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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3.1 Ajuste por uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3.2 Ajuste polinomial quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3.3 Ajuste polinomial geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 Ajuste não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4.1 Casos redutíveis ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.5 Coe�ciente de determinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.6 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7 MÉTODOS DE DERIVAÇÃO NUMÉRICA 153
7.1 Aproximação da derivada por diferenças . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2 Aproximação por polinômios interpoladores . . . . . . . . . . . . 155
7.3 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.4 Extrapolação de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.5 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 163
8.1 Regra dos trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.1.1 Erro de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.1.2 Fórmula composta dos trapézios . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.2 Regras de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2.1 Primeira regra de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2.2 Primeira regra de Simpson composta . . . . . . . . . . . . 170
8.2.3 Segunda regra de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.2.4 Segunda regra de Simpson composta . . . . . . . . . . . . 172
8.3 Quadratura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.3.1 Quadratura Gaussiana com n = 1 . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3.2 Quadratura gaussiana para n = 2 . . . . . . . . . . . . . . 176
8.3.3 Procedimento geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.3.4 Erro de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.4 Integrais impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.5 Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.5.1 Aplicando a primeira regra de Simpson composta . . . . . 180
8.5.2 Aplicando a quadratura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . 186
8.6 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7
9 RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EDO'S 191
9.1 Resolução do problema do valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.1.1 Método da série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.1.2 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Erros no método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.1.3 Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Método de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Método clássico de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . 199
9.2 Métodos de passos múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.2.1 Método trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.2.2 Método de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.2.3 Método de Adams-Basforth-Multon . . . . . . . . . . . . . 204
9.3 Equações de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.4 Problema do valor de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.5 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Bibliogra�a 215
Índice remissivo 217
8
Prefácio
Este livro é o resultado da compilação das notas de aula do autor, as quais
foram utilizadas para ministrar a disciplina de cálculo numérico em cursos de
graduação nas áreas de ciências exatas e engenharias. A proposta deste livro é
apresentar um material introdutório sobre técnicas de cálculo numérico. Como
um texto introdutório, evitamos a apresentação demasiada de demonstrações de
muitos dos resultados mencionados nos teoremas, o quais poderão ser facilmente
pesquisados em textos mais avançados sobre o assunto. Os prerequisitos básicos
para que o estudante possa estudar por este livro, sem maiores di�culdades, são
um curso introdutório de cálculo diferencial e integral, álgebra linear e noções de
computação.
O conteúdo coberto por este livro é su�ciente para satisfazer os requisitos de
um primeiro curso de cálculo numérico para as áreas de ciências exatas e enge-
nharias, podendo ser particularmente útil como suporte àquelas disciplinas de
noções de cálculo numérico oferecidas para cursos de graduação de outras áreas, as
quais tratam apenas de alguns dos tópicos abordados no livro. Ao longo do texto,
vários exemplos são apresentados como ilustração do uso da técnica discutida.
Ao �nal de cada capítulo exemplos e exercícios adicionais são apresentados e
propostos. Deste modo, o livro pode ser utilizado pelos estudantes como se fosse
as suas próprias notas de aula.
Escrever um texto sobre uma disciplina básica havendo inúmeros outros tex-
tos já escritos sobre o assunto, nos leva, muitas vezes, a utilizar alguns exemplos
ilustrativos, que pela sua riqueza, já o foram abordados de forma semelhante
em outros livros. Como a idéia aqui é sempre ilustrar a aplicação dos métodos
com exemplos, a consulta, adicionalmente, a exemplos e exercícios apresentados
e propostos em outros livros é importante para enriquecer o aprendizado e a utili-
zação dos métodos. Isto permite ao estudante uma maior �exibilidade em leituras
complementares, uma vez que a consulta a outros livros amplia o conhecimento.
Em muitas instituições de ensino superior do país, os cursos de cálculo nu-
mérico nem sempre são ministrados com auxílio de recursos computacionais, em
virtude da ausência de equipamentos e software. Por um lado a utilização inte-
grada por ser útil, porém muitas vezes há uma grande enfase no aprendizado dos
softwares em detrimento do essencial que são as técnicas propriamente ditas. Hoje
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em dia grande parte dos estudantes possuem calculadoras e computadores portá-
teis ou mesmo são disponibilizados em laboratórios nas instituições de ensino, o
que amplia enormemente a possibilidade de realização de exercícios demandando
uma maior experiência computacional. Muitos softwares para computação numé-
rica ou mesmo integrados com computação algébrica e grá�ca estão disponíveis
tanto comercialmente quanto de domínio público, com uma capacidade enorme
de cálculo. Deste modo, este livro está muito mais direcionado ao ensino das
técnicas do que às suas implementações computacionais.
Uma bibliogra�a complementar é apresentada no �nal do livro, onde os textos
citados foram escolhidos com os compromissos de qualidade e acessibilidade, já
que a maioria pode ser facilmente encontrada nas bibliotecas, livrarias ou mesmo
na internet. Há vários outros bons livros-textos de cálculo numérico que não foram
citados na bibliogra�a e que poderão também ser consultados pelos estudantes.
Waldir L. Roque, fevereiro de 2013.
Capítulo 1
ERROS COMPUTACIONAIS
A observação dos fenômenos da natureza é uma grande fonte de inspiração
para os pesquisadores. A necessidade de conhecer como e quais são os mecanis-
mos associados aos fenômenos da natureza delimitam um conjunto de informa-
ções conceituais que dão origem a um problema que, comumente, denominamos
de problema físico. O caminho mais imediato e natural para tratarmos e compre-
endermos um problema físico é procurando caracterizá-lo e descrevê-lo por meio
de um modelo, que em muitas áreas utiliza a matemática como instrumento e
linguagem para tal �nalidade.
Os modelos matemáticos empregam métodos e técnicas que envolvem, no sen-
tido mais amplo, a resolução de equações, cujas soluções subsidiam a comparação
dos resultados, por meio de experimentos e/ou