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r ⇒ r = P (c). (2.5)
Se r = 0, então a constante c é uma raiz da equação polinomial P (x) = 0.
O método de Briot-Ru�ni é obtido fazendo,
a0 + a1x+ · · ·+ anxn =
(x− c) [bnxn−1 + bn−1xn−2 + · · ·+ b2x+ b1]+ r.
Realizando a multiplicação do primeiro termo da direita, obtemos:
bnx
n + (bn−1 − cbn)xn−1 + · · ·+ (b1 − cb2)x− cb1.
Igualando os coe�cientes da mesma potência, temos:
an = bn,
an−1 = bn−1 − cbn ⇒ bn−1 = an−1 + cbn,
.
.
.
.
.
.
a0 = r − cb1 ⇒ r = a0 + cb1.
As relações anteriores formam um algoritmo para determinação do valor nu-
mérico de um polinômio. Esquematicamente, podemos reescrevê-las da forma:
an an−1 an−2 · · · a1 a0
c cbn cbn−1 · · · cb2 cb1
bn bn−1 bn−2 · · · b1 r = b0
(2.6)
No método de Briot-Ru�ni, o número de operações necessárias para obtermos
o valor numérico de um polinômio é de n adições e n multiplicações. Assim, o
número total de operações é #Op = 2n, portanto, o custo computacional do
algoritmo de Briot-Ru�ni, para a resolução do valor numérico de um polinômio
é da ordem de O(n).
48 cálculo numérico
Exemplo 2.5 Seja P(x) = x3 − 7x2 + 16x − 10. Determine o valor de P(2).
Usando o esquema para o cálculo, temos:
1 −7 16 10
2 2 −10 12
1 −5 6 2 = P(2)
(2.7)
Pelo algoritmo, temos:
bn = an, n = 3⇒ b3 = a3 = 1,
c× bn ⇒ 2× 1 = 2,
bn−1 = c× bn + an−1 ⇒ b2 = 2 + (−7) = −5,
c× bn−1 ⇒ 2× (−5) = −10,
bn−2 = c× bn−1 + an−2 ⇒ b1 = 2× (−5) + 16 = 6.
Exercício 2.1 Veri�que que, se �zermos o mesmo cálculo para x = 1(c = 1),
teremos P(1) = 0, e portanto c = 1 é uma raiz do polinômio P(x).
2.3.2 Método de Horner
O método de Horner é muito intuitivo. Seja um polinômio P (x) dado por:
P (x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0. (2.8)
Podemos evidenciar um termo x na expressão do polinômio P (x), de tal forma
que �camos com:
P (x) = (anx
n−1 + an−1xn−2 + · · ·+ a2x+ a1)x+ a0. (2.9)
Se evidenciarmos x sucessivamente (n− 1) vezes, teremos:
P (x) = ((anx
n−2 + an−1xn−3 + · · ·+ a2)x+ a1)x+ a0 (2.10)
= ((· · · (anx+ an−1)x+ · · ·+ a2)x+ a1)x+ a0. (2.11)
Vemos da expressão anterior que o valor numérico de um polinômio, deter-
minado pelo método de Horner, necessita de um total de n operações de adição
e n operações de multiplicação, totalizando o número de operações #Op = 2n.
Vemos que o custo computacional do algoritmo de Horner é, também, da ordem
O(n).
resolução de equações algébricas e transcendentais 49
Exemplo 2.6 Seja P(x) = 3x4 − 6x3 − 2x2 + 5x − 8. Utilizando o método de
Horner, temos:
P(x) = 3x4 − 6x3 − 2x2 + 5x− 8
= (3x3 − 6x2 − 2x + 5)x− 8
= ((3x2 − 6x− 2)x + 5)x− 8
= (((3x− 6)x− 2)x + 5)x− 8.
Assim, o valor de P(3) é determinado por:
P(3) = (((3 · 3− 6) · 3− 2) · 3 + 5 · 3− 8 = 70.
2.4 Limites das raízes polinomiais
Seja P (x) = 0 uma equação polinomial.
Teorema 2.4 Sejam an, a0 6= 0 e k (0 ≤ k ≤ n− 1) o maior dos expoentes entre
os termos com coe�cientes negativos do polinômio P(x). Então, para o limite
superior das raízes positivas da equação P(x) = 0, podemos tomar o valor:
L = 1 + n−k
√
B
an
, (2.12)
onde B é o máximo dos valores absolutos dos coe�cientes negativos do polinômio
P(x).
Do teorema acima, podemos concluir que, se chamarmos de λp a maior raiz
positiva de P (x) = 0, então λp ≤ L.
Corolário 2.2 Se os coe�cientes do polinômio P(x) forem não negativos, então
P(x) = 0 não possui raízes positivas.
A a�rmação do corolário é bastante simples de ser veri�cada, pois, se não há
termos com coe�ciente negativo na equação, não é possível haver compensação
entre termos, e por isso não haverá raízes positivas. Claramente, poderá haver
raízes negativas, pois termos com expoentes ímpares podem gerar compensações
no valor do polinômio, de tal forma que poderá existir raízes negativas.
50 cálculo numérico
Exemplo 2.7 Seja P(x) = x4 − 5x3 − 7x2 + 29x + 30 = 0. O polinômio possui
quatro raízes λi, i = 1, 2, 3, 4. Pelo teorema, temos
k = 3, B = | − 7| = 7, L = 1 + 4−3
√
7/1 = 1 + 7 = 8.
Logo, as raízes positivas possuem um limite λi ≤ 8.
De�nição 2.3 Sejam λ1, λ2, · · · , λn as raízes de Pn(x) = 0. O polinômio, em
sua forma fatorada, é dado por:
Pn(x) = an(x− λ1)(x− λ2) · · · (x− λn). (2.13)
Os limites das raízes positivas e negativas de um polinômio Pn(x) podem
ser estimados da forma: Seja Pn(x) = 0 em sua forma fatorada an(x − λ1)(x −
λ2) · · · (x− λn) = 0. Se chamarmos a expressão anterior de
Q1(x) = x
nPn(1/x), (2.14)
teremos:
Q1(x) = anx
n(1− xλ1)(1− xλ2) · · · (1− xλn) = 0. (2.15)
As raízes de Q1(x) são os valores 1/λ1, 1/λ2, · · · , 1/λn.
Seja 1/λp a maior das raízes positivas e L1 o limite superior das raízes positivas
de Q1(x) = 0. Então, temos:
1
λp
≤ L1 ⇒ λp ≥ 1
L1
. (2.16)
Assim, o valor 1/L1 é o limite inferior das raízes positivas de Pn(x) = 0.
De modo análogo, fazendo Q2(x) = Pn(−x) = 0, temos:
an(x− λ1)(x− λ2) · · · (x− λn) = 0,
an(−x− λ1)(−x− λ2) · · · (−x− λn) = 0,
an(x+ λ1)(x+ λ2) · · · (x+ λn) = 0. (2.17)
Logo, as raízes de P2(x) = 0 são −λ1,−λ2, · · · ,−λn. Assim, se −λq (λq < 0)
é a maior das raízes positivas e L2 é o limite superior das raízes positivas de
Q2(x) = 0, temos:
resolução de equações algébricas e transcendentais 51
−λq ≤ L2 ⇒ λq ≥ −L2. (2.18)
Portanto, −L2 é o limite inferior das raízes negativas de Pn(x) = 0.
Considerando agora a construção Q3(x) = x
nPn(−1/x) = 0, obtemos
anx
n(−1
x
− λ1)(−1
x
− λ2) · · · (−1
x
− λn) = 0. (2.19)
As raízes desta equação são
−1
λ1
, −1
λ2
, · · · , −1
λn
. Assim, considerando
−1
λq
(λq < 0)
a maior raiz positiva de Q3(x) e L3 o limite superior das raízes de P3(x) = 0,
temos:
− 1
λq
≤ L3 ⇒ λq ≤ − 1
L3
. (2.20)
Logo, o valor −1/L3 é o limite superior das raízes negativas de Pn(x) = 0.
Podemos �nalmente concluir que:
• Todas as raízes positivas, λp, de Pn(x) = 0, se existirem, deverão satisfazer
à relação:
1
L1
≤ λp ≤ L; (2.21)
• Todas as raízes negativas, λn, de Pn(x) = 0, se existirem, deverão satisfazer
à relação:
−L2 ≤ λn ≤ − 1
L3
. (2.22)
Exemplo 2.8 Seja P4(x) = x
4 − 5x3 + 6x2 + 4x + 8 = 0. Temos n = 4, k =
3,B = | − 5|. Podemos veri�car que o limite superior das raízes positivas é dado
por L ' 3, 828427.
Exercício 2.2 Sejam as equações polinomiais,
P2(x) = x
2 + x− 1 = 0,
P3(x) = x
3 − 7x2 + 16x− 10 = 0,
P4(x) = x
5 + x4 − 9x3 − x2 + 20x− 12 = 0,
P6(x) = 2x
6 − 3x5 − 2x3 + x2 − x+ 1 = 0.
Usando uma calculador ou computador, determine os limites das raízes para esses
polinômios, desenhe os seus grá�cos e estime os valores das suas raízes.
52 cálculo numérico
Figura 2.2: Ilustração do Teorema de Bolzano, f(1) · f(6) > 0 ⇒ número par de
raízes.
2.5 Número de raízes reais
Na seção anterior vimos um método para identi�car os intervalos onde se en-
contram as raízes de um polinômio. Vejamos agora alguns resultados que indicam
o número de raízes de um polinômio em um certo intervalo.
Teorema 2.5 (Teorema de Bolzano) Seja P(x) = 0 uma equação algébrica
com coe�cientes reais e x ∈ [a, b]. Assim,
i) se P(a) · P(b) < 0, então existe um número impar de raízes reais (contando
suas multiplicidades) no intervalo [a, b];
ii) se P(a) · P(b) > 0, então existe um número par de raízes reais (contando as
multiplicidades), ou não existem raízes reais no intervalo [a, b].
A Figura 2.2 ilustra o teorema de Bolzano.
2.6 Regra de sinais de Descartes
A regra de sinais de Descartes permite identi�car o número de raízes reais
positivas e negativas de uma equação algébrica polinomial. Para isso, seja λ(+) o
número de raízes reais positivas de uma equação P (x) = 0.
Regra de Descartes O número de raízes reais positivas de uma equação po-
liniomial é igual a variação de sinais na seqüência dos coe�cientes do polinômio,
ou menor que este por um número inteiro par, sendo uma raiz de multiplicidade
m contada como