Estudo do Espaço e do Ponto

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Professora: Daniely Formiga Braga 
E-mail: danielyformiga@ufersa.edu.br 
ESTUDO DO ESPAÇO E 
DO PONTO 
Caraúbas/RN 
OBJETIVOS 
- Representar um ponto espacial e em épura 
- Ler a épura de um ponto 
- Identificar pontos simétricos 
ELEMENTOS DE PROJEÇÃO 
A projeção de um objeto é sua 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA num plano. 
 
- Plano de projeção 
- Objeto 
- Projetante, ou raio projetante 
- Centro de projeção 
ELEMENTOS DE PROJEÇÃO 
- A lanterna é o 
centro de projeção; 
 
- Os raios de luz 
são as projetantes; 
 
- A sombra é a 
representação do 
objeto em projeção. 
O CENTRO DE PROJEÇÃO É PRÓPRIO: 
PROJEÇÃO CÔNICA OU SISTEMA CÔNICO DE 
PROJEÇÃO 
- O centro de projeção 
está no infinito; 
 
- Os raios solares 
podem ser considerados 
raios projetantes; 
 
- A sombra 
é a representação da 
projeção do objeto. 
O CENTRO DE PROJEÇÃO É IMPRÓPRIO: 
PROJEÇÃO CILINDRICA 
OU SISTEMA CILÍNDRICO DE PROJEÇÃO 
A PROJETANTE é a reta que passa pelos 
pontos do objeto e intercepta o plano de projeção. 
 
CENTRO DE PROJEÇÃO é o ponto fixo de 
onde partem ou por onde passam as projetantes. 
Um ponto se projeta num plano quando a 
projetante intercepta o plano de projeção 
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES 
Os sistemas de projeções são classificados de 
acordo com a posição ocupada pelo CENTRO DE 
PROJEÇÃO. Esse centro pode ser finito, ou 
infinito, determinando: SISTEMA CÔNICO, 
também chamado de Sistema Central e o 
SISTEMA CILÍNDRICO. 
SISTEMA CÔNICO DE PROJEÇÃO 
Os raios projetantes partem do centro O de projeção e 
passam pelos pontos do objeto a ser projetado levando 
esses pontos até o plano, onde definem a projeção do 
objeto no plano 
SISTEMA CILÍNDRICO DE PROJEÇÃO 
Os raios projetantes vêm do infinito e passam 
pelos pontos do objeto a ser projetado levando 
esses pontos até o plano, onde definem a projeção 
do objeto no plano. Dependendo da direção das 
projetantes as PROJEÇÕES CILÍNDRICAS 
podem ser OBLÍQUAS ou ORTOGONAIS. 
SISTEMA CILÍNDRICO OBLÍQUO 
As projetantes partem do infinito e têm direção oblíqua 
em relação ao plano de projeção, isto é, formam ângulos 
diferentes de 90º 
SISTEMA CILÍNDRICO ORTOGONAL 
As projetantes partem do infinito e têm direção ortogonal 
em relação ao plano de projeção, isto é, formam com o 
plano um ângulo de 90º 
Os objetos são diferentes, mas observe que quando os 
sobrepomos no espaço, suas projeções coincidem. 
SISTEMA MONGEANO DE PROJEÇÃO 
A projeção cilíndrica ortogonal foi adotada 
por Gaspard Monge, para a criação do 
 
SISTEMA MONGEANO DE PROJEÇÃO 
 
 
As projeções no PLANO VERTICAL são diferentes das projeções no PLANO 
HORIZONTAL, isto faz com que os objetos fiquem melhor definidos. 
Veja agora como é possível determinar a forma e a posição dos 
objetos no espaço 
 O ESPAÇO 
3º Diedro 4º Diedro 
1º Diedro 2º Diedro 
SPHP 
Linha de Terra 
CONCEITO 
Pode-se representar um ponto de várias 
maneiras, mas é uma entidade 
matemática sem dimensões 
ESTUDO DO PONTO 
Um ponto é representado por suas 
coordenadas descritivas 
(P) [X; Y ;Z] 
(P) [P0; P; P’] 
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO 
Y > 0 e Z >0 
0 
z
 (
A
) 
(A) 
y (A) 
Afastamento 
C
o
ta
 
Plano de perfil 
A0 
A` 
A 
Um ponto é caracterizado numericamente pela expressão: 
 (P) [x; y; z] 
1º Diedro 
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO 
2º Diedro 
Y< 0 e Z >0 
0 
z
 (
B
) 
(B) 
y (B) 
B0 
B` 
B 
(B) [x; y<0; z>0] 
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO 
3º Diedro 
Y< 0 e Z <0 
0 
z
 (
C
) 
(C) 
y (C) 
C0 
C` 
C 
(B) [x; y<0; z<0] 
0 
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO 
4º Diedro 
Y> 0 e Z <0 
0 
z
 (
D
) 
(D) 
y (D) 
D0 
C` 
D 
(D) [x; y>0; z<0] 
D´ 
L T 
(A) 
A’ 
A 
A’ 
A0 A0 
A 
Após o rebatimento obtemos a representação do ponto no 
plano por suas projeções. Esta representação é 
denominada ÉPURA. 
REPRESENTAÇÃO DO PONTO NO PLANO BIDIMENSIONAL 
SPHA ≡ SPVI 
SPHP ≡ SPVS 
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO EM ÉPURA 
1º Diedro 
0 
Linha de chamada 
A0 
A` 
A 
z > 0 
y > 0 
No 1º Diedro a cota (z > 0) é medida da LT para cima e o 
afastamento (y > 0) é medido da LT para baixo. 
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO EM ÉPURA 
2º Diedro 
0 
Linha de chamada 
B0 
B` 
B 
z > 0 
y < 0 
0 X
(B
)
z
(B
)
(B)
y (B)
B0
B`
B
LT
SP
VI
SP
VS
SP
HP
SP
HA0 X
(B
)
z
(B
)
(B)
y (B)
B0
B`
B
LTLT
SP
VI
SP
VS
SP
HP
SP
HA
No 2º Diedro a cota (z > 0) e o afastamento (y < 0) são 
medidos da LT para cima 
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO EM ÉPURA 
3º Diedro 
0 
Linha de chamada 
C0 
C` 
C 
z < 0 
y < 0 
No 3º Diedro a cota (z < 0) é medida da LT para baixo e o 
afastamento (y < 0) é medido da LT para cima. 
0
X (
C)
z
(C
)
(C)
y (C)
C0
C`
C
SP
V
I
SP
VS
SP
H
P
SP
H
A
0
LT
0
X (
C)
z
(C
)
(C)
y (C)
C0
C`
C
SP
V
I
SP
VS
SP
H
P
SP
H
A
0
LT
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO EM ÉPURA 
4º Diedro 
0 
Linha de chamada 
D0 
D` 
D 
z < 0 
y > 0 
No 4º Diedro a cota (z < 0) e o afastamento (z > 0) são 
medidos da LT para baixo 
0
X (
D)
z
(D
)
(D)
y (D)
D0
C`
D
SP
V
I
SP
VS
SP
H
P
SP
H
A
D´
LT
0
X (
D)
z
(D
)
(D)
y (D)
D0
C`
D
SP
V
I
SP
VS
SP
H
P
SP
H
A
D´
LT
DIEDRO - é formado por dois planos de projeção ortogonais - um horizontal, 
um vertical 
 
LINHA DE TERRA - reta determinada pela intersecção dos planos Horizontal e 
Vertical de projeção 
 
REBATIMENTO – rotação do PH em 90º para obtenção da épura 
 
ÉPURA - representação de figuras no plano bidimensional, por suas projeções. 
 
LINHAS DE CHAMADA - reta perpendicular à linha de terra, que liga as 
projeções horizontais e verticais de pontos 
 
COTA – distância de um ponto objeto ao PH 
 
AFASTAMENTO – distância de um ponto objeto ao PV. 
RESUMO 
EXERCÍCIOS 
• 1º Diedro (A) [2; 3; 4] 
• 2º Diedro (B) [4; -2; 5] 
• 3º Diedro (C) [6; -3; -1] 
• 4º Diedro (D) [8; 4; -2] 
• SPHA (E) [10; 2; ?] 
• SPVI (F) [12; ?; -3] 
• Linha de terra (G) [14; ?; ?] 
- Planos bissetores ímpar (bI) e par (bP) 
PLANOS BISSETORES 
(bI) 
1º Diedro 
3º Diedro 
(bP) 
2º Diedro 
4º Diedro 
Corte dos planos de projeção, (p) e (p’), e 
dos planos bissetores, (bI) e (bP) 
(p’s) 1º d 
(p’I) 
(pA) (pP) 
(bI) 
2º d 
(bP) 
3º d 
4º d 
p`p 
1a 
2a 3a 
4a 
5a 
6a 7a 
8a 
(bI) 
(bP) 
Planos bissetores ímpar (bI) e par (bP) 
Planos bissetores ímpar (bI) e 
par (bP) 
 
(p’) 
(p) 
(bI) 
A’ 
Coordenadas de pontos nos bissetores e suas 
representações em ÉPURA (bissetor ímpar): 
45º 
(A) 
A 
C’ (C) 
45º 
C 
Cota e afastamento igual 
Y(A) = Z (A) e Y(C) = Z(C) 
Y(A) 
Y(C) 
Z
(A
) 
Z
(C
) 
As projeções são simétricas 
0 
A0 
A 
A’ 
C0 
Z
(A
) 
C 
Y(A) 
C’ 
Z
(C
) 
Y(C) 
1º diedro 3º diedro 
(p’) 
(p) 
(bp) 
B’ 
Coordenadas de pontos nos bissetores e suas 
representações em ÉPURA (bissetor par): 
45º 
(B) 
B 
D’ (D) 
D 
|Y(B) | = Z (B) e Y(D) = |Z(D)| 
ou 
Y(B) = - Z(B) e Y(D)= - Z(D) 
Y(B) 
Y(D) 
Z
(D
) 
Z
(B
) 
As projeções são coincidentes 
0 
B0 
B’ ≡ B 
D0 
Y(D) 
Y(B) 
2º diedro 
4º diedro 
45º 
D’ ≡ D 
Z(B) 
Z(D) 
SIMETRIA DE DOIS PONTOS: 
Ponto simétricos situam-se em um mesmo plano de perfil 
(p’) 
(p) 
0 
y 
d
 
d
 
r 
(A) 
(M) 
(B) 
Dois pontos são simétricos em relação a um plano quando o 
segmento de reta que os une é ortogonal ao plano e admite um 
ponto médio neste plano. 
SIMETRIA EM RELAÇÃO A (p) 
As projeções horizontais são coincidentes (y(A) = Y(B)) e 
as verticais são simétricas (z(A) = -Z(B)) 
(p’) 
(p) 
C’ 
(B) B’ 
(A) 
C ≡ D 
Z(A) 
Y(A) ≡ Y(B) 
(C) 
(D) 
A’ 
Z(B) 
A ≡ B 
A0 ≡ B0 
D’ 
Y(c) ≡ Y(D) 
0 
A’ 
C’ 
1º e 4º diedro 
A0 ≡ B0 
A ≡ B 
B’ 
2º e 3º diedro 
C0 ≡D0 
C ≡ D 
D’ 
Ex: (A)[2; 3; 4] e (B)[2; 3; -4] 
SIMETRIA EM RELAÇÃO A (p’) 
As projeções verticais são coincidentes (Z(A) = Z(B)) e as 
horizontais são simétricas (Y(A) = -Y(B)) 
(p’) 
(p) A0 ≡ B0 
(A) 
A’ 
A 
(B) B’ 
B 
Z(A) 
C 
D 
Y(A) Y(B) 
C’ D’ (D) (C) 
Z(B) 
0 
A’ ≡ B’ 
B 
1º e 2º diedro 
C0 ≡D0 
A 
A0 ≡ B0 
C 
C’ ≡ D’ 
D 
3º e 4º diedro 
Ex: (C)[4; -3; 4] e (D)[4; 3; 4] 
SIMETRIA EM RELAÇÃO A (p’ p) 
As projeções horizontais e as projeções verticais são 
simétricas (Y(A) = - Y(C) e Z(A) = -Z(C)) 
(p’) 
(p) 
(A) 
A’ 
A 
(B) B’ 
B 
Z(A) 
C 
D 
Y(A) 
C’ 
D’ (D) 
(C) 
Z(C) 
d 
a 
a 
d 
Y(C) 0 
A’ 
C 
1º e 3º diedro 
B0 ≡D0 
A 
A0 ≡ C0 
B 
B’ 
D 
2º e 4º diedro 
C’ 
D’ 
Ex: (E)[6; 3; 4] e (F)[6; -3; -4] 
SIMETRIA EM RELAÇÃO AO (bI) 
As projeções de nomes contrários são simétricas 
(Y(A) = Z(B) e Y(B) = Z(A)) 
(bI) (A) 
A’ 
A 
(p’) 
(p) 
(B) 
B’ 
B 
d 
d 
C D 
(C) C’ 
D’ 
(D) 
0 C0 ≡D0 A0 ≡ B0 
A’ 
B’ 
A 
B 
C 
D 
C’ 
D’ 
1º diedro 3º diedro 
45º 
Ex: (G)[8; 3; 4] e (H)[8; 4; 3] 
As projeções de nomes contrários são coincidentes 
(Y(A) = - Z(B) e Y(B) = -Z(A)) 
(bP) 
(A) 
(B) 
A’ 
B’ 
B A 
D C 
C’ 
D’ 
SIMETRIA EM RELAÇÃO AO (bP) 
(D) 
(C) 2º diedro 
4º diedro 
A’ ≡ B 
A ≡ B’ 
0 
C’ ≡ D 
C ≡ D’ 
Ex: (I)[2; 3; - 4] e (J)[2; 4; -3] 
Exercícios 
 (A) [6; 2; 4] e (B) [6; 2;-4] 
 (C) [2; 5; 1] e (D) [2; -5; 1] 
 (E) [4; 6; 3] e (F) [4; -6; -3] 
 (G) [8; 2; 3] e (H) [8; 3; 2] 
 (K) [10; -6; 3] e (J) [10; -3; 6] 
 
Exercícios - Livro 
 
 Pag. 32 e 33 
 Questões: 01, 02, 03, 04 e 05 
 
 
OBRIGADA!!