Estudo do Plano

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Professora: Daniely Formiga Braga 
E-mail: danielyformiga@ufersa.edu.br 
O Plano 
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PLANO: Definições: 
a) Geral: Três pontos não alinhados determinam um 
plano; 
(A) 
(B) (a) 
(C) 
Uma segmento de reta pode ser suspenso por apenas dois ponto. 
Um PLANO só pode ser mantido na horizontal, quando suspenso 
pelo menos por três de seus pontos. 
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b) Conseqüentes: 
b.1) Uma reta e um ponto 
que não pertença a esta 
reta determinam um plano; 
(A) (B) 
(a) 
(r) 
(C) 
b.2) Duas reta concorrentes 
determinam um plano; 
(A) (C) 
(a) 
(r) 
(B) 
(s) 
b.3) Duas reta paralelas determinam um plano; 
(A) (B) 
(a) 
(r) 
(C) 
(s) 
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Representação de um plano em Épura 
a) Três pontos não alinhados – três pontos tais que a 
reta definida por dois deles não contenha o outro. 
0 
B’ 
A’ 
A 
B 
C’ 
C 
Três pontos não alinhados 
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Representação de um plano em Épura 
b) Uma reta e um ponto exterior à reta 
0 
B’ 
A’ 
A 
B 
C’ 
C 
r’ 
r 
O ponto (C) não pertence à reta definida pelos pontos (A) e (B) 
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Representação de um plano em Épura 
c) Duas retas concorrentes d) Duas retas paralelas 
0 
B’ 
A’ 
A 
B 
C’ 
C 
r’ 
r 
s’ 
s 
0 
B’ 
A’ 
A 
B 
C’ 
C 
r’ 
r 
s’ 
s 
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CONVENÇÃO 
 Planos definidos por três pontos não alinhados ou por uma reta e 
um ponto exterior à reta, devem ser imediatamente transformados 
em planos definidos por duas retas concorrentes ou paralelas. 
0 
B’ 
A’ 
A 
B 
C’ 
C 
r’ 
r 
s’ 
s 
0 
B’ 
A’ 
A 
B 
C’ 
C 
r’ 
r 
s’ 
s 
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Traços de um plano qualquer 
- Conceito: São as retas resultantes das interseções entre o 
plano e os planos de projeção horizontal e vertical. 
(p) 
ap 
(a) 
(q2) 
(q1) 
(T) 
(T) [x; 0; 0] 
0 
ap’, y = 0 
q1 > 0 
T ≡T’ 
q2 < 0 
ap, z = 0 
Traços de um plano qualquer 
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Definições 
- Traço horizontal, ap – É reta segundo a qual o plano (a) corta 
o plano (p), isto é, o lugar geométrico dos pontos do plano (a) 
que apresentam cota nula. 
- Traço vertical, ap’ – É reta segundo a qual o plano (a) corta o 
plano (p’), isto é, o lugar geométrico dos pontos do plano (a) 
que apresentam afastamento nulo. 
A interseção entre os traços horizontal e vertical de um plano 
determina um ponto (T) sobre a linha de terra, que em épura, é 
representado por suas projeções ortogonais T = T’ 
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Características dos traços de um plano 
Projeções dos traços de um plano qualquer 
ap 
apV 
(a) 
(T) 
ap’ ≡ ap’V 
0 ap’H = apV = p’p 
ap ≡ apH 
T = T’ 
a) Cada traço de um plano tem sua projeção de nome contrário 
na linha de terra. 
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b) Todo plano tem pelo menos um traço – um plano não pode 
ser simultaneamente paralelo aos dois planos de projeção. 
b.1) Plano paralelo ao (p) – só apresenta traço vertical 
0 
Traço único de um plano paralelo ao plano horizontal de projeção (p) – PLANO 
HORIZONTAL 
Características dos traços de um plano 
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b.2) Plano paralelo ao (p’) – só apresenta traço horizontal 
0 
Traço único de um plano paralelo ao plano vertical de projeção (p) – PLANO 
FRONTAL 
Características dos traços de um plano 
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c) Um plano que passa pela linha de terra apresenta traços 
coincidentes, ap = ap’. 
0 
Traço coincidentes de um plano que passa pela linha de terra 
Características dos traços de um plano 
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Projeções dos traços de um plano paralelo a linha de terra 
ap’ = ap’V 
0 ap’H = apV = p’p 
ap’ = ap’V 
Características dos traços de um plano 
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Plano qualquer 
(p) 
ap 
(a) 
(q2) 
(q1) 
(T) 
(T) [x; 0; 0] 
0 
ap’, y = 0 
q1 > 0 
T ≡T’ 
q2 < 0 
ap, z = 0 
O ângulo q1 > 0 com vértice em T=T’ na linha de terra é medido no sentido 
anti-horário e o ângulo q2 < 0 com vértice em T=T’ na linha de terra é medido 
no sentido horário. 
 
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Classificação dos traços de um plano 
• Plano qualquer 
 
• Traço Horizontal Anterior a p A (Y>0) 
• Traço Horizontal Posterior ap P (Y<0) 
• Traço Vertical Superior ap’S (Z>0) 
• Traço Vertical Inferior ap’I (Z<0) 
 
ap’S 
0 
ap A 
T = T’ 
ap’I 
ap P 
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Porções uteis de um plano nos diedros 
 
ap’S 
ap A 
T = T’ 
ap’I 
ap P 
1º Diedro 
2º Diedro 
4º Diedro 
3º Diedro 
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Pertinência de reta e plano 
Uma reta pertence a um plano quando dois de quaisquer de 
seus pontos pertencem ao plano. 
Reta qualquer (r) pertencente ao plano (a) 
(A) (B) 
(a) 
(r) 
(A) ∈ (a), (B) ∈ (a) 
(A)(B) ∈ (a), (r) ∈ 
(a) 
Pertinência de reta e plano 
a) Toda reta concorrente com outras duas retas concorrentes 
de um plano, em pontos distintos, pertencem ao plano. 
(p) 
(a) 
(T) 
(t) 
(r) 
(s) 
(A) 
(I) 
(B) 
I’ 
A 
I 
s 
A’ 
s’ 
B’ 
r’ 
t’ 
B 
r 
t 
Pertinência de reta e plano 
t’ 
(p) 
(T) 
(t) 
(r) 
(s) 
(A) 
(B) 
A 
s 
A’ 
B’ 
B 
r 
t 
(a) 
b) Toda reta concorrente com outras duas retas paralelas de 
um plano, em pontos distintos, pertencem ao plano. 
Pertinência de reta e plano 
c) Quando uma reta tem seus traços horizontal e vertical 
situados, respectivamente, nos traços horizontal e vertical do 
plano, esta reta pertence ao plano. 
(p) 
(a) 
(T) 
V’ = (V) 
(r) 
(H) = H 
ap 
(ap’) 
(ap) 
H 
H’ 
V’ 
r’ 
V 
r 
T = T’ 
Pertinência de reta e plano 
c) Quando duas ou mais retas pertencem ao plano, os seus 
traços horizontais pertencem ao traço horizontal do plano e os 
seus traços verticais pertencem ao traço vertical do plano. 
(p) 
(a) 
(T) 
V’r ≡ (Vr) 
(r) 
(Hr) ≡ Hr 
ap 
(ap’) 
(ap) 
Hr 
H’r 
Vr’ 
Vr 
T = T’ 
O PLANO É DEFINIDO POR SEUS TRAÇO HORIZONTAL E 
VERTICAL 
(Hs) ≡ Hs 
(s) 
V’s ≡ (Vs) 
Vs’ 
Vs 
H’s 
Hs 
s’ 
s 
r’ 
r 
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Exercícios 
• Pag 115 - 1ª, 2ª e 4ª questões 
• Lista de exercícios – questão 02 
 
01) Dado o plano (a) definido pelos pontos 
(A) [1 ;4 ;1 ] (B) [4 ;0 ;4 ] e (C) [6 ;1 ;2 ] 
defini-los pela reta (A)(B) = (r) e (B)(C) = (s)