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. . . x
n
0
1 x1 x
2
1 . . . x
n
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 xn x
2
n . . . x
n
n
 . (5.13)
A matriz (5.13) é conhecida como matriz de Vandermonde, cujo determinante
é dado por:
DET (A) =
∏
i>j
(xi − xj) 6= 0 ⇔ xi 6= xj, i 6= j. (5.14)
Logo, se as abscissas da tabela são todas distintas, então o sistema possui
solução única. Assim, existe um único polinômio interpolador Pn(x), de tal forma
que Pn(xi) = yi, com i = 0, . . . , n.
interpolação 117
5.4 Interpolação de Lagrange
As interpolações vistas anteriormente (linear e quadrática) são casos particu-
lares da interpolação de Lagrange.
Consideremos uma tabela contendo (n+1) pontos distintos x0, x1, . . . , xn, xi 6=
xj, i 6= j, tais que yi = f(xi), ∀i, i = 0, . . . , n.
Sejam os (n+ 1) polinômios de grau n dados da forma:
p0(x) = (x− x1)(x− x2) . . . (x− xn), (5.15)
p1(x) = (x− x0)(x− x2) . . . (x− xn), (5.16)
.
.
.
pn(x) = (x− x0)(x− x1) . . . (x− xn−1). (5.17)
Podemos reescrever os polinômios apresentados como:
pi(x) =
n∏
j=0,j 6=i
(x− xj), i = 0, . . . , n. (5.18)
Os polinômios dados na equação (5.18) possuem as seguintes propriedades:
pi(xi) 6= 0, ∀i (5.19)
pi(xj) = 0, ∀i 6= j. (5.20)
Os polinômios dados em (5.18) são chamados de Polinômios de Lagrange.
Exercício 5.1 Escreva um programa e�ciente e compacto para determinar os
polinômios de Lagrange.
Como desejamos encontrar o polinômio interpolador Pn(x) que satisfaz à con-
dição Pn(xi) = yi, vamos considerar uma combinação linear dos polinômios de
Lagrange,
Pn(x) =
n∑
i=o
bipi(x). (5.21)
Devemos então determinar os coe�cientes bi. Tomando o ponto (xk, yk), temos
Pn(xk) = b0p0(xk) + b1p1(xk) + . . .+ bkpk(xk) + . . .+ bnpn(xk), (5.22)
utilizando as propriedades, obtemos:
118 cálculo numérico
Pn(xk) = bkpk(xk)⇒ bk = Pn(xk)
pk(xk)
. (5.23)
Por outro lado, sabemos que Pn(xk) = yk, e substituindo em (5.23), temos
bk =
yk
pk(xk)
, (5.24)
que, substituindo na expressão de Pn(x), �ca
Pn(x) =
n∑
i=0
yi
pi(xi)
pi(x) =
n∑
i=0
yi
pi(x)
pi(xi)
. (5.25)
Agora, podemos escrever a expressão do polinômio interpolador de Lagrange
da forma
Pn(x) =
n∑
i=0
yi
n∏
j=0,j 6=i
(x− xj)
(xi − xj) . (5.26)
Se de�nirmos
Li(x) =
n∏
j=0,j 6=i
(x− xj)
(xi − xj) , (5.27)
vemos que Li(xi) = 1 e Li(xj) = 0,∀i 6= j. O polinômio de Lagrange (5.26)
torna-se
Pn(x) =
n∑
i=0
yiLi(x). (5.28)
Exercício 5.2 Implemente computacionalmente o método de interpolação de La-
grange; em seguida, encontre o polinômio interpolador de Lagrange para os pontos
da tabela abaixo, e determine o valor P3(0, 3).
xi 0, 0 0, 2 0, 4 0, 5
yi 0, 0 2, 008 4, 064 5, 125
(5.29)
5.5 Erros de truncamento
Como mencionado anteriormente, dois tipos de erros surgem quando aproxi-
mamos uma função f(x) por um polinômio Pn(x), a saber: (i) erros de trunca-
mento e (ii) erros de arredondamento.
interpolação 119
A Figura 5.4 a seguir ilustra a aproximação de uma função f(x), de�nida em
um intervalo [a, b], por um polinômio. Vemos que o polinômio aproxima-se da
função f(x) no intervalo.
Veja que Pn(a) = f(a), Pn(b) = f(b), Pn(c) = f(c). Todavia, em x0 temos que
| ET (x0) |=| f(x0)− Pn(x0) | . (5.30)
É fácil vermos que ET é de fato uma função que depende do ponto x conside-
rado.
ET (x = a) = f(a)− Pn(a) = 0, (5.31)
ET (x = b) = f(b)− Pn(b) = 0, (5.32)
ET (x = c) = f(c)− Pn(c) = 0, (5.33)
ET (x) = f(x)− Pn(x). (5.34)
O erro de truncamento é nulo nos pontos onde o polinômio coincide com o
valor da função. Observando a ilustração, podemos ver que o erro ET (x) é uma
função que deve depender da concavidade da função f(x). A concavidade de uma
função é medida por meio de sua derivada segunda f ′′(x).
Figura 5.4: Erro de truncamento pela aproximação de uma função por um
polinômio.
120 cálculo numérico
5.5.1 Erro de truncamento na interpolação linear
A interpolação linear é obtida de dois pares de pontos (x0, y0), (x1, y1). Vamos
então supor a seguinte expressão para o erro de truncamento:
ET (x) = (x− x0)(x− x1)A, (5.35)
onde A é uma constante a ser determinada.
Veja que ET (x0) = ET (x1) = 0. Para obtermos a expressão de A, considere-
mos a seguinte função auxiliar
G(t) = f(t)− P1(t)− ET (t), t ∈ [x0, x1]. (5.36)
Como P1(t) = a1t+ a0 e ET (t) = (t− x0)(t− x1)A, temos que
G(t) = f(t)− (a0 + a1t)− (t− x0)(t− x1)A. (5.37)
Teorema 5.2 (Teorema de Rolle) Seja f uma função contínua em um inter-
valo [a, b] e derivável no intervalo (a, b), tal que f(a) = f(b). Então, existe pelo
menos um valor λ ∈ (a, b) tal que f ′(λ) = 0.
Utilizando o teorema de Rolle na função G(t), pois temos que G(t = x0) =
G(t = x1) = G(t = x
′), devem existir valores λ1 e λ2 tais que λ1 ∈ (x0, x′) e
λ2 ∈ (x′, x1) com G′(λ1) = G′(λ2) = 0.
Se aplicarmos novamente o teorema de Rolle à função G′(t), teremos que
∃λ ∈ (λ1, λ2), tal que G′′(λ) = 0, com λ ∈ (x0, x1).
Derivando-se G(t) duas vezes, temos G′′(t) = f ′′(t)− 2A. Para t = λ obtemos
G′′(λ) = f ′′(λ)− 2A = 0 que implica:
A =
f ′′(λ)
2
. (5.38)
Voltando e substituindo o valor de A na expressão de E(t), temos:
ET (x) =
1
2
(x− x0)(x− x1)f ′′(λ), λ ∈ (a, b). (5.39)
Da equação (5.39), vemos que o erro de truncamento da interpolação polino-
mial linear é uma função quadrática na variável x.
Exemplo 5.5 Seja f(x) = sen(x). Determinar o valor aproximado de f(pi/2)
a partir dos pontos (1, 00; 0, 84), (2, 00; 0, 91). Em seguida, determine o erro de
truncamento.
Solução: Nesse caso, o polinômio interpolador linear encontrado é
P1(x) = 0, 07x + 0, 77⇒ p(pi/2) = 0, 88.
interpolação 121
O erro de truncamento �ca:
ET(x) = (x− 1, 00)(x− 2, 00)f
′′(λ)
2
, λ ∈ (1, 00; 2, 00).
Temos que f ′(x) = cos x, f ′′(x) = −sen x. Como não sabemos o valor de
λ, podemos tomá-lo como o valor que maximiza a função f ′′(x) no intervalo
(1, 00; 2, 00). Nesse caso, tem-se λ = pi/2, e então |f ′′(pi/2)| = 1. Assim, a
quota máxima para o erro de truncamento é:
|ET(pi/2)| ≤ |(pi/2− 1)(pi/2− 2)| 1
2
= 0, 12,
ou ainda,
−0, 12 ≤ ET(pi/2) ≤ 0, 12.
Exercício 5.3 Seja f(x) = x2 − 3x + 1 e x1 = 1, 0, x2 = 1, 5. Determine o valor
de f(1, 2) e o erro de truncamento.
5.5.2 Erro de truncamento na interpolação quadrática
O processo utilizado na interpolação linear pode ser estendido para o caso da
interpolação quadrática. Temos aqui que
ET (x) = f(x)− P2(x).
P2(x) é o polinômio interpolador. Considerando agora
ET (x) = (x− x0)(x− x1)(x− x2)A, (5.40)
e a função auxiliar
G(t) = f(t)− P2(t)− ET (t)
= f(t)− (a2t2 + a1t+ a0)− (t− x0)(t− x1)(t− x2)A,
(5.41)
usando o teorema de Rolle, temos que
122 cálculo numérico
∃λ1 ∈ (x0, x′) ; G′(λ1) = 0,
∃λ2 ∈ (x′, x1) ; G′(λ2) = 0,
∃λ3 ∈ (x1, x2) ; G′(λ3) = 0,
∃λ4 ∈ (λ1, λ2) ; G′′(λ4) = 0,
∃λ5 ∈ (λ2, λ3) ; G′′(λ5) = 0.
Por �m, temos que
∃λ ∈ (λ4, λ5);G′′′(λ) = 0, λ ∈ (x0, x2). (5.42)
Derivando três vezes a função G(t), obtemos
G′′′(t) = f ′′′(t)− 6A = 0⇒ G′′′(λ) = f ′′′(λ)− 6A = 0. (5.43)
Logo:
A =
f ′′′(λ)
6
. (5.44)
Substituindo na expressão do erro, obtemos:
ET (x) = (x− x0)(x− x1)(x− x2)f
′′′(λ)
3!
. (5.45)
Observe que o erro depende da derivada terceira da função. Assim, para
polinômios de ordem n < 3 a interpolação é exata.
5.5.3 Erro de truncamento na interpolação de Lagrange
Na interpolação de Lagrange, tomamos:
ET (x) = (x− x0)(x− x1) . . . (x− xn)A. (5.46)
Considerando a função auxiliar
G(t) = f(t)− Pn(t)− ET (t), (5.47)
e utilizando o teorema de Rolle sucessivas vezes, pois G(t) = 0, para t =
x0, x1, . . . , xn, e derivando G(t) (n+ 1) vezes, vem que
Gn+1(t) = fn+1(t)− (n+ 1)!A. (5.48)
interpolação 123
No entanto, para t = λ temos Gn+1(λ) = 0. Logo, concluímos que o valor de
A é
A =
fn+1(λ)
(n+ 1)!
, (5.49)