6a Prova ASD SDV 2012 Rev 1

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UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
CECE – Centro de Engenharia e Ciências Exatas 
Engenharia Mecânica – Sistemas Dinâmicos e Vibrações  
Engenharia Elétrica – Análise de Sistemas Dinâmicos  
 
Nota 
 
 
Sexta Prova 29.11.12 
Nome:____________________________________________________________________ 
 
ATENÇÃO: Escolha 3 das 4 primeiras questões. A 5ª questão é obrigatória! 
1. Escolha um sistema dinâmico, o da Figura 1 (a entrada é o deslocamento da base )(txx = 
e a saída é o deslocamento do corpo de massa m , )(tyy = ) ou o da Figura 2 (a entrada é 
a fonte de tensão )(tx e a saída é a tensão )(ty no conjunto resistor-capacitor). Para o 
sistema escolhido: a) determine o modelo matemático que o representa, deixando-o 
parametrizado em função da frequência natural não amortecida e do fator (taxa ou razão) 
de amortecimento (5 pontos); b) determine a Equação de Estado completa (15 pontos); c) 
dê a nomenclatura do tipo do sistema, dos vetores e das matrizes utilizadas (5 pontos). 
kc
m
y
x
 
Figura 1 
 
 
Figura 2 
 
 
2. Escolha um sistema dinâmico, o da Figura 3 (a entrada é a força )(10)( ttf δ⋅= [N] e a 
saída é o deslocamento )(ty [m]) ou o da Figura 4 (a entrada é a fonte de tensão 
)(10)( ttx δ⋅= [V] e a saída é a tensão )(ty [V] no capacitor). Atenção: utilize 
obrigatoriamente o método da matriz de transição de estado ( [ ])(][ te tA φ= ). Sugestão: 
determine apenas os elementos que você realmente vai utilizar desta matriz. Considere 
que os sistemas não têm energia armazenada em 0=t s. Considere ainda que os 
sistemas têm fator de amortecimento 2,0 e frequência natural não amortecida de 10 
radianos por segundo. Para o sistema escolhido: a) determine a Equação de Estado 
completa (5 pontos); b) determine a saída desejada (20 pontos). 
3. Considere um sistema dinâmico cuja equação de estado completa é: 
{ } { } [ ] [ ] { }x
z
zyx
z
z
z
z
⋅+






⋅=⋅





+






⋅





−−
=





 001
6
0
56
10
2
1
2
1
2
1
&
&
 
ou ainda, na forma compacta: 
 
{ } [ ] { } { } { } [ ] [ ] { }xD
z
zCyxBzAz ⋅+






⋅=⋅+⋅=
2
1
&
 
Determine os autovalores (5 pontos) e os autovetores associados à Equação de Estado (5 
pontos). Com )(10)( ttx µ⋅= [UE]), determine a saída )(ty utilizando obrigatoriamente o 
método da diagonalização da matriz de estado. Considere que os sistemas não têm 
energia armazenada em 0=t s (15 pontos). 
 
Figura 3 
 
Figura 4 
 
4. Considere novamente o sistema dinâmico do problema anterior: a) determine uma 
expressão geral para obter a matriz de transferência a partir das matrizes da Equação de 
Estado (10 pontos); b) determine a matriz de transferência para este caso específico (10 
pontos); c) escreva uma Equação de Estado na forma compacta para um sistema MIMO 
de ordem n , com m entrada e r saídas, indicando a ordem de cada matriz (5 pontos). 
5. Escolha um sistema dinâmico, o da Figura 5 (as entradas são as forças externas )(1 tf e 
)(2 tf , enquanto que as saídas são os deslocamentos )(1 ty e )(2 ty ) ou o da Figura 6 (as 
entradas são as tensões de excitação )(1 tx e )(2 tx , enquanto que as saídas são as 
tensões nos capacitores 1C e 2C , respectivamente )(1 ty e )(2 ty ). Para o sistema 
escolhido: a) determine o modelo matemático que o representa, representando-o na forma 
matricial (5 pontos); b) determine a Equação de Estado completa (15 pontos); c) dê a 
nomenclatura do tipo de sistema, dos vetores e das matrizes utilizadas (5 pontos). 
 
Figura 5 
 
Figura 6