2pi 6 ⋅ 5 St = 132pi cm 2 
r = 6cm Sb = 36pi cm 2 Sl = 60pi cm 2 
h = 5cm 
 
 
2) Calcular o volume de um cilindro reto de raio 5cm e altura 9cm. 
 
Solução: 
 
r = 5cm V = pi 2r h 
h = 9cm V = pi ⋅ 5 2 ⋅ 9 
 V = 225pi cm 3 
 
3) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 8cm de diâmetro e 
15cm de altura. Quantos cm 3 de cerveja cabem nessa lata? 
 
Solução: 
d = 8cm 
h = 15cm 
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19 
V = ? 
 
d = 2 r 
2 r = d 
r = 
2
d
 
r = 
8
2
 
r = 4cm 
 
V = pi 2r h 
V = pi ⋅ 4 2 ⋅ 15 
V = 240pi cm 3 
 pi ≃ 3,14 
240 ⋅ 3,14 = 753,6cm 3 
Cabem 753,6cm 3 de cerveja nesta lata ou 753,6 ml ou 0,7536 litros. 
Cone 
 
 
g = 2R g = geratriz 
 
Sb = pi R 2 
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20 
 
Sl = pi Rg 
 
∝ = 
0360
8
R
 
∝ = ângulo do setor 
 
St = Sl+Sb ou St = pi R(g+R) 
 
V = 
3
Sb h⋅
 
 
2 2 2g h r= + 
 
Piadas Curtas! 
Se você está se sentindo sozinho, abandonado, achando que ninguém liga 
para você... “Atrase um pagamento..." 
 
“Um eletricista vai até a UTI de um hospital, olha para os pacientes ligados a 
diversos tipos de aparelhos e diz-lhes: Respirem fundo: vou trocar o fusível.” 
 
“Dois amigos conversam sobre as maravilhas do Oriente. Um deles diz: 
Quando completei 25 anos de casado, levei minha mulher ao Japão. Não diga? 
E o que pensa fazer quando completarem 50? Volto lá para buscá-la.” 
Fonte: http://www.piadasengracadas.com.pt 
 
 
 
 
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21 
 
Exercícios 
 
1) O raio da base de um cone eqüilátero mede 5cm. Calcule a medida g 
da geratriz e a medida h da altura. 
 
r = 5cm 2 2 2g h r= + 
g = ? 10 2 = 2h +5 2 
h = ? 2h +25 = 100 
 
2h =100-25 
g = 2r 2h = 75 
g = 2 ⋅ 5 h = 75 
g = 10cm h = 5 3 cm 
 
2) O tanque cônico indicado na figura tem 8m de profundidade e seu topo 
circular tem 6m de diâmetro. Calcular o volume máximo que esse 
tanque pode conter água: 
 
 
r = 
2
d
 
6
2
r = 
r = 3m 
 
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22 
 
V = 
2
3
r hpi
 
V = 
23 8
3
pi ⋅ ⋅
 
V = 9 8
3
pi ⋅ ⋅
 
V = 72
3
pi
 
V = 24pi m 3 ou 24 ⋅ 3,14 = 75,36m 3 ou 75360 litros. 
 
Esfera 
 
 
 
 
S = 4pi R 2 
 
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23 
V = 4
3
pi R 3 
 
2 2 2R r d= + 
 
Exercícios 
 
1) O volume de uma esfera é 
6
pi
cm 3 , então seu diâmetro é: 
 
Solução: 
 
V = 
34
3
Rpi
 
6
pi
 = 
34
3
Rpi
 
3pi = 24 3Rpi 
24 3Rpi = 3pi 
3R = 3
24
pi
pi
 
3R = 1
8
 
133 3=R 8
 
3
1
8
R = 
1
2
R = 
 
d = 2R 
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24 
d = 2 ⋅ 1
2
 
d = 1 
 
Resposta: O diâmetro é de 1cm. 
 
2) Calcular a área de uma superfície esférica de raio 6cm. 
 
Solução: 
 
r = 6cm 
S = ? 
 
S = 4pi 2r 
S = 4pi ⋅ 6 2 
S = 36 ⋅ 4pi 
S = 144pi cm 2 é a área da superfície esférica. 
 
Pirâmide 
 
 
 
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25 
 
 
Classificação 
 
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com 
o centro do polígono da base. 
 
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de 
pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., 
conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, 
um pentágono etc. 
 
Veja: 
 
 
 
 Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II 
 
 
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sejam resolvidos tais problemas. 
 
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Exercícios 
 
1) Em uma pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 8cm. 
Sabendo-se que a altura da pirâmide é de 3cm, calcular a área lateral 
e a área total dessa pirâmide: 
 
Solução: 
 
a = 8cm 
h = 3cm 
 
Como a base é um quadrado (pirâmide quadrangular regular), temos: 
m = 
2
a
 
m = 
8
2
 
m = 4cm m = apótema da base 
 
Cálculo do apótema da pirâmide (g) 
 
Como o ∆ VOM é retângulo, aplicando Pitágoras, temos: 
 
2 2 2g h m= + 
2g = 3 2 +4 2 
2g = 9+16 
g = 5cm 
 
 
 
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Cálculo da área lateral (Sl) 
 
S face = 2
a g⋅
 
S face = 
8 5
2
⋅
 
S face = 
40
2
 
S face = 20cm 2 
 
Sl = 4 ⋅ S face 
Sl = 4 ⋅ 20 
Sl = 80cm 2 
 
Sb = a 2 
Sb = 8 2 
Sb = 64cm 2 
 
Cálculo da área total (St) 
 
St = Sb+Sl 
St = 64+80 
St = 144cm 2 
 
Área lateral = 80cm 2 
Área total = 144cm 2 
 
 
 
 
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2) A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3cm. Sabendo que 
a altura da pirâmide mede 10cm, calcular o volume dessa pirâmide 
 
Solução: 
 
a = 3cm Sb = a 2 
h = 10cm Sb = 3 2 
V = ? Sb = 9cm 2 
 
V = 1
3
Sb ⋅ h 
V = 1
3
⋅ 9 ⋅ 10 
V = 90
3
 
V = 30cm 3 
 
O volume da pirâmide é de 30cm 3 .