Aula02_Cap_01

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HIDRÁULICA APLICADA
Capítulo 1:
CONCEITOS BÁSICOSCONCEITOS BÁSICOS
Prof. Dr. John Kenedy de Araújo
Equação do movimento sobre uma linha de corrente
Os termos da equação:
21 1
2
p z V Vg
s n s s t
τ
ρ ρ
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
representam forças por unidade de massa, dividindo-se pela
gravidade e rearrumando os termos:gravidade e rearrumando os termos:
2 1
2
p V V
z
s g n g t
τ
γ γ
   ∂ ∂ ∂
− + + + =   ∂ ∂ ∂  
os termos tornam-se forças por unidade de peso do líquido
Equação do movimento sobre uma linha de corrente
multiplicando os termos da equação anterior por ds e integrando
entre dois pontos:
os termos representam trabalhos mecânicos realizados pelas forças,
2 2 22
1 1 1
1
2
p V V
z ds ds ds
s g n g t
τ
γ γ
   ∂ ∂ ∂
+ + − = −   ∂ ∂ ∂  ∫ ∫ ∫
os termos representam trabalhos mecânicos realizados pelas forças,
por unidade de peso, ao longo da linha de corrente
o termo:
2
1
ds
n
τ
γ
 ∂
−  ∂  ∫
representa a energia gasta para vencer as
forças de atrito no deslocamento entre os
pontos 1 e 2 e é representada por ∆∆∆∆H12.
Equação do movimento sobre uma linha de corrente
integrando a equação anterior, vem:
como o termo ∂∂∂∂V/∂∂∂∂t representa a aceleração local, portanto
independente da direção s, a integral entre os pontos 1 e 2 da linha de
22 2
1 1 2 2
1 2 12
1
1
2 2
p V p V V
z z H ds
g g g tγ γ
∂
+ + = + + + ∆ +
∂∫
independente da direção s, a integral entre os pontos 1 e 2 da linha de
corrente pode ser efetuada, ficando:
2 2
1 1 2 2
1 2 122 2
p V p V L dV
z z H
g g g dtγ γ
+ + = + + + ∆ +
em que L é o comprimento do arco entre os dois pontos 1 e 2.
Linha de Energia e Linha Piezométrica
Considere o caso particular de escoamento permanente, então:
a equação fica:
2 2
1 1 2 2
1 2 122 2
p V p V L dV
z z H
g g g dtγ γ
+ + = + + + ∆ +
Equação de Bernoulli para fluido real e escoamento permanente ao
longo de uma linha de corrente.
2 2
1 1 2 2
1 2 122 2
p V p V
z z H
g gγ γ
+ + = + + + ∆
Linha de Energia e Linha Piezométrica
A equação anterior, pelo fato de cada parcela representar energia por
unidade de peso e ter como unidade o metro, admite uma
interpretação geométrica de importância prática:
Energia ou carga de pressão( )p mγ
Carga de posição (energia potencial de posição em
relação a um plano horizontal de referência)( )z m
Perda de carga ou perda de energia( )H m∆
Energia ou carga cinética( )
2
2
V
m
g
Linha de Energia e Linha Piezométrica
Linha piezométrica
Linha de energiaV12/2g
V22/2g
∆∆∆∆H12
Nível de referência, z = 0
Trajetória
Linha piezométrica
z1
z2
p1/γγγγ
p2/γγγγ
V22/2g
Linha de Energia e Linha Piezométrica
Observações:
a) A linha piezométrica pode coincidir ou mesmo passar
abaixo da trajetória;
b) Todas as parcelas da equação de Bernoulli devem ser
representadas geometricamente como perpendiculares
ao plano horizontal;ao plano horizontal;
c) Em cada seção da tubulação, a carga de pressão
disponível é a diferença entre a cota piezométrica (CP)
e a cota geométrica z;
d) A linha de carga (LC) desce sempre no sentido do
escoamento;
e) A linha de carga (LC) e a linha piezométrica podem ser
paralelas.
Linha de Energia e Linha Piezométrica
Linha de Energia e Linha Piezométrica
Exemplos
Exemplos
Exemplos
Equação Universal – Análise Dimensional
No fenômeno físico do escoamento de um líquido real,
com velocidade média V, caracterizado pela sua
viscosidade dinâmica µµµµ e massa específica ρρρρ, através de
uma tubulação circular de diâmetro D, comprimento L e
coeficiente de rugosidade da parede εεεε, a queda de
pressão ∆∆∆∆p ao longo do comprimento L pode ser tratada
pelo teorema dos ΠΠΠΠ’s, na forma:pelo teorema dos ΠΠΠΠ’s, na forma:
( ), , , , ,p f V D lρ µ ε∆ =
Com n = 7 e r = 3, existem 4 grupos adimensionais
independentes que descrevem o fenômeno na sua
totalidade;
Aplicando teorema dos ΠΠΠΠ’s:
)1 7n =
)2 3 (sistema )r MLT=
)
Equação Universal – Análise Dimensional
)3 Dimensões das grandezas:
[ ] ( )
2
1 2
2
força massa aceleração
área área
M LT
p ML T
L
−
− −
⋅∆ = = = =
[ ] 3massa
volume
MLρ −= =
[ ] 1espaço
tempo
V LT −= =
[ ] espaçoD L= =
( )força espaço⋅
[ ] espaço Lε = =
Equação Universal – Análise Dimensional
[ ] ( )( )
( )2 2 1 12
força espaçoáreatensão espaço
espaçovelocidade
tempo
força tempo
 
área
F T MLT L T ML T
L
µ
− − − −
⋅
⋅
= =
⋅ ⋅
= = = =
)4 Escolha das variáveis repetitivas para o sistema
 pró-básico: 3 , ,r V Dρ= →
)5 Formação dos grupos adimensionais:
Equação Universal – Análise Dimensional
31 2
1 V D p
αα αρΠ = ∆
31 2
2 V D
ββ βρ µΠ =
31 2
3 V D l
γγ γρΠ =
31 2
4 V D
θθ θρ εΠ =
31 2
1 V D p
αα αρΠ = ∆
( ) ( ) ( ) ( )1 2 33 1 1 2 0 0 01 ML LT L ML T M L Tα α α− − − −Π = =
Grupo ΠΠΠΠ1:
1 1: 1 0 1M α α+ = → = −
Equação Universal – Análise Dimensional
1 2 0
1 1 2
pV D p
V
ρ
ρ
− −
∆Π = ∆ →Π =
2 2: 2 0 2T α α− − = → = −
1 2 3 3: 3 1 0 0L α α α α− + + − = → =
Então:
Número de Euler
( ) ( ) ( ) ( )1 2 33 1 1 1 0 0 0
`2 ML LT L ML T M L T
β β β
− − − −Π = =
Grupo ΠΠΠΠ2:
1 1: 1 0 1M β β+ = → = −
31 2
2 V D
ββ βρ µΠ =
Equação Universal – Análise Dimensional
1 1 1
2 2V D VD
µρ µ
ρ
− − −Π = →Π =
2 2: 1 0 1T β β− − = → = −
1 2 3 3: 3 1 0 1L β β β β− + + − = → = −
Então:
Número de Reynolds
( ) ( ) ( ) ( )1 2 33 1 0 0 03 ML LT L L M L Tγ γ γ− −Π = =
Grupo ΠΠΠΠ3:
1: 0M γ =
31 2
3 V D l
γγ γρΠ =
Equação Universal – Análise Dimensional
0 0 1
3 3
lV D l
D
ρ −Π = →Π =
2: 0T γ =
1 2 3 3: 3 1 0 1L γ γ γ γ− + + + = → = −
Então:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 33 1 0 0 04 ML LT L L M L Tθ θ θ− −Π = =
Grupo ΠΠΠΠ4:
1: 0M θ =
31 2
4 V D
θθ θρ εΠ =
Equação Universal – Análise Dimensional
0 0 1
4 4V D D
ερ ε−Π = →Π =
2: 0T θ =
1 2 3 3: 3 1 0 1L θ θ θ θ− + + + = → = −
Então:
Rugosidade relativa
Portanto, existe uma função adimensional na forma:
2 , ,
p l
V VD D D
µ εφ
ρ ρ
 ∆
=  
 
A experiência mostra que a queda de pressão é diretamente
Equação Universal – Análise Dimensional
A experiência mostra que a queda de pressão é diretamente
proporcional à relação , então:l D
2 ,
p l F
V D VD D
µ ε
ρ ρ
 ∆
=  
 
a expressão entre parênteses é conhecida como fator de atrito
da tubulação, , assim:f
2lp f V
D
ρ∆ =
Equação Universal – Análise Dimensional
como e , vem:p H gγ γ ρ∆ = ∆ =
2
2
l VH f
D g
∆ =
Equação Universal da perda de
carga ou Equação de Darcy-
Weisbach