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Técnicas analise circuitos

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C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 1
CIRCUITOS ELÉTRICOS
TÉCNICAS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS
Um dos objetivos deste tópico é desenvolver métodos para resolver circuitos
contendo fontes e resistências, sempre baseados nas duas Leis de Kirchhoff.
Entre esses métodos, veremos: análise nodal, análise de laço (malha).
Outro ponto importante: desenvolver a habilidade de escolher o melhor
método para uma situação particular.
1. ANÁLISE NODAL
Na análise nodal, os parâmetros desconhecidos são as tensões e a LKC (lei
de Kirchhoff para correntes) é empregada para determiná-las.
Para a aplicação deste método, vamos apresentar as seqüências de
procedimentos para obter um conjunto de equações nodais para qualquer circuito
resistivo.
1) Faça um diagrama simples e claro do circuito, indicando todos os elementos e
valores de fontes com os sinais de referência indicados;
2) Para circuitos com N nós, escolha um deles como nó de referência e indique as
tensões dos demais nós em relação ao nó de referência.
3) Se o circuito contém apenas fonte de corrente, aplicar a Lei de correntes de
Kirchhoff a cada nó que não o de referência.
4) Se o circuito contém fontes de tensão, substitua por uma conte de corrente
equivalente. Se a fonte de tensão é tal que não permite a sua transformação,
devemos mentalmente substituir por um curto circuitos, reduzindo de um o
número de nó, criando um super nó.
Para circuitos sem as fontes de tensão ou fontes independentes a expressão
matricial desenvolvida é
nnnnnnn
n
n
J
J
J
v
v
v
GGGG
GGGG
GGGG
.
.
.
..
...
.....
.....
...
...
2
1
2
1
321
2232221
1131211
=
---
--
--
Onde
Gkj = Gjk = soma das admitâncias dos ramos que interligam os nós k e j.
Gkk = soma das admitâncias dos ramos ligados ao nó k.
Jk = soma das correntes das fontes ligadas ao nó k ( positivo = correntes que
chegam ao nó e negativo = as que saem do nó)
ou reescrevendo [ ][ ] [ ]JVG =.
Para mostrar a validade da equação matricial acima, vamos apresentar dois
exemplos que descrevem as etapas até chegar a equação matricial do circuito.
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 2
Exemplo 1
Considere o circuito mostrado na figura 1.
Figura 1
O circuito possui três nós. O nó da base é selecionado como nó de referência
e seu potencial é zero (normalmente é considerado terra) e as tensões nos nós v1 e
v2 são definidas em relação a esse nó.
Redesenhando o circuito da figura 1 para indicar os nós mais claramente,
obtendo o circuito mostrado na figura 2.
Figura 2
Aplicando-se a LKC no nó 1, tem-se: 0321 =-+ iii
Usando-se a Lei de Ohm, obtém-se:
0
00
3
12
2
1
1
1 =
-
-
-
+
-
R
vv
R
v
R
v
ou 0
1
.
111
3
2
321
1 =-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++
R
v
RRR
v
que pode ser escrita: ( ) 0. 323211 =-++ GvGGGv
No nó 2, a LKC deixando no nó é 043 =-+ Aiii
0
0
4
2
3
12 =-
-
+
-
AiR
v
R
vv
ou AiRR
v
R
v
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++-
43
2
3
1 11
que pode ser escrita como AiGGvGv =++- )(. 43231
Portanto as duas equações, que determinam as tensões nos nós são:
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 3
AiRR
v
R
v
R
v
RRR
v
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++-
=-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++
43
2
3
1
3
2
321
1
111
.
0
1
.
111
que escritas em forma matricial, obtemos
ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
+-
-++
Aiv
v
RRR
RRRR 0
111
1111
2
1
433
3321 ou ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
ú
û
ù
ê
ë
é
+-
-++
Aiv
v
GGG
GGGG 0
2
1
433
3321
Uma vez determinada as tensões v1 e v2, as correntes podem ser calculadas
usando-se a lei de Ohm.
Exemplo 2
Considere o circuito mostrado na figura 3
Figura 3
Este circuito possui quatro nós e isto significa que temos três tensões v1, v2 e
v3 (excluindo o nó de referência)
Redesenhando este circuito de forma que os nós sejam claramente
identificados.
Figura 4
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 4
No nó 1, a LKC produz 0321 =-+- iiii A
0
3
13
2
21
1
1 =
-
-
-
+-
R
vv
R
vv
i
R
v
A ou AiR
v
R
v
RRR
v =--÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++
3
3
2
2
321
1
1
.
1
.
111
No nó 2, a LKC produz 053 =++ Biii
 0
5
23
3
13 =+
-
+
-
BiR
vv
R
vv
ou BiRR
v
R
v
R
v -=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++--
53
3
5
2
2
1
111
.
1
.
que escritas em forma matricial, temos:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
+--
-++-
--++
B
A
i
i
v
v
v
RRRR
RRRRR
RRRRR
0
1111
11111
11111
3
2
1
5353
55422
32321
ou
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+--
-++-
--++
B
A
i
i
v
v
v
GGGG
GGGGG
GGGGG
0
3
2
1
5353
55422
32321
2. EQUAÇÕES NODAIS PARA CIRCUITOS CONTENDO FONTES
INDEPENDENTES DE TENSÃO.
Apresentaremos para este tópico, também 2 exemplos que resumem as
técnicas envolvidas na resolução destes tipos de circuitos.
Exemplo 1
Considere o circuito mostrado na figura 5 e suponhamos que as resistências e
tensões das fontes sejam conhecidas.
Figura 5
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 5
que redesenhando obtemos o circuito da figura 6
Figura 6
Do circuito temos: 1vv A = e 2121 0 vvvvvv BB -=Þ=--
Com estas tensões, podemos determinar as correntes indicadas, utilizando a
Lei de Ohm.
Exemplo 2
Considere o circuito mostrado na figura 7. Queremos determinar a corrente I2.
Figura 7
Da análise: 
2
2
2 R
V
I = , basta determinar a tensão nodal V2.
Aplicando LKC, temos: SA III += 1 e BS III += 2
que podem ser escritas como: SA IR
V
I +=
1
1 e BS IR
V
I +=
2
2
Do circuito, ainda temos: SVVV =- 21
Eliminando IS e rearranjando as equações, temos:
SVVV =- 21 e BA IIR
V
R
V
-=+
2
2
1
1
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 6
A superfície dentro da linha tracejada da figura 8, é chamada de supernó, de
onde foi determinada a equação restritiva: SVVV =- 21
Figura 8
3. EQUAÇÕES NODAIS PARA CIRCUITOS CONTENDO FONTES
DEPENDENTES
Estes tipos de circuitos são tratados da mesma maneira como os descritos
anteriormente. A diferença nas formas das equações resultantes: a presença de uma
fonte dependente pode destruir a simetria das equações nodais que definem o
circuito.
Exemplo 1
Considere o circuito mostrado na figura 9, que contém uma fonte de corrente
dependente.
Figura 9
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 7
Note que Bvv =4 e 32 vvv A -= , portanto as equações que descrevem o
circuito são:
B
A
B
iGGvGv
vviGvGGvGv
iGvGvGGv
vv
=++-
---=-++-
=--+
=
)(.
)(3).(.
..)(
42322
3212321211
3412311
4
conhecidos vB, iA, iB e as resistências, as tensões nodais podem ser determinados
usando qualquer método de resolução de sistemas lineares.
Exemplo 2
Considere o circuito da figura 10, quem contém uma fonte de tensão
dependente.
Figura 10
As equações nodais para este circuito são:
B
A
i
R
v
R
vv
R
vv
R
v
iv
i
R
vv
R
vv
-=+
-
+
-
==
=
-
+
-
4
3
3
23
1
13
4
3
42
1
31
2
21
.10
.10
4. ANÁLISE DE LAÇO ( ou MALHA)
Na análise de malha,os parâmetros desconhecidos são as correntes do
circuito, e a LKT (Lei de Kirchhoff para tensão) é empregada para determiná-las. 
A análise de malha só é aplicável às redes planares, mostrado na figura 11.
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 8
Figura 11
Um circuito é planar, quando for possível desenhar o diagrama de um circuito
numa superfície plana, sem que haja cruzamento dos ramos.
Apresentaremos a seguir as seqüências de procedimentos para obter um
conjunto de equações de malha para um circuito resistivo:
1) Verificar se a rede é planar;
2) Desenhar um diagrama claro do circuito, indicando todos os elementos e fontes,
com indicação do seu sinal de referência;
3) Para um circuito com M malhas, associe uma corrente, no sentido horário, a cada
malha;
4) Se o circuito contiver apenas fontes de tensão, aplicar a Lei das tensões de
Kirchhoff a cada malha;
5) Se o circuito contiver fontes de corrente, transformar em fonte de tensão
equivalente e caso não seja possível, substitua, mentalmente, cada uma delas
por um circuito aberto, criando uma “supermalha”, reduzindo o número de malha
de um, e aplicar a Lei de Kirchhoff para tensão às malhas.
A expressão matricial para resolução de circuitos por este processo para n
malhas independentes é:
nnnnnnn
n
n
n
I
I
I
I
RRRR
RRRR
RRRR
RRRR
e
e
e
e
.
.
.
.
..
......
......
..
..
..
3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
=
---
---
---
---
onde
Rjk = Rkj = soma das resistências do ramo comum às malhas j e k (k ¹ j);
Rkk = soma das resistências na malha de corrente Ik;
e j = soma algébrica das tensões das fontes contidas no laço (malha) de corrente Ij (
positivo = se atingir primeiro o polo negativo e negativo se atingir primeiro o polo
positivo)
ou de forma simplificada: [ ][ ] [ ]e=IR .
A verificação das equações matriciais serão mostradas através de dois
exemplos.
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 9
Exemplo 1
Considere o circuito mostrado na figura 12, onde podemos identificar dois
laços independentes: A-B-E-F-A e B-C-D-E-B.
Figura 12
Podemos definir um novo conjunto de variáveis de corrente, chamadas de
correntes de laço, que podem ser usadas para encontrar as correntes físicas no
circuito.
Seja a corrente i1, que flui através do primeiro laço e a corrente i2 que flui
através do segundo. A corrente do ramo fluindo de B para E é i1 – i2.
Os sentidos das correntes têm de ser inicialmente arbitradas.
Aplicando-se LKT ao primeiro laço, tem-se:
132321112132111 )(0)(. vRiRRRivRiRiiRi =-++Þ=-+-+
A LKT aplicada ao segundo laço produz
253223131252422 )(0)( vRRRiRiRiiRiRiv -=+++-Þ=-+++
Portanto as duas equações simultâneas e necessárias para resolver esse
circuito de dois laços são:
2543231
1323211
)(
)(
vRRRiRi
vRiRRRi
-=+++-
=-++
que, em forma matricial, ú
û
ù
ê
ë
é
-
=ú
û
ù
ê
ë
é
ú
û
ù
ê
ë
é
++-
-++
2
1
2
1
5433
3321
v
v
i
i
RRRR
RRRR
.
Exemplo 2
Seja o circuito mostrado na figura 13, que contêm três malhas.
Aplicando-se a LKT ao caminho fechado A-B-E-D-C-A, tem-se:
41433243211
113214214211
)(
0)()(
vvRiRiRRRRi
RiRiiRiivRiv
+=--+++
Þ=+-+-+-+-
A LKT para a malha 2 ao longo do caminho C-D-G-F-C é
32532315223312 )(0)( vvRRiRiRivvRii +=++-Þ=+---
A LKT para a malha 3 é
43764341363734413 )(0)( vvRRRiRivRiRivRii --=+++-Þ=++++-
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 10
Figura 13
Portanto, as três equações necessárias para resolver as três correntes de
malha desconhecidas são:
41433243211 )( vvRiRiRRRRi +=--+++
3253231 )( vvRRiRi +=++-
43764341 )( vvRRRiRi --=+++-
ou em forma matricial
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
--
+
+
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
++-
+-
--+++
43
32
41
3
2
1
7644
533
434321
0
0
vv
vv
vv
i
i
i
RRRR
RRR
RRRRRR
5. EQUAÇÕES DE MALHA PARA CIRCUITOS CONTENDO FONTES
INDEPENDENTES DE CORRENTE
Para determinar as incógnitas para circuitos contendo fontes independentes
de corrente, vamos apresentar dois exemplos bem característicos.
Exemplo 1
Considere o circuito mostrado na figura 14.
Sejam as correntes i1 e i2, as correntes arbitradas para as duas malhas.
A corrente i1 = iA e portanto a única corrente desconhecida é i2.
Assim, a LKT para a segunda malha é:
21432221 )( vvRRRiRi +=+++- ou, já que i1 = iA
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 11
432
221
22214322 )( RRR
Rivv
iRivvRRRi AA ++
++
=Þ++=++
Figura 14
Como regra geral, as equações LKT são mais simples sempre que existirem
fontes de correntes presentes
Exemplo 2
Considere o circuito mostrado na figura 15, cujo objetivo é calcular V0 usando
equações de malha.
Figura 15
Neste caso, temos três equações LKT linearmente independentes envolvendo
as quatro variáveis I1, I2, I3 e VA.
Entretanto, as duas correntes de malhas I2 e I3 são limitadas pela restrição:
AIII =- 23
As equações LKT para a primeira malha é:
122211221111 )(0)( VRIRRIRIIRIV =-+Þ=-++-
A terceira equação é obtida aplicando-se a LKT a outro laço que não contém
a fonte de corrente IA. Para tanto, devemos imaginar aberta a fonte de corrente e
considerar um laço envolvendo as malhas de I2 e I3, criando uma “supermalha”.
2433222124332212 )(0)( VRIRRIRIVRIRIRII =+++-Þ=-++-
Com as três equações, podemos determinar as variáveis I1, I2 e I3 e
finalmente achar V0, usando-se a relação V0 = R3.I2.
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 12
6. EQUAÇÕES DE MALHA PARA CIRCUITOS CONTENDO FONTES
DEPENDENTES
Os exemplos simples que são mostrados a seguir ilustrarão as aplicações de
equações de malha em circuitos com fontes dependentes.
Exemplo 1
Para o circuito da figura 16, determinar a tensão de saída V0
Figura 16
A rede redesenhada na figura 17 ilustra a restrição nas correntes de malha
Figura 17
A equação LKT para o laço mais externo é
042)12(224 22 =+-+-+- IVVI aa onde )12(4 2 -= IVa
Resolvendo essas equações, achamos I2 = 0 e, portanto V0 = 0
C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 13
Exemplo 2
Para o circuito mostrado na figura 18, determinar a tensão de saída V0 e a
corrente I0.
Figura 18
A restrição nas correntes de malha: 012 3III += e ainda 03 II =
As equações LKT para a rede são:
011)3(26
06)3(2)3(1212
00010
001011
=++--+-
=+-+++++-
IIIII
IIIIII
que simplificando, ficam 
622
675
01
01
=--
=+
II
II
Resolvendo para as correntes, obtém-se:
AI .
2
21
0 = e VV .2
21
0 =

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