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m raízes e não sendo contados os coe�cientes iguais a zero. O exemplo a seguir ilustra a aplicação da regra. resolução de equações algébricas e transcendentais 53 Exemplo 2.9 Seja P(x) = x4 − 5x3 − 7x2 + 29x + 30 = 0. Para essa equação, vemos que o número de variações de sinais é igual a 2. Assim, λ(+) = 2 − 2k, onde os valores de k = 0 ou k = 1. Logo, de acordo com a regra, teremos λ(+) = 0 ou λ(+) = 2. Isto é, ou não teremos raízes reais positivas, ou teremos duas raízes reais positivas. Corolário 2.3 Se os coe�cientes de uma equação algébrica são todos diferentes de zero, então o número de raízes reais negativas λ(−) (contando as multiplicida- des) é igual ao número de permanência de sinais de seus coe�cientes, ou é menor que este por um número inteiro par. Exemplo 2.10 Seja P(x) = x4 − 5x3 − 7x2 + 29x + 30 = 0. Para essa equação, vemos que o número de permanência de sinais é igual a 2. Assim, λ(−) = 2− 2k, onde os valores de k = 0 ou k = 1. Logo, podemos ter λ(−) = 0 ou λ(−) = 2. Isto é, ou não teremos raízes reais negativas, ou teremos duas raízes reais negativas. De fato, usando uma calculadora ou computador, podemos obter as raízes do polinômio P(x), x1 = 5, x2 = 3, x3 = −2, x4 = −1. Exercício 2.3 Dado o polinômio P(x) = x5 − 9x4 + 7x3 + 185x2 − 792x + 1040, faça um estudo detalhado sobre quantas raízes reais positivas e negativas podem existir para P(x) = 0. Usando uma calculadora ou computador, determine as raízes deste polinômio. 2.6.1 Raízes imaginárias As raízes de uma equação polinomial podem ser reais e/ou complexas. Veja- mos, agora, algumas regras que permitem identi�car a existência de raízes com- plexas. Seja P (x) = 0 uma equação polinomial de grau n, sem raízes nulas. Teorema 2.6 (Regra de Du Gua) Se para algum valor k, 1 ≤ k < n, tiver- mos a2k ≤ ak+1 · ak−1, (2.23) com ak coe�cientes do polinômio, então P(x) possui raízes complexas. Teorema 2.7 (Regra da Lacuna) i) Se os coe�cientes do polinômio P(x) são todos reais e para algum k, 1 ≤ k < n, tivermos ak = 0 e ak−1 · ak+1 > 0, então P(x) = 0 possui raízes complexas; 54 cálculo numérico ii) Se os coe�cientes ak de P(x) são todos reais e se existem dois ou mais coe�- cientes nulos sucessivos, então a equação P(x) = 0 possui raízes complexas. É importante observar que as regras acima são condições su�cientes para a existência de raízes complexas, mas não condições necessárias. Exemplo 2.11 Seja P(x) = 2x5 + 3x4 + x3 + 2x2 − 5x − 3, então como temos que a23 ≤ a4 · a2, pois 12 ≤ 3 · 2, pela regra de Du Gua a equação P(x) = 0 possui raízes complexas. De fato, para esta equação temos: duas raízes complexas, duas raízes reais negativas e uma raiz real positiva dadas por z = −0, 09473214309− 1, 283742172·i, z = −0, 09473214309 + 1.283742172·i, x1 = −1, 810535713, x2 = −0, 5; x3 = 1 Exemplo 2.12 Seja P(x) = 2x6 − 3x5 − 2x3 + x2 − x− 1 = 0, então, pela regra da lacuna, temos a4 = 0, a5 = −3, a3 = −2⇒ a3 · a5 = 6 > 0, então o polinômio possui raízes complexas. De fato, temos 4 raízes complexas, uma raiz real positiva e uma raiz real negativa z1 = −0, 4402908758− 0.8247102496·i, z1 = −0, 4402908758 + 0.8247102496·i, z2 = 0, 5276694289− 0.6284109203·i, z2 = 0, 5276694289 + 0.6284109203·i, x1 = −0, 4725829475, x2 = 1, 797825841. 2.7 Relações de Girard Seja a equação P (x) = 0 em sua forma fatorada: an(x− λ1) · · · (x− λn) = 0, (2.24) onde os λi correspondem às raízes do polinômio. Fazendo a multiplicação dos termos, obtemos: anx n − an(λ1 + λ2 + · · ·+ λn)xn−1 + an(λ1λ2 + λ1λ3 + · · ·+ λ1λn + λ2λ3 + · · ·+ λn−1λn)xn−2 − an(λ1λ2λ3 + · · ·+ λ1λ2λn + λ1λ3λ4 + · · ·+ λn−2λn−1λn)xn−3 . . . (−1)nan(λ1λ2λ3 · · ·λn) = 0. resolução de equações algébricas e transcendentais 55 Comparando os coe�cientes da expressão acima com a expressão anx n + an−1xn−1 + · · ·+ a0 = 0, (2.25) obtemos as seguintes relações entre os coe�cientes e as raízes de um polinômio. λ1 + λ2 + · · ·+ λn = −an−1 an λ1λ2 + λ1λ3 + · · ·+ λ1λn + λ2λ3 + · · ·+ λn−1λn = an−2 an λ1λ2λ3 + · · ·+ λ1λ2λn + λ1λ3λ4 + · · ·+ λn−2λn−1λn = −an−3 an . . . λ1λ2λ3 · · ·λn = (−1)n a0 an . As relações acima são conhecidas como relações de Girard, entre os coe�cientes e as raízes de um polinômio. Embora elegantes, as relações de Girard não são práticas para determinar as raízes de um polinômio. 2.8 Equações transcendentais Uma equação f(x) = 0 é chamada de transcendental quando a mesma não pode ser reduzida a uma forma polinomial. Em geral, são equações que envolvem funções do tipo trigonométricas, exponenciais, logarítmicas etc. Uma maneira simples de obtermos informações sobre as raízes de uma equação transcendental é pelo método grá�co para isolamento de raízes. Seja uma equação f(x) = 0. As raízes dessa equação correspondem aos valores de x, tais que a equação é satisfeita. Um modo de tentarmos determinar as raízes de f(x) = 0 é construir uma equação alternativa da forma: g(x)− h(x) = 0, (2.26) a qual seja equivalente à equação f(x) = 0, isto é: f(x) = g(x)− h(x) = 0. (2.27) Considerando y1 = g(x) e y2 = h(x) e desenhando os grá�cos destas funções sobre um mesmo sistema de coordenadas, onde estes os grá�cos se interceptarem, 56 cálculo numérico teremos uma raiz da equação f(x) = 0, pois, se x = x0 é o ponto de intersecção das duas funções, teremos: g(x0) = h(x0)⇒ f(x0) = g(x0)− h(x0) = 0. (2.28) Logo, x0 é uma raiz de f(x) = 0. Exemplo 2.13 Seja a equação transcendental f(x) = ex − sen x − 2 = 0. Se �zermos g(x) = ex e h(x) = sen x + 2, vemos, na Figura 2.3, que ambas se interceptam no ponto x0 ≈ 1, 05. Figura 2.3: Aplicação do método grá�co. Exercício 2.4 Considere a equação x2− sen x− 1 = 0 e isole as suas raízes com o método grá�co. 2.9 Grau de exatidão de uma raiz Depois de termos identi�cado o número de raízes e o intervalo [a, b] onde as mesmas se encontram, passaremos a determinar seu valor por meio de métodos numéricos. O que desejamos é obter uma seqüência de valores {xi} de aproximações cujo limite é o valor da raiz exata, digamos λ. Teorema 2.8 Seja λ uma raiz isolada exata e xn uma raiz aproximada da equa- ção f(x) = 0, com λ e xn ∈ [a, b] e tal que |f ′(x)| ≥ m > 0 para a ≤ x ≤ b, em que m = mina≤x≤b |f ′(x)|. Então, |xn − λ| ≤ |f(xn)|m . resolução de equações algébricas e transcendentais 57 Demonstração: Usando o teorema do valor médio, temos: f(xn)− f(λ) = (xn − λ)f ′(c), xn < c < λ, c ∈ (a, b). (2.29) Contudo, f(λ) = 0 e f ′(c) ≥ m. Então, |f(xn)− f(λ)| = |f(xn)| = |xn − λ||f ′(c)| ≥ m|xn − λ|. (2.30) Logo, |xn − λ| ≤ |f(xn)| m .� (2.31) Exemplo 2.14 Seja f(x) = x2 − 8, determine o erro cometido por xn = 2, 827 no intervalo [2, 3]. Solução: calculando a derivada da função, temos: f ′(x) = 2x e m = min2≤x≤3 |2x| = 4, e assim: |2, 827− λ| ≤ f(2, 827) 4 ≈ 0, 002. Logo, λ = 2, 827± 0, 002. Observe que o cálculo direto da raiz resulta em x = ±√8 ≈ ±2, 828. A determinação do valor de m é muitas vezes trabalhosa, por essa razão a tolerância � é, em geral, avaliada mediante um dos seguintes critérios: • O valor absoluto da função na raiz deve ser menor que a tolerância: |f(xn)| ≤ �; (2.32) • Cálculo do erro absoluto: |xn − xn−1| ≤ �; (2.33) • Cálculo do erro relativo: |xn − xn−1| |xn| ≤ �. (2.34) Nos casos em que a raiz é da ordem da unidade, em geral o critério do erro absoluto é mais apropriado, enquanto nos demais casos o critério do erro relativo é mais recomendado. 58 cálculo numérico 2.10 Raízes complexas Seja o polinômio P (z) sobre os números complexos dado por: P (z) = anz n + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0, (2.35) onde z é uma variável complexa e os coe�cientes ai ∈ <. Sabemos que um número complexo é escrito da forma z = x+iy, x, y ∈ <, i =√−1. As raízes da equação polinomial P (z) = 0 são números complexos tais que satisfazem