NotasdeAula_CN

m raízes e não sendo contados os coe�cientes iguais a zero.
O exemplo a seguir ilustra a aplicação da regra.
resolução de equações algébricas e transcendentais 53
Exemplo 2.9 Seja P(x) = x4 − 5x3 − 7x2 + 29x + 30 = 0. Para essa equação,
vemos que o número de variações de sinais é igual a 2. Assim, λ(+) = 2 − 2k,
onde os valores de k = 0 ou k = 1. Logo, de acordo com a regra, teremos λ(+) = 0
ou λ(+) = 2. Isto é, ou não teremos raízes reais positivas, ou teremos duas raízes
reais positivas.
Corolário 2.3 Se os coe�cientes de uma equação algébrica são todos diferentes
de zero, então o número de raízes reais negativas λ(−) (contando as multiplicida-
des) é igual ao número de permanência de sinais de seus coe�cientes, ou é menor
que este por um número inteiro par.
Exemplo 2.10 Seja P(x) = x4 − 5x3 − 7x2 + 29x + 30 = 0. Para essa equação,
vemos que o número de permanência de sinais é igual a 2. Assim, λ(−) = 2− 2k,
onde os valores de k = 0 ou k = 1. Logo, podemos ter λ(−) = 0 ou λ(−) = 2. Isto
é, ou não teremos raízes reais negativas, ou teremos duas raízes reais negativas.
De fato, usando uma calculadora ou computador, podemos obter as raízes do
polinômio P(x), x1 = 5, x2 = 3, x3 = −2, x4 = −1.
Exercício 2.3 Dado o polinômio P(x) = x5 − 9x4 + 7x3 + 185x2 − 792x + 1040,
faça um estudo detalhado sobre quantas raízes reais positivas e negativas podem
existir para P(x) = 0. Usando uma calculadora ou computador, determine as
raízes deste polinômio.
2.6.1 Raízes imaginárias
As raízes de uma equação polinomial podem ser reais e/ou complexas. Veja-
mos, agora, algumas regras que permitem identi�car a existência de raízes com-
plexas.
Seja P (x) = 0 uma equação polinomial de grau n, sem raízes nulas.
Teorema 2.6 (Regra de Du Gua) Se para algum valor k, 1 ≤ k < n, tiver-
mos
a2k ≤ ak+1 · ak−1, (2.23)
com ak coe�cientes do polinômio, então P(x) possui raízes complexas.
Teorema 2.7 (Regra da Lacuna)
i) Se os coe�cientes do polinômio P(x) são todos reais e para algum k, 1 ≤ k < n,
tivermos ak = 0 e ak−1 · ak+1 > 0, então P(x) = 0 possui raízes complexas;
54 cálculo numérico
ii) Se os coe�cientes ak de P(x) são todos reais e se existem dois ou mais coe�-
cientes nulos sucessivos, então a equação P(x) = 0 possui raízes complexas.
É importante observar que as regras acima são condições su�cientes para a
existência de raízes complexas, mas não condições necessárias.
Exemplo 2.11 Seja P(x) = 2x5 + 3x4 + x3 + 2x2 − 5x − 3, então como temos
que a23 ≤ a4 · a2, pois 12 ≤ 3 · 2, pela regra de Du Gua a equação P(x) = 0 possui
raízes complexas. De fato, para esta equação temos: duas raízes complexas, duas
raízes reais negativas e uma raiz real positiva dadas por
z = −0, 09473214309− 1, 283742172·i, z = −0, 09473214309 + 1.283742172·i,
x1 = −1, 810535713, x2 = −0, 5; x3 = 1
Exemplo 2.12 Seja P(x) = 2x6 − 3x5 − 2x3 + x2 − x− 1 = 0, então, pela regra
da lacuna, temos a4 = 0, a5 = −3, a3 = −2⇒ a3 · a5 = 6 > 0, então o polinômio
possui raízes complexas. De fato, temos 4 raízes complexas, uma raiz real positiva
e uma raiz real negativa
z1 = −0, 4402908758− 0.8247102496·i, z1 = −0, 4402908758 + 0.8247102496·i,
z2 = 0, 5276694289− 0.6284109203·i, z2 = 0, 5276694289 + 0.6284109203·i,
x1 = −0, 4725829475, x2 = 1, 797825841.
2.7 Relações de Girard
Seja a equação P (x) = 0 em sua forma fatorada:
an(x− λ1) · · · (x− λn) = 0, (2.24)
onde os λi correspondem às raízes do polinômio.
Fazendo a multiplicação dos termos, obtemos:
anx
n − an(λ1 + λ2 + · · ·+ λn)xn−1
+ an(λ1λ2 + λ1λ3 + · · ·+ λ1λn + λ2λ3 + · · ·+ λn−1λn)xn−2
− an(λ1λ2λ3 + · · ·+ λ1λ2λn + λ1λ3λ4 + · · ·+ λn−2λn−1λn)xn−3
.
.
.
(−1)nan(λ1λ2λ3 · · ·λn) = 0.
resolução de equações algébricas e transcendentais 55
Comparando os coe�cientes da expressão acima com a expressão
anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a0 = 0, (2.25)
obtemos as seguintes relações entre os coe�cientes e as raízes de um polinômio.
λ1 + λ2 + · · ·+ λn = −an−1
an
λ1λ2 + λ1λ3 + · · ·+ λ1λn + λ2λ3 + · · ·+ λn−1λn = an−2
an
λ1λ2λ3 + · · ·+ λ1λ2λn + λ1λ3λ4 + · · ·+ λn−2λn−1λn = −an−3
an
.
.
.
λ1λ2λ3 · · ·λn = (−1)n a0
an
.
As relações acima são conhecidas como relações de Girard, entre os coe�cientes
e as raízes de um polinômio. Embora elegantes, as relações de Girard não são
práticas para determinar as raízes de um polinômio.
2.8 Equações transcendentais
Uma equação f(x) = 0 é chamada de transcendental quando a mesma não
pode ser reduzida a uma forma polinomial. Em geral, são equações que envolvem
funções do tipo trigonométricas, exponenciais, logarítmicas etc.
Uma maneira simples de obtermos informações sobre as raízes de uma equação
transcendental é pelo método grá�co para isolamento de raízes.
Seja uma equação f(x) = 0. As raízes dessa equação correspondem aos valores
de x, tais que a equação é satisfeita. Um modo de tentarmos determinar as raízes
de f(x) = 0 é construir uma equação alternativa da forma:
g(x)− h(x) = 0, (2.26)
a qual seja equivalente à equação f(x) = 0, isto é:
f(x) = g(x)− h(x) = 0. (2.27)
Considerando y1 = g(x) e y2 = h(x) e desenhando os grá�cos destas funções
sobre um mesmo sistema de coordenadas, onde estes os grá�cos se interceptarem,
56 cálculo numérico
teremos uma raiz da equação f(x) = 0, pois, se x = x0 é o ponto de intersecção
das duas funções, teremos:
g(x0) = h(x0)⇒ f(x0) = g(x0)− h(x0) = 0. (2.28)
Logo, x0 é uma raiz de f(x) = 0.
Exemplo 2.13 Seja a equação transcendental f(x) = ex − sen x − 2 = 0. Se
�zermos g(x) = ex e h(x) = sen x + 2, vemos, na Figura 2.3, que ambas se
interceptam no ponto x0 ≈ 1, 05.
Figura 2.3: Aplicação do método grá�co.
Exercício 2.4 Considere a equação x2− sen x− 1 = 0 e isole as suas raízes com
o método grá�co.
2.9 Grau de exatidão de uma raiz
Depois de termos identi�cado o número de raízes e o intervalo [a, b] onde as
mesmas se encontram, passaremos a determinar seu valor por meio de métodos
numéricos.
O que desejamos é obter uma seqüência de valores {xi} de aproximações cujo
limite é o valor da raiz exata, digamos λ.
Teorema 2.8 Seja λ uma raiz isolada exata e xn uma raiz aproximada da equa-
ção f(x) = 0, com λ e xn ∈ [a, b] e tal que |f ′(x)| ≥ m > 0 para a ≤ x ≤ b, em
que m = mina≤x≤b |f ′(x)|. Então, |xn − λ| ≤ |f(xn)|m .
resolução de equações algébricas e transcendentais 57
Demonstração: Usando o teorema do valor médio, temos:
f(xn)− f(λ) = (xn − λ)f ′(c), xn < c < λ, c ∈ (a, b). (2.29)
Contudo, f(λ) = 0 e f ′(c) ≥ m. Então,
|f(xn)− f(λ)| = |f(xn)| = |xn − λ||f ′(c)| ≥ m|xn − λ|. (2.30)
Logo,
|xn − λ| ≤ |f(xn)|
m
.� (2.31)
Exemplo 2.14 Seja f(x) = x2 − 8, determine o erro cometido por xn = 2, 827
no intervalo [2, 3].
Solução: calculando a derivada da função, temos: f ′(x) = 2x e m =
min2≤x≤3 |2x| = 4, e assim:
|2, 827− λ| ≤ f(2, 827)
4
≈ 0, 002.
Logo,
λ = 2, 827± 0, 002.
Observe que o cálculo direto da raiz resulta em x = ±√8 ≈ ±2, 828.
A determinação do valor de m é muitas vezes trabalhosa, por essa razão a
tolerância � é, em geral, avaliada mediante um dos seguintes critérios:
• O valor absoluto da função na raiz deve ser menor que a tolerância:
|f(xn)| ≤ �; (2.32)
• Cálculo do erro absoluto:
|xn − xn−1| ≤ �; (2.33)
• Cálculo do erro relativo:
|xn − xn−1|
|xn| ≤ �. (2.34)
Nos casos em que a raiz é da ordem da unidade, em geral o critério do erro
absoluto é mais apropriado, enquanto nos demais casos o critério do erro relativo
é mais recomendado.
58 cálculo numérico
2.10 Raízes complexas
Seja o polinômio P (z) sobre os números complexos dado por:
P (z) = anz
n + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0, (2.35)
onde z é uma variável complexa e os coe�cientes ai ∈ <.
Sabemos que um número complexo é escrito da forma z = x+iy, x, y ∈ <, i =√−1. As raízes da equação polinomial P (z) = 0 são números complexos tais que
satisfazem