A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
217 pág.
NotasdeAula_CN

Pré-visualização | Página 14 de 38

valor da estimativa inicial
no intervalo I, e por conseguinte para x0 = 0, 9.
Usando a função de iteração F2(x), obtemos a seguinte seqüência de raízes
aproximadas para 8 iterações
S = {0, 9; 0, 8850575741; 0, 8797451034; 0, 8778248379; 0, 8771266440;
0, 8768722470; 0, 8767794824; 0, 8767456467; 0, 8767333039} (2.79)
2.12 Exercícios propostos
1. Dadas as funções a seguir, veri�que gra�camente quantas raízes as mesmas
possuem e localize qual delas é a menor raiz positiva.
a) ex − sen (pi x
3
)
b) cos (x)− cos (3x)
c) ex − tg x
d) 7 sen (x)− e−x cos(x)− 0, 7
e) ln(x) + 30e−x − 3
72 cálculo numérico
2. Supondo que duas locomotivas viajem no mesmo sentido e trilho com equa-
ções de movimento dadas por: x1(t) = 110− 80e(−t/2) e x2(t) = 50t, respec-
tivamente. Utilizando argumentos grá�cos, veri�que se essas locomotivas
se chocam. Se isso acontecer, em quanto tempo o acidente ocorreria?
3. Dada a equação x3 − 6x2 + 10x− 6 = 0, encontre um intervalo de compri-
mento unitário onde se encontre uma, e apenas uma, raiz da equação.
4. Seja o polinômio P (x) = x5− 6x4+8x3+8x2+4x− 40. Determine o valor
de P (3), utilizando os métodos de Briot-Ru�ni e Horner.
5. Para o polinômio do exercício anterior, faça um estudo sobre os limites das
raízes reais desse polinômio. Em seguida, use a regra de Descartes para
inferir sobre os sinais das raízes reais do polinômio e as regras de Du Gua
e da Lacuna, para as raízes imaginárias.
6. Encontre um intervalo a ≤ x ≤ b tal que as funções abaixo possuam sinais
opostos em f(a) e f(b).
a) ln(x) + x− 5
b) ex − x− 2
7. Use o método da bisseção para determinar as raízes das funções do exercício
anterior com uma precisão � = 10−6.
8. Se [0, 2] é o intervalo inicial para a solução de uma equação f(x) = 0, qual
o número de iterações necessárias para alcançarmos a solução aproximada
com uma tolerância da ordem de 10−6 e 10−10? Valide seu resultado encon-
trando a raiz da equação: x3 − 4x2 − 2x+ 8 = 0.
9. Seja a equação x2 = ex lnx − 0, 5. Encontre uma função de iteração para
essa equação e em seguida determine a solução para uma tolerância da
ordem de 10−3.
10. Resolva a equação 2x4 − 9ex − 20 = 0, no intervalo de [−5, 5] com uma
tolerância de 10−3, usando o método da iteração linear.
11. Resolva as equações abaixo usando o método das cordas, com uma precisão
t = 10, utilizando intervalos diferentes de inicialização.
a) 10cos(x) = x
b) xx
3
= 9
resolução de equações algébricas e transcendentais 73
12. O algoritmo de Newton para determinar a raiz quadrada de um número
real positivo λ é dado pela fórmula de iteração: xk+1 =
1
2
(xk +
λ
xk
), com
k = 0, 1, . . . . Implemente esse algoritmo e determine:
a)
√
50, partindo de x0 = 7;
b)
√
125, partindo de x0 = 11.
13. Deduza o algoritmo de Newton para a raiz cúbica de um número real.
Sugestão: utilize a função f(x) = x3 − λ.
14. Use o método de Newton-Raphson para determinar as raízes das equações
abaixo:
a)
√
x lnx+ 7senx cos x = 0, 3 com x0 = 1.
b) x4 cosx+ 6x5ex = −1, com x0 = −5.
15. A equação de Kepler da mecânica celeste é dada por y = x−η sen (x), onde
η corresponde à excentricidade da órbita. Considerando y = 1 e η = 0, 5,
determine a raiz para a equação de Kepler no intervalo [0, pi]. Utilize os
métodos estudados neste capítulo.
74 cálculo numérico
Capítulo 3
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Neste capítulo, estudaremos técnicas de resolução de sistemas de equações
algébricas lineares e não lineares.
3.1 Sistemas lineares
Iniciaremos com os sistemas de equações lineares, os quais são de�nidos da
forma:
De�nição 3.1 Um sistema de equações algébricas lineares é de�nido como um
conjunto de m equações que contém n incógnitas, da forma:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1, (3.1)
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,
.
.
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,
onde xi são as incógnitas, aij são os coe�cientes e bj são os termos independentes.
O sistema linear (3.1) pode ser reescrito de forma compacta como:
S =
n∑
j=1
aijxj = bi, i = 1, 2, . . . ,m. (3.2)
Podemos ainda escrever as equações de um sistema linear na sua forma ma-
tricial, como:
76 cálculo numérico
Ax = B.
A matriz A, de ordem m× n, é a matriz dos coe�cientes, dada por:
A =
 a11 a12 · · · a1n..
.
.
.
. · · · ...
am1 am2 · · · amn
 . (3.3)
A matrix x é uma matriz coluna de ordem n × 1, chamada de matriz das
incógnitas ou variáveis, dada por:
x =

x1
x2
.
.
.
xn
 . (3.4)
A matriz B é uma matriz coluna de ordem m × 1, conhecida como a matriz
dos termos independentes, dada por:
B =

b1
b2
.
.
.
bm
 . (3.5)
De�nição 3.2 De�nimos a matriz ampliada do sistema S como a matriz
C =
 a11 a12 · · · a1n b1..
.
.
.
. · · · ... ...
am1 am2 · · · amn bm
 (3.6)
De�nição 3.3 Uma matriz
x =

x1
x2
.
.
.
xn

é dita uma solução do sistema S se, para xi = xi, i = 1, · · · , n, tivermos uma
identidade numérica para o sistema Ax = B.
resolução de sistemas de equações algébricas 77
De�nição 3.4 Um sistema de equações algébricas lineares é dito homogêneo, se
a matriz B do sistema é nula, isto é, os bj = 0, ∀j.
De�nição 3.5 Um sistema de equações algébricas lineares é dito compatível,
quando apresenta solução, e dito incompatível, quando não possui solução.
É fácil vermos que todo sistema linear homogêneo S possui solução. Assim, o
mesmo é compatível, pois
Ax = 0⇒ xi = 0.
Essa solução é chamada de solução trivial, x = 0.
Suponha agora o seguinte sistema:
x1 + x2 = 0,
x1 + x2 = 2.
Da primeira equação podemos escrever que x1 = −x2, e da segunda, substi-
tuindo-se este resultado, temos:
x2 = 2− x1 ⇒ x2 = 2 + x2 ⇒ 0 = 2? Absurdo!
Portanto, vemos que o sistema apresentado não possui solução, é incompatível.
Geometricamente, é visto como formado por duas retas paralelas, onde cada
equação corresponde a equação de uma reta e, por isso, elas não se cruzam,
gerando um sistema incompatível.
3.1.1 Sistemas compatíveis
Os sistemas compatíveis estão divididos em:
• Sistema determinados;
• Sistemas indeterminados.
De�nição 3.6 Os sistemas compatíveis são ditos determinados, quando possuem
solução única, e são ditos indeterminados, quando possuem várias soluções.
Exemplo 3.1 Seja o sistema:
x1 + x2 = 0,
x1 − x2 = 0.
Ele é homogêneo e tem solução trivial x1 = x2 = 0. Portanto, é um sistema
determinado.
78 cálculo numérico
Exemplo 3.2 Seja o sistema:
x1 + x2 = 0,
3x1 + 3x2 = 0.
Ele é compatível, porém indeterminado, já que, ao resolvê-lo, temos x1 = −x2, e
portanto apresenta in�nitas soluções, pois o valor de x2 é arbitário.
3.1.2 Sistemas triangulares
Em muitas ocasiões, o número de equações que compõe um sistema S é igual
a seu número de incógnitas. Nesse caso, denotamos o sistema por Sn.
De�nição 3.7 Um sistema Sn é dito triangular superior, quando os elementos
da matriz dos coe�cientes são tais que aij = 0 para j < i, i, j = 1, 2, . . . , n.
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
ann = bn
De�nição 3.8 Um sistema Sn é dito triangular inferior, quando os elementos
da matriz dos coe�cientes são tais que aij = 0 para i < j, i, j = 1, 2, . . . , n.
a11x1 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
.
.
.
.
.
.
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn
Os sistemas triangulares são sistemas determinados, quando aii 6= 0. Nesses
casos, as soluções para os sistemas são facilmente obtidas. Para o sistema tri-
angular superior, a solução é obtida por substituição retroativa, pois temos que
xn =
bn
ann
. Partindo do valor de xn, obtemos o valor de xn−1 por substituição
direta, e assim sucessivamente. No caso de sistemas