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o mesmo sinal da derivada segunda f ′′(x). Em outras
palavras, devemos veri�car se o seguinte teste é válido para a escolha do valor de
c:
f(c) · f ′′(c) > 0. (2.62)
Critério da convergência
Como a seqüência xn é monótona e limitada, temos:
λ = lim
n→∞
xn, a < λ < b. (2.63)
Contudo,
lim
n→∞
xn+1 = lim
n→∞
xn − lim
n→∞
f(xn)
f(xn)− f(c)(xn − c)
λ = λ− f(λ)
f(λ)− f(c)(λ− c)
⇒ f(λ) = 0.
Logo, temos que λ = λ é a raiz exata da equação no intervalo [a, b].
A tolerância pode ser considerada tomando-se:
|xn − xn−1| ≤ �. (2.64)
Exercício 2.8 Seja f(x) = ex−sen x−2, de�nida no intervalo [1; 1, 2]. Determine
a raiz dessa equação para uma tolerância da ordem de � ≤ 10−5.
Exercício 2.9 Resolva o exercício anterior usando os procedimentos citados e,
em seguida, melhore a implementação do método das cordas, de tal forma que
considere o teste de tolerância.
66 cálculo numérico
2.11.3 Método de Newton-Raphson
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] com f ′(x) e f ′′(x) também
contínuas, com f ′(x) 6= 0, e λ a única raiz da equação f(x) = 0 no intervalo
dado.
A aproximação para a raiz exata λ de f(x) = 0 pode ser obtida a partir da
aproximação de f(x) por uma série de Taylor, em torno do ponto x0, da forma:
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0).
Estamos aproximando a função f(x) na vizinhança do ponto x0 pela reta dada
na equação anterior. Assim, chamando de x1 o ponto onde a reta corta o eixo
dos x, temos:
f(x1) = 0⇒ f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0) = 0, (2.65)
de onde podemos obter o valor de x1,
x1 = x0 − f(x0)
f ′(x0)
. (2.66)
Fazendo o mesmo procedimento, para uma iteração de ordem n, obtemos:
f(xn+1) = 0⇒ f(xn) + f ′(xn)(xn+1 − xn) = 0. (2.67)
Assim, podemos escrever:
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
, (2.68)
com n = 0, 1, 2, . . . e xn+1 a aproximação da raiz para a iteração de ordem n.
Geometricamente, o processo de Newton-Raphson parece com o método das
cordas, só que ao invés das retas secantes, temos as retas tangentes, conforme
podemos veri�car na ilustração da Figura 2.7.
Veja que a tangente do ângulo α é dada por:
tgα =
f(x0)
x0 − x1 = f
′(x0)⇒
x0 − x1 = f(x0)
f ′(x0)
⇒
x1 = x0 − f(x0)
f ′(x0)
. (2.69)
resolução de equações algébricas e transcendentais 67
Figura 2.7: Ilustrações do método de Newton-Raphson.
Agora, considerando o novo valor do ângulo β, teremos:
tg β =
f(x1)
x1 − x2 = f
′(x1)⇒
x1 − x2 = f(x1)
f ′(x1)
⇒
x2 = x1 − f(x1)
f ′(x1)
. (2.70)
Assim, para um valor n qualquer teremos:
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
. (2.71)
Observe que, se considerarmos o ponto x0 a partir da tangente do ponto a,
poderemos ter x1 fora do intervalo [a, b], não permitindo a convergência do método
de Newton-Raphson.
68 cálculo numérico
Critério da convergência
Para podermos aplicar o método de Newton-Raphson, devemos, portanto,
observar a seguinte regra para convergência:
i) As derivadas f ′(x) e f ′′(x) devem ser não nulas e preservar o mesmo sinal em
[a, b];
ii) A escolha do ponto x0 deve ser tal que f(x0) · f ′′(x0) > 0.
Dessa forma, garantimos a convergência do método. Então, teremos:
λ = lim
n→∞
xn, a < λ < b,
lim
n→∞
xn+1 = lim
n→∞
xn − lim
n→∞
f(xn)
f ′(xn)
λ = λ− f(λ)
f ′(λ)
⇒ f(λ) = 0.
Assim, vemos que λ = λ é a raiz exata da equação.
Como o método é convergente, uma raiz aproximada pode sempre ser obtida
de acordo com uma tolerância especi�cada, considerando
|xn − xn−1| < �. (2.72)
Exercício 2.10 Seja a função f(x) = 2x3+ ln x− 5 com raiz localizada no inter-
valo [1, 2]. Determinar a raiz aproximada para 10 iterações, usando as funções
de�nidas acima.
Exercício 2.11 Considere a função u = x3−5x2+x+3, partindo de x0 = −2.44 e
veri�que que para uma tolerância � ≤ 10−5 a solução é obtida após seis iterações.
2.11.4 Método da iteração linear
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e λ a única raiz da equação
f(x) = 0 neste intervalo. Vimos na seção (2.8) que podemos estimar a raiz de
uma equação utilizando o método grá�co. A equação (2.27) separa a função f(x)
em duas outras funções de modo que a raiz de f(x) é determinada pelo ponto
onde o grá�co das funções g(x) e h(x) se interceptam.
O método que vamos estudar agora consiste em transformar a equação f(x) =
0 em uma equação semelhante, do tipo:
resolução de equações algébricas e transcendentais 69
f(x) = x− F (x), (2.73)
onde F (x) é chamada de função de iteração.
Supondo que x0 seja uma estimativa inicial da raiz exata λ, calculamos o valor
de F (x0) e tomamos a seguinte iteração:
x1 = F (x0)
x2 = F (x1)
.
.
.
.
.
.
xn+1 = F (xn), n = 0, 1, 2, . . . . (2.74)
A partir deste mecanismo de iteração, geramos uma seqüência de aproxima-
ções S = {x0, x1, . . . , xn}. A interpretação geométrica desse método é simples e
está ilustrada na Figura 2.8:
Figura 2.8: Ilustração do método da iteração linear.
Como já mencionamos anteriormente, o método será útil se a seqüência x0, x1, . . . , xn
convergir para a raiz exata. Vamos supor que
70 cálculo numérico
lim
n→∞
xn = λ.
Como F (x) é contínua, teremos:
lim
n→∞
xn+1 = lim
n→∞
F (xn)⇒ λ = F (λ), (2.75)
logo, da equação (2.73) concluímos que λ = λ é a raiz exata de f(x) = 0.
Como a construção da função de iteração F (x) não é única, a questão que
surge é como podemos obter a função de iteração F (x) que gere uma seqüência
convergente? A escolha dessa função é feita com base na função original f(x).
Há várias formas de obtermos uma candidata à função de iteração, porém nem
todas podem ser utilizadas para estimar raízes aproximadas, já que o critério da
convergência, enunciado a seguir, deve ser satisfeito pela função de iteração.
Critério da convergência
A escolha da função F (x) deve satisfazer ao seguinte teorema.
Teorema 2.9 Seja λ ∈ I uma raiz da equação f(x) = 0 e F(x) uma função
contínua e derivável no intervalo I. Se |F′(x)| ≤ k < 1 para todos os pontos do
intervalo I e x0 ∈ I, então os valores dados pela equação xn+1 = F(xn) convergem
para a raiz exata λ.
Observe que o Teorema garante a convergência, partindo-se de uma estimativa
inicial qualquer x0 ∈ I, desde que a derivada da função candidata seja limitada
para todos os pontos no intervalo I que contém uma única raiz. Deste modo,
o Teorema não for válido para uma certa estimativa inicial, então a escolha da
função F (x) deve ser descarta.
Exemplo 2.17 Seja a equação f(x) = x2 − sen x = 0 e a raiz inicial x0 = 0, 9.
Determine a função de iteração e a raiz aproximada para oito iterações.
Podemos escolher as seguintes funções como candidatas à função de iteração:
1. Somando x aos dois lados da equação, teremos:
x + x2 − sen x = x. (2.76)
Assim, podemos tomar x = F1(x) = x
2 + x− sen x como uma proposta de função
de iteração.
2. Isolando x da equação original, temos:
resolução de equações algébricas e transcendentais 71
x2 = sen x⇒ x = √sen x, (2.77)
e, portanto, podemos considerar a função F2(x) =
√
sen x como candidata à fun-
ção de iteração.
3. Da função original, podemos considerar:
sen x = x2 ⇒ x = arcsen x2. (2.78)
Assim, podemos considerar a função F3(x) = arcsen x
2
como candidata à
função de iteração.
Pelo critério da convergência, devemos veri�car se as funções F1(x),F2(x) e
F3(x) satisfazem às condições para se tornarem funções de iteração.
Para a função F1(x) temos que |F′1(0, 9)| ' 2, 178390 > 1, logo como F1(x) não
satisfaz o Teorema da convergência, pois não é válido no ponto x0, logo a função
F1(x) deve ser descartada. Calculando |F′3(0, 9)| ' 3, 069420 > 1, portanto F3(x)
deve ser descartada. A função F′2(x) =
1
2
| cos x√
sen x
| é tal que em uma vizinhança
I = [1/2, 3/2] temos F′2(x) < 1, satisfazendo o Teorema. Logo, a função F2(x) =√
sen x gera uma seqüência convergente para qualquer