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C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 1 CIRCUITOS ELÉTRICOS TÉCNICAS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS Um dos objetivos deste tópico é desenvolver métodos para resolver circuitos contendo fontes e resistências, sempre baseados nas duas Leis de Kirchhoff. Entre esses métodos, veremos: análise nodal, análise de laço (malha). Outro ponto importante: desenvolver a habilidade de escolher o melhor método para uma situação particular. 1. ANÁLISE NODAL Na análise nodal, os parâmetros desconhecidos são as tensões e a LKC (lei de Kirchhoff para correntes) é empregada para determiná-las. Para a aplicação deste método, vamos apresentar as seqüências de procedimentos para obter um conjunto de equações nodais para qualquer circuito resistivo. 1) Faça um diagrama simples e claro do circuito, indicando todos os elementos e valores de fontes com os sinais de referência indicados; 2) Para circuitos com N nós, escolha um deles como nó de referência e indique as tensões dos demais nós em relação ao nó de referência. 3) Se o circuito contém apenas fonte de corrente, aplicar a Lei de correntes de Kirchhoff a cada nó que não o de referência. 4) Se o circuito contém fontes de tensão, substitua por uma conte de corrente equivalente. Se a fonte de tensão é tal que não permite a sua transformação, devemos mentalmente substituir por um curto circuitos, reduzindo de um o número de nó, criando um super nó. Para circuitos sem as fontes de tensão ou fontes independentes a expressão matricial desenvolvida é nnnnnnn n n J J J v v v GGGG GGGG GGGG . . . .. ... ..... ..... ... ... 2 1 2 1 321 2232221 1131211 = --- -- -- Onde Gkj = Gjk = soma das admitâncias dos ramos que interligam os nós k e j. Gkk = soma das admitâncias dos ramos ligados ao nó k. Jk = soma das correntes das fontes ligadas ao nó k ( positivo = correntes que chegam ao nó e negativo = as que saem do nó) ou reescrevendo [ ][ ] [ ]JVG =. Para mostrar a validade da equação matricial acima, vamos apresentar dois exemplos que descrevem as etapas até chegar a equação matricial do circuito. C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 2 Exemplo 1 Considere o circuito mostrado na figura 1. Figura 1 O circuito possui três nós. O nó da base é selecionado como nó de referência e seu potencial é zero (normalmente é considerado terra) e as tensões nos nós v1 e v2 são definidas em relação a esse nó. Redesenhando o circuito da figura 1 para indicar os nós mais claramente, obtendo o circuito mostrado na figura 2. Figura 2 Aplicando-se a LKC no nó 1, tem-se: 0321 =-+ iii Usando-se a Lei de Ohm, obtém-se: 0 00 3 12 2 1 1 1 = - - - + - R vv R v R v ou 0 1 . 111 3 2 321 1 =-÷÷ ø ö çç è æ ++ R v RRR v que pode ser escrita: ( ) 0. 323211 =-++ GvGGGv No nó 2, a LKC deixando no nó é 043 =-+ Aiii 0 0 4 2 3 12 =- - + - AiR v R vv ou AiRR v R v =÷÷ ø ö çç è æ ++- 43 2 3 1 11 que pode ser escrita como AiGGvGv =++- )(. 43231 Portanto as duas equações, que determinam as tensões nos nós são: C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 3 AiRR v R v R v RRR v =÷÷ ø ö çç è æ ++- =-÷÷ ø ö çç è æ ++ 43 2 3 1 3 2 321 1 111 . 0 1 . 111 que escritas em forma matricial, obtemos ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é +- -++ Aiv v RRR RRRR 0 111 1111 2 1 433 3321 ou ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é +- -++ Aiv v GGG GGGG 0 2 1 433 3321 Uma vez determinada as tensões v1 e v2, as correntes podem ser calculadas usando-se a lei de Ohm. Exemplo 2 Considere o circuito mostrado na figura 3 Figura 3 Este circuito possui quatro nós e isto significa que temos três tensões v1, v2 e v3 (excluindo o nó de referência) Redesenhando este circuito de forma que os nós sejam claramente identificados. Figura 4 C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 4 No nó 1, a LKC produz 0321 =-+- iiii A 0 3 13 2 21 1 1 = - - - +- R vv R vv i R v A ou AiR v R v RRR v =--÷÷ ø ö çç è æ ++ 3 3 2 2 321 1 1 . 1 . 111 No nó 2, a LKC produz 053 =++ Biii 0 5 23 3 13 =+ - + - BiR vv R vv ou BiRR v R v R v -=÷÷ ø ö çç è æ ++-- 53 3 5 2 2 1 111 . 1 . que escritas em forma matricial, temos: ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é +-- -++- --++ B A i i v v v RRRR RRRRR RRRRR 0 1111 11111 11111 3 2 1 5353 55422 32321 ou ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é +-- -++- --++ B A i i v v v GGGG GGGGG GGGGG 0 3 2 1 5353 55422 32321 2. EQUAÇÕES NODAIS PARA CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES DE TENSÃO. Apresentaremos para este tópico, também 2 exemplos que resumem as técnicas envolvidas na resolução destes tipos de circuitos. Exemplo 1 Considere o circuito mostrado na figura 5 e suponhamos que as resistências e tensões das fontes sejam conhecidas. Figura 5 C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 5 que redesenhando obtemos o circuito da figura 6 Figura 6 Do circuito temos: 1vv A = e 2121 0 vvvvvv BB -=Þ=-- Com estas tensões, podemos determinar as correntes indicadas, utilizando a Lei de Ohm. Exemplo 2 Considere o circuito mostrado na figura 7. Queremos determinar a corrente I2. Figura 7 Da análise: 2 2 2 R V I = , basta determinar a tensão nodal V2. Aplicando LKC, temos: SA III += 1 e BS III += 2 que podem ser escritas como: SA IR V I += 1 1 e BS IR V I += 2 2 Do circuito, ainda temos: SVVV =- 21 Eliminando IS e rearranjando as equações, temos: SVVV =- 21 e BA IIR V R V -=+ 2 2 1 1 C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 6 A superfície dentro da linha tracejada da figura 8, é chamada de supernó, de onde foi determinada a equação restritiva: SVVV =- 21 Figura 8 3. EQUAÇÕES NODAIS PARA CIRCUITOS CONTENDO FONTES DEPENDENTES Estes tipos de circuitos são tratados da mesma maneira como os descritos anteriormente. A diferença nas formas das equações resultantes: a presença de uma fonte dependente pode destruir a simetria das equações nodais que definem o circuito. Exemplo 1 Considere o circuito mostrado na figura 9, que contém uma fonte de corrente dependente. Figura 9 C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 7 Note que Bvv =4 e 32 vvv A -= , portanto as equações que descrevem o circuito são: B A B iGGvGv vviGvGGvGv iGvGvGGv vv =++- ---=-++- =--+ = )(. )(3).(. ..)( 42322 3212321211 3412311 4 conhecidos vB, iA, iB e as resistências, as tensões nodais podem ser determinados usando qualquer método de resolução de sistemas lineares. Exemplo 2 Considere o circuito da figura 10, quem contém uma fonte de tensão dependente. Figura 10 As equações nodais para este circuito são: B A i R v R vv R vv R v iv i R vv R vv -=+ - + - == = - + - 4 3 3 23 1 13 4 3 42 1 31 2 21 .10 .10 4. ANÁLISE DE LAÇO ( ou MALHA) Na análise de malha,os parâmetros desconhecidos são as correntes do circuito, e a LKT (Lei de Kirchhoff para tensão) é empregada para determiná-las. A análise de malha só é aplicável às redes planares, mostrado na figura 11. C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 8 Figura 11 Um circuito é planar, quando for possível desenhar o diagrama de um circuito numa superfície plana, sem que haja cruzamento dos ramos. Apresentaremos a seguir as seqüências de procedimentos para obter um conjunto de equações de malha para um circuito resistivo: 1) Verificar se a rede é planar; 2) Desenhar um diagrama claro do circuito, indicando todos os elementos e fontes, com indicação do seu sinal de referência; 3) Para um circuito com M malhas, associe uma corrente, no sentido horário, a cada malha; 4) Se o circuito contiver apenas fontes de tensão, aplicar a Lei das tensões de Kirchhoff a cada malha; 5) Se o circuito contiver fontes de corrente, transformar em fonte de tensão equivalente e caso não seja possível, substitua, mentalmente, cada uma delas por um circuito aberto, criando uma “supermalha”, reduzindo o número de malha de um, e aplicar a Lei de Kirchhoff para tensão às malhas. A expressão matricial para resolução de circuitos por este processo para n malhas independentes é: nnnnnnn n n n I I I I RRRR RRRR RRRR RRRR e e e e . . . . .. ...... ...... .. .. .. 3 2 1 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211 = --- --- --- --- onde Rjk = Rkj = soma das resistências do ramo comum às malhas j e k (k ¹ j); Rkk = soma das resistências na malha de corrente Ik; e j = soma algébrica das tensões das fontes contidas no laço (malha) de corrente Ij ( positivo = se atingir primeiro o polo negativo e negativo se atingir primeiro o polo positivo) ou de forma simplificada: [ ][ ] [ ]e=IR . A verificação das equações matriciais serão mostradas através de dois exemplos. C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 9 Exemplo 1 Considere o circuito mostrado na figura 12, onde podemos identificar dois laços independentes: A-B-E-F-A e B-C-D-E-B. Figura 12 Podemos definir um novo conjunto de variáveis de corrente, chamadas de correntes de laço, que podem ser usadas para encontrar as correntes físicas no circuito. Seja a corrente i1, que flui através do primeiro laço e a corrente i2 que flui através do segundo. A corrente do ramo fluindo de B para E é i1 – i2. Os sentidos das correntes têm de ser inicialmente arbitradas. Aplicando-se LKT ao primeiro laço, tem-se: 132321112132111 )(0)(. vRiRRRivRiRiiRi =-++Þ=-+-+ A LKT aplicada ao segundo laço produz 253223131252422 )(0)( vRRRiRiRiiRiRiv -=+++-Þ=-+++ Portanto as duas equações simultâneas e necessárias para resolver esse circuito de dois laços são: 2543231 1323211 )( )( vRRRiRi vRiRRRi -=+++- =-++ que, em forma matricial, ú û ù ê ë é - =ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ++- -++ 2 1 2 1 5433 3321 v v i i RRRR RRRR . Exemplo 2 Seja o circuito mostrado na figura 13, que contêm três malhas. Aplicando-se a LKT ao caminho fechado A-B-E-D-C-A, tem-se: 41433243211 113214214211 )( 0)()( vvRiRiRRRRi RiRiiRiivRiv +=--+++ Þ=+-+-+-+- A LKT para a malha 2 ao longo do caminho C-D-G-F-C é 32532315223312 )(0)( vvRRiRiRivvRii +=++-Þ=+--- A LKT para a malha 3 é 43764341363734413 )(0)( vvRRRiRivRiRivRii --=+++-Þ=++++- C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 10 Figura 13 Portanto, as três equações necessárias para resolver as três correntes de malha desconhecidas são: 41433243211 )( vvRiRiRRRRi +=--+++ 3253231 )( vvRRiRi +=++- 43764341 )( vvRRRiRi --=+++- ou em forma matricial ú ú ú û ù ê ê ê ë é -- + + = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é ++- +- --+++ 43 32 41 3 2 1 7644 533 434321 0 0 vv vv vv i i i RRRR RRR RRRRRR 5. EQUAÇÕES DE MALHA PARA CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES DE CORRENTE Para determinar as incógnitas para circuitos contendo fontes independentes de corrente, vamos apresentar dois exemplos bem característicos. Exemplo 1 Considere o circuito mostrado na figura 14. Sejam as correntes i1 e i2, as correntes arbitradas para as duas malhas. A corrente i1 = iA e portanto a única corrente desconhecida é i2. Assim, a LKT para a segunda malha é: 21432221 )( vvRRRiRi +=+++- ou, já que i1 = iA C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 11 432 221 22214322 )( RRR Rivv iRivvRRRi AA ++ ++ =Þ++=++ Figura 14 Como regra geral, as equações LKT são mais simples sempre que existirem fontes de correntes presentes Exemplo 2 Considere o circuito mostrado na figura 15, cujo objetivo é calcular V0 usando equações de malha. Figura 15 Neste caso, temos três equações LKT linearmente independentes envolvendo as quatro variáveis I1, I2, I3 e VA. Entretanto, as duas correntes de malhas I2 e I3 são limitadas pela restrição: AIII =- 23 As equações LKT para a primeira malha é: 122211221111 )(0)( VRIRRIRIIRIV =-+Þ=-++- A terceira equação é obtida aplicando-se a LKT a outro laço que não contém a fonte de corrente IA. Para tanto, devemos imaginar aberta a fonte de corrente e considerar um laço envolvendo as malhas de I2 e I3, criando uma “supermalha”. 2433222124332212 )(0)( VRIRRIRIVRIRIRII =+++-Þ=-++- Com as três equações, podemos determinar as variáveis I1, I2 e I3 e finalmente achar V0, usando-se a relação V0 = R3.I2. C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 12 6. EQUAÇÕES DE MALHA PARA CIRCUITOS CONTENDO FONTES DEPENDENTES Os exemplos simples que são mostrados a seguir ilustrarão as aplicações de equações de malha em circuitos com fontes dependentes. Exemplo 1 Para o circuito da figura 16, determinar a tensão de saída V0 Figura 16 A rede redesenhada na figura 17 ilustra a restrição nas correntes de malha Figura 17 A equação LKT para o laço mais externo é 042)12(224 22 =+-+-+- IVVI aa onde )12(4 2 -= IVa Resolvendo essas equações, achamos I2 = 0 e, portanto V0 = 0 C E 3 CIRCUITOS ELÉTRICOS – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 13 Exemplo 2 Para o circuito mostrado na figura 18, determinar a tensão de saída V0 e a corrente I0. Figura 18 A restrição nas correntes de malha: 012 3III += e ainda 03 II = As equações LKT para a rede são: 011)3(26 06)3(2)3(1212 00010 001011 =++--+- =+-+++++- IIIII IIIIII que simplificando, ficam 622 675 01 01 =-- =+ II II Resolvendo para as correntes, obtém-se: AI . 2 21 0 = e VV .2 21 0 =
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