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Calculo_1

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são função deriváveis, então a função ( ) ( ) ( )xgxfxh += tem derivada dada por 
( ) ( ) ( )x'gx'fx'h += . 
 
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
 
Exemplo 24. Se ( ) 5xx3x4xf 23 +−+= então ( ) 1x6x12x'f 2 −+= . 
 
 
5. Derivada de um produto de funções. 
 
Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( ) ( )xgxfxh ⋅= tem derivada dada por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x'gxfxgx'fx'h ⋅+⋅= . 
 
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
 
Exemplo 25. 
 
Se ( ) ( )( )x2xxxf 3 −−= então ( ) ( )( ) ( )( ) 2x2x6x410xxx21x3x'f 2332 −+−+−=−−+−−= . 
 
 
6. Derivada de um quociente de funções. 
 
Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( )( )xg
xfxh = tem derivada dada por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2xg
x'gxfxgx'fx'h ⋅−⋅= . 
 
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
 
Exemplo 26. Se ( )
x2
8x5xf
2 −= então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 x2 8x5...x4 28x5x2x10x'f +==⋅−−⋅= . 
Álvaro Fernandes 30
Atividades (grupo 19). 
 
1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
a) ( ) 1x3xxf 2 ++= − . b) ( ) ( ) ( )3xxxf 8 += . c) ( ) ( )( )x6xx3xf 4 −+= . 
 
d) ( ) ( ) 32 x23xxf −= . e) ( ) 3 x
2
3x5xf +−= . f) ( ) ( )x2xxf 41 −= . 
 
g) ( ) 6x
1x
xxf 2 +++=
− . h) ( ) 2x
x2xf −= . i) ( ) ( )24 3 x1xxf −= . 
 
2. Determine os valores das constantes a e b na parábola ( ) baxxf 2 += de modo que a reta de 
equação 4x8y += seja tangente a parábola no ponto 2x = . 
 
Derivada da função composta (Regra da cadeia) 
 
 Até o momento sabemos derivar a função ( ) 3xxg = e também a função ( ) 1x2xf += . 
Considere agora a função composta ( ) ( )( ) ( )31x2xfgxgof +== . Como poderemos obter a derivada 
da função composta ( )xgof sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma 
forma de obter a derivada da função composta em termos das funções elementares f e g. 
 
 
Regra da cadeia 
 
Se ( )ugy = , ( )xfu = e as derivadas 
du
dy e 
dx
du existem, então a função composta 
( ) ( )( )xfgxgofy == tem derivada dada por 
 
dx
du
du
dy
dx
dy ⋅= ou ( ) ( ) ( )xu´uy´xy´ ⋅= ou ( ) ( )( ) ( )x´fxfg´x´gof ⋅= . 
 
As três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações. 
 
Exemplo 27. Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) ( )31x2y += b) 3x5y += c) 5
x31
xy 


−= 
 
Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares ( )ugy = e 
( )xfu = (cujas derivadas conhecemos) que formam a função composta e aplicar a regra. 
 
a) ( )31x2y += 
 


+=
=
1x2u
uy 3
 
 
Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 1x2621x232u3xy´xu´uy´xy´ +=⋅+=⋅=⇒⋅= . 
 
Logo ( ) ( )21x26xy´ += . 
Álvaro Fernandes 31
b) 3x5y += 
 


+=
=
3x5u
uy 
 
Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3x52
55
u2
1xy´xu´uy´xy´ +=⋅=⇒⋅= . Logo ( ) 3x52
5xy´ += . 
 
c) 
5
x31
xy 


−= 
 



−=
=
x31
xu
uy 5
 
 
Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) =


−
−−−⋅=⇒⋅= 24 x31
3xx311u5xy´xu´uy´xy´ 
 
( )( ) ( )( )
( ) ( )6
4
2
4
x31
x5
x31
3xx311
x31
x5 −=


−
−−−⋅


−= . 
 
Logo ( ) ( )6
4
x31
x5xy´ −= . 
 
Proposição: Se ( )xf é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então 
 
( )[ ] ( )[ ] ( )x´f.xfnxf
dx
d 1nn −= 
 
Prova: Fazendo nuy = , onde ( )xfu = e aplicando a regra da cadeia, temos 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )x´fxfnxy´x´fnuxy´xu´uy´xy´ 1n1n ⋅=⇒⋅=⇒⋅= −− . 
 
A proposição continua válida se n for um número racional não nulo. 
 
Exemplo 28. Calcule a derivada da função 3 3xx14y −+⋅= . 
 
Podemos escrever ( ) 313xx14y −+= e calcular a derivada usando a proposição acima: 
 
( ) ( ) ( )2323 x31xx1
3
14xy´ −⋅−+⋅= − . 
 
Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27. 
Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas mais 
complicados... 
Álvaro Fernandes 32
Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) ( )63x2y −= . b) ( ) 34 2xy −−= . c) 3x2y −= . 
 
d) ( )( )x51
x31y
2
+
−= . e) ( )( )3
4
x1
x2y −= f) 1x
x41y
3
+
+= 
 
 
Derivada da função inversa 
 
Se uma função ( )xfy = admite uma função inversa ( )yfx 1−= , então a função inversa tem 
derivada dada por 
 
( ) ( ) ( )x´f 1y´f 1 =− , ( ) 0x´f ≠ . 
 
Sabemos que ( ) xxoff 1 =− . Aplicando a regra da cadeia, obtemos que ( ) ( )( ) ( ) 1x´fxf´f 1 =⋅− , daí 
( ) ( ) ( )x´f 1y´f 1 =− , desde que ( ) 0x´f ≠ . 
 
 
 
Exemplo 29. Seja ( ) 3x5xfy == . Calcule a derivada ( ) ( )40´f 1 − invertendo a função e usando a 
regra da derivada da inversa. 
 
⇒ Invertendo a função: 
 
( ) ( ) 31313
5
y
5
yyfxx5xfy 

===⇒== − . Assim ( ) ( )
5
1
5
y
3
1y´f
32
1 ⋅

=
−
− 
Logo ( ) ( ) ( ) ( ) 601815 18151515403140´f 3232
32
1 ===⋅

= −
−
− . 
 
⇒ Usando a regra da derivada da inversa: 
 
Se 40y = e ( ) 3x5xfy == , então 28
5
40x 33 === . Como ( ) 2x15x´f = , obtemos 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60121512´f 140´fx´f 1y´f 211 ===⇒= −− . 
Álvaro Fernandes 33
Atividades (grupo 21). 
 
1. Seja ( ) 3x5xfy −== . Calcule a derivada ( ) ( )2´f 1 − usando a regra da derivada da inversa. 
 
2. Seja ( ) 0x,xxfy 2 >== . Calcule a derivada ( ) ( )3´f 1 − usando a regra da derivada da inversa. 
 
 
 
Derivada das funções elementares. 
 
Vamos agora apresentar as derivadas das funções elementares do cálculo. São elas as funções 
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas. 
 
 
1. Derivada da função exponencial. 
 
Proposição: Se ( ) ( )1 e a0a,axf x ≠>= , então ( ) ( )alnax´f x= . 
 
Prova: ( ) ( ) ( ) ( )alna
x
1alimalim
x
1aalim
x
aalimx´f x
x
0x
x
0x
xx
0x
xxx
0x
=∆
−⋅=∆
−=∆
−=
∆
→∆→∆
∆
→∆
∆+
→∆
 . 
 
Lembre-se que ( ) ( )aln
x
1alim
x
0x
=∆
−∆
→∆
 é uma conseqüência importante do limite fundamental 
exponencial (item ii pág. 14). 
 
Caso particular: Se ( ) xexf = , então ( ) ( ) xx eelnex´f == , onde e é o número neperiano. 
 
Exemplo 30. Determine a deriva da função xe6y = . 
 
Usando a regra da cadeia, obtemos: 
 
( ) ( ) ( )
x
e3
x2
1e6xu´uy´xy´
xu
e6y xu
u
=⋅=⋅=
 =
=
. 
 
Atividades (grupo 22). 
 
1. Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
 
a) ( ) 1x2xf += . b) ( ) x2exf = . c) ( ) 1x52 ex3xf +⋅= . d) ( ) 2x
2
e
x1xf −= . 
 
2. Calcule a área do triângulo retângulo sombreado na figura abaixo, sabendo-se que n é a reta 
normal a ( ) xexf = no ponto de abscissa 1=0x . 
 
 
Resp.: 2e3 
Álvaro Fernandes 34
2. Derivada da função logarítmica. 
 
Proposição: Se ( ) ( ) ( )1 e a0a,xlogxf a ≠>= , então ( ) ( )alnx
1x´f = . 
 
Prova: A função logarítmica ( ) ( )xlogxfy a== é a inversa da função exponencial 
( ) y1 ayfx == − . Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para determinar 
( )x´f . Assim: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )alnx 1alna 1y´f 1x´f y1 === − . 
 
 
Caso particular: Se ( ) ( )xlnxf = , então ( ) ( ) x
1
elnx
1x´f == . 
 
Exemplo 31. Determine a deriva da função ( )xln
ey
1x4 +
= . 
 
Usando a regra da derivada do quociente 2g
´fgg´f´
g
f −=



 e a regra da cadeia na função 
exponencial, obtemos: 
 
( ) ( )[ ] ( )
( )[ ]2
1x41x4
xln
x
1exln4e
y´


−⋅
=
++
 
 
Atividades (grupo 23). 
 
1. Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a)