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um erro de pontaria é maior, 
conforme ilustra a figura 9.17. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.17 - Pontaria em baliza próxima ao equipamento e longe. 
 
Assim, um critério utilizado para a eliminação do erro angular 
cometido é distribuí-lo nos ângulos formados pelos menores lados da 
poligonal. Outro critério empregado é distribuir proporcionalmente o 
erro para cada estação. Em qualquer um dos casos, a correção calculada 
não deve ser inferior à precisão com que foram realizadas as medições. 
 
 
9.1.2.2 - Cálculo dos Azimutes 
 
Como a orientação é determinada apenas para uma direção da 
poligonal, é necessário efetuar o cálculo dos azimutes para todas as 
demais direções da poligonal. Isto é feito utilizando os ângulos 
horizontais medidos em campo. 
 
A figura 9.17 ilustra este cálculo. A partir do azimute inicial da 
direção OPP-P1 e ângulo horizontal externo OPP-P1-P2 (aqui 
denominado de α, medido no sentido horário) é possível calcular o 
azimute da direção P1-P2 a partir da equação (9.9). 
 
 
º180AzAz 1PPP02P1P −α+= −− (9.9) 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA 
 
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Figura 9.18 - Cálculo do azimute. 
 
 
Expressão genérica para o cálculo do azimute: 
 
180ºα Az Az ii 1,-i1i i, − +=+ (9.10) 
 
Sendo: 
- i variando de 0 a (n-1), onde n é o número de estações da 
poligonal.; 
 
- se i + 1 > n então i = 0; 
- se i - 1 < 0 então i = n. 
 
Se o valor resultante da equação (9.10) for maior que 360º 
deve-se subtrair 360º do mesmo e se for negativo deverá ser somado 
360º ao resultado. Quando se trabalhar com ângulos medidos no sentido 
anti-horário, deve-se somar 180º e subtrair o valor de α do azimute. 
 
 
9.1.2.2.1 - Exercício 
 
Calcular os azimutes das direções consecutivas em função dos 
ângulos horizontais medidos no sentido horário. 
 
P2 
P1 
OPP 
AzOPP-P1 
α 
AzP1-P2 
AzOPP-P1 
α − 180º 
N 
N 
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α 1 
α 2 
α 3 
α 4 
α 5 
0 = PP 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Az 0 1 
Az 0 1 
Az 12 
Az 12 
Az 23 
Az 23 
Az 34 
Az 34 
Az 45 
Az 56 
Az 45 
N 
 
 
Az01= 30°10’15” 
α1= 210°15’13” 
α2= 78°40’10” 
α3= 310°12’44” 
α4= 250°26’18” 
α5= 280°10’44” 
 
 
9.1.2.3 - Cálculo das Coordenadas Parciais 
 
Após todos os ângulos terem sido corrigidos e os azimutes 
calculados é possível iniciar o cálculo das coordenadas parciais dos 
pontos, conforme as equações a seguir. 
 
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(9.11) 
 
(9.12) 
 
 
9.1.2.4 - Verificação do Erro de Fechamento Linear 
 
A partir do ponto de partida (0PP), calculam-se as coordenadas 
dos demais pontos até retornar ao ponto de partida. A diferença entre as 
coordenadas calculadas e as fornecidas para este ponto resultará no 
chamado erro planimétrico ou erro linear cometido (figura 9.19). Como 
os ângulos foram ajustados, este erro será decorrente de imprecisões na 
medição das distâncias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.19 - Erro planimétrico. 
 
O erro planimétrico pode ser decomposto em uma componente 
na direção X e outra na direção Y (figura 9.20). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.20 - Decomposição do erro planimétrico. 
P1 
OPP 
fornecido P2 
P3 
OPP - calculado 
Erro 
Planimétrico 
( )Az i,1isend i,1iX 1iXi −⋅−+−=
( )Az i,1icosd i,1iY 1iYi −⋅−+−=
eY 
ex 
eP 
OPP - calculado 
OPP 
fornecido 
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Os valores de eX e ey podem ser calculados por: 
 
OPP
C
OPPx XXe −= (9.13) 
 
OPP
C
OPPy YYe −= (9.14) 
 
Onde: XOPPC e YOPPC são as coordenadas calculadas; 
XOPP e YOPP são as coordenadas fornecidas. 
 
O erro planimétrico ep será dado por: 
 
2/122 )( yx eeep += (9.15) 
 
É necessário verificar se este erro está abaixo de uma 
determinada tolerância linear. Normalmente esta é dada em forma de 
escala, como por exemplo, 1:1000. O significado disto é que, em uma 
poligonal com 1000 m o erro aceitável seria de 1 m. Para calcular o erro 
planimétrico em forma de escala utilizam-se as seguintes fórmulas: 
 
(9.16) 
 
 
 
(9.17) 
 
 
Onde Σd é o perímetro da poligonal (somatório de todas as 
distâncias da poligonal). 
 
 
9.1.2.4.1 - Exercício 
 
Dados os valores de erro de fechamento linear e tolerância 
linear, verificar o levantamento efetuado. São dados: 
 
Σd = 1467,434 m 
ex = 0,085 m 
eY = -0,094 m 
tolerância linear = 1:10000 
Z
1
=ep
ee
dZ
yx
22 +
Σ
=
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2/122 )( yx eeep += 
 
ep = (0,085)2 + (-0,0942)1/2 
 
ep = 0,127m 
 
 
 
 
 
 
Z = 11554,59 
 
 
 
 
ep ≤ tolerância, então ok! 
 
 
9.1.2.5 - Correção do Erro Linear 
 
Se o erro cometido for menor que o permitido, parte-se então 
para a distribuição do erro. As correções às coordenadas serão 
proporcionais às distâncias medidas. Quanto maior for a distância, maior 
será a correção. Será aplicada uma correção para as coordenadas X e 
outra para as coordenadas Y, conforme equações abaixo: 
 
(9.18) 
 
 
 
(9.19) 
 
 
Onde: 
Cxi: correção para a coordenada Xi 
Cyi: correção para a coordenada Yi 
Σd: somatório das distâncias 
di-1,i: distância parcial i-j 
)094.0(085,0
434,1467
22
−+
=Z
59,11554
1
=eP
d
d
eCx iixi Σ
×−=
− ,1
d
d
eCy iiyi Σ
×−=
− ,1
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As coordenadas corrigidas serão dadas por: 
 
 
(9.20) 
 
 
(9.21) 
 
 
9.1.2.6 - Resumo de Cálculo da Poligonal Fechada 
 
A seguir é apresentado um resumo da seqüência de cálculo e 
ajuste de uma poligonal fechada. 
 
• Determinação das coordenadas do ponto de partida; 
• Determinação da orientação da poligonal; 
• Cálculo do erro de fechamento angular pelo somatório dos 
ângulos internos ou externos (sentido horário ou anti-horário); 
• Distribuição do erro de fechamento angular; 
• Cálculo dos Azimutes; 
• Cálculo das coordenadas parciais (X, Y); 
• Cálculo do erro de fechamento linear; 
• Cálculo das coordenadas definitivas (XC, YC). 
 
 
9.1.2.7 - Exercício 
 
Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para o 
levantamento de uma poligonal, determinar as coordenadas dos pontos 
que formam a mesma. São dados: 
 
Azimute da direção OPP-1: 106º 52’ 07’’ 
Coordenadas da estação OPP: 
 
XOPP = 224,19 m YOPP = 589,25 m 
 
Tolerâncias: 
Angular: m''10 (m = número de ângulos medidos na poligonal) 
Linear: 1:2000 
( ) CxAzsendXX iiiiicici +×+= −−− ,1,11
( ) CyAzdYY iiiiicici +×+= −−− ,1,11 cos
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Figura 9.21 - Croqui de uma Poligonal Fechada. 
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Ponto Direção Ângulo Horizontal Distância (m)