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triangulares inferiores, a so-
lução é obtida por substituição progressiva, pois temos que x1 =
b1
a11
. Com esse
resultado substituímos o valor de x1 na equação seguinte e obtemos o valor de
x2, e assim sucessivamente.
resolução de sistemas de equações algébricas 79
3.2 Transformações elementares
Transformações elementares são operações que podem ser realizadas com as
equações de um sistema linear de tal forma que o conjunto de equações transfor-
madas preservam a solução do sistema original.
As transformações elementares são:
1. Trocar a ordem de duas equações do sistema;
2. Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula;
3. Adicionar duas equações do sistema, e substituir o resultado por uma delas.
De�nição 3.9 Dois sistemas S e S′ são ditos equivalentes, se S′ puder ser obtido
de S por intermédio de transformações elementares.
Teorema 3.1 Sistemas equivalentes ou são incompatíveis, ou possuem as mes-
mas soluções.
3.3 Solução numérica de sistemas de equações al-
gébricas lineares
Nesta seção, veremos alguns métodos para a resolução numérica de sistemas
de equações algébricas lineares.
Os métodos de resolução de sistemas lineares estão divididos em duas classes.
• Métodos diretos;
• Métodos iterativos.
Os métodos diretos são os que determinam a solução de um sistema linear por
meio de um número �nito de passos (operações). Os métodos iterativos requerem
um número in�nito de passos.
Veremos inicialmente alguns métodos diretos e, em seguida, os métodos ite-
rativos.
3.3.1 Métodos diretos
Entre os métodos diretos, estudaremos o método de Gauss, o método da pivoti-
zação completa e o método de Jordan. Tais métodos, são muitas vezes, discutidos
em cursos de álgebra linear.
80 cálculo numérico
Método de eliminação de Gauss
O método de Gauss consiste em, por meio de (n − 1) passos, transformar o
sistema linear Ax = B em um sistema triangular equivalente, Ux = C.
Vejamos a seguinte ilustração de caso. Seja o sistema:
2x1 + 3x2 − x3 = 5,
4x1 + 4x2 − 3x3 = 3, (3.7)
2x1 − 3x2 + x3 = −1.
Vamos escrever a matriz ampliada do sistema:
B0 =
 2 3 −1 54 4 −3 3
2 −3 1 −1
 .
Chamando de L
(0)
1 , L
(0)
2 , L
(0)
3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de B0, esco-
lhemos o elemento a
(0)
11 como pivô e calculamos os multiplicadores:
m
(0)
21 =
−a(0)21
a
(0)
11
= −4
2
= −2,
m
(0)
31 =
−a(0)31
a
(0)
11
= −2
2
= −1.
Fazendo agora as seguintes operações elementares:
L
(0)
1 → L(1)1 ,
m
(0)
21 L
(0)
1 + L
(0)
2 → L(1)2 ,
m
(0)
31 L
(0)
1 + L
(0)
3 → L(1)3 ,
determinamos as novas equações do sistema, ou seja, L
(1)
1 , L
(1)
2 e L
(1)
3 são as novas
linhas da matriz B1 do sistema. Fazendo os cálculos, temos:
B1 =
 2 3 −1 50 −2 −1 −7
0 −6 2 −6
 .
resolução de sistemas de equações algébricas 81
Considerando agora a nova matriz ampliada, B1, repetimos o mesmo processo,
tomando como pivô o elemento a
(1)
22 = −2 e calculando o multiplicador:
m
(1)
32 =
−a(1)32
a
(1)
22
= −−6−2 = −3.
Agora, construímos as novas linhas da matriz ampliada:
L
(1)
1 → L(2)1 ,
L
(1)
2 → L(2)2 ,
m
(1)
32 L
(1)
2 + L
(1)
3 → L(2)3 .
Portanto, a nova matriz ampliada é:
B2 =
 2 3 −1 50 −2 −1 −7
0 0 5 15
 .
Vemos que o sistema original foi reduzido a um sistema triangular equivalente
dado por:
2x1 + 3x2 − x3 = 5,
−2x2 − x3 = −7,
5x3 = 15.
Resolvendo o sistema equivalente por substituição retroativa, temos a solução:
x =
 12
3
 .
Genericamente, observe que os multiplicadores são construídos de tal forma
a gerar elementos nulos na nova matriz ampliada equivalente do sistema. Os
elementos da nova matriz ampliada podem ser obtidos para um certo pivô akk 6= 0,
da forma:
a′ij = aij −mikakj,
onde mik =
aik
akk
, k + 1 ≤ i ≤ n, k + 1 ≤ j ≤ n, e k = 1, . . . , n− 1.
Os termos independentes transformam-se da forma:
b′i = bi −mikbk, i = k + 1, . . . , n.
82 cálculo numérico
Exercício 3.1 Escreva o algoritmo para o método de Gauss e veri�que quan-
tas operações (custo computacional) são necessárias no método de eliminação de
Gauss.
Método da pivotização completa
SejaM a matriz ampliada do sistema Ax = B, vamos expressarM da forma:
M =

a11 a12 . . . a1q . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2q . . . a2n b2
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
ap1 ap2 . . . apq . . . apn bp
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . anq . . . ann bn

. (3.8)
Se considerarmos como pivô o elemento apq 6= 0, que possui o maior valor
absoluto e que não pertence à coluna dos termos independentes, podemos calcular
os fatores multiplicadores
miq = − aiq
apq
, ∀i 6= q.
Vamos chamar a linha p de linha pivotal Lp. Fazendo agora a operação sobre
as linhas da matriz ampliada,
miLp + Li → L′i, i 6= p,
o resultado dessa operação gera uma nova matriz cuja q-ésima coluna é formada
por zeros, exceto o termo que é o pivô.
Com essa nova matriz M′, podemos gerar outra matriz M1, onde a p-ésima
linha e a q-ésima coluna são retiradas, gerando M1, cuja ordem é (n− 1)× n.
Considerando a matrizM1 e fazendo o mesmo procedimento de transformação
elementar e depois a retirada da linha e coluna, obtemos uma nova matriz, M2.
Esse procedimento será realizado sucessivas vezes até obtermos a matriz Mn−1.
Podemos notar que esta última matriz é formada por uma única linha que contêm
apenas dois elementos.
Para obter a solução do sistema, construímos as equações geradas por todas as
linhas pivotais. Então, por meio da técnica da substituição retroativa, a solução
é �nalmente determinada.
É importante observar a ordem em que foram realizadas as eliminações para
cada incógnita, pois esta deve ser preservada, para que o novo sistema gerado
seja equivalente ao sistema original.
resolução de sistemas de equações algébricas 83
Exemplo 3.3 Seja o sistema:
2x1 + 3x2 − x3 = 5
4x1 + 4x2 − 3x3 = 3
2x1 − 3x2 + x3 = −1
⇒M0 =
 2 3 −1 54 4 −3 3
2 −3 1 −1
 .
O pivô é a21 = |4| = 4. No entanto, poderíamos ter escolhido, sem perda de
generalidade, o termo a22 = |4| = 4. Assim,
m1 = −a11
a21
= −2
4
= −1
2
m3 = −a31
a21
= −2
4
= −1
2
m1L2 + L1 = −1
2
(4, 4,−3, 3) + (2, 3,−1, 5) = (0, 1, 1
2
,
7
2
)
m3L2 + L3 = −1
2
(4, 4,−3, 3) + (2, 3,−1,−1) = (0,−5, 5
2
,−5
2
)
E1 = 4x1 + 4x2 − 3x3 = 3
M2 =
(
1 1
2
7
2
−5 5
2
−5
2
)
.
Tomando o novo pivô a21 = | − 5| = 5, temos:
m1 = −a11
a21
= −1
5
=
1
5
m1L2 + L1 =
1
5
(−5, 5
2
,−5
2
) + (1,
1
2
,
7
2
) = (0, 1, 3)
E2 = −5x2 + 5
2
x3 = −5
2
E3 = x3 = 3
Por �m, fazendo a propagação retroativa, obtemos:
x2 = 2, x1 = 1,⇒ x =
 12
3
 .
84 cálculo numérico
Método de Jordan
O método de Jordan consiste em realizar operações elementares para trans-
formar o sistema original em um sistema diagonal equivalente. Nesse caso, esco-
lhemos sempre o pivô como um elemento da diagonal e executamos o método da
pivotização completa.
Vejamos o seguinte exemplo.
Exemplo 3.4 Seja o sistema:
x1 + x2 + 2x3 = 4,
2x1 − x2 − x3 = 0,
x1 − x2 − x3 = −1.
Realizando as devidas operações elementares obtemos:
M =
 1 1 2 42 −1 −1 0
1 −1 −1 1
 ∼
 1 1 2 40 −3 −5 −8
0 −2 −3 −5

∼
 1 0 1/3 4/30 −3 −5 −8
0 0 1/3 1/3
 ∼
 1 0 0 10 −3 0 −3
0 0 1/3 1/3
 .
O sistema é reduzido à forma: x1 = 1, −3x2 = −3, 13x3 = 13 . A solução é,
portanto:
x =
 11
1
 .
Exercício 3.2 Implemente computacionalmente o método de Jordan.
3.3.2 Re�namento de soluções
A solução de um sistema está sujeita a erros de